Ein Rhomboeder ist ein Polyeder das von 6 Rauten begrenzt ist Es ist ein Parallelepiped mit gleich langen Kanten und 3 gleichen Innenwinkeln an zwei gegenuber liegenden Ecken Inhaltsverzeichnis 1 Formeln 1 1 Volumen 1 2 Flachenwinkel 1 3 Raumwinkel 2 Raumfullung mit Rhomboedern 3 Anwendungen 3 1 Kunst und Natur 3 2 Kristallographie 3 3 Das Farben Rhomboeder 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseFormeln BearbeitenGrossen eines Rhomboeders mit der Kantenlange a und dem Innenwinkel 8 displaystyle theta nbsp Volumen V a 3 1 cos 8 1 2 cos 8 displaystyle V a 3 cdot 1 cos theta cdot sqrt 1 2 cdot cos theta nbsp nbsp Oberflacheninhalt A 6 a 2 sin 8 displaystyle A 6 cdot a 2 cdot sin theta nbsp Inkugelradius r i h 2 a 1 cos 8 2 sin 8 1 2 cos 8 displaystyle r i frac h 2 a cdot frac 1 cos theta 2 cdot sin theta cdot sqrt 1 2 cdot cos theta nbsp Hohe h a 1 cos 8 sin 8 1 2 cos 8 displaystyle h a cdot frac 1 cos theta sin theta cdot sqrt 1 2 cdot cos theta nbsp Raumdiagonalen 1 d 1 a 3 6 cos 8 displaystyle d 1 a cdot sqrt 3 6 cdot cos theta nbsp d 2 a 3 2 cos 8 displaystyle d 2 a cdot sqrt 3 2 cdot cos theta nbsp Flachendiagonalen e 2 a cos 8 2 displaystyle e 2 cdot a cdot cos left frac theta 2 right nbsp f 2 a sin 8 2 displaystyle f 2 cdot a cdot sin left frac theta 2 right nbsp Verhaltnis von Inkugelvolumen zu Volumen V I K V p 1 3 cos 2 8 2 cos 3 8 6 sin 3 8 displaystyle frac V IK V frac pi cdot 1 3 cdot cos 2 theta 2 cdot cos 3 theta 6 cdot sin 3 theta nbsp Winkel zwischen benachbarten Flachen b 1 180 b 2 W 1 W 2 2 arccos 1 1 1 cos 8 displaystyle beta 1 180 circ beta 2 frac Omega 1 Omega 2 2 arccos left 1 frac 1 1 cos theta right nbsp b 2 180 b 1 W 2 arccos 1 1 cos 8 1 displaystyle beta 2 180 circ beta 1 Omega 2 arccos left frac 1 1 cos theta 1 right nbsp Raumwinkel in den Ecken W 1 4 arctan tan 3 8 4 tan 3 8 4 displaystyle Omega 1 4 cdot arctan left sqrt tan left frac 3 cdot theta 4 right cdot tan 3 left frac theta 4 right right nbsp W 2 4 arctan cot 3 8 4 tan 8 4 displaystyle Omega 2 4 cdot arctan left sqrt cot left frac 3 cdot theta 4 right cdot tan left frac theta 4 right right nbsp Volumen Bearbeiten Das Volumen des Rhomboeders kann mithilfe der Formel fur das Volumen des Parallelepipeds berechnet werden siehe Parallelepiped Volumen Fur das Rhomboeder sind alle Kanten gleich lang und die 3 Innenwinkel zwischen den Kanten gleich also gilt a b c displaystyle a b c nbsp und a b g 8 displaystyle alpha beta gamma theta nbsp Daraus ergibt sich das Volumen V a b c 1 2 cos a cos b cos g cos 2 a cos 2 b cos 2 g a 3 1 3 cos 2 8 2 cos 3 8 a 3 1 cos 8 2 1 2 cos 8 a 3 1 cos 8 1 2 cos 8 displaystyle begin aligned V amp a cdot b cdot c cdot sqrt 1 2 cdot cos alpha cdot cos beta cdot cos gamma cos 2 alpha cos 2 beta cos 2 gamma amp a 3 cdot sqrt 1 3 cdot cos 2 theta 2 cdot cos 3 theta amp a 3 cdot sqrt 1 cos theta 2 cdot 1 2 cdot cos theta amp a 3 cdot 1 cos theta cdot sqrt 1 2 cdot cos theta end aligned nbsp Flachenwinkel Bearbeiten Fur zwei gegenuber liegenden Ecken des Rhomboeders sind die 3 anliegenden Innenwinkel der rautenformigen Seitenflachen gleich Eine solche Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders dann gilt nach dem Kosinussatz fur Kugeldreiecke die Gleichung cos 8 cos 8 cos 8 sin 8 sin 8 cos b 1 displaystyle cos theta cos theta cdot cos theta sin theta cdot sin theta cdot cos beta 1 nbsp Dabei sind 8 displaystyle theta nbsp die Innenwinkel und b 1 displaystyle beta 1 nbsp die Flachenwinkel zwischen diesen Seitenflachen Daraus folgt b 1 arccos cos 8 cos 2 8 sin 2 8 arccos cos 8 1 cos 8 1 cos 2 8 arccos 1 1 1 cos 8 displaystyle beta 1 arccos left frac cos theta cos 2 theta sin 2 theta right arccos left frac cos theta cdot 1 cos theta 1 cos 2 theta right arccos left 1 frac 1 1 cos theta right nbsp Fur die sechs anderen Ecken des Rhomboeders sind die anliegenden Innenwinkel gleich 8 displaystyle theta nbsp 180 8 displaystyle 180 circ theta nbsp und 180 8 displaystyle 180 circ theta nbsp Betrachtet man die Umkugel des entsprechenden Tetraeders dann gilt nach dem Kosinussatz fur Kugeldreiecke die Gleichung cos 180 8 cos 8 cos 180 8 sin 8 sin 180 8 cos b 2 displaystyle cos 180 circ theta cos theta cdot cos 180 circ theta sin theta cdot sin 180 circ theta cdot cos beta 2 nbsp Dabei sind b 2 displaystyle beta 2 nbsp die Flachenwinkel zwischen den Seitenflachen mit den Innenwinkeln 8 displaystyle theta nbsp und 180 8 displaystyle 180 circ theta nbsp Daraus folgt b 2 arccos cos 8 cos 8 cos 180 8 sin 8 sin 180 8 arccos cos 8 cos 8 1 1 cos 2 8 arccos 1 1 cos 8 1 displaystyle beta 2 arccos left frac cos theta cos theta cdot cos 180 circ theta sin theta cdot sin 180 circ theta right arccos left frac cos theta cdot cos theta 1 1 cos 2 theta right arccos left frac 1 1 cos theta 1 right nbsp Wegen cos b 1 cos b 2 displaystyle cos beta 1 cos beta 2 nbsp gilt b 1 b 2 180 displaystyle beta 1 beta 2 180 circ nbsp 2 3 Raumwinkel Bearbeiten Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L Huilier berechnet werden 4 Fur die zwei gegenuber liegenden Ecken des Rhomboeders mit den 3 gleichen Innenwinkeln 8 displaystyle theta nbsp ergibt sich der Raumwinkel W 1 4 arctan tan 8 s 2 tan 8 s 8 2 tan 8 s 8 2 tan 8 s 8 2 4 arctan tan 3 8 4 tan 3 8 4 displaystyle begin aligned Omega 1 amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac theta s 2 right cdot tan left frac theta s theta 2 right cdot tan left frac theta s theta 2 right cdot tan left frac theta s theta 2 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac 3 cdot theta 4 right cdot tan 3 left frac theta 4 right right end aligned nbsp weil in diesem Fall 8 s 8 8 8 2 3 8 2 displaystyle theta s frac theta theta theta 2 frac 3 cdot theta 2 nbsp ist Fur die sechs anderen Ecken mit den anliegenden Innenwinkeln 8 displaystyle theta nbsp 180 8 displaystyle 180 circ theta nbsp und 180 8 displaystyle 180 circ theta nbsp ergibt sich der Raumwinkel W 2 4 arctan tan 8 s 2 tan 8 s 8 2 tan 8 s 180 8 2 tan 8 s 180 8 2 4 arctan tan 90 8 4 tan 90 3 8 4 tan 2 8 4 4 arctan cot 3 8 4 tan 8 4 displaystyle begin aligned Omega 2 amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac theta s 2 right cdot tan left frac theta s theta 2 right cdot tan left frac theta s 180 circ theta 2 right cdot tan left frac theta s 180 circ theta 2 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan left 90 circ frac theta 4 right cdot tan left 90 circ frac 3 cdot theta 4 right cdot tan 2 left frac theta 4 right right amp 4 cdot arctan left sqrt cot left frac 3 cdot theta 4 right cdot tan left frac theta 4 right right end aligned nbsp wobei in diesem Fall 8 s 8 180 8 180 8 2 180 8 2 displaystyle theta s frac theta 180 circ theta 180 circ theta 2 180 circ frac theta 2 nbsp ist Raumfullung mit Rhomboedern BearbeitenDer dreidimensionale euklidische Raum kann luckenlos mit kongruenten Rhomboedern ausgefullt werden Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfullung genannt Diese Raumfullung aus Rhomboedern bildet ein Gitter Es entspricht dem trigonalen Kristallsystem in der Kristallographie Dieses Gitter enthalt parallele Ebenen Deshalb ergeben die Flachenwinkel b 1 displaystyle beta 1 nbsp und b 2 displaystyle beta 2 nbsp zusammen 180 Die im Gitter benachbarten Raumwinkel W 1 displaystyle Omega 1 nbsp und W 2 displaystyle Omega 2 nbsp entsprechen zusammen dem Flachenwinkel b 1 displaystyle beta 1 nbsp Der volle Flachenwinkel betragt 2 p displaystyle 2 cdot pi nbsp und der volle Raumwinkel betragt 4 p s r displaystyle 4 cdot pi mathrm sr nbsp Daher gilt b 1 W 1 W 2 2 displaystyle beta 1 frac Omega 1 Omega 2 2 nbsp Ausserdem sind im Gitter 2 gleiche Raumwinkel W 2 displaystyle Omega 2 nbsp benachbart und entsprechen zusammen dem Flachenwinkel b 2 displaystyle beta 2 nbsp Daher gilt b 2 W 2 displaystyle beta 2 Omega 2 nbsp Anwendungen Bearbeiten nbsp Langliche und abgeflachte Rhomboeder nbsp Melencolia I Kupferstich 1514 Kunst und Natur Bearbeiten Albrecht Durer stellt in seiner teils mathematisch inspirierten Grafik Melencolia I ein speziell beschnittenes Rhomboeder dar das durch diese Modifikation mit all seinen Eckpunkten auf einer Kugelflache liegen wurde Maurits Cornelis Escher nutzte bei seinen unmoglichen Figuren bei Vorbetrachtungen und Strukturentwicklung auch verschiedene Rhomboeder Kristallographie Bearbeiten Das Rhomboeder findet sich in der Natur als Kristallform und auf atomarer Ebene in Kristallstrukturen wieder Es ist die allgemeine Flachenform der rhomboedrischen Kristallklasse 3 eine Grenzform der trigonal trapezoedrischen 32 und eine spezielle Form der ditrigonal skalenoedrischen Kristallklasse 3 m Ausserdem ist es die Grundform des rhomboedrischen Bravais Gitters Das Rhomboeder als Kristallform gibt es nur im trigonalen Kristallsystem Zum Beispiel kristallisieren die Mineralien Amethyst Hamatit Calcit und Dolomit im trigonalen Kristallsystem nbsp Dolomit weiss nbsp Calcit 5 nbsp Calcit Kristall 6 nbsp Gelber Calcit 7 nbsp Rhomboedrische Kristalle 8 Das Farben Rhomboeder Bearbeiten Das Farben Rhomboeder erfullt nach Harald Kuppers die geometrische Losung fur seine Farbenlehre Jeder Punkt innerhalb des geometrischen Korpers entspricht einer Farbvalenz Das heisst jeder dieser Farbpunkte ist durch seine drei Vektoren Potentiale definiert 9 Durch Stauchung und Verzerrung lasst sich das Farben Rhomboeder in einen RGB oder einen CYM Farbraum umwandeln naturgemass mit anderen Verhaltnissen zwischen den Farbwerten Ein Rhomboeder bei dem die kurze Diagonale der Aussenflachen so lang wie die Kante des Rhomboeders ist stellt ein symmetrisches Parallelepiped dar Es stehen jeweils zwei Aussenflachen einander parallel gegenuber Jede rautenformige Aussenflache besteht aus zwei gleichseitigen Dreiecken Zerschneidet man ein Rhomboeder entlang der kurzen Diagonalen der Aussenflachen ergeben sich drei Teile zwei Tetraeder und ein Oktaeder Diese drei geometrischen Korper sind wiederum vollig symmetrisch Samtliche Aussenflachen dieser drei neuen geometrischen Korper sind gleichseitige Dreiecke Kuppers Farbrhomboeder nbsp Farbkorper nach Harald Kuppers nbsp Anmerkenswerte Schnitte nbsp Achsen Diagonalen und Kanten 10 Siehe auch BearbeitenQuader ParallelepipedWeblinks BearbeitenBlauer Calcit Rhomboeder Rhombenkorper Eric W Weisstein Rhomboeder In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Stack Exchange Formula for length of the diagonal of a parallelepiped Stack Exchange Dihedral angles between tetrahedron faces from triangles angles at the tip G Richardson The Trigonometry of the Tetrahedron In The Mathematical Gazette 2 Jahrgang Nr 32 1 Marz 1902 S 149 158 doi 10 2307 3603090 zenodo org Wolfram MathWorld Spherical Excess aus Augsburg Naturmuseum gefunden Goslerwand Osttirol Museo civico di storia naturale a Milano Fundort Kasachstan Fundort China rhombeoedrischer gelber transparenter Kristall Calcite jaune Illustration aus Encyclopaedia Britannica 1911 article CALCITE Kuppers Farbenlehre Memento vom 26 Januar 2012 im Internet Archive W weiss S schwarz N Neutralgrau B M R Y G C sechs Buntfarben blau magenta rot gelb grun cyan Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rhomboeder amp oldid 237958496
