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Zentrische Streckung Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung die alle Strecken in einem bestimmten

Zentrische Streckung

Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien.

Zentrische Streckung mit positivem Streckungsfaktor k=2: Die Strecken verdoppeln sich, die Fläche vervierfacht sich (→ Konstruktionsprotokoll als PDF)
Zentrische Streckung mit negativem, verkleinerndem Streckungsfaktor k=−0,7: Das Dreieck verkleinert sich um den Faktor 0,7 und wird um 180° um das Zentrum gedreht
Animation für verschiedene positive Werte von k (→ Animation mit allgemeinem k)

Bestimmung von Bildpunkten bzw. Bildmengen Bearbeiten

Zeichnerisch Bearbeiten

Eine Strecke wird zentrisch um den Faktor und das Zentrum gestreckt, indem man

  • Hilfsgeraden durch das Zentrum und die Randpunkte der Strecke zeichnet,
  • entlang dieser Hilfsgeraden die Entfernungen der Eckpunkte zum Zentrum misst,
  • diese Entfernungen mit dem Faktor multipliziert und den resultierenden Wert von aus auf die entsprechende Hilfsgerade abträgt (und zwar bei positivem auf der Halbgeraden mit Endpunkt , auf der auch der ursprüngliche Punkt liegt),
  • die neu eingezeichneten Punkte zur zentrisch gestreckten Strecke verbindet.

Diese Definition für Strecken überträgt sich unmittelbar auf Vielecke, die ja aus miteinander verbundenen Strecken bestehen (siehe etwa das im ersten Bild verlinkte Konstruktionsprotokoll). Sie überträgt sich auch auf beliebige geometrische Figuren, wo allerdings mitunter jeder einzelne Punkt in dieser Weise abgebildet werden müsste. Im Falle eines Kreises genügt es, den Kreismittelpunkt entsprechend abzubilden und den Radius des Bildkreises entsprechend anzupassen.

Ist der Streckfaktor negativ, so muss man die Bildpunkte im Abstand des Betrags von auf der entsprechenden Hilfsgeraden zur bezogen auf gegenüberliegenden Seite einzeichnen (also auf die Halbgerade mit Endpunkt , auf der der ursprüngliche Punkt nicht liegt). Dadurch dreht sich die gestreckte Figur relativ zur ursprünglichen um 180° (siehe zweites Bild).

Ist , so ergibt sich als Bild die ursprüngliche Figur, für ist das Bild eine reine Drehung um . Für würden alle Punkte auf das Zentrum abgebildet werden, weshalb es keine Ähnlichkeitsabbildung mehr wäre; deshalb wird dieser Wert im Definitionsbereich für gewöhnlich ausgeschlossen.

Konstruktion Bearbeiten

Die Konstruktion des Bildpunkts P' eines gegebenen Punkts P ist einfach, wenn ein weiterer Punkt Q und sein Bildpunkt Q' gegeben sind. Man erhält P', indem man die Gerade ZP mit der Parallele zu PQ durch Q' schneidet. Dabei wird vorausgesetzt, dass Z, P und Q nicht auf einer Gerade liegen.

Definition Bearbeiten

Gegeben seien ein Punkt der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl . Die zentrische Streckung mit Zentrum und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt eines Punktes folgende Eigenschaften besitzt:

  • , und liegen auf einer Geraden.
  • Für liegen und auf derselben Seite von , für auf verschiedenen Seiten.
  • Die Streckenlänge ist gleich dem -fachen der Streckenlänge .

Die beiden Skizzen zeigen in Grün die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit und ) auf jeweils das gleiche blaue Dreieck ABC.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Zentrische Streckungen sind geraden-, kreis- und winkeltreu.
  • Die Längenverhältnisse bleiben erhalten.
  • Die Bildstrecke einer beliebigen Strecke hat die -fache Länge.
  • Eine beliebige geometrische Figur wird auf eine Figur mit dem -fachen Flächeninhalt abgebildet.
  • Ein beliebiger Körper wird auf einen Körper mit dem -fachen Volumen abgebildet.
  • Die zentrischen Streckungen mit einem bestimmten Zentrum bilden algebraisch gesehen eine Gruppe.
  • Das Bild einer Geraden ist eine Parallele zu der Geraden.
  • In vektorieller Schreibweise wird die zentrische Streckung mit Zentrum und Streckungsfaktor beschrieben durch
  • Damit ist eine zentrische Streckung die Affinität, die durch die Matrix und den Verschiebungsvektor beschrieben wird.
  • Auch die identische Abbildung wird als Streckung mit dem Streckfaktor zu den Streckungen gezählt. Eine nichtidentische Streckung hat genau einen Fixpunkt, das ist ihr Streckzentrum, und ihre Fixgeraden sind genau die Geraden, die durch dieses Zentrum gehen.

Spezialfälle Bearbeiten

Für ergibt sich die identische Abbildung (Identität), für eine Punktspiegelung. Der Fall ist nicht erlaubt, da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Zentrum.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

  • Die zentrische Streckung ist ein Beispiel für eine Dilatation. In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie wird dieser Begriff mithilfe der Parallelität definiert.
  • Die zentrische Streckung ist der Spezialfall einer Drehstreckung mit Drehwinkel 0.
  • An Stelle des affinen 2- bzw. 3-dimensionalen Raumes über den reellen Zahlen, kann man zentrische Streckungen auch allgemeiner in jedem endlichdimensionalen affinen Raum über einem beliebigen Körper und sogar über einem beliebigen Schiefkörper definieren. Die „vektorielle“ Darstellung ist die Gleiche wie im reellen Fall, allerdings bilden die Parallelverschiebungen, die von einem Zentrum aus gestreckt werden, im Allgemeinen nur noch einen Linksvektorraum über dem Koordinatenschiefkörper.
  • Im ebenen, zweidimensionalen Fall wird noch etwas allgemeiner auch noch dann von einer zentrischen Streckung gesprochen, wenn die Parallelverschiebungen (als Koordinaten-„Vektoren“) einer affinen Translationsebene über einem Quasikörper mit einem „Skalar“ aus dem Kern des Quasikörpers gestreckt werden.

In den beiden zuletzt genannten Fällen kann man im Allgemeinen weder von Winkel- noch von Längenverhältnistreue sprechen, da weder ein Winkelmaß noch ein Längenmaß existieren muss. Auch hier gehören die zentrischen Streckungen aber stets zu den Dilatationen und den Affinitäten und für Fixpunkte und Fixgeraden gilt das Gleiche wie im reellen Fall.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Lambacher Schweizer 8, V Ähnlichkeit, In: Mathematik für Gymnasien, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-12-734181-2, S. 178–214
  • Streckung In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 433–435
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 126–133
  • Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie. Vieweg+Teubner, 5. erweiterte Auflage, 2012, S. 208–218
  • Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Vieweg+Teubner, 2. überarbeitete Auflage, 2009, S. 88–94

Weblinks Bearbeiten

Commons: Homothety – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer-Verlag, Berlin und Heidelberg 2013, ISBN 3-642-77646-9, S. 208.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung die alle Strecken in einem bestimmten gegebenen Verhaltnis vergrossert oder verkleinert wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprunglichen Strecken parallel sind Zentrische Streckungen sind spezielle Ahnlichkeitsabbildungen in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien 1 Zentrische Streckung mit positivem Streckungsfaktor k 2 Die Strecken verdoppeln sich die Flache vervierfacht sich Konstruktionsprotokoll als PDF Zentrische Streckung mit negativem verkleinerndem Streckungsfaktor k 0 7 Das Dreieck verkleinert sich um den Faktor 0 7 und wird um 180 um das Zentrum gedrehtAnimation fur verschiedene positive Werte von k Animation mit allgemeinem k Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung von Bildpunkten bzw Bildmengen 1 1 Zeichnerisch 1 2 Konstruktion 2 Definition 3 Eigenschaften 4 Spezialfalle 5 Verallgemeinerungen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseBestimmung von Bildpunkten bzw Bildmengen BearbeitenZeichnerisch Bearbeiten Eine Strecke wird zentrisch um den Faktor k displaystyle k nbsp und das Zentrum Z displaystyle Z nbsp gestreckt indem man Hilfsgeraden durch das Zentrum Z displaystyle Z nbsp und die Randpunkte der Strecke zeichnet entlang dieser Hilfsgeraden die Entfernungen der Eckpunkte zum Zentrum misst diese Entfernungen mit dem Faktor k displaystyle k nbsp multipliziert und den resultierenden Wert von Z displaystyle Z nbsp aus auf die entsprechende Hilfsgerade abtragt und zwar bei positivem k displaystyle k nbsp auf der Halbgeraden mit Endpunkt Z displaystyle Z nbsp auf der auch der ursprungliche Punkt liegt die neu eingezeichneten Punkte zur zentrisch gestreckten Strecke verbindet Diese Definition fur Strecken ubertragt sich unmittelbar auf Vielecke die ja aus miteinander verbundenen Strecken bestehen siehe etwa das im ersten Bild verlinkte Konstruktionsprotokoll Sie ubertragt sich auch auf beliebige geometrische Figuren wo allerdings mitunter jeder einzelne Punkt in dieser Weise abgebildet werden musste Im Falle eines Kreises genugt es den Kreismittelpunkt entsprechend abzubilden und den Radius des Bildkreises entsprechend anzupassen Ist der Streckfaktor negativ so muss man die Bildpunkte im Abstand des Betrags von k displaystyle k nbsp auf der entsprechenden Hilfsgeraden zur bezogen auf Z displaystyle Z nbsp gegenuberliegenden Seite einzeichnen also auf die Halbgerade mit Endpunkt Z displaystyle Z nbsp auf der der ursprungliche Punkt nicht liegt Dadurch dreht sich die gestreckte Figur relativ zur ursprunglichen um 180 siehe zweites Bild Ist k 1 displaystyle k 1 nbsp so ergibt sich als Bild die ursprungliche Figur fur k 1 displaystyle k 1 nbsp ist das Bild eine reine Drehung um Z displaystyle Z nbsp Fur k 0 displaystyle k 0 nbsp wurden alle Punkte auf das Zentrum abgebildet werden weshalb es keine Ahnlichkeitsabbildung mehr ware deshalb wird dieser Wert im Definitionsbereich fur gewohnlich ausgeschlossen Konstruktion Bearbeiten Die Konstruktion des Bildpunkts P eines gegebenen Punkts P ist einfach wenn ein weiterer Punkt Q und sein Bildpunkt Q gegeben sind Man erhalt P indem man die Gerade ZP mit der Parallele zu PQ durch Q schneidet Dabei wird vorausgesetzt dass Z P und Q nicht auf einer Gerade liegen Definition BearbeitenGegeben seien ein Punkt Z displaystyle Z nbsp der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl k 0 displaystyle k neq 0 nbsp Die zentrische Streckung mit Zentrum Z displaystyle Z nbsp und Streckungsfaktor Abbildungsfaktor k displaystyle k nbsp ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich bei der der Bildpunkt P displaystyle P nbsp eines Punktes P displaystyle P nbsp folgende Eigenschaften besitzt Z displaystyle Z nbsp P displaystyle P nbsp und P displaystyle P nbsp liegen auf einer Geraden Fur k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp liegen P displaystyle P nbsp und P displaystyle P nbsp auf derselben Seite von Z displaystyle Z nbsp fur k lt 0 displaystyle k lt 0 nbsp auf verschiedenen Seiten Die Streckenlange Z P displaystyle overline ZP nbsp ist gleich dem k displaystyle k nbsp fachen der Streckenlange Z P displaystyle overline ZP nbsp Die beiden Skizzen zeigen in Grun die Anwendung zweier zentrischer Streckungen mit k 2 displaystyle k 2 nbsp und k 0 7 displaystyle k 0 7 nbsp auf jeweils das gleiche blaue Dreieck ABC Eigenschaften BearbeitenZentrische Streckungen sind geraden kreis und winkeltreu Die Langenverhaltnisse bleiben erhalten Die Bildstrecke einer beliebigen Strecke hat die k displaystyle k nbsp fache Lange Eine beliebige geometrische Figur wird auf eine Figur mit dem k 2 displaystyle k 2 nbsp fachen Flacheninhalt abgebildet Ein beliebiger Korper wird auf einen Korper mit dem k 3 displaystyle k 3 nbsp fachen Volumen abgebildet Die zentrischen Streckungen mit einem bestimmten Zentrum bilden algebraisch gesehen eine Gruppe Das Bild einer Geraden ist eine Parallele zu der Geraden In vektorieller Schreibweise wird die zentrische Streckung mit Zentrum Z displaystyle Z nbsp und Streckungsfaktor k displaystyle k nbsp beschrieben durchP Z k P Z k P 1 k Z displaystyle P Z k P Z kP 1 k Z nbsp Damit ist eine zentrische Streckung die Affinitat die durch die Matrix k E n displaystyle kE n nbsp und den Verschiebungsvektor 1 k Z displaystyle 1 k Z nbsp beschrieben wird Auch die identische Abbildung wird als Streckung mit dem Streckfaktor k 1 displaystyle k 1 nbsp zu den Streckungen gezahlt Eine nichtidentische Streckung hat genau einen Fixpunkt das ist ihr Streckzentrum und ihre Fixgeraden sind genau die Geraden die durch dieses Zentrum gehen Spezialfalle BearbeitenFur k 1 displaystyle k 1 nbsp ergibt sich die identische Abbildung Identitat fur k 1 displaystyle k 1 nbsp eine Punktspiegelung Der Fall k 0 displaystyle k 0 nbsp ist nicht erlaubt da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hatten namlich das Zentrum Verallgemeinerungen BearbeitenDie zentrische Streckung ist ein Beispiel fur eine Dilatation In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie wird dieser Begriff mithilfe der Parallelitat definiert Die zentrische Streckung ist der Spezialfall einer Drehstreckung mit Drehwinkel 0 An Stelle des affinen 2 bzw 3 dimensionalen Raumes uber den reellen Zahlen kann man zentrische Streckungen auch allgemeiner in jedem endlichdimensionalen affinen Raum uber einem beliebigen Korper und sogar uber einem beliebigen Schiefkorper definieren Die vektorielle Darstellung ist die Gleiche wie im reellen Fall allerdings bilden die Parallelverschiebungen die von einem Zentrum aus gestreckt werden im Allgemeinen nur noch einen Linksvektorraum uber dem Koordinatenschiefkorper Im ebenen zweidimensionalen Fall wird noch etwas allgemeiner auch noch dann von einer zentrischen Streckung gesprochen wenn die Parallelverschiebungen als Koordinaten Vektoren einer affinen Translationsebene uber einem Quasikorper mit einem Skalar aus dem Kern des Quasikorpers gestreckt werden In den beiden zuletzt genannten Fallen kann man im Allgemeinen weder von Winkel noch von Langenverhaltnistreue sprechen da weder ein Winkelmass noch ein Langenmass existieren muss Auch hier gehoren die zentrischen Streckungen aber stets zu den Dilatationen und den Affinitaten und fur Fixpunkte und Fixgeraden gilt das Gleiche wie im reellen Fall Siehe auch BearbeitenStrahlensatz Siebeneck bei gegebenem Umkreis Elfeck bei gegebener SeitenlangeLiteratur BearbeitenLambacher Schweizer 8 V Ahnlichkeit In Mathematik fur Gymnasien Ernst Klett Verlag GmbH Stuttgart 2013 ISBN 978 3 12 734181 2 S 178 214 Streckung In Schulerduden Mathematik II Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus 2004 ISBN 3 411 04275 3 S 433 435 Hans Schupp Elementargeometrie UTB Schoningh Paderborn 1977 ISBN 3 506 99189 2 S 126 133 Susanne Muller Philipp Hans Joachim Gorski Leitfaden Geometrie Vieweg Teubner 5 erweiterte Auflage 2012 S 208 218 Ilka Agricola Thomas Friedrich Elementargeometrie Vieweg Teubner 2 uberarbeitete Auflage 2009 S 88 94Weblinks Bearbeiten nbsp Commons 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