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Quader Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Begriffsklärung aufgeführt Ein ist ein ge

Quader

Ein Quader ist ein geometrischer Körper, der von 6 Rechtecken begrenzt wird.

Quader mit Raumdiagonale d
Auseinander geklapptes Netz eines Quaders

Ein Quader besitzt

Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind parallel und kongruent (deckungsgleich). Der Quader ist ein rechtwinkliges dreidimensionales Parallelepiped.

Im Sonderfall gleicher Kantenlängen , bei dem alle Flächen des Quaders Quadrate sind, ergibt sich ein Würfel. Im Fall, dass genau zwei Kantenlängen gleich sind, zum Beispiel , ergibt sich ein quadratisches gerades Prisma, man spricht gelegentlich von einer quadratischen Platte () bzw. einer quadratischen Säule ().

Symmetrie Bearbeiten

Quader haben abhängig von der Anzahl gleicher Kantenlängen mehrere Symmetrieeigenschaften.

Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen haben

Quader mit zwei verschiedenen Kantenlängen (quadratische gerade Prismen) haben

Quader mit nur einer Kantenlänge, die Würfel, haben mehr Symmetrien (siehe Würfel - Symmetrie).

Jeder Quader ist

Formeln Bearbeiten

Größen eines Quaders mit den Kantenlängen a, b, c
Volumen
Mantelfläche
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
Raumdiagonale
Flächendiagonalen
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen
Raumwinkel in den Ecken

Optimierungsprobleme und der Würfel Bearbeiten

Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme für Quader. Sucht man einen Quader, der bei

  • gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Umkugelvolumen den maximalen Oberflächeninhalt
  • gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Umkugelvolumen das maximale Volumen
  • gegebenem Oberflächeninhalt die minimale Länge der Diagonale oder das minimale Umkugelvolumen
  • gegebenem Oberflächeninhalt das maximale Volumen
  • gegebenem Volumen die minimale Länge der Diagonale oder das minimale Umkugelvolumen
  • gegebenem Volumen den minimalen Oberflächeninhalt

hat, dann ergibt sich als Lösung jeweils der Würfel.

Jeweils zwei der sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist der Würfel der gesuchte Quader. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die Länge der Diagonale und das Umkugelvolumen jeweils dieselbe Lösung haben, ist offensichtlich, weil das Umkugelvolumen eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen ist.

Ist zum Beispiel bei gegebenem Umkugelradius der Quader mit dem größten Volumen gesucht, dann lassen sich die Kantenlängen , , des Quaders mithilfe der partiellen Ableitungen der Volumenfunktion berechnen oder mit Beweis durch Widerspruch:

Angenommen, ein beliebiger Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlängen, zum Beispiel und , hätte das größte Volumen. Sein Umkugelradius ist und sein Volumen . Dann hat ein anderer Quader, nämlich der Quader mit den Kantenlängen , und den gleichen Umkugelradius und das Volumen . Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel , wegen und gilt und .

Also hat der beliebiger Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlängen Quader ein kleineres Volumen als der andere Quader. Daraus folgt, dass ein Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlängen nicht das größte Volumen haben kann und schließlich, dass der Quader mit nur einer Kantenlänge, also der Würfel mit 12 gleich langen Kanten, das größte Volumen aller Quader mit gegebenem Umkugelradius hat.

Entscheidend für diesen Beweis durch Widerspruch ist hier, dass das Volumen der Quader endlich sein muss, denn es ist offensichtlich kleiner als das Volumen der Umkugel, und dass die Volumenfunktion stetig ist.

Netze von Quadern Bearbeiten

Allgemeine Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen haben 54 Netze, welche nicht durch Kongruenzabbildungen aufeinander abbildbar sind. Diese sind verallgemeinerte Hexominos, die nicht aus Quadraten, sondern aus Rechtecken bestehen. Das heißt, es gibt 54 Möglichkeiten, einen hohlen Quader durch Aufschneiden von 7 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 5 Kanten verbinden jeweils die 6 Rechtecke des Netzes.

Quader mit zwei verschiedenen Kantenlängen, nämlich quadratische gerade Prismen, haben 30 Netze. Quader mit nur einer Kantenlänge, nämlich Würfel mit 12 gleich langen Kanten, haben 11 Netze.

Um einen Quader so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Die Verallgemeinerungen der Quader in beliebiger Dimension werden als -dimensionale Quader oder Hyperrechtecke oder Hyperquader bezeichnet. Der -dimensionale Quader hat begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

Quadergitter Bearbeiten

Ein endlicher Teil eines Quadergitters. Die Ebenen verlaufen jeweils parallel zueinander.

Das Quadergitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

geschrieben werden, wobei die positiven reellen Zahlen , , die Abstände zwischen benachbarten Punkten sind. Das Quadergitter entsteht durch 3 Parallelstreckungen (siehe Affine Abbildung) aus dem Würfelgitter.

Dieses Würfelgitter ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch und punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren mit bestimmten Längen, die parallel zu den 3 Koordinatenachsen verlaufen, nämlich die unendlich vielen Vektoren , , , wobei , , ganze Zahlen sind und , , die 3 Einheitsvektoren im dreidimensionalen eudklidischen Vektorraum.

Werden unendlich viele parallele Ebenen, die jeweils den Abstand , bzw. haben, orthogonal zu den 3 Koordinatenachsen durch dieses Punktgitter gelegt, dann entsteht ein Flächengitter (siehe Abbildung), das quaderförmige Hohlräume enthält. Diese Ebenen können formal als die Menge

geschrieben werden.

Wird zusätzlich der dreidimensionale Raum vollständig ausgefüllt, dann entsteht eine dreidimensionale Parkettierung (Raumfüllung) aus kongruenten Quadern.

Wird ein geometrischer Körper im dreidimensionalen Raum in einem Würfelgitter platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert, sodass ein Quadergitter entsteht, dann entstehen abhängig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Körper andere geometrische Körper:

Euler-Ziegel Bearbeiten

Euler-Ziegel mit Kanten a,c,b und Flächendiagonalen d,e,f
Die fünf primitiven Euler-Ziegel mit Kantenlängen unter 1000

Ein Euler-Ziegel ist ein Quader, bei dem die Längen der Kanten und Flächendiagonalen ganzzahlige Werte haben. Er ist nach Leonhard Euler benannt. Er wird von 3 Dreiecken aufgespannt, deren Kantenlängen pythagoreische Tripel sind, und deren rechte Winkel an einer Ecke zusammenstoßen.

Ein Euler-Ziegel ist primitiv, wenn die drei Kantenlängen keinen gemeinsamen Teiler haben. Die geometrische Definition des Euler-Ziegels ist äquivalent zu einer Lösung des folgenden Systems von diophantischen Gleichungen:

wobei a, b, c die Kanten und d, e, f die Flächendiagonalen sind.

Ein Euler-Ziegel heißt perfekt, wenn zusätzlich auch die Raumdiagonale eine ganzzahlige Länge hat, das heißt, wenn zusätzlich gilt:

wobei g die Raumdiagonale ist.

Perfekte Euler-Ziegel sind ein ungelöstes Problem der Mathematik. Es wurde bisher noch kein Beispiel für einen perfekten Euler-Ziegel gefunden, und es wurde auch nicht bewiesen, dass keiner existiert. Mithilfe vom Computern konnte gezeigt werden, dass bei einem perfekten Euler-Ziegel eine der Kanten größer als 3 · 1012 sein müsste.

Ganzzahlige Raumdiagonalen Bearbeiten

Es gibt Quader, bei denen sowohl die Seitenlängen a, b und c, als auch die Raumdiagonale g ganzzahlig sind. Diese Längen bilden dann ein pythagoreisches Quadrupel.

Anwendungsbeispiele Bearbeiten

Domino Bearbeiten

Domino ist ein Legespiel mit Spielsteinen und enthält jede Kombination aus 2 Augenzahlen von 0 bis 6 genau einmal, wobei auch Steine mit gleichen Augenzahlen vorkommen. Dabei wird die Reihenfolge der Augenzahlen nicht unterschieden. Die Abmessungen und die mittlere Dichte der quaderförmigen Steine sind

  • Länge: 9 Zentimeter
  • Breite: 4,5 Zentimeter
  • Höhe: 1 Zentimeter
  • Mittlere Dichte: 670 kg/m³

Es sind also 7 Steine mit 2 gleichen Augenzahlen, Steine mit 2 verschiedenen Augenzahlen und insgesamt 7 + 21 = 28 Steine. Daraus ergeben sich mithilfe der oben genannten Formeln das Volumen, der Oberflächeninhalt und die Masse der Dominosteine:

  • Volumen von einem Stein:
  • Gesamtvolumen:
  • Oberflächeninhalt von einem Stein:
  • Gesamter Oberflächeninhalt:
  • Masse von einem Stein:
  • Gesamtmasse:

Lift Bearbeiten

Die offene Kabine eines Lifts ist 1,40 Meter breit, 2,00 Meter lang und 2,20 Meter hoch. Die Luft in der Kabine hat die Temperatur −10 Grad Celsius und die Dichte 1,3413 kg/m³. Durch Heizwärme erwärmt sich die Luft auf 20 Grad Celsius und die Dichte sinkt auf 1,2041 kg/m³. Der Luftdruck vorher und nachher beträgt 101325 Pascal (siehe Standardbedingungen). Aus diesen Angaben kann man die Masse der Luft in der Kabine des Lifts bei −10 Grad Celsius, bei 20 Grad Celsius und den Anteil der aus der Kabine des Lifts entweichten Luft berechnen:

  • Masse der Luft bei −10 °C:
  • Masse der Luft bei 20 °C:
  • Anteil der entweichten Luft:

Es entweicht also etwa 10,2 Prozent der Luft.

Schwimmbecken Bearbeiten

Ein Schwimmbecken ist 25 Meter breit, 50 Meter lang, 2,5 Meter tief und zu 96 Prozent gefüllt. Das Wasser im Schwimmbecken hat die Temperatur 0 Grad Celsius und hat die Dichte 1,000 kg/m³. Durch Sonneneinstrahlung erwärmt sich das Wasser auf 40 Grad Celsius und 60 Prozent des Wassers verdunstet. Gleichzeitig sinkt die Dichte auf 0,996 kg/m³. Stillschweigend können wir annehmen, dass der Boden des quaderförmigen Schwimmbeckens orthogonal zum Erdmittelpunkt ist, also überall fast dieselbe Höhe über dem Meeresspiegel hat, und dass der Wasserstand des Schwimmbeckens überall gleich hoch ist.

Daraus ergeben sich:

  • Wasserstand (vorher):
  • Volumen des Wassers (vorher):
  • Masse des Wassers (vorher):
  • Masse des Wassers (nachher):
  • Volumen des Wassers (nachher):
  • Wasserstand (nachher):

Der Wasserstand des Schwimmbeckens sinkt also von 2,5 Meter auf 0,964 Meter.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Quader – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Commons: Quader – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Slader Customer Relations: Find the maximum volume of a rectangular box that is inscribed in a sphere of radius r
  2. Stefan Howald: Alle Quadernetze. In: Mathematik Bezirksschule Brugg. Abgerufen am 13. August 2022.
  3. Wolfram Demonstrations Project: All 11 Folding Nets of the Cube
  4. Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
  5. Eric W. Weisstein: Euler Brick. In: MathWorld (englisch).
  6. Bill Durango: The “Integer Brick” Problem.
  7. Eric W. Weisstein: Perfect Cuboid. In: MathWorld (englisch).
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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Quader Begriffsklarung aufgefuhrt Ein Quader ist ein geometrischer Korper der von 6 Rechtecken begrenzt wird Quader mit Raumdiagonale dAuseinander geklapptes Netz eines QuadersEin Quader besitzt 6 rechteckige Seitenflachen die im rechten Winkel aufeinander stehen 8 rechtwinklige Ecken und 12 Kanten von denen jeweils vier gleiche Langen besitzen und zueinander parallel sind Gegenuberliegende Flachen eines Quaders sind parallel und kongruent deckungsgleich Der Quader ist ein rechtwinkliges dreidimensionales Parallelepiped Im Sonderfall gleicher Kantenlangen a b c displaystyle a b c bei dem alle Flachen des Quaders Quadrate sind ergibt sich ein Wurfel Im Fall dass genau zwei Kantenlangen gleich sind zum Beispiel a b c displaystyle a b neq c ergibt sich ein quadratisches gerades Prisma man spricht gelegentlich von einer quadratischen Platte a b gt c displaystyle a b gt c bzw einer quadratischen Saule a b lt c displaystyle a b lt c Inhaltsverzeichnis 1 Symmetrie 2 Formeln 2 1 Optimierungsprobleme und der Wurfel 3 Netze von Quadern 4 Verallgemeinerung 5 Quadergitter 6 Euler Ziegel 7 Ganzzahlige Raumdiagonalen 8 Anwendungsbeispiele 8 1 Domino 8 2 Lift 8 3 Schwimmbecken 9 Siehe auch 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseSymmetrie BearbeitenQuader haben abhangig von der Anzahl gleicher Kantenlangen mehrere Symmetrieeigenschaften Quader mit drei verschiedenen Kantenlangen haben 3 zweizahlige Drehachsen durch die Mittelpunkte zweier gegenuberliegender Flachen 3 Spiegelebenen 3 Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte 3 Drehspiegelungen um 180 mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte Quader mit zwei verschiedenen Kantenlangen quadratische gerade Prismen haben 1 vierzahlige Drehachse durch die Mittelpunkte zweier gegenuberliegender Quadrate 2 zweizahlige Drehachsen durch die Mittelpunkte zweier gegenuberliegender Rechtecke 3 Drehspiegelungen um 180 mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte Quader mit nur einer Kantenlange die Wurfel haben mehr Symmetrien siehe Wurfel Symmetrie Jeder Quader ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M Formeln BearbeitenGrossen eines Quaders mit den Kantenlangen a b cVolumen V a b c displaystyle V a cdot b cdot c nbsp nbsp Mantelflache A M 2 a b c displaystyle A M 2 cdot a b cdot c nbsp Oberflacheninhalt A O 2 a b a c b c displaystyle A O 2 cdot a cdot b a cdot c b cdot c nbsp Umkugelradius r u d 2 1 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle r u tfrac d 2 tfrac 1 2 cdot sqrt a 2 b 2 c 2 nbsp Raumdiagonale d 2 r u a 2 b 2 c 2 displaystyle d 2 cdot r u sqrt a 2 b 2 c 2 nbsp Flachendiagonalen d a b 2 c 2 displaystyle d a sqrt b 2 c 2 nbsp d b c 2 a 2 displaystyle d b sqrt c 2 a 2 nbsp d c a 2 b 2 displaystyle d c sqrt a 2 b 2 nbsp Verhaltnis von Volumen zu Umkugelvolumen V V U K 6 a b c p a 2 b 2 c 2 3 2 displaystyle frac V V UK frac 6 cdot a cdot b cdot c pi cdot a 2 b 2 c 2 frac 3 2 nbsp Raumwinkel in den Ecken W p 2 s r 1 570 8 s r displaystyle Omega frac pi 2 mathrm sr approx 1 5708 mathrm sr nbsp Optimierungsprobleme und der Wurfel Bearbeiten Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme fur Quader Sucht man einen Quader der bei gegebener Lange der Diagonale oder gegebenem Umkugelvolumen den maximalen Oberflacheninhalt gegebener Lange der Diagonale oder gegebenem Umkugelvolumen das maximale Volumen gegebenem Oberflacheninhalt die minimale Lange der Diagonale oder das minimale Umkugelvolumen gegebenem Oberflacheninhalt das maximale Volumen gegebenem Volumen die minimale Lange der Diagonale oder das minimale Umkugelvolumen gegebenem Volumen den minimalen Oberflacheninhalthat dann ergibt sich als Losung jeweils der Wurfel Jeweils zwei der sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Grossen sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind Fur die genannten Optimierungsprobleme ist der Wurfel der gesuchte Quader Das gilt selbstverstandlich nicht fur alle Optimierungsprobleme Dass die Optimierungsprobleme fur die Lange der Diagonale d displaystyle d nbsp und das Umkugelvolumen V U K displaystyle V UK nbsp jeweils dieselbe Losung haben ist offensichtlich weil das Umkugelvolumen V U K 4 3 p r u 3 1 6 p d 3 displaystyle V UK frac 4 3 cdot pi cdot r u 3 frac 1 6 cdot pi cdot d 3 nbsp eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen d displaystyle d nbsp ist Ist zum Beispiel bei gegebenem Umkugelradius der Quader mit dem grossten Volumen gesucht dann lassen sich die Kantenlangen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp des Quaders mithilfe der partiellen Ableitungen der Volumenfunktion V a b a b c a b d 2 a 2 b 2 a b 4 r u 2 a 2 b 2 displaystyle V a b a cdot b cdot c a cdot b cdot sqrt d 2 a 2 b 2 a cdot b cdot sqrt 4 cdot r u 2 a 2 b 2 nbsp berechnen oder mit Beweis durch Widerspruch Angenommen ein beliebiger Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlangen zum Beispiel a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp hatte das grosste Volumen Sein Umkugelradius ist 1 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle frac 1 2 cdot sqrt a 2 b 2 c 2 nbsp und sein Volumen a b c displaystyle a cdot b cdot c nbsp Dann hat ein anderer Quader namlich der Quader mit den Kantenlangen 1 2 2 a 2 2 b 2 displaystyle frac 1 2 cdot sqrt 2 cdot a 2 2 cdot b 2 nbsp 1 2 2 a 2 2 b 2 displaystyle frac 1 2 cdot sqrt 2 cdot a 2 2 cdot b 2 nbsp und c displaystyle c nbsp den gleichen Umkugelradius 1 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle frac 1 2 cdot sqrt a 2 b 2 c 2 nbsp und das Volumen a 2 b 2 2 c displaystyle frac a 2 b 2 2 cdot c nbsp Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel a b a b 2 displaystyle sqrt a cdot b leq frac a b 2 nbsp wegen a b displaystyle a neq b nbsp und c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp gilt a b lt a 2 b 2 2 displaystyle a cdot b lt frac a 2 b 2 2 nbsp und a b c lt a 2 b 2 2 c displaystyle a cdot b cdot c lt frac a 2 b 2 2 cdot c nbsp Also hat der beliebiger Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlangen Quader ein kleineres Volumen als der andere Quader Daraus folgt dass ein Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kantenlangen nicht das grosste Volumen haben kann und schliesslich dass der Quader mit nur einer Kantenlange also der Wurfel mit 12 gleich langen Kanten das grosste Volumen aller Quader mit gegebenem Umkugelradius hat Entscheidend fur diesen Beweis durch Widerspruch ist hier dass das Volumen der Quader endlich sein muss denn es ist offensichtlich kleiner als das Volumen der Umkugel und dass die Volumenfunktion stetig ist 1 Netze von Quadern BearbeitenAllgemeine Quader mit drei verschiedenen Kantenlangen haben 54 Netze welche nicht durch Kongruenzabbildungen aufeinander abbildbar sind 2 Diese sind verallgemeinerte Hexominos die nicht aus Quadraten sondern aus Rechtecken bestehen Das heisst es gibt 54 Moglichkeiten einen hohlen Quader durch Aufschneiden von 7 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten Die anderen 5 Kanten verbinden jeweils die 6 Rechtecke des Netzes Quader mit zwei verschiedenen Kantenlangen namlich quadratische gerade Prismen haben 30 Netze Quader mit nur einer Kantenlange namlich Wurfel mit 12 gleich langen Kanten haben 11 Netze 3 Um einen Quader so zu farben dass keine benachbarten Flachen dieselbe Farbe haben braucht man mindestens 3 Farben Verallgemeinerung BearbeitenDie Verallgemeinerungen der Quader in beliebiger Dimension n displaystyle n nbsp werden als n displaystyle n nbsp dimensionale Quader oder Hyperrechtecke oder Hyperquader bezeichnet Der n displaystyle n nbsp dimensionale Quader hat 2 n k n k displaystyle 2 n k cdot tbinom n k nbsp begrenzende Seiten der Dimension k Spezialfalle Der nulldimensionale Quader Punkt hat 1 Ecke Der eindimensionale Quader Strecke hat 2 Ecken Der zweidimensionale Quader Rechteck hat 4 Ecken und 4 Kanten Der vierdimensionale Quader hat 16 Ecken 32 Kanten 24 Rechtecke als Seitenflachen und 8 dreidimensionale Quader als Facetten Der n displaystyle n nbsp dimensionale Quader hat 2 n displaystyle 2 n nbsp Ecken k 0 displaystyle k 0 nbsp n 2 n 1 displaystyle n cdot 2 n 1 nbsp Kanten k 1 displaystyle k 1 nbsp n n 1 2 n 3 displaystyle n cdot n 1 cdot 2 n 3 nbsp Rechtecke als Flachen k 2 displaystyle k 2 nbsp 1 3 n n 1 n 2 2 n 4 displaystyle tfrac 1 3 cdot n cdot n 1 cdot n 2 cdot 2 n 4 nbsp Quader als Volumen k 3 displaystyle k 3 nbsp 2 n displaystyle 2 cdot n nbsp Quader der Dimension n 1 displaystyle n 1 nbsp als Facetten k n 1 displaystyle k n 1 nbsp Quadergitter Bearbeiten nbsp Ein endlicher Teil eines Quadergitters Die Ebenen verlaufen jeweils parallel zueinander Das Quadergitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum Diese Punktmenge kann formal als die Menge a x 1 b x 2 c x 3 R 3 a b c gt 0 x 1 Z x 2 Z x 3 Z displaystyle left a cdot x 1 b cdot x 2 c cdot x 3 in mathbb R 3 mid a b c gt 0 land x 1 in mathbb Z land x 2 in mathbb Z land x 3 in mathbb Z right nbsp geschrieben werden wobei die positiven reellen Zahlen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp die Abstande zwischen benachbarten Punkten sind Das Quadergitter entsteht durch 3 Parallelstreckungen siehe Affine Abbildung aus dem Wurfelgitter 4 Dieses Wurfelgitter ist achsensymmetrisch drehsymmetrisch und punktsymmetrisch Ausserdem ist es translationsymmetrisch fur alle Vektoren mit bestimmten Langen die parallel zu den 3 Koordinatenachsen verlaufen namlich die unendlich vielen Vektoren a a 1 e 1 displaystyle a cdot a 1 cdot vec e 1 nbsp b a 2 e 2 displaystyle b cdot a 2 cdot vec e 2 nbsp c a 3 e 3 displaystyle c cdot a 3 cdot vec e 3 nbsp wobei a 1 displaystyle a 1 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 3 displaystyle a 3 nbsp ganze Zahlen sind und e 1 displaystyle e 1 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp e 3 displaystyle e 3 nbsp die 3 Einheitsvektoren im dreidimensionalen eudklidischen Vektorraum Werden unendlich viele parallele Ebenen die jeweils den Abstand a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp bzw c displaystyle c nbsp haben orthogonal zu den 3 Koordinatenachsen durch dieses Punktgitter gelegt dann entsteht ein Flachengitter siehe Abbildung das quaderformige Hohlraume enthalt Diese Ebenen konnen formal als die Menge a x 1 b x 2 c x 3 R 3 a b c gt 0 x 1 Z x 2 Z x 3 Z displaystyle left a cdot x 1 b cdot x 2 c cdot x 3 in mathbb R 3 mid a b c gt 0 land x 1 in mathbb Z lor x 2 in mathbb Z lor x 3 in mathbb Z right nbsp geschrieben werden Wird zusatzlich der dreidimensionale Raum vollstandig ausgefullt dann entsteht eine dreidimensionale Parkettierung Raumfullung aus kongruenten Quadern Wird ein geometrischer Korper im dreidimensionalen Raum in einem Wurfelgitter platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert sodass ein Quadergitter entsteht dann entstehen abhangig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Korper andere geometrische Korper Parallelstreckungen von geometrischen KorpernKorper im Wurfelgitter Korper im Quadergitterbei orthogonaler Ausrichtung bei beliebiger AusrichtungWurfel Quader Parallelepipedquadratisches gerades Prisma Quader ParallelepipedQuader Quader ParallelepipedRhomboeder ParallelepipedParallelepiped Parallelepipedregelmassiges Tetraeder Tetraederquadratische Pyramide rechteckige gerade Pyramide parallele Viereckspyramidegerader Kreiskegel elliptischer gerader Kegel elliptischer Kegelgerader Kreiszylinder elliptischer gerader Zylinder elliptischer ZylinderKugel EllipsoidEuler Ziegel Bearbeiten nbsp Euler Ziegel mit Kanten a c b und Flachendiagonalen d e f nbsp Die funf primitiven Euler Ziegel mit Kantenlangen unter 1000Ein Euler Ziegel ist ein Quader bei dem die Langen der Kanten und Flachendiagonalen ganzzahlige Werte haben Er ist nach Leonhard Euler benannt Er wird von 3 Dreiecken aufgespannt deren Kantenlangen pythagoreische Tripel sind und deren rechte Winkel an einer Ecke zusammenstossen Ein Euler Ziegel ist primitiv wenn die drei Kantenlangen keinen gemeinsamen Teiler haben Die geometrische Definition des Euler Ziegels ist aquivalent zu einer Losung des folgenden Systems von diophantischen Gleichungen a 2 b 2 d 2 a 2 c 2 e 2 b 2 c 2 f 2 displaystyle begin aligned a 2 b 2 d 2 a 2 c 2 e 2 b 2 c 2 f 2 end aligned nbsp wobei a b c die Kanten und d e f die Flachendiagonalen sind 5 Ein Euler Ziegel heisst perfekt wenn zusatzlich auch die Raumdiagonale eine ganzzahlige Lange hat das heisst wenn zusatzlich gilt a 2 b 2 c 2 g 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 g 2 nbsp wobei g die Raumdiagonale ist Perfekte Euler Ziegel sind ein ungelostes Problem der Mathematik Es wurde bisher noch kein Beispiel fur einen perfekten Euler Ziegel gefunden und es wurde auch nicht bewiesen dass keiner existiert Mithilfe vom Computern konnte gezeigt werden dass bei einem perfekten Euler Ziegel eine der Kanten grosser als 3 1012 sein musste 6 7 Ganzzahlige Raumdiagonalen BearbeitenEs gibt Quader bei denen sowohl die Seitenlangen a b und c als auch die Raumdiagonale g ganzzahlig sind Diese Langen bilden dann ein pythagoreisches Quadrupel Anwendungsbeispiele BearbeitenDomino Bearbeiten Domino ist ein Legespiel mit Spielsteinen und enthalt jede Kombination aus 2 Augenzahlen von 0 bis 6 genau einmal wobei auch Steine mit gleichen Augenzahlen vorkommen Dabei wird die Reihenfolge der Augenzahlen nicht unterschieden Die Abmessungen und die mittlere Dichte der quaderformigen Steine sind Lange 9 Zentimeter Breite 4 5 Zentimeter Hohe 1 Zentimeter Mittlere Dichte 670 kg m Es sind also 7 Steine mit 2 gleichen Augenzahlen 7 2 7 6 2 21 displaystyle tbinom 7 2 tfrac 7 cdot 6 2 21 nbsp Steine mit 2 verschiedenen Augenzahlen und insgesamt 7 21 28 Steine Daraus ergeben sich mithilfe der oben genannten Formeln das Volumen der Oberflacheninhalt und die Masse der Dominosteine Volumen von einem Stein V a b c 9 c m 4 5 c m 1 c m 40 5 c m 3 4 05 10 4 m m 3 4 05 10 5 m 3 displaystyle V a cdot b cdot c 9 mathrm cm cdot 4 5 mathrm cm cdot 1 mathrm cm 40 5 mathrm cm 3 4 05 cdot 10 4 mathrm mm 3 4 05 cdot 10 5 mathrm m 3 nbsp Gesamtvolumen V gesamt 28 V 28 40 5 c m 3 1134 c m 3 1 134 10 6 m m 3 1 134 10 3 m 3 displaystyle V text gesamt 28 cdot V 28 cdot 40 5 mathrm cm 3 1134 mathrm cm 3 1 134 cdot 10 6 mathrm mm 3 1 134 cdot 10 3 mathrm m 3 nbsp Oberflacheninhalt von einem Stein A O 2 a b a c b c 2 9 c m 4 5 c m 9 c m 1 c m 4 5 c m 1 c m 108 c m 2 1 08 10 4 m m 2 1 08 10 2 m 2 displaystyle A O 2 cdot a cdot b a cdot c b cdot c 2 cdot 9 mathrm cm cdot 4 5 mathrm cm 9 mathrm cm cdot 1 mathrm cm 4 5 mathrm cm cdot 1 mathrm cm 108 mathrm cm 2 1 08 cdot 10 4 mathrm mm 2 1 08 cdot 10 2 mathrm m 2 nbsp Gesamter Oberflacheninhalt A gesamt 28 108 c m 2 3024 c m 2 3 024 10 5 m m 2 3 024 10 1 m 2 displaystyle A text gesamt 28 cdot 108 mathrm cm 2 3024 mathrm cm 2 3 024 cdot 10 5 mathrm mm 2 3 024 cdot 10 1 mathrm m 2 nbsp Masse von einem Stein m r V 670 k g m 3 4 05 10 5 m 3 2 713 5 10 2 k g 27 135 g displaystyle m rho cdot V 670 mathrm kg mathrm m 3 cdot 4 05 cdot 10 5 mathrm m 3 2 7135 cdot 10 2 mathrm kg 27 135 mathrm g nbsp Gesamtmasse m gesamt 28 2 713 5 10 2 k g 0 488 43 10 2 k g 488 43 g displaystyle m text gesamt 28 cdot 2 7135 cdot 10 2 mathrm kg 0 48843 cdot 10 2 mathrm kg 488 43 mathrm g nbsp Lift Bearbeiten Die offene Kabine eines Lifts ist 1 40 Meter breit 2 00 Meter lang und 2 20 Meter hoch Die Luft in der Kabine hat die Temperatur 10 Grad Celsius und die Dichte 1 3413 kg m Durch Heizwarme erwarmt sich die Luft auf 20 Grad Celsius und die Dichte sinkt auf 1 2041 kg m Der Luftdruck vorher und nachher betragt 101325 Pascal siehe Standardbedingungen Aus diesen Angaben kann man die Masse der Luft in der Kabine des Lifts bei 10 Grad Celsius bei 20 Grad Celsius und den Anteil der aus der Kabine des Lifts entweichten Luft berechnen Masse der Luft bei 10 C m r V r a b c 1 341 3 k g m 3 1 40 m 2 00 m 2 20 m 1 341 3 k g m 3 6 16 m 3 8 262 k g 8 262 10 3 g displaystyle m rho cdot V rho cdot a cdot b cdot c 1 3413 mathrm kg mathrm m 3 cdot 1 40 mathrm m cdot 2 00 mathrm m cdot 2 20 mathrm m 1 3413 mathrm kg mathrm m 3 cdot 6 16 mathrm m 3 approx 8 262 mathrm kg 8 262 cdot 10 3 mathrm g nbsp Masse der Luft bei 20 C m r V r a b c 1 204 1 k g m 3 1 40 m 2 00 m 2 20 m 1 204 1 k g m 3 6 16 m 3 7 417 k g 7 417 10 3 g displaystyle m rho cdot V rho cdot a cdot b cdot c 1 2041 mathrm kg mathrm m 3 cdot 1 40 mathrm m cdot 2 00 mathrm m cdot 2 20 mathrm m 1 2041 mathrm kg mathrm m 3 cdot 6 16 mathrm m 3 approx 7 417 mathrm kg 7 417 cdot 10 3 mathrm g nbsp Anteil der entweichten Luft 1 7 417 k g 8 262 k g 1 0 898 0 102 10 2 displaystyle 1 frac 7 417 mathrm kg 8 262 mathrm kg approx 1 0 898 0 102 10 2 nbsp Es entweicht also etwa 10 2 Prozent der Luft Schwimmbecken Bearbeiten Ein Schwimmbecken ist 25 Meter breit 50 Meter lang 2 5 Meter tief und zu 96 Prozent gefullt Das Wasser im Schwimmbecken hat die Temperatur 0 Grad Celsius und hat die Dichte 1 000 kg m Durch Sonneneinstrahlung erwarmt sich das Wasser auf 40 Grad Celsius und 60 Prozent des Wassers verdunstet Gleichzeitig sinkt die Dichte auf 0 996 kg m Stillschweigend konnen wir annehmen dass der Boden des quaderformigen Schwimmbeckens orthogonal zum Erdmittelpunkt ist also uberall fast dieselbe Hohe uber dem Meeresspiegel hat und dass der Wasserstand des Schwimmbeckens uberall gleich hoch ist Daraus ergeben sich Wasserstand vorher c 96 2 5 m 2 4 m displaystyle c 96 cdot 2 5 mathrm m 2 4 mathrm m nbsp Volumen des Wassers vorher V a b c 25 m 50 m 2 4 m 3000 m 3 3 10 3 m 3 displaystyle V a cdot b cdot c 25 mathrm m cdot 50 mathrm m cdot 2 4 mathrm m 3000 mathrm m 3 3 cdot 10 3 mathrm m 3 nbsp Masse des Wassers vorher m r V 1 000 k g m 3 3000 m 3 3000 k g 3 10 3 k g displaystyle m rho cdot V 1 000 mathrm kg mathrm m 3 cdot 3000 mathrm m 3 3000 mathrm kg 3 cdot 10 3 mathrm kg nbsp Masse des Wassers nachher m 1 60 m 0 4 m 0 4 3000 k g 1200 k g 1 2 10 3 k g displaystyle m 1 60 cdot m 0 4 cdot m 0 4 cdot 3000 mathrm kg 1200 mathrm kg 1 2 cdot 10 3 mathrm kg nbsp Volumen des Wassers nachher V m p 1200 k g 0 996 k g m 3 1204 8 m 3 1 204 8 10 3 m 3 displaystyle V frac m p frac 1200 mathrm kg 0 996 mathrm kg mathrm m 3 approx 1204 8 mathrm m 3 1 2048 cdot 10 3 mathrm m 3 nbsp Wasserstand nachher c 1 60 p p c 0 4 1 000 k g m 3 0 996 k g m 3 2 4 m 0 964 m displaystyle c 1 60 cdot frac p p cdot c 0 4 cdot frac 1 000 mathrm kg mathrm m 3 0 996 mathrm kg mathrm m 3 cdot 2 4 mathrm m approx 0 964 mathrm m nbsp Der Wasserstand des Schwimmbeckens sinkt also von 2 5 Meter auf 0 964 Meter Siehe auch BearbeitenWurfel Prisma Geometrie Parallelepiped Euler Ziegel Polyeder RechtkantWeblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Quader Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Commons Quader Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Cuboid In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Slader Customer Relations Find the maximum volume of a rectangular box that is inscribed in a sphere of radius r Stefan Howald Alle Quadernetze In Mathematik Bezirksschule Brugg Abgerufen am 13 August 2022 Wolfram 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