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Prisma Geometrie Ein Prisma Mehrzahl Prismen ist ein geometrischer Körper der durch Parallelverschiebung eines ebenen Po

Prisma (Geometrie)

Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Polygons entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder.

Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche

Das gegebene Polygon wird als Grundfläche bezeichnet, die gegenüberliegende Seitenfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt Mantelfläche. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander parallel und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt Höhe des Prismas.

Gerades und schiefes Prisma Bearbeiten

A: gerades Prisma; B: schiefes Prisma
Spezialfall eines schiefen Prismas: Parallelepiped, hier sogar ein Rhomboeder

Erfolgt die Parallelverschiebung des Polygons senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma, ansonsten von einem schiefen Prisma. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken, im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen. Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet.

Der zu einem geraden Prisma duale Körper ist eine Doppelpyramide.

Reguläres Prisma Bearbeiten

Ein gerades Prisma mit einem Regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine Umkugel, weil alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Würfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel.

Formeln Bearbeiten

Größen eines regelmäßigen Prismas (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe h)
Allgemeiner Fall Quadratisches Prisma Regelmäßiges Dreiecksprisma
Grundfläche
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche
Winkel zwischen Grundfläche und Rechtecken
Winkel zwischen den Rechtecken
Raumwinkel in den Ecken

Sonderfälle und Verallgemeinerung Bearbeiten

Besondere Formen des Prismas sind die Quader und Würfel. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.

In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).

Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders.

Symmetrie Bearbeiten

Jedes Prisma mit einer punktsymmetrischen Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.

Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche Bearbeiten

Das Volumen eines Prismas ist gegeben durch

wobei den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe des Prismas bezeichnet. Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.

Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gegeben durch

wobei für den Umfang der Grundfläche und für die Höhe des Prismas steht.

Die gesamte Oberfläche eines Prismas ergibt sich aus

wobei und dem Inhalt von Grundfläche und Mantelfläche entsprechen.

Umkugel Bearbeiten

Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen Umkreis besitzt, haben eine Umkugel. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der Radius der Umkugel bei gegebener Höhe und gegebenem Umkreisradius berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

Inkugel Bearbeiten

Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine Inkugel haben.

Bei gegebener Höhe eines Prismas ergibt sich der Radius der Inkugel zu:

Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:

  1. Es gibt eine gedachte Ebene, die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon.
  2. Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis.
  3. Der Radius dieses Inkreises beträgt .

Kantenkugel Bearbeiten

Nur gerade Prismen mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine Kantenkugel. Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet. Bei gegebenem Umkreisradius ergibt sich der Radius der Kantenkugel zu:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Prismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Prisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Prisma Mehrzahl Prismen ist ein geometrischer Korper der durch Parallelverschiebung eines ebenen Polygons entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht Man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder Ein Prisma mit einem Sechseck als GrundflacheDas gegebene Polygon wird als Grundflache bezeichnet die gegenuberliegende Seitenflache als Deckflache Die Gesamtheit aller ubrigen Seitenflachen heisst Mantelflache Die Seitenkanten des Prismas die Grundflache und Deckflache verbinden sind zueinander parallel und alle gleich lang Grundflache und Deckflache sind zueinander kongruent und parallel Der Abstand zwischen Grundflache und Deckflache heisst Hohe h displaystyle h des Prismas Inhaltsverzeichnis 1 Gerades und schiefes Prisma 2 Regulares Prisma 2 1 Formeln 3 Sonderfalle und Verallgemeinerung 4 Symmetrie 5 Formeln fur Volumen Mantelflache und Oberflache 6 Umkugel 7 Inkugel 8 Kantenkugel 9 Siehe auch 10 Literatur 11 WeblinksGerades und schiefes Prisma Bearbeiten nbsp A gerades Prisma B schiefes Prisma nbsp Spezialfall eines schiefen Prismas Parallelepiped hier sogar ein RhomboederErfolgt die Parallelverschiebung des Polygons senkrecht zur Grundflache spricht man von einem geraden Prisma ansonsten von einem schiefen Prisma Die Mantelflache eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen Ein gerades Prisma mit einem regelmassigen Polygon als Grundflache wird als regulares Prisma bezeichnet Der zu einem geraden Prisma duale Korper ist eine Doppelpyramide Regulares Prisma BearbeitenEin gerades Prisma mit einem Regelmassigen Vieleck als Grundflache wird als regulares Prisma bezeichnet Alle regularen Prismen besitzen eine Umkugel weil alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind Der Wurfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel nbsp dreieckiges Prisma nbsp viereckiges Prisma nbsp funfeckiges Prisma nbsp sechseckiges Prisma nbsp siebeneckiges Prisma nbsp achteckiges Prisma nbsp neuneckiges Prisma nbsp zehneckiges Prisma nbsp elfeckiges Prisma nbsp zwolfeckiges PrismaFormeln Bearbeiten Grossen eines regelmassigen Prismas regelmassiges n Eck mit Seitenlange a als Grundflache und Hohe h Allgemeiner Fall Quadratisches Prisma Regelmassiges DreiecksprismaGrundflache A g displaystyle A g nbsp n 4 cot p n a 2 displaystyle left frac n 4 cot frac pi n right a 2 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp 3 4 a 2 displaystyle frac sqrt 3 4 a 2 nbsp Volumen V displaystyle V nbsp n 4 cot p n a 2 h displaystyle left frac n 4 cot frac pi n right a 2 h nbsp a 2 h displaystyle a 2 h nbsp 3 4 a 2 h displaystyle frac sqrt 3 4 a 2 h nbsp Oberflacheninhalt O displaystyle O nbsp a n 2 2 h a cot p n displaystyle frac an 2 left 2h a cot frac pi n right nbsp a 2 a 4 h 2 a 2 displaystyle a 2 a sqrt 4h 2 a 2 nbsp 3 a 4 3 a 3 4 h 2 a 2 3 displaystyle frac 3a 4 left sqrt 3 frac a 3 sqrt 4h 2 frac a 2 3 right nbsp Umkugelradius r u displaystyle r u nbsp 1 2 h 2 a 2 sin 2 p n displaystyle frac 1 2 sqrt h 2 frac a 2 sin 2 frac pi n nbsp 1 2 h 2 2 a 2 displaystyle frac 1 2 sqrt h 2 2a 2 nbsp 1 2 h 2 4 a 2 3 displaystyle frac 1 2 sqrt h 2 frac 4a 2 3 nbsp Innenwinkel der regelmassigen Grundflache a displaystyle alpha nbsp n 2 n 180 displaystyle frac n 2 n cdot 180 circ nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp 60 displaystyle 60 circ nbsp Winkel zwischen Grundflache und Rechtecken b 1 displaystyle beta 1 nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp Winkel zwischen den Rechtecken b 2 displaystyle beta 2 nbsp n 2 n 180 displaystyle frac n 2 n cdot 180 circ nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp 60 displaystyle 60 circ nbsp Raumwinkel in den Ecken W displaystyle Omega nbsp n 2 n p s r displaystyle frac n 2 n cdot pi mathrm sr nbsp p 2 s r displaystyle frac pi 2 mathrm sr nbsp p 3 s r displaystyle frac pi 3 mathrm sr nbsp Sonderfalle und Verallgemeinerung BearbeitenBesondere Formen des Prismas sind die Quader und Wurfel Bei diesen kann jede Seite als Grundflache des Prismas aufgefasst werden In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundflache siehe Prisma Optik Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders Symmetrie BearbeitenJedes Prisma mit einer punktsymmetrischen Grundflache ist selbst punktsymmetrisch Formeln fur Volumen Mantelflache und Oberflache BearbeitenDas Volumen V displaystyle V nbsp eines Prismas ist gegeben durch V G h displaystyle V G cdot h nbsp wobei G displaystyle G nbsp den Flacheninhalt der Grundflache und h displaystyle h nbsp die Hohe des Prismas bezeichnet Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt dass zwei Prismen etwa ein gerades und ein schiefes Prisma bei gleicher Grundflache und Hohe das gleiche Volumen besitzen Die Mantelflache M displaystyle M nbsp eines geraden Prismas ist gegeben durch M U h displaystyle M U cdot h nbsp wobei U displaystyle U nbsp fur den Umfang der Grundflache und h displaystyle h nbsp fur die Hohe des Prismas steht Die gesamte Oberflache O displaystyle O nbsp eines Prismas ergibt sich aus O 2 G M displaystyle O 2 cdot G M nbsp wobei G displaystyle G nbsp und M displaystyle M nbsp dem Inhalt von Grundflache und Mantelflache entsprechen Umkugel BearbeitenNur gerade Prismen mit einer Grundflache welche einen Umkreis besitzt haben eine Umkugel Alle regularen Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel Der Radius R displaystyle R nbsp der Umkugel bei gegebener Hohe h displaystyle h nbsp und gegebenem Umkreisradius r displaystyle r nbsp berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu R r 2 h 2 4 displaystyle R sqrt r 2 frac h 2 4 nbsp Inkugel BearbeitenSowohl gerade wie auch schiefe Prismen konnen eine Inkugel haben Bei gegebener Hohe h displaystyle h nbsp eines Prismas ergibt sich der Radius R displaystyle R nbsp der Inkugel zu R h 2 displaystyle R frac h 2 nbsp Voraussetzung fur die Existenz einer Inkugel Es gibt eine gedachte Ebene die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis Der Radius dieses Inkreises betragt h 2 displaystyle h 2 nbsp Kantenkugel BearbeitenNur gerade Prismen mit einem regelmassigen Polygon als Grundflache und gleicher Lange aller Kanten haben eine Kantenkugel Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet Bei gegebenem Umkreisradius r displaystyle r nbsp ergibt sich der Radius R displaystyle R nbsp der Kantenkugel zu R r displaystyle R r nbsp Siehe auch BearbeitenAntiprisma PrismatoidLiteratur BearbeitenPrisma In Meyers Grosses Konversations Lexikon 6 Auflage Band 16 Bibliographisches Institut Leipzig Wien 1908 S 354 Bronstein Semendjajew Taschenbuch der Mathematik 21 22 Auflage 1981 S 196 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Prismen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Prisma Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Prisma mathematische basteleien de Eric W Weisstein Prism In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Prisma Geometrie amp oldid 234183339