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Satz von Varignon Der auch Satz vom Mittenviereck beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken Namensgeber

Satz von Varignon

Der Satz von Varignon (auch Satz vom Mittenviereck) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).

Formulierung Bearbeiten

Viereck mit konstruiertem Parallelogramm

Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

Behauptung Bearbeiten

Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.

Gang des Beweises Bearbeiten

  1. Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
  2. Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD∥ HE.
  3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.

Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Folgerungen Bearbeiten

Umfang des Varignon-Parallelogramms Bearbeiten

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck.

Fläche des Varignon-Parallelogramms Bearbeiten

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
  • Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
  • Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Varignon auch Satz vom Mittenviereck beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken Namensgeber ist Pierre de Varignon 1654 1722 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 1 1 Beweis 1 1 1 Voraussetzung 1 1 2 Behauptung 1 1 3 Gang des Beweises 2 Folgerungen 2 1 Umfang des Varignon Parallelogramms 2 2 Flache des Varignon Parallelogramms 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksFormulierung Bearbeiten nbsp Viereck mit konstruiertem ParallelogrammWenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet dann erhalt man ein Parallelogramm Beweis Bearbeiten Voraussetzung Bearbeiten A E E B B F F C C G G D D H H A displaystyle overline AE overline EB overline BF overline FC overline CG overline GD overline DH overline HA nbsp Behauptung Bearbeiten Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm Gang des Beweises Bearbeiten Betrachte das Dreieck ABC Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor abgebildet Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung Bildgerade und Urgerade sind parallel folgt AC EF Ebenso zeigt man dass AC GH BD FG und BD HE Die Parallelitat ist transitiv Also ist EF HG und FG HE Die gegenuberliegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel was der Definition eines Parallelogramms entspricht Folgerungen BearbeitenUmfang des Varignon Parallelogramms Bearbeiten Der Umfang des Varignon Parallelogramms ist genau so gross wie die Summe der Diagonalenlangen im Ursprungsviereck Flache des Varignon Parallelogramms Bearbeiten Die Flache des Varignon Parallelogramms ist halb so gross wie die Flache des Ursprungsvierecks Siehe auch BearbeitenSatz von Commandino Diagonalensatz Varignon scher ApparatLiteratur BearbeitenSiegfried Krauter Christine Bescherer Erlebnis Elementargeometrie Ein Arbeitsbuch zum selbststandigen und aktiven Entdecken Springer 2012 ISBN 978 3 8274 3025 0 S 76 77 H S M Coxeter S L Greitzer Geometry Revisited MAA Washington 1967 S 52 54 Peter N Oliver Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem PDF 194 kB In Mathematics Teacher Band 94 Nr 4 April 2001 S 316 319 Peter N Oliver Consequences of Varignon Parallelogram Theorem PDF 559 kB In Mathematics Teacher Band 94 Nr 5 Mai 2001 S 406 408Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Varignon s Theorem In MathWorld englisch Varignon Parallelogram in Compendium Geometry englisch Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet Varignon parallelogram auf cut the knot org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Varignon amp oldid 239019565