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Eichtransformation Eine verändert die Eichfelder einer physikalischen Theorie z B die elektromagnetischen Potentiale ode

Eichtransformation

Eine Eichtransformation verändert die Eichfelder einer physikalischen Theorie (z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben. Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet.

Man unterscheidet:

  • globale Eichtransformationen: sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, z. B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen Wellenfunktion der Quantenmechanik.
  • lokale Eichtransformationen: dabei werden die Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.

Eine physikalische Wirkung, die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt, wird als Eichtheorie bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – Gravitation, Elektromagnetismus, schwache Wechselwirkung (Beta-Zerfall des Neutrons) und die starke Wechselwirkung (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben.

Nach dem Noether-Theorem weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin.

Elektrodynamik Bearbeiten

Die Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation

welche das elektrische Potential und das magnetische Potential um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion ändert.

Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld

noch das elektrische Feld

Zur Definition von und siehe Gradient und Rotation.

Auswirkung auf die Wellenfunktion (Quantenmechanik) Bearbeiten

Sei die Wellenfunktion eine Lösung der Schrödingergleichung

Dann ist eine Lösung der Schrödingergleichung

Die beiden Wellenfunktionen und haben dabei für alle und jeweils denselben Betrag, weil .

Beispiele Bearbeiten

Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.

Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit .

Lorenz-Eichung Bearbeiten

Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion , die

erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von und .

Coulomb-Eichung Bearbeiten

Erfüllt die Eichfunktion hingegen

so hilft die Transformation, das Skalarfeld gerade zum Coulomb-Potential der Ladungen zu transformieren; erfüllt dann die elektrostatische Poissongleichung.

Allgemeine Relativitätstheorie Bearbeiten

Ebenso ist die Allgemeine Relativitätstheorie eine Eichtheorie, deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wählbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt:

Die Wirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ändert sich unter dieser Eichtransformation nicht.

Literatur Bearbeiten

  1. Robert G. Brown: Gauge Transformations. Abgerufen am 17. Januar 2013 (englisch): „A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.“
  2. Exercise 1: Gauge transformation and wave function. In: mpl.mpg.de. Abgerufen am 11. März 2023.
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Eine Eichtransformation verandert die Eichfelder einer physikalischen Theorie z B die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie dergestalt dass die physikalisch wirksamen Felder z B das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld und damit alle beobachtbaren Ablaufe dabei die gleichen bleiben 1 Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet Man unterscheidet globale Eichtransformationen sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgefuhrt z B die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen Wellenfunktion der Quantenmechanik lokale Eichtransformationen dabei werden die Veranderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt sondern mit Hilfe einer ortlich und oder zeitlich variierenden Funktion Eine physikalische Wirkung die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet Eine Theorie die nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt wird als Eichtheorie bezeichnet Alle fundamentalen Wechselwirkungen Gravitation Elektromagnetismus schwache Wechselwirkung Beta Zerfall des Neutrons und die starke Wechselwirkung Kernkrafte werden durch solche Eichtheorien beschrieben Nach dem Noether Theorem weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgrosse hin Inhaltsverzeichnis 1 Elektrodynamik 1 1 Auswirkung auf die Wellenfunktion Quantenmechanik 2 Beispiele 2 1 Lorenz Eichung 2 2 Coulomb Eichung 3 Allgemeine Relativitatstheorie 4 LiteraturElektrodynamik BearbeitenDie Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation ϕ r t ϕ r t t L r t displaystyle phi vec r t phi vec r t frac partial partial t Lambda vec r t nbsp A r t A r t g r a d L r t displaystyle vec A vec r t vec A vec r t mathrm grad Lambda vec r t nbsp welche das elektrische Potential ϕ displaystyle phi nbsp und das magnetische Potential A displaystyle vec A nbsp um die partiellen Ableitungen einer beliebig wahlbaren Funktion L displaystyle Lambda nbsp andert Diese Transformation andert weder das Magnetfeld B r o t A displaystyle vec B mathrm rot vec A nbsp noch das elektrische Feld E g r a d ϕ t A displaystyle vec E mathrm grad phi frac partial partial t vec A nbsp Zur Definition von g r a d displaystyle mathrm grad nbsp und r o t displaystyle mathrm rot nbsp siehe Gradient und Rotation Auswirkung auf die Wellenfunktion Quantenmechanik Bearbeiten Sei die Wellenfunktion ps r t displaystyle psi vec r t nbsp eine Losung der Schrodingergleichung i ℏ t ps r t 1 2 m p q A r t 2 ϕ r t ps r t displaystyle i hbar frac partial partial t psi vec r t left frac 1 2m left hat mathbf p q mathbf A vec r t right 2 phi vec r t right psi vec r t nbsp eines Teilchens der Ladung q displaystyle q nbsp und Masse m displaystyle m nbsp fur die Potentiale A displaystyle vec A nbsp und ϕ displaystyle phi nbsp siehe oben Dann ist ps r t ps r t e i q ℏ L r t displaystyle psi vec r t psi vec r t cdot e frac iq hbar Lambda vec r t nbsp eine Losung der Schrodingergleichung i ℏ t ps r t 1 2 m p q A r t 2 ϕ r t ps r t displaystyle i hbar frac partial partial t psi vec r t left frac 1 2m left hat mathbf p q mathbf A vec r t right 2 phi vec r t right psi vec r t nbsp des Teilchens fur die eichtransformierten Potentiale 2 Die beiden Wellenfunktionen ps r t displaystyle psi vec r t nbsp und ps r t displaystyle psi vec r t nbsp haben dabei fur alle r displaystyle vec r nbsp und t displaystyle t nbsp jeweils denselben Betrag weil e i q ℏ L r t 1 displaystyle left e frac iq hbar Lambda vec r t right 1 nbsp Beispiele BearbeitenEichtransformationen konnen genutzt werden um Berechnungen zu vereinfachen Die Beispiele verwenden das Masssystem mit c 1 displaystyle c 1 nbsp Lorenz Eichung Bearbeiten Hauptartikel Lorenz Eichung Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion ps displaystyle psi nbsp die 2 ps 2 t 2 ps A t ϕ displaystyle nabla 2 psi frac partial 2 partial t 2 psi nabla cdot vec A frac partial partial t phi nbsp erfullt werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhangigen Wellengleichungen von ϕ displaystyle phi nbsp und A displaystyle vec A nbsp Coulomb Eichung Bearbeiten Hauptartikel Coulomb Eichung Erfullt die Eichfunktion ps displaystyle psi nbsp hingegen 2 ps A displaystyle nabla 2 psi nabla cdot vec A nbsp so hilft die Transformation das Skalarfeld ϕ displaystyle phi nbsp gerade zum Coulomb Potential der Ladungen zu transformieren ϕ displaystyle phi nbsp erfullt dann die elektrostatische Poissongleichung Allgemeine Relativitatstheorie BearbeitenEbenso ist die Allgemeine Relativitatstheorie eine Eichtheorie deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wahlbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt x m x m x m displaystyle x mu x mu x mu nbsp Die Wirkung der Allgemeinen Relativitatstheorie andert sich unter dieser Eichtransformation nicht Literatur Bearbeiten Robert G Brown Gauge Transformations Abgerufen am 17 Januar 2013 englisch A gauge transformation can be broadly defined as any formal systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant Exercise 1 Gauge transformation and wave function In mpl mpg de Abgerufen am 11 Marz 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eichtransformation amp oldid 232703674