Die Parameterform oder Punktrichtungsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Parameterform wird eine Gerade durch einen Ortsvektor (Stützvektor) und einen Richtungsvektor dargestellt. Jeder Punkt der Geraden wird dann in Abhängigkeit von einem Parameter beschrieben. Eine Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben. Bei der Parameterform handelt es sich um eine spezielle Parameterdarstellung.
Parameterform einer Geradengleichung Bearbeiten
Darstellung Bearbeiten
In der Parameterform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren die Gleichung
erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Geraden, der auch als Aufpunkt bezeichnet wird. Der Richtungsvektor ist der Differenzvektor (Verbindungsvektor) zu einem beliebigen weiteren Punkt der Geraden. In der Parameterform werden die Punkte der Geraden in Abhängigkeit von dem Parameter dargestellt. Jedem Wert von entspricht genau ein Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter die reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden. Ist ein Einheitsvektor, dann gibt gerade den Abstand eines Punkts auf der Geraden vom Aufpunkt an.
Beispiel Bearbeiten
Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Geradengleichung
mit . Im Bild oben ist der Stützvektor und der Richtungsvektor , man erhält als Geradengleichung
Jede Wahl von , beispielsweise oder , ergibt dann einen Geradenpunkt.
Berechnung Bearbeiten
Aus der Zweipunkteform Bearbeiten
Aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung lässt sich ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren und der beiden Punkte erhalten, das heißt
Als Stützvektor kann der Ortsvektor eines der Punkte verwendet werden.
Aus der Normalenform Bearbeiten
Aus der Normalenform einer Geradengleichung kann ein Richtungsvektor der Geraden bestimmt werden, indem die beiden Komponenten des Normalenvektors der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt
Der Stützvektor kann aus der Normalenform übernommen werden.
Aus der Koordinatenform Bearbeiten
Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern und lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als ablesen und damit ein Richtungsvektor der Gerade analog zur Normalenform über
ermitteln. Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob oder ungleich null ist, durch Wahl von
Analog lassen sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform und der hesseschen Normalform ein Stützvektor und ein Richtungsvektor berechnen.
Verallgemeinerung Bearbeiten
Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch Geraden im drei- oder höherdimensionalen Raum beschreiben. Im -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung
erfüllen. Es wird dabei lediglich mit -komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet.
Parameterform einer Ebenengleichung Bearbeiten
Darstellung Bearbeiten
In der Parameterform wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren und beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren die Gleichung
erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, der wiederum als Aufpunkt bezeichnet wird. Die beiden Richtungsvektoren, hier auch Spannvektoren genannt, müssen in der Ebene liegen und ungleich dem Nullvektor sein. Sie dürfen auch nicht kollinear sein, das heißt darf sich nicht als Vielfaches von schreiben lassen und umgekehrt. In der Parameterform werden die Punkte der Ebene in Abhängigkeit von den zwei Parametern und dargestellt. Jedem Wertepaar dieser Parameter entspricht dann genau ein Punkt der Ebene. Die Richtungsvektoren spannen somit ein affines Koordinatensystem auf, wobei die affinen Koordinaten eines Punkts der Ebene sind.
Beispiel Bearbeiten
Ausgeschrieben lautet die Parameterform einer Ebenengleichung
mit . Ist beispielsweise der Stützvektor und sind die Richtungsvektoren und , so erhält man als Ebenengleichung
Jede Wahl von , beispielsweise oder , ergibt dann einen Ebenenpunkt.
Berechnung Bearbeiten
Aus der Dreipunkteform Bearbeiten
Aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung lassen sich zwei Richtungsvektoren der Ebene als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren , und jeweils zweier Punkte erhalten, also
Als Stützvektor kann der Ortsvektor eines der Punkte verwendet werden.
Aus der Normalenform Bearbeiten
Aus der Normalenform einer Ebenengleichung können aus dem Normalenvektor zwei Richtungsvektoren der Ebene durch Setzen von
bestimmt werden. Sollte einer dieser beiden Vektoren gleich dem Nullvektor sein, kann stattdessen der Vektor gewählt werden. Der Stützvektor kann aus der Normalenform übernommen werden.
Aus der Koordinatenform Bearbeiten
Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern und lässt sich ein Normalenvektor der Ebene als ablesen und damit zwei Richtungsvektoren der Ebene über
ermitteln. Sollte einer dieser beiden Vektoren gleich dem Nullvektor sein, kann stattdessen der Vektor gewählt werden. Einen Stützvektor erhält man, je nachdem, welche der Zahlen ungleich null ist, durch Wahl von
Analog lassen sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform und der hesseschen Normalform ein Stützvektor und ein beziehungsweise zwei Richtungsvektoren berechnen.
Verallgemeinerung Bearbeiten
Allgemein lassen sich durch die Parameterform nicht nur Ebenen im dreidimensionalen Raum, sondern auch in höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Ebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung
erfüllen. Es wird dabei lediglich mit -komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet.
Literatur Bearbeiten
- Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.
Weblinks Bearbeiten
- Ebene von Normalform in Parameterform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014.
- Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014.