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Koordinatentransformation Bei einer werden aus den Koordinaten die ein Punkt in einem Koordinatensystem hat die Koordina

Koordinatentransformation

Bei einer Koordinatentransformation werden aus den Koordinaten, die ein Punkt in einem Koordinatensystem hat, die Koordinaten berechnet, die er in einem anderen Koordinatensystem hat. Formal gesehen ist dies die Umwandlung (Transformation) der ursprünglichen Koordinaten in die neuen Koordinaten . Die häufigsten Anwendungen finden sich in der Geometrie, der Geodäsie, der Photogrammetrie und bei technischen Aufgabenstellungen, aber auch in solch populären Bereichen wie der Computeranimation oder bei Computerspielen, in denen die dargestellte „Realität“ aus Sicht des Spielers, wenn er sich bewegt, fortwährend neu berechnet werden muss.

Koordinatentransformation bei als ruhend angenommenem Objekt (links) bzw. als ruhend angenommenem Koordinatensystem (rechts)

Typische Koordinatentransformationen entstehen durch Drehung (Rotation), Skalierung (Veränderung des Maßstabs), Scherung und Verschiebung (Translation) des Koordinatensystems, die auch kombiniert werden können.

Allgemein können die neuen Koordinaten beliebige Funktionen der alten Koordinaten sein. In der Regel verwendet man spezielle Transformationen, bei denen diese Funktionen gewissen Einschränkungen – z. B. Differenzierbarkeit, Linearität oder Formtreue – unterliegen. Koordinatentransformationen können angewendet werden, wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter lösen lässt, z. B. bei der Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten oder umgekehrt.

Ein Spezialfall der Koordinatentransformation ist der Basiswechsel in einem Vektorraum.

Die hier betrachteten Transformationen, bei denen die Koordinatensysteme geändert werden und sich dadurch nur die Koordinaten der Punkte ändern, während die Punkte selbst unverändert bleiben, heißen auch passive oder Alias-Transformationen, während Transformationen, bei denen sich umgekehrt die Position der Punkte gegenüber einem festen Koordinatensystems ändert, auch aktive oder Alibi-Transformationen genannt werden (siehe Abb.).

Lineare Transformationen Bearbeiten

Bei linearen Transformationen sind die neuen Koordinaten lineare Funktionen der ursprünglichen, also

Dies kann man kompakt als Matrixmultiplikation des alten Koordinatenvektors mit der Matrix , die die Koeffizienten enthält, darstellen

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems stimmt dabei mit dem des ursprünglichen Koordinatensystems überein.

Drehung (Rotation) Bearbeiten

Drehung eines Koordinatensystems gegenüber einem als ruhend betrachteten Vektor sowie eines Vektors gegenüber einem als ruhend betrachteten Koordinatensystem
Drehung des Koordinatensystems gegen den Uhrzeigersinn

Ein wichtiger Typ linearer Koordinatentransformationen sind solche, bei denen das neue Koordinatensystem gegenüber dem alten um den Koordinatenursprung gedreht ist (in nebenstehender Grafik die sogen. „Alias-Transformation“). In zwei Dimensionen gibt es dabei als Parameter lediglich den Rotationswinkel, im Dreidimensionalen dagegen muss weiters eine sich durch die Rotation nicht ändernde Drehachse definiert werden. Beschrieben wird die Drehung dabei in beiden Fällen durch eine Drehmatrix.

Beispiel Bearbeiten

Betrachtet werden zwei dreidimensionale kartesische Koordinatensysteme und mit einer gemeinsamen z-Achse und gemeinsamem Ursprung. Das Koordinatensystem sei gegenüber um den Winkel um die z-Achse im Uhrzeigersinn gedreht. Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten mit:

In Matrixschreibweise ergibt sich mit der inversen Drehmatrix für diese Rotation des Koordinatensystems:

Skalierung Bearbeiten

Skalierung

Bei der Skalierung werden die „Einheiten“ der Achsen geändert. Das heißt, die Zahlenwerte der Koordinaten werden mit konstanten Faktoren multipliziert („skaliert“)

Die Parameter dieser Transformation sind die Zahlen . Ein Spezialfall ist die „Maßstabsänderung“, bei der alle Faktoren den gleichen Wert haben

Die Matrix ist in diesem Fall das -fache der Einheitsmatrix.

Scherung Bearbeiten

Scherung

Bei der Scherung verändert sich der Winkel zwischen den Koordinatenachsen. In zwei Dimensionen gibt es daher einen Parameter, im dreidimensionalen Raum drei Parameter.

Affine Transformationen Bearbeiten

Affine Transformationen bestehen aus einer linearen Transformation und einer Translation.

Sind beide beteiligten Koordinatensysteme linear, (d. h. im Prinzip durch einen Koordinatenursprung und gleichmäßig unterteilte Koordinatenachsen gegeben), so liegt eine affine Transformation vor. Hierbei sind die neuen Koordinaten affine Funktionen der ursprünglichen, also

Dies kann man kompakt als Matrixmultiplikation des alten Koordinatenvektors mit der Matrix , die die Koeffizienten enthält, und Addition eines Vektors , der die enthält, darstellen

Die Translation ist ein Spezialfall einer affinen Transformation, bei der A die Einheitsmatrix ist.

Verschiebung (Translation) Bearbeiten

Verschiebung

Betrachtet werden zwei Koordinatensysteme und . Das System ist gegenüber um den Vektor verschoben. Ein Punkt , der im Koordinatensystem die Koordinaten hat, besitzt dann im Koordinatensystem  die Koordinaten .

Beispiele Bearbeiten

Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten Bearbeiten

Ein Punkt in der Ebene wird im kartesischen Koordinatensystem durch seine Koordinaten (x,y) und im Polarkoordinatensystem durch den Abstand vom Ursprung und dem (positiven) Winkel zur x-Achse bestimmt.

Dabei gilt für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt:

Bei der Implementierung der Variante mit ist mit Rundungsfehlern zu rechnen, welche bei Nutzung des deutlich geringer ausfallen.

Weitere Anwendungen Bearbeiten

In der Physik spielt die Invarianz gewisser Naturgesetze unter Koordinatentransformationen eine besondere Rolle, siehe hierzu Symmetrietransformation. Von besonders grundlegender Bedeutung sind die Galilei-Transformation, Lorentz-Transformation und die Eichtransformation. Häufig gebraucht werden auch Transformationen von Operatoren und Vektoren:

In den Geowissenschaften – insbesondere der Geodäsie und Kartografie gibt es noch weitere Transformationen, die formal Koordinatentransformationen darstellen.

Im Bereich Robotik gilt die Denavit-Hartenberg-Transformation als das Standardverfahren.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol: Taschenbuch der Mathematik. 6. vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0.
  • Siegfried Heitz: Koordinaten auf geodätischen Bezugsflächen. Dümmler, Bonn 1985, ISBN 3-427-78981-0.
  • Siegfried Heitz: Mechanik fester Körper. Band 1: Grundlagen. Dynamik starrer Körper. Dümmler, Bonn 1980, ISBN 3-427-78921-7.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Beispielsweise kann die Umwandlung zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten nicht durch eine Basiswechselmatrix dargestellt werden. Deshalb ist es zwar eine Koordinatentransformation, aber kein Basiswechsel.
  2. Eric W. Weisstein: Alias Transformation. MathWorld – A Wolfram Web Resource.
  3. Eric W. Weisstein: Alibi Transformation. MathWorld – A Wolfram Web Resource.
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Veröffentlichungsdatum:
Bei einer Koordinatentransformation werden aus den Koordinaten die ein Punkt in einem Koordinatensystem hat die Koordinaten berechnet die er in einem anderen Koordinatensystem hat Formal gesehen ist dies die Umwandlung Transformation der ursprunglichen Koordinaten x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dotsc x n in die neuen Koordinaten x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dotsc x n Die haufigsten Anwendungen finden sich in der Geometrie der Geodasie der Photogrammetrie und bei technischen Aufgabenstellungen aber auch in solch popularen Bereichen wie der Computeranimation oder bei Computerspielen in denen die dargestellte Realitat aus Sicht des Spielers wenn er sich bewegt fortwahrend neu berechnet werden muss Koordinatentransformation bei als ruhend angenommenem Objekt links bzw als ruhend angenommenem Koordinatensystem rechts Typische Koordinatentransformationen entstehen durch Drehung Rotation Skalierung Veranderung des Massstabs Scherung und Verschiebung Translation des Koordinatensystems die auch kombiniert werden konnen Allgemein konnen die neuen Koordinaten x i displaystyle x i beliebige Funktionen der alten Koordinaten x i displaystyle x i sein In der Regel verwendet man spezielle Transformationen bei denen diese Funktionen gewissen Einschrankungen z B Differenzierbarkeit Linearitat oder Formtreue unterliegen Koordinatentransformationen konnen angewendet werden wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter losen lasst z B bei der Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten oder umgekehrt Ein Spezialfall der Koordinatentransformation ist der Basiswechsel in einem Vektorraum 1 Die hier betrachteten Transformationen bei denen die Koordinatensysteme geandert werden und sich dadurch nur die Koordinaten der Punkte andern wahrend die Punkte selbst unverandert bleiben heissen auch passive oder Alias Transformationen 2 wahrend Transformationen bei denen sich umgekehrt die Position der Punkte gegenuber einem festen Koordinatensystems andert auch aktive oder Alibi Transformationen 3 genannt werden siehe Abb Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Transformationen 1 1 Drehung Rotation 1 1 1 Beispiel 1 2 Skalierung 1 3 Scherung 2 Affine Transformationen 2 1 Verschiebung Translation 3 Beispiele 3 1 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten 3 2 Weitere Anwendungen 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseLineare Transformationen BearbeitenSiehe auch Lineare Abbildung Bei linearen Transformationen sind die neuen Koordinaten lineare Funktionen der ursprunglichen also x 1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n displaystyle x 1 a 11 x 1 a 12 x 2 dots a 1n x n nbsp x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n displaystyle x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 dots a 2n x n nbsp displaystyle ldots nbsp x n a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n displaystyle x n a n1 x 1 a n2 x 2 dots a nn x n nbsp Dies kann man kompakt als Matrixmultiplikation des alten Koordinatenvektors x x 1 x n displaystyle vec x x 1 dots x n nbsp mit der Matrix A displaystyle A nbsp die die Koeffizienten a i j displaystyle a ij nbsp enthalt darstellen x A x displaystyle vec x A vec x nbsp Der Ursprung des neuen Koordinatensystems stimmt dabei mit dem des ursprunglichen Koordinatensystems uberein Drehung Rotation Bearbeiten nbsp Drehung eines Koordinatensystems gegenuber einem als ruhend betrachteten Vektor sowie eines Vektors gegenuber einem als ruhend betrachteten Koordinatensystem nbsp Drehung des Koordinatensystems gegen den UhrzeigersinnEin wichtiger Typ linearer Koordinatentransformationen sind solche bei denen das neue Koordinatensystem gegenuber dem alten um den Koordinatenursprung gedreht ist in nebenstehender Grafik die sogen Alias Transformation In zwei Dimensionen gibt es dabei als Parameter lediglich den Rotationswinkel im Dreidimensionalen dagegen muss weiters eine sich durch die Rotation nicht andernde Drehachse definiert werden Beschrieben wird die Drehung dabei in beiden Fallen durch eine Drehmatrix Beispiel Bearbeiten Betrachtet werden zwei dreidimensionale kartesische Koordinatensysteme S displaystyle S nbsp und S displaystyle S nbsp mit einer gemeinsamen z Achse und gemeinsamem Ursprung Das Koordinatensystem S displaystyle S nbsp sei gegenuber S displaystyle S nbsp um den Winkel f displaystyle varphi nbsp um die z Achse im Uhrzeigersinn gedreht Ein Punkt P der im Koordinatensystem S die Koordinaten x x y z displaystyle vec x x y z nbsp hat besitzt dann im Koordinatensystem S die Koordinaten x x y z displaystyle vec x x y z nbsp mit x x cos f y sin f displaystyle x x cos varphi y sin varphi nbsp y x sin f y cos f displaystyle y x sin varphi y cos varphi nbsp z z displaystyle z z nbsp In Matrixschreibweise ergibt sich mit der inversen Drehmatrix fur diese Rotation des Koordinatensystems x cos f sin f 0 sin f cos f 0 0 0 1 x displaystyle vec x begin pmatrix cos varphi amp sin varphi amp 0 sin varphi amp cos varphi amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix vec x nbsp Skalierung Bearbeiten nbsp SkalierungBei der Skalierung werden die Einheiten der Achsen geandert Das heisst die Zahlenwerte der Koordinaten x i displaystyle x i nbsp werden mit konstanten Faktoren l i displaystyle lambda i nbsp multipliziert skaliert x i l i x i displaystyle x i lambda i cdot x i nbsp Die Parameter dieser Transformation sind die N displaystyle N nbsp Zahlen l i displaystyle lambda i nbsp Ein Spezialfall ist die Massstabsanderung bei der alle Faktoren den gleichen Wert haben l i l displaystyle lambda i lambda nbsp Die Matrix A displaystyle A nbsp ist in diesem Fall das l displaystyle lambda nbsp fache der Einheitsmatrix Scherung Bearbeiten nbsp ScherungBei der Scherung verandert sich der Winkel zwischen den Koordinatenachsen In zwei Dimensionen gibt es daher einen Parameter im dreidimensionalen Raum drei Parameter Affine Transformationen BearbeitenSiehe auch Affine Abbildung Affine Transformationen bestehen aus einer linearen Transformation und einer Translation Sind beide beteiligten Koordinatensysteme linear d h im Prinzip durch einen Koordinatenursprung und gleichmassig unterteilte Koordinatenachsen gegeben so liegt eine affine Transformation vor Hierbei sind die neuen Koordinaten affine Funktionen der ursprunglichen also x 1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 displaystyle x 1 a 11 x 1 a 12 x 2 dots a 1n x n b 1 nbsp x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 displaystyle x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 dots a 2n x n b 2 nbsp displaystyle ldots nbsp x n a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n b n displaystyle x n a n1 x 1 a n2 x 2 dots a nn x n b n nbsp Dies kann man kompakt als Matrixmultiplikation des alten Koordinatenvektors x x 1 x n displaystyle vec x x 1 dots x n nbsp mit der Matrix A displaystyle A nbsp die die Koeffizienten a i j displaystyle a ij nbsp enthalt und Addition eines Vektors b displaystyle vec b nbsp der die b i displaystyle b i nbsp enthalt darstellen x A x b displaystyle vec x A vec x vec b nbsp Die Translation ist ein Spezialfall einer affinen Transformation bei der A die Einheitsmatrix ist Verschiebung Translation Bearbeiten nbsp VerschiebungBetrachtet werden zwei Koordinatensysteme S displaystyle S nbsp und S displaystyle S nbsp Das System S displaystyle S nbsp ist gegenuber S displaystyle S nbsp um den Vektor b displaystyle vec b nbsp verschoben Ein Punkt P displaystyle P nbsp der im Koordinatensystem S displaystyle S nbsp die Koordinaten x displaystyle vec x nbsp hat besitzt dann im Koordinatensystem S displaystyle S nbsp die Koordinaten x x b displaystyle vec x vec x vec b nbsp Beispiele BearbeitenKartesische Koordinaten und Polarkoordinaten Bearbeiten Hauptartikel Polarkoordinaten Ein Punkt in der Ebene wird im kartesischen Koordinatensystem durch seine Koordinaten x y und im Polarkoordinatensystem durch den Abstand r displaystyle r nbsp vom Ursprung und dem positiven Winkel f displaystyle varphi nbsp zur x Achse bestimmt Dabei gilt fur die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten x r cos f displaystyle x r cdot cos varphi nbsp y r sin f displaystyle y r cdot sin varphi nbsp Fur die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt r x 2 y 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 nbsp f arctan y x f u r x gt 0 arctan y x p f u r x lt 0 y 0 arctan y x p f u r x lt 0 y lt 0 p 2 f u r x 0 y gt 0 p 2 f u r x 0 y lt 0 displaystyle varphi begin cases arctan frac y x amp mathrm f ddot u r x gt 0 arctan frac y x pi amp mathrm f ddot u r x lt 0 y geq 0 arctan frac y x pi amp mathrm f ddot u r x lt 0 y lt 0 pi 2 amp mathrm f ddot u r x 0 y gt 0 pi 2 amp mathrm f ddot u r x 0 y lt 0 end cases nbsp arccos x r f u r y 0 arccos x r f u r y lt 0 displaystyle begin cases arccos frac x r amp mathrm f ddot u r y geq 0 arccos left frac x r right amp mathrm f ddot u r y lt 0 end cases nbsp dd Bei der Implementierung der Variante mit a r c c o s displaystyle arccos nbsp ist mit Rundungsfehlern zu rechnen welche bei Nutzung des a r c t a n displaystyle arctan nbsp deutlich geringer ausfallen Weitere Anwendungen Bearbeiten In der Physik spielt die Invarianz gewisser Naturgesetze unter Koordinatentransformationen eine besondere Rolle siehe hierzu Symmetrietransformation Von besonders grundlegender Bedeutung sind die Galilei Transformation Lorentz Transformation und die Eichtransformation Haufig gebraucht werden auch Transformationen von Operatoren und Vektoren Die Transformation von Differential Operatoren Die Transformation von VektorfeldernIn den Geowissenschaften insbesondere der Geodasie und Kartografie gibt es noch weitere Transformationen die formal Koordinatentransformationen darstellen Transformation von geographischer Breite und Lange in Gauss Kruger Koordinaten Die Umrechnungen zwischen astronomischen Koordinaten 7 Parameter Transformation Verschiebung Drehung Massstab zwischen zwei Koordinatensystemen auf demselben oder anderen Referenzellipsoid en auch Helmert Transformation Dreh Streckung Im Bereich Robotik gilt die Denavit Hartenberg Transformation als das Standardverfahren Siehe auch BearbeitenListe von Transformationen in der 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zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten nicht durch eine Basiswechselmatrix dargestellt werden Deshalb ist es zwar eine Koordinatentransformation aber kein Basiswechsel Eric W Weisstein Alias Transformation MathWorld A Wolfram Web Resource Eric W Weisstein Alibi Transformation MathWorld A Wolfram Web Resource Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koordinatentransformation amp oldid 235093932