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Parallelogramm Ein von altgriechisch παραλληλό γραμμος paralleló grammos von zwei Parallelenpaaren begrenzt oder Rhomboi

Parallelogramm

Ein Parallelogramm (von altgriechisch παραλληλό-γραμμος paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften Bearbeiten

Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
  • Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
  • Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
  • Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
  • Die Diagonalen halbieren einander.
  • Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen (Parallelogrammgleichung).
  • Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten.

Formeln Bearbeiten

Mathematische Formeln zum Parallelogramm
Flächeninhalt


Über Transformation in ein Rechteck mit der Determinante:
Umfang
Innenwinkel
Höhe
Länge der Diagonalen

(siehe Kosinussatz)

Parallelogrammgleichung

Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm Bearbeiten

Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite mit der zugehörigen Höhe .
Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen

Den Flächeninhalt des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

Parallelogrammgitter Bearbeiten

Parallelogrammgitter

Parallelogramme können ein Gitter in der Ebene bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind, ist die Symmetrie des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier zweidimensionalen Bravais-Gitter.

Geometrische Figur Quadrat Rechteck Raute Parallelogramm
Bravais-Gitter quadratisches Bravais-Gitter rechtwinkliges Bravais-Gitter zentriert-rechtwinkliges Bravais-Gitter schiefwinkliges Bravais-Gitter
Kristallsystem tetragonales Kristallsystem orthorhombisches Kristallsystem orthorhombisches Kristallsystem monoklines Kristallsystem
Bild

Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

geschrieben werden, wobei die Vektoren , die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter.

Das Parallelogrammgitter ist zweizählig drehsymmetrisch, also punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum.

Konstruktion eines Parallelogramms Bearbeiten

Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen und sowie die Höhe gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängen und sowie der Höhe . Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Parallelepiped

Eine Verallgemeinerung auf Dimensionen ist das Parallelotop, erklärt als die Menge sowie deren Parallelverschiebungen. Die sind dabei linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch.

Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

Satz von Varignon Bearbeiten

Für jedes Viereck ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm.

Nach dem Satz von Varignon gilt: Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis:

Nach Definition gilt .

Betrachte das Dreieck ABC. Es ist ähnlich zum Dreieck EBF. Nimmt man den Punkt B als Zentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit dem Faktor abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche Strecke parallel. Also ist . Ebenso zeigt man, dass , , und . Die Parallelität in der euklidischen Ebene ist eine Äquivalenzrelation und damit transitiv. Also ist und .

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Eine andere Möglichkeit ist, mit dem Strahlensatz zu beweisen, dass und ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.

Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der Umfang des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Viereck ABCD. Die Fläche des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.

Parallelogramme mit Quadraten Bearbeiten

Figur 2
Figur 1

Gegeben sei ein Parallelogramm , über dessen Seiten Quadrate errichtet sind. Dann sind die Diagonalenschnittpunkte , , und der Quadrate Eckpunkte eines weiteren Quadrats. (Figur 1)

Beweis:

Die vier gelben Dreiecke , , und in Figur 2 stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei , , und überein. Deshalb sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und damit alle Seiten des Vierecks gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind, ist ein rechter Winkel. Da die beiden (gelben) Winkel und gleich groß sind, muss auch ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck ein Quadrat.

Verwendung in der Technik Bearbeiten

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
  • P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
  • Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Parallelogramm – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Parallelogramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Rhomboid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
  2. Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: Varignon-Parallelogramm
  3. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 129/172
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Parallelogramm von altgriechisch parallhlo grammos parallelo grammos von zwei Parallelenpaaren begrenzt oder Rhomboid rautenahnlich ist ein konvexes ebenes Viereck bei dem gegenuberliegende Seiten parallel sind Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede Rechteck Raute Rhombus und Quadrat sind Spezialfalle des Parallelogramms Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Formeln 3 Beweis der Flachenformel fur ein Parallelogramm 4 Parallelogrammgitter 5 Konstruktion eines Parallelogramms 6 Verallgemeinerungen 7 Satz von Varignon 8 Parallelogramme mit Quadraten 9 Verwendung in der Technik 10 Siehe auch 11 Literatur 12 Weblinks 13 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenEin Viereck ist genau dann ein Parallelogramm wenn eine der folgenden Bedingungen erfullt ist Gegenuberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenuberliegende Seiten schneiden sich kein uberschlagenes Viereck sogenanntes Antiparallelogramm Zwei gegenuberliegende Seiten sind parallel und gleich lang Gegenuber liegende Winkel sind gleich gross Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180 Die Diagonalen halbieren einander Die Summe der Flachen der Quadrate uber den vier Seiten ist gleich der Summe der Flachen der Quadrate uber den zwei Diagonalen Parallelogrammgleichung Es ist punktsymmetrisch zweizahlig drehsymmetrisch Fur jedes Parallelogramm gilt Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen Die Mittelpunkte der uber seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat Satz von Thebault Yaglom Alle Parallelogramme die mindestens eine Symmetrieachse besitzen sind Rechtecke oder Rauten Formeln BearbeitenMathematische Formeln zum ParallelogrammFlacheninhalt A a h a b h b A B A D displaystyle A a cdot h a b cdot h b left left overrightarrow AB times overrightarrow AD right right nbsp A a b sin a a b sin b e f sin 8 2 displaystyle A a cdot b cdot sin alpha a cdot b cdot sin beta frac e cdot f cdot sin theta 2 nbsp Uber Transformation in ein Rechteck mit der Determinante A det a x b x a y b y a x b y b x a y displaystyle A det begin pmatrix a x amp amp b x a y amp amp b y end pmatrix a x cdot b y b x cdot a y nbsp nbsp Umfang U 2 a 2 b 2 a b displaystyle U 2 cdot a 2 cdot b 2 cdot a b nbsp Innenwinkel a g b d a b 180 displaystyle alpha gamma quad beta delta quad alpha beta 180 circ nbsp Hohe h a b sin a displaystyle h a b cdot sin alpha nbsp h b a sin b displaystyle h b a cdot sin beta nbsp Lange der Diagonalen siehe Kosinussatz e a 2 b 2 2 a b cos b a 2 b 2 2 a b cos a displaystyle begin array ccl e amp sqrt a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos beta amp sqrt a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos alpha end array nbsp f a 2 b 2 2 a b cos a a 2 b 2 2 a b cos b displaystyle begin array ccl f amp sqrt a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos alpha amp sqrt a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos beta end array nbsp Parallelogrammgleichung e 2 f 2 2 a 2 b 2 displaystyle e 2 f 2 2 cdot a 2 b 2 nbsp Beweis der Flachenformel fur ein Parallelogramm Bearbeiten nbsp Animation zur Berechnung des Flacheninhalts eines Parallelogramms Der Flacheninhalt ist gleich dem Produkt der Lange einer Grundseite b displaystyle b nbsp mit der zugehorigen Hohe h displaystyle h nbsp nbsp Vom grossen Rechteck werden sechs Teilflachen abgezogen Den Flacheninhalt A displaystyle A nbsp des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten indem man von der Flache des grossen Rechtecks die sechs kleinen Flachen mit bunten Kanten abzieht Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom grossen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flachen unterhalb des Parallelogramms abziehen Es ist also A a x b x a y b y 2 a x a y 2 b x a y b x b y 2 a x a y a x b y b x a y b x b y a x a y 2 b x a y b x b y a x b y b x a y displaystyle begin array cccl A amp amp amp color YellowOrange a x color black color ForestGreen b x color black cdot color red a y color black color blue b y color black 2 cdot color YellowOrange a x color black cdot color red a y color black 2 color ForestGreen b x color black cdot color red a y color black color ForestGreen b x color black cdot color blue b y color black 2 amp amp amp color YellowOrange a x color black cdot color red a y color black color YellowOrange a x color black cdot color blue b y color black color ForestGreen b x color black cdot color red a y color black color ForestGreen b x color black cdot color blue b y amp amp color black amp color YellowOrange a x color black cdot color red a y color black quad quad quad 2 cdot color ForestGreen b x color black cdot color red a y color black color ForestGreen b x color black cdot color blue b y amp amp amp quad quad quad quad color YellowOrange a x color black cdot color blue b y color black color ForestGreen b x color black cdot color red a y end array nbsp Parallelogrammgitter Bearbeiten nbsp ParallelogrammgitterParallelogramme konnen ein Gitter in der Ebene bilden Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind ist die Symmetrie des Gitters hoher Diese reprasentieren die vier zweidimensionalen Bravais Gitter Geometrische Figur Quadrat Rechteck Raute ParallelogrammBravais Gitter quadratisches Bravais Gitter rechtwinkliges Bravais Gitter zentriert rechtwinkliges Bravais Gitter schiefwinkliges Bravais GitterKristallsystem tetragonales Kristallsystem orthorhombisches Kristallsystem orthorhombisches Kristallsystem monoklines KristallsystemBild nbsp nbsp nbsp nbsp Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene Diese Punktmenge kann formal als die Menge t 1 u t 2 v R 2 u v R 2 t 1 Z t 2 Z displaystyle left t 1 cdot vec u t 2 cdot vec v in mathbb R 2 mid vec u vec v in mathbb R 2 land t 1 in mathbb Z land t 2 in mathbb Z right nbsp geschrieben werden wobei die Vektoren u displaystyle vec u nbsp v displaystyle vec v nbsp die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter 1 Das Parallelogrammgitter ist zweizahlig drehsymmetrisch also punktsymmetrisch Ausserdem ist es translationsymmetrisch fur alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum Konstruktion eines Parallelogramms BearbeitenEin Parallelogramm bei dem die Seitenlangen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp sowie die Hohe h a displaystyle h a nbsp gegeben ist ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar nbsp Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlangen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp sowie der Hohe h a displaystyle h a nbsp Fur die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt E displaystyle E nbsp frei wahlbar Animation mit einer Pause von 10 s am Ende Verallgemeinerungen Bearbeiten nbsp ParallelepipedEine Verallgemeinerung auf n displaystyle n nbsp Dimensionen ist das Parallelotop erklart als die Menge a 1 p 1 a 2 p 2 a n p n 0 a i 1 displaystyle alpha 1 cdot p 1 alpha 2 cdot p 2 dotsb alpha n cdot p n mid 0 leq alpha i leq 1 nbsp sowie deren Parallelverschiebungen Die p i displaystyle p i nbsp sind dabei n displaystyle n nbsp linear unabhangige Vektoren Parallelotope sind punktsymmetrisch Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped Seine Seitenflachen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme Ein Parallelepiped hat zwolf Kanten von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind und acht Ecken in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen Satz von Varignon Bearbeiten nbsp Fur jedes Viereck ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm Nach dem Satz von Varignon gilt Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet dann erhalt man ein Parallelogramm Beweis Nach Definition gilt A E E B B F F C C G G D D H H A displaystyle overline AE overline EB overline BF overline FC overline CG overline GD overline DH overline HA nbsp Betrachte das Dreieck ABC Es ist ahnlich zum Dreieck EBF Nimmt man den Punkt B als Zentrum einer zentrischen Streckung werden A auf E und C auf F mit dem Faktor 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp abgebildet Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprungliche Strecke parallel Also ist A C E F displaystyle AC parallel EF nbsp Ebenso zeigt man dass A C G H displaystyle AC parallel GH nbsp B D F G displaystyle BD parallel FG nbsp und B D H E displaystyle BD parallel HE nbsp Die Parallelitat in der euklidischen Ebene ist eine Aquivalenzrelation und damit transitiv Also ist E F G H displaystyle EF parallel GH nbsp und F G H E displaystyle FG parallel HE nbsp Die gegenuber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel was der Definition eines Parallelogramms entspricht Eine andere Moglichkeit ist mit dem Strahlensatz zu beweisen dass E F G H displaystyle EF GH nbsp und F G H E displaystyle FG HE nbsp ist d h dass die gegenuber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind Nach dem Strahlensatz gilt ausserdem Der Umfang des Parallelogramms EFGH ist genau so gross wie die Summe der Diagonalenlangen im Viereck ABCD Die Flache des Parallelogramms EFGH ist halb so gross wie die Flache des Vierecks ABCD 2 Parallelogramme mit Quadraten Bearbeiten nbsp Figur 2 nbsp Figur 1 Gegeben sei ein Parallelogramm A B C D displaystyle ABCD nbsp uber dessen Seiten Quadrate errichtet sind Dann sind die Diagonalenschnittpunkte E displaystyle E nbsp F displaystyle F nbsp G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp der Quadrate Eckpunkte eines weiteren Quadrats Figur 1 Beweis Die vier gelben Dreiecke A E H displaystyle AEH nbsp E F B displaystyle EFB nbsp G F C displaystyle GFC nbsp und H D G displaystyle HDG nbsp in Figur 2 stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen gelben Innenwinkel bei A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp C displaystyle C nbsp und D displaystyle D nbsp uberein Deshalb sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und damit alle Seiten des Vierecks E F G H displaystyle EFGH nbsp gleich lang Da die Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind ist B E A displaystyle angle BEA nbsp ein rechter Winkel Da die beiden gelben Winkel H E A displaystyle angle HEA nbsp und F E B displaystyle angle FEB nbsp gleich gross sind muss auch F E H displaystyle angle FEH nbsp ein rechter Winkel sein Somit ist das Viereck E F G H displaystyle EFGH nbsp ein Quadrat 3 Verwendung in der Technik BearbeitenParallelogramme finden sich haufig in der Mechanik Durch vier Gelenke kann eine bewegliche parallelentreue Lagerung hergestellt werden die sogenannte Parallelogrammfuhrung Beispiele nbsp Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung nbsp Parallel Scheibenwischer nbsp Hubarbeitsbuhne nbsp PantographSiehe auch BearbeitenParallelepiped Parallelotop AntiparallelogrammLiteratur BearbeitenF Wolff Lehrbuch der Geometrie Vierte verbesserte Auflage Druck und Verlag von G Reimer Berlin 1845 Online Kopie P Kall Lineare Algebra fur Okonomen Springer Fachmedien Wiesbaden 1984 ISBN 978 3 519 02356 2 Wilhelm Killing Lehrbuch Der Analytischen Geometrie Teil 2 Outlook Verlagsgesellschaft Bremen 2011 ISBN 978 3 86403 540 1 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Parallelogramm Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Parallelogramm Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wiktionary Rhomboid Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Parallelogram In MathWorld englisch Flachen und Umfangsberechnung von allgemeinen und speziellen Parallelogrammen Memento vom 11 Januar 2015 im Internet Archive Abgerufen am 18 November 2016 Einfuhrung in das Thema Parallelogramm PDF 920 kB Abgerufen am 18 November 2016 Parallelogramm und Raute Memento vom 19 November 2016 im Internet Archive PDF 225 kB Abgerufen am 18 November 2016 Einzelnachweise Bearbeiten Wolfram MathWorld Cubic Lattice Otto von Guericke Universitat Magdeburg Varignon Parallelogramm Wolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Zweite korrigierte und erganzte Auflage Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63830 9 S 129 172 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Parallelogramm amp oldid 235001528