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Drachenviereck Ein auch Drachen oder Deltoid 1 ist ein ebenes Viereck bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist Konvexes

Drachenviereck

Ein Drachenviereck (auch Drachen oder Deltoid) ist ein ebenes Viereck,

Konvexes Drachenviereck
Konkaves Drachenviereck

oder

  • dessen vier Seiten sich in zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten gruppieren lassen.

Beide Definitionen sind äquivalent.

Oft wird nur die konvexe Form des Deltoids als Drachenviereck bezeichnet und die konkave Form als Pfeilviereck oder Windvogelviereck. Die Bezeichnung Drachenviereck verweist auf die Form vieler Flugdrachen.

Ein spezielles Drachenviereck ist die Raute (Rhombus). Sie ist ein gleichseitiges Deltoid.

Eigenschaften Bearbeiten

Für jedes Drachenviereck gilt (siehe Abbildung):

Für jedes konvexe Drachenviereck gilt:

Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Drachenviereck, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Formeln Bearbeiten

Konvexes und konkaves Drachenviereck mit Inkreis und Pseudoinkreis. Für beide Drachenvierecke gilt die in der Tabelle angegebene Formel für den Inkreis.
Mathematische Formeln zum Drachenviereck
Flächeninhalt



Umfang
Seitenlängen
Länge der Diagonalen

(siehe Kosinussatz,
Satz des Heron)

mit
Inkreisradius
Innenwinkel

(siehe Kosinussatz)

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Ein schräges Drachenviereck ist ein ebenes Viereck, in dem eine der Diagonalen durch die andere halbiert wird. Ein solches Viereck wird manchmal auch schief genannt. Bei einem schrägen Drachenviereck stehen die Diagonalen also nicht zwangsläufig orthogonal zueinander. Das Drachenviereck ist in diesem Sinne ein gerader Drachen. Für das schräge Drachenviereck gilt eine über das Kreuzprodukt verallgemeinerte Formel für den Flächeninhalt.

Ein Viereck ist genau dann ein schiefes Drachenviereck, wenn es sich von einem inneren Punkt aus mit geraden Verbindungen zu den vier Ecken in vier flächengleiche Dreiecke zerlegen lässt.

Parkettierungen mit Drachenvierecken Bearbeiten

Einige besondere Parkettierungen enthalten Drachenvierecke. Bekannt ist vor allem die Penrose-Parkettierung.

Polyeder mit Drachenvierecken Bearbeiten

Einige Polyeder haben Drachenvierecke als Seitenflächen. Die Oberfläche von Deltoidalikositetraeder und Deltoidalhexakontaeder, zweier catalanischer Körper, besteht aus kongruenten Drachenvierecken.

Die Rhomboeder, das Rhombendodekaeder und das Rhombentriakontaeder haben sogar Rauten als Seitenflächen. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Lehrpläne - Vorbereitungslehrgänge für Arbeitslehrerinnen
  2. Martin Josefsson: When is a Tangential Quadrilateral a Kite?, Forum Geometricorum
  3. Drachenvierecke, Mathematik, TU Freiberg
  4. Jürgen Köller: Hierarchie der Vierecke, Mathematische Basteleien
  5. Hans Walser: Viereck-Viertelung

Weblinks Bearbeiten

Commons: Drachenviereck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Drachenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Ein Drachenviereck auch Drachen oder Deltoid 1 ist ein ebenes Viereck bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist Konvexes DrachenviereckKonkaves Drachenviereck oder dessen vier Seiten sich in zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten gruppieren lassen Beide Definitionen sind aquivalent Oft wird nur die konvexe Form des Deltoids als Drachenviereck bezeichnet und die konkave Form als Pfeilviereck oder Windvogelviereck Die Bezeichnung Drachenviereck verweist auf die Form vieler Flugdrachen Ein spezielles Drachenviereck ist die Raute Rhombus Sie ist ein gleichseitiges Deltoid Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Formeln 3 Verallgemeinerungen 4 Parkettierungen mit Drachenvierecken 5 Polyeder mit Drachenvierecken 6 Einzelnachweise 7 WeblinksEigenschaften BearbeitenFur jedes Drachenviereck gilt siehe Abbildung Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander d h das Drachenviereck ist ein orthodiagonales Viereck Die Diagonale A C e displaystyle AC e nbsp die die Symmetrieachse ist halbiert die andere Diagonale B D f displaystyle BD f nbsp und die Innenwinkel in den Eckpunkten A displaystyle A nbsp und C displaystyle C nbsp Sie teilt das Viereck A B C D displaystyle ABCD nbsp in zwei kongruente spiegelsymmetrische Dreiecke Die Diagonale B D f displaystyle BD f nbsp teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke Die einander gegenuber liegenden Winkel in den Eckpunkten B displaystyle B nbsp und D displaystyle D nbsp sind gleich gross Fur jedes konvexe Drachenviereck gilt Es hat einen Inkreis und ist daher ein Tangentenviereck Es ist ein Sehnenviereck wenn die beiden gleichen Winkel in den Eckpunkten B displaystyle B nbsp und D displaystyle D nbsp rechte Winkel sind Das ergibt sich aus der Umkehrung des Satzes des Thales Es besitzt dann einen Umkreis Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Drachenviereck wenn eine der folgenden Bedingungen erfullt ist 2 Zwei benachbarte Seiten sind gleich lang Die Diagonalen sind orthogonal Die Verbindungsstrecken der Tangentialpunkte sind gleich lang Zwei gegenuber liegende Tangentenabschnitte sind gleich lang Der Inkreismittelpunkt liegt auf einer Diagonalen Formeln Bearbeiten nbsp Konvexes und konkaves Drachenviereck mit Inkreis und Pseudoinkreis Fur beide Drachenvierecke gilt die in der Tabelle angegebene Formel fur den Inkreis Mathematische Formeln zum DrachenviereckFlacheninhalt A a b sin b displaystyle A a cdot b cdot sin beta nbsp nbsp nbsp A e f 2 displaystyle A frac e cdot f 2 nbsp Umfang U 2 a 2 b 2 a b displaystyle U 2 cdot a 2 cdot b 2 cdot a b nbsp Seitenlangen a d b c displaystyle a d quad b c nbsp Lange der Diagonalen siehe Kosinussatz Satz des Heron e a 2 b 2 2 a b cos b displaystyle e sqrt a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos beta nbsp f 4 s s a s b s e e displaystyle f frac 4 cdot sqrt s cdot s a cdot s b cdot s e e nbsp mit s a b e 2 displaystyle s frac a b e 2 nbsp f 2 a sin a 2 2 b sin g 2 displaystyle f 2 cdot a cdot sin left frac alpha 2 right 2 cdot b cdot sin left frac gamma 2 right nbsp Inkreisradius r 2 A U e f 2 a b displaystyle r frac 2 cdot A U frac e cdot f 2 cdot a b nbsp Innenwinkel siehe Kosinussatz a arccos 2 a 2 f 2 2 a 2 displaystyle alpha arccos left frac 2 cdot a 2 f 2 2 cdot a 2 right nbsp g arccos 2 b 2 f 2 2 b 2 displaystyle gamma arccos left frac 2 cdot b 2 f 2 2 cdot b 2 right nbsp b d arccos a 2 b 2 e 2 2 a b displaystyle beta delta arccos left frac a 2 b 2 e 2 2 cdot a cdot b right nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEin schrages Drachenviereck ist ein ebenes Viereck in dem eine der Diagonalen durch die andere halbiert wird 3 Ein solches Viereck wird manchmal auch schief genannt 4 Bei einem schragen Drachenviereck stehen die Diagonalen also nicht zwangslaufig orthogonal zueinander Das Drachenviereck ist in diesem Sinne ein gerader Drachen Fur das schrage Drachenviereck gilt eine uber das Kreuzprodukt verallgemeinerte Formel fur den Flacheninhalt Ein Viereck ist genau dann ein schiefes Drachenviereck wenn es sich von einem inneren Punkt aus mit geraden Verbindungen zu den vier Ecken in vier flachengleiche Dreiecke zerlegen lasst 5 Parkettierungen mit Drachenvierecken BearbeitenEinige besondere Parkettierungen enthalten Drachenvierecke Bekannt ist vor allem die Penrose Parkettierung nbsp Eine Penrose Parkettierung nbsp Drachenvierecke mit je zwei rechten Winkeln und je einem von der Symmetrieachse geschnittenen 60 WinkelPolyeder mit Drachenvierecken BearbeitenEinige Polyeder haben Drachenvierecke als Seitenflachen Die Oberflache von Deltoidalikositetraeder und Deltoidalhexakontaeder zweier catalanischer Korper besteht aus kongruenten Drachenvierecken Die Rhomboeder das Rhombendodekaeder und das Rhombentriakontaeder haben sogar Rauten als Seitenflachen Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch d h sie konnen durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden nbsp Rhomboeder nbsp Rhombendodekaeder nbsp Rhombentriakontaeder nbsp Deltoidalikositetraeder nbsp DeltoidalhexakontaederEinzelnachweise Bearbeiten Lehrplane Vorbereitungslehrgange fur Arbeitslehrerinnen Martin Josefsson When is a Tangential Quadrilateral a Kite Forum Geometricorum Drachenvierecke Mathematik TU Freiberg Jurgen Koller Hierarchie der Vierecke Mathematische Basteleien Hans Walser Viereck ViertelungWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Drachenviereck Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Drachenviereck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Drachenviereck amp oldid 234026217