Dieser Artikel beschreibt den mathematischen Differentialoperator Rotation Zu der Drehbewegung eines Korpers siehe Rotation Physik zu der geometrischen Abbildung siehe Drehung Als Rotation oder Rotor 1 2 bezeichnet man in der Vektoranalysis einem Teilgebiet der Mathematik einen Differentialoperator der einem Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Hilfe der Differentiation ein neues Vektorfeld zuordnet Die Rotation eines Stromungsfeldes gibt fur jeden Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an mit der sich ein mitschwimmender Korper dreht rotiert Dieser Zusammenhang ist namensgebend Das Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe besitzt eine konstante Rotation parallel zur Drehachse w lt 0 displaystyle left omega lt 0 right Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes Ein Vektorfeld dessen Rotation in einem Gebiet uberall gleich null ist nennt man wirbelfrei oder insbesondere bei Kraftfeldern konservativ Ist das Gebiet einfach zusammenhangend so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich null Umgekehrt ist in einfach zusammenhangenden Gebieten ein Feld dessen Divergenz gleich null ist die Rotation eines anderen Vektorfeldes Beispiele Das Vektorfeld das an jedem Ort die Windrichtung und geschwindigkeit eines Wirbelsturms angibt hat in der Umgebung des Auges der Rotationsachse eine von null verschiedene Rotation Das Vektorfeld v x y z w x e y y e x displaystyle vec v x y z omega cdot x hat e y y hat e x das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt hat an jedem Punkt dieselbe von null verschiedene Rotation Die Rotation betragt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit rot v x y z 2 w e z displaystyle operatorname rot vec v x y z 2 omega hat e z Siehe Abbildung Das Kraftfeld das an jedem Punkt die Gravitationskraft der Sonne auf ein Testteilchen angibt ist wirbelfrei Das Kraftfeld ist der negative Gradient der potentiellen Energie des Teilchens Inhaltsverzeichnis 1 Definition der Rotation 1 1 Definition in kartesischen Koordinaten 1 2 Koordinatenunabhangige Definition mit dem Nabla Operator 1 3 Definition in Kugelkoordinaten 1 4 Definition in Zylinderkoordinaten 1 5 Rotation in zwei Dimensionen 2 Eigenschaften 2 1 Koordinatenfreie Darstellung der Rotation als Volumenableitung 2 2 Axialvektorfeld 2 3 Rechenregeln 3 Anwendungen 3 1 Zusammenhang zur Winkelgeschwindigkeit 3 2 Veranschaulichung durch Drehmoment 4 Satze in denen die Rotation eine Rolle spielt 4 1 Zerlegung in quellen und wirbelfreien Teil 4 2 Integralsatz von Stokes 5 Rotation von Tensoren zweiter Stufe 5 1 Symmetrische Tensoren 5 2 Ableitungsregeln 6 Siehe auch 7 Einzelnachweise 8 Literatur 9 WeblinksDefinition der Rotation BearbeitenDefinition in kartesischen Koordinaten Bearbeiten Seien x y z displaystyle x y z nbsp die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und e x displaystyle hat e x nbsp e y displaystyle hat e y nbsp und e z displaystyle hat e z nbsp die auf Einheitslange normierten zueinander senkrechten Basisvektoren die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen Die Rotation eines dreidimensionalen differenzierbaren Vektorfeldes F x y z F x x y z e x F y x y z e y F z x y z e z displaystyle vec F x y z F x x y z hat e x F y x y z hat e y F z x y z hat e z nbsp ist das dreidimensionale Vektorfeld rot F x y z F z y F y z e x F x z F z x e y F y x F x y e z displaystyle operatorname rot vec F x y z left frac partial F z partial y frac partial F y partial z right hat e x left frac partial F x partial z frac partial F z partial x right hat e y left frac partial F y partial x frac partial F x partial y right hat e z nbsp Man kann rot F displaystyle operatorname rot vec F nbsp wie das Kreuzprodukt als formale Determinante einer Matrix auffassen deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthalt die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen rot F det e x x F x e y y F y e z z F z det e x e y e z x y z F x F y F z displaystyle operatorname rot vec F operatorname det begin pmatrix hat e x amp frac partial partial x amp F x hat e y amp frac partial partial y amp F y hat e z amp frac partial partial z amp F z end pmatrix operatorname det begin pmatrix hat e x amp hat e y amp hat e z frac partial partial x amp frac partial partial y amp frac partial partial z F x amp F y amp F z end pmatrix nbsp Allerdings sind hier die verschiedenen Spalten nicht Vektoren desselben Vektorraumes Gibt man die Vektoren als Spaltenvektoren ihrer kartesischen Komponenten an dann ist rot F displaystyle operatorname rot vec F nbsp das formale Kreuzprodukt des Spaltenvektors der partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten des Nabla Operators displaystyle nabla nbsp mit dem Spaltenvektor der kartesischen Komponentenfunktionen rot F x y z F i 1 3 e i F x i x y z F x F y F z F z y F y z F x z F z x F y x F x y displaystyle operatorname rot vec F x y z nabla times vec F sum i 1 3 hat e i times frac partial vec F partial x i begin pmatrix frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z end pmatrix times begin pmatrix F x F y F z end pmatrix begin pmatrix frac partial F z partial y frac partial F y partial z frac partial F x partial z frac partial F z partial x frac partial F y partial x frac partial F x partial y end pmatrix nbsp wo die Koordinaten nach dem ublichen Schema x 1 y 2 und z 3 durchnummeriert wurden Koordinatenunabhangige Definition mit dem Nabla Operator Bearbeiten Der Nabla Operator ist auch in anderen Koordinatensystemen definiert und so kann mit ihm die Rotation koordinatenunabhangig durch r o t F F displaystyle mathrm rot vec F nabla times vec F nbsp definiert werden Mit dem Nabla Operator konnen auch der Gradient sowie die Divergenz eines Vektorfeldes dargestellt und Produktregeln hergeleitet werden Definition in Kugelkoordinaten Bearbeiten Schreibt man das Vektorfeld in Kugelkoordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp als Linearkombination F r 8 f F r r 8 f e r F 8 r 8 f e 8 F f r 8 f e f displaystyle vec F r theta varphi F r r theta varphi hat e r F theta r theta varphi hat e theta F varphi r theta varphi hat e varphi nbsp der auf Einheitslange normierten Vektoren e r sin ϑ cos f sin ϑ sin f cos ϑ 1 x 2 y 2 z 2 x y z e 8 cos ϑ cos f cos ϑ sin f sin ϑ 1 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z x z y x 2 y 2 e f sin f cos f 0 1 x 2 y 2 y x 0 displaystyle begin aligned hat e r amp begin pmatrix sin vartheta cos varphi sin vartheta sin varphi cos vartheta end pmatrix frac 1 sqrt x 2 y 2 z 2 begin pmatrix x y z end pmatrix hat e theta amp begin pmatrix cos vartheta cos varphi cos vartheta sin varphi sin vartheta end pmatrix frac 1 sqrt x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 begin pmatrix z x z y x 2 y 2 end pmatrix hat e varphi amp begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix frac 1 sqrt x 2 y 2 begin pmatrix y x 0 end pmatrix end aligned nbsp die an jedem Punkt in Richtung zunehmender r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp Koordinaten zeigen so ist die Rotation rot F 1 r sin 8 8 F f sin 8 F 8 f e r 1 r sin 8 F r f 1 r r r F f e 8 1 r r r F 8 F r 8 e f displaystyle begin aligned operatorname rot vec F amp frac 1 r sin theta left frac partial partial theta left F varphi sin theta right frac partial F theta partial varphi right hat e r left frac 1 r sin theta frac partial F r partial varphi frac 1 r frac partial partial r left rF varphi right right hat e theta frac 1 r left frac partial partial r left rF theta right frac partial F r partial theta right hat e varphi end aligned nbsp Definition in Zylinderkoordinaten Bearbeiten Gibt man das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten r f z displaystyle r varphi z nbsp als Linearkombination F r f z F r r f z e r F f r f z e f F z r f z e z displaystyle vec F r varphi z F r r varphi z hat e r F varphi r varphi z hat e varphi F z r varphi z hat e z nbsp der Vektoren e r cos f sin f 0 1 x 2 y 2 x y 0 e f sin f cos f 0 1 x 2 y 2 y x 0 e z 0 0 1 displaystyle begin aligned hat e r amp begin pmatrix cos varphi sin varphi 0 end pmatrix frac 1 sqrt x 2 y 2 begin pmatrix x y 0 end pmatrix hat e varphi amp begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix frac 1 sqrt x 2 y 2 begin pmatrix y x 0 end pmatrix hat e z amp begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix end aligned nbsp an die auf Einheitslange normiert an jedem Punkt in Richtung zunehmender r f z displaystyle r varphi z nbsp Koordinaten zeigen so ist die Rotation rot F 1 r F z f F f z e r F r z F z r e f 1 r r r F f F r f e z displaystyle begin aligned operatorname rot vec F left frac 1 r frac partial F z partial varphi frac partial F varphi partial z right hat e r left frac partial F r partial z frac partial F z partial r right hat e varphi frac 1 r left frac partial partial r left r cdot F varphi right frac partial F r partial varphi right hat e z end aligned nbsp Rotation in zwei Dimensionen Bearbeiten Ein Vektorfeld im zweidimensionalen euklidischen Raum kann als Vektorfeld F x y z F x x y e x F y x y e y displaystyle vec F x y z F x x y hat e x F y x y hat e y nbsp in drei Dimensionen aufgefasst werden das nicht von der dritten Koordinate abhangt und dessen dritte Komponente verschwindet Seine Rotation ist kein Vektorfeld dieser Art sondern besteht gemass rot F x y z F y x F x y e z displaystyle operatorname rot vec F x y z left frac partial F y partial x frac partial F x partial y right hat e z nbsp aus einer Komponente die senkrecht zum Vektorfeld in drei Dimensionen ist Definiert man in zwei Dimensionen die Rotation als den Differentialoperator rot F F y x F x y displaystyle operatorname rot vec F mapsto frac partial F y partial x frac partial F x partial y nbsp dann ist das Ergebnis ein Skalarfeld und kein Vektorfeld Eigenschaften BearbeitenKoordinatenfreie Darstellung der Rotation als Volumenableitung Bearbeiten Mit Hilfe des Satzes von Stokes kann die Rotation ahnlich wie die Divergenz Quellendichte als Volumenableitung dargestellt werden Diese Darstellung hat den Vorteil dass sie koordinatenunabhangig ist Aus diesem Grund wird die Rotation im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert Ist V displaystyle mathcal V nbsp ein Raumgebiet mit stuckweise glattem Rand V displaystyle partial mathcal V nbsp und dem Volumeninhalt V displaystyle V nbsp dann kann die Rotation des Vektorfelds F V R 3 displaystyle vec F colon mathcal V to mathbb R 3 nbsp im Punkt p V displaystyle p in mathcal V nbsp mittels der Volumenableitung durch r o t F p lim V 0 V n F d A V displaystyle mathrm rot vec F p lim V rightarrow 0 frac oint partial mathcal V hat n times vec F mathrm d A V nbsp berechnet werden Dabei bezeichnet n d A d A displaystyle hat n mathrm d A mathrm d vec A nbsp das aussere vektorielle Flachenelement von V displaystyle partial mathcal V nbsp wobei n displaystyle hat n nbsp der nach aussen zeigende Normaleneinheitsvektor und d A displaystyle mathrm d A nbsp das skalare Flachenelement ist Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet V displaystyle mathcal V nbsp auf den Punkt p displaystyle p nbsp zusammengezogen sodass sein Inhalt V displaystyle V nbsp gegen null geht siehe auch Integralsatz von Stokes weiter unten 3 Ersetzt man F displaystyle vec F nbsp durch eine Stromungsgeschwindigkeit erscheint die Rotation als Wirbeldichte Ahnlich gebildete Synonyme existieren auch fur die Divergenz Quellendichte und den Gradienten Kraftdichte Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung wenn man das jeweilige Volumenelement als Raumgebiet V displaystyle mathcal V nbsp wahlt Axialvektorfeld Bearbeiten Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Pseudovektorfeld Ein Vektorfeld geht bei Spiegelung am Ursprung in sein Negatives am gespiegelten Ort uber die Rotation des Vektorfeldes andert bei dieser Spiegelung ihr Vorzeichen nicht F x F x rot F x rot F x displaystyle begin aligned vec F prime vec x amp vec F vec x bigl operatorname rot vec F prime bigr vec x amp bigl operatorname rot vec F bigr vec x end aligned nbsp Rechenregeln Bearbeiten Die Rotation ist linear Fur alle Konstanten c R displaystyle c in mathbb R nbsp und differenzierbaren Vektorfelder F displaystyle vec F nbsp und G displaystyle vec G nbsp gilt rot c F G c rot F rot G displaystyle operatorname rot c vec F vec G c operatorname rot vec F operatorname rot vec G nbsp Die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet genau dann wenn es lokal ein Gradientenfeld ist und die Divergenz eines Vektorfeldes verschwindet genau dann wenn es lokal die Rotation eines anderen Feldes ist r o t g r a d f 0 d i v r o t F 0 displaystyle operatorname rot grad f 0 operatorname div rot vec F 0 nbsp Fur differenzierbare Funktionen f displaystyle f nbsp und Vektorfelder F displaystyle vec F nbsp und G displaystyle vec G nbsp gelten die Produktregeln rot f F f rot F grad f F rot F G G F F G F G G F grad F G grad G F F div G G div F displaystyle begin aligned operatorname rot f vec F amp f operatorname rot vec F operatorname grad f times vec F operatorname rot vec F times vec G amp left vec G cdot nabla right vec F left vec F cdot nabla right vec G vec F nabla cdot vec G vec G nabla cdot vec F amp left operatorname grad vec F right cdot vec G left operatorname grad vec G right cdot vec F vec F operatorname div vec G vec G operatorname div vec F end aligned nbsp Darin ist displaystyle nabla nbsp der Nabla Operator und in der letzten Formel bildet grad den Vektorgradient Fur die zweifache Anwendung der Rotation gilt rot rot F g r a d d i v F d i v g r a d F g r a d d i v F D F displaystyle operatorname rot operatorname rot vec F operatorname grad div vec F operatorname div grad vec F operatorname grad div vec F Delta vec F nbsp wo D displaystyle Delta nbsp der Laplace Operator ist Fur einen Vektor v displaystyle vec v nbsp der von einem Skalar s displaystyle s nbsp abhangt und dieser in 3D vom Ort gilt die Kettenregel rot v s grad s d v d s displaystyle operatorname rot vec v s operatorname grad s times frac mathrm d vec v mathrm d s nbsp Anwendungen BearbeitenZusammenhang zur Winkelgeschwindigkeit Bearbeiten Bei der Drehung eines starren Korpers um die z displaystyle z nbsp Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w displaystyle omega nbsp wachst der Drehwinkel f displaystyle varphi nbsp gleichmassig mit der Zeit an f w t displaystyle varphi omega t nbsp und jeder Punkt durchlauft eine Bahn x t y t z t cos w t x 0 sin w t y 0 sin w t x 0 cos w t y 0 z 0 displaystyle begin pmatrix x t y t z t end pmatrix begin pmatrix cos omega t x 0 sin omega t y 0 sin omega t x 0 cos omega t y 0 z 0 end pmatrix nbsp Die Geschwindigkeit betragt d d t x t y t z t w sin w t x 0 cos w t y 0 cos w t x 0 sin w t y 0 0 w y t x t 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d t begin pmatrix x t y t z t end pmatrix omega begin pmatrix sin omega t x 0 cos omega t y 0 cos omega t x 0 sin omega t y 0 0 end pmatrix omega begin pmatrix y t x t 0 end pmatrix nbsp Das Geschwindigkeitsfeld einer starren Drehung um die z displaystyle z nbsp Achse ist also wie oben im Beispiel angegeben v x y z w y e x x e y displaystyle vec v x y z omega y hat e x x hat e y nbsp Seine Rotation ist die doppelte Winkelgeschwindigkeit rot v 2 w e z displaystyle operatorname rot vec v 2 omega hat e z nbsp Veranschaulichung durch Drehmoment Bearbeiten In einem Flachenkraftdichte Feld 4 f displaystyle vec f nbsp das jedem Korperoberflachenelement mit dem Inhalt d A displaystyle mathrm d A nbsp unabhangig von seiner Ausrichtung die Kraft f d A displaystyle vec f mathrm d A nbsp einpragt erfahrt eine Kugel mit dem Radius R displaystyle R nbsp und dem zugehorigen Volumeninhalt V displaystyle V nbsp das Drehmoment M R V r o t f displaystyle vec M RV mathrm rot vec f nbsp Vorausgesetzt ist dass r o t f displaystyle mathrm rot vec f nbsp im Bereich der Kugel konstant ist Die Gleichung folgt aus dem Integralsatz von Stokes V r o t f d V A n f d A displaystyle int mathcal V mathrm rot vec f mathrm d V oint mathcal A hat n times vec f mathrm d A nbsp mit V r o t f d V V r o t f displaystyle textstyle int mathcal V mathrm rot vec f mathrm d V V mathrm rot vec f nbsp und M A R n f d A displaystyle textstyle vec M oint mathcal A R hat n times vec f mathrm d A nbsp Satze in denen die Rotation eine Rolle spielt BearbeitenZerlegung in quellen und wirbelfreien Teil Bearbeiten Zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder v r displaystyle vec v vec r nbsp die mit ihren Ableitungen fur grosse Abstande hinreichend rasch gegen null gehen kann man eindeutig in einen wirbelfreien Teil E mit rot E 0 displaystyle vec E textsf mit operatorname rot vec E vec 0 nbsp und einen quellenfreien Teil B mit div B 0 displaystyle vec B textsf mit operatorname div vec B 0 nbsp zerlegen v E B E grad ϕ B rot A ϕ x 1 4 p d 3 y div v y x y A x 1 4 p d 3 y rot v y x y displaystyle begin array lll vec v amp vec E vec B amp vec E operatorname grad phi vec B operatorname rot vec A phi vec x amp frac 1 4 pi int mathrm d 3 y frac operatorname div vec v vec y vec x vec y amp vec A vec x frac 1 4 pi int mathrm d 3 y frac operatorname rot vec v vec y vec x vec y end array nbsp Dabei bezeichnen div displaystyle operatorname div nbsp und grad displaystyle operatorname grad nbsp den Divergenz bzw Gradient Operator wobei die Definition E grad ϕ displaystyle E operatorname grad phi nbsp die in der Physik ubliche Konvention ist Mathematisch ist E grad ϕ displaystyle E operatorname grad phi nbsp Diese Zerlegung ist Bestandteil des Helmholtz Theorems Integralsatz von Stokes Bearbeiten nbsp Flache F displaystyle mathcal F nbsp mit Berandung F displaystyle partial mathcal F nbsp Hauptartikel Satz von Stokes Das Integral uber eine Flache F displaystyle mathcal F nbsp uber die Rotation eines Vektorfeldes A displaystyle vec A nbsp ist nach dem klassischen Integralsatz von Stokes gleich dem Kurvenintegral uber die Randkurve F displaystyle partial mathcal F nbsp uber A displaystyle vec A nbsp F rot A d f F A d x displaystyle iint mathcal F operatorname rot vec A cdot mathrm d vec f oint partial mathcal F vec A cdot mathrm d vec x nbsp Durch das Doppelintegral wird links betont dass man von einer zweidimensionalen Integration ausgeht Auf der rechten Seite soll das Kreissymbol im Integralzeichen unterstreichen dass es sich um ein Integral uber einen geschlossenen Weg handelt Die Orientierung entspricht dabei der Drei Finger Regel siehe Abbildung rechts die folgenden drei Vektoren namlich erstens der Vektor d f displaystyle mathrm d vec f nbsp in Richtung der Flachennormalen zweitens der Vektor d x displaystyle mathrm d vec x nbsp in Tangentialrichtung der Kurve und drittens der vom Rand in die Flache zeigenden Vektor entsprechen Daumen Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand das heisst sie bilden ein Rechtssystem Oft schreibt man d f n d f displaystyle mathrm d vec f vec n mathrm d f nbsp indem man mit dem Normalenvektor n displaystyle vec n nbsp die Richtung der Grosse hervorhebt Der allgemeinere Satz von Stokes beinhaltet auch das Rotations Theorem 5 V r o t F d V A n F d A displaystyle int V mathrm rot vec F mathrm d V int A vec n times vec F mathrm d A nbsp Darin ist F displaystyle vec F nbsp ein stetig differenzierbares Vektorfeld n displaystyle vec n nbsp der nach aussen gerichtete Normaleneinheitsvektor auf der geschlossenen Oberflache A displaystyle A nbsp des Volumens V displaystyle V nbsp Wenn das Volumen so klein wird dass die Rotation in ihm naherungsweise konstant wird folgt hieraus die Koordinatenfreie Darstellung der Rotation als Volumenableitung Rotation von Tensoren zweiter Stufe BearbeitenDie Rotation von Tensorfeldern zweiter Stufe wird mit der Identitat 6 r o t T c r o t T c c displaystyle mathrm rot mathbf T cdot vec c mathrm rot left mathbf T top cdot vec c right quad forall vec c nbsp definiert Aus ihr ergibt sich r o t T T displaystyle mathrm rot mathbf T nabla times left mathbf T top right nbsp In kartesischen Koordinaten x 1 2 3 displaystyle x 1 2 3 nbsp bezuglich der Standardbasis e1 2 3 schreibt sich die Rotation fur das Tensorfeld T i j 1 3 T i j e i e j displaystyle textstyle mathbf T sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j nbsp r o t T i j k 1 3 e k x k T i j e j e i i j k 1 3 T i j x k e k e j e i displaystyle mathrm rot mathbf T sum i j k 1 3 hat e k times frac partial partial x k T ij hat e j otimes hat e i sum i j k 1 3 frac partial T ij partial x k hat e k times hat e j otimes hat e i nbsp Darin ist das dyadische Produkt Es wird aber auch die transponierte Version T displaystyle nabla times mathbf T nbsp benutzt 7 die hieraus hervorgeht indem die Komponenten gemass T i j T j i displaystyle T ij rightleftarrows T ji nbsp vertauscht werden Im Zusammenhang mit Tensoren sind Klammern ein wichtiges Hilfsmittel um die Reihenfolge der Anwendung und die Argumente der verschiedenen Operatoren klarzustellen was auf das Ergebnis einen entscheidenden Einfluss hat Meistens ist beispielsweise rot T T T rot T displaystyle operatorname rot mathbf T top nabla times mathbf T neq left nabla times left mathbf T top right right top operatorname rot mathbf T top nbsp weswegen die Ausdrucke rot T displaystyle operatorname rot mathbf T top nbsp und T displaystyle nabla times mathbf T top nbsp mehrdeutig sind Symmetrische Tensoren Bearbeiten Wenn der Tensor symmetrisch ist T T i j 1 3 T i j e i e j displaystyle textstyle mathbf T mathbf T top sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j nbsp mit T i j T j i displaystyle T ij T ji nbsp dann ist seine Rotation spurfrei S p r o t T i j k 1 3 T i j x k e k e j e i i j k 1 3 T i j x k e j e i e k 0 displaystyle operatorname Sp big rot mathbf T big sum i j k 1 3 frac partial T ij partial x k hat e k times hat e j cdot hat e i sum i j k 1 3 frac partial T ij partial x k hat e j times hat e i cdot hat e k 0 nbsp denn Terme mit vertauschten Indizes i displaystyle i nbsp und j displaystyle j nbsp sind gleich gross besitzen aber umgekehrtes Vorzeichen und heben sich daher in der Summe gegenseitig auf oder verschwinden bei i j displaystyle i j nbsp siehe auch Spatprodukt Ableitungsregeln Bearbeiten Die Produktregel fuhrt im Produkt mit einem Skalar f displaystyle f nbsp Vektoren f g displaystyle vec f vec g nbsp und dem Tensor T displaystyle mathbf T nbsp auf r o t f g r o t g f g g r a d f r o t f T g r a d f T f r o t T r o t T f r o t T f i T g r a d f r o t f T r o t T f T g r a d f displaystyle begin aligned mathrm rot vec f otimes vec g amp mathrm rot vec g otimes vec f vec g times mathrm grad vec f top mathrm rot f mathbf T amp mathrm grad f times mathbf T top f mathrm rot mathbf T mathrm rot mathbf T cdot vec f amp mathrm rot mathbf T top cdot vec f vec mathrm i left mathbf T cdot mathrm grad vec f right mathrm rot vec f times mathbf T amp mathrm rot mathbf T times vec f left mathbf T mathrm grad vec f right top end aligned nbsp Darin bildet i displaystyle vec mathrm i nbsp die Vektorinvariante das aussere Tensorprodukt und grad den Gradient Ist T der Einheitstensor 1 dann liefert das bemerkenswerte Zusammenhange r o t f 1 g r a d f 1 r o t f i g r a d f r o t f 1 1 g r a d f S p g r a d f 1 g r a d f d i v f 1 g r a d f displaystyle begin aligned mathrm rot f mathbf 1 amp mathrm grad f times mathbf 1 mathrm rot vec f amp vec mathrm i left mathrm grad vec f right mathrm rot vec f times mathbf 1 amp left mathbf 1 mathrm grad vec f right top left mathrm Sp big mathrm grad vec f big mathbf 1 mathrm grad vec f top right top amp mathrm div vec f mathbf 1 mathrm grad vec f end aligned nbsp In divergenzfreien Feldern ist also r o t f 1 g r a d f displaystyle mathrm rot vec f times mathbf 1 mathrm grad vec f nbsp was beim Poincare Lemma ausgenutzt wird Bei der Verknupfung der Rotation mit anderen Differentialoperatoren entstehen unter Beteiligung eines Tensors teilweise ahnliche Formeln wie sie aus der Vektoranalysis bekannt sind d i v r o t f f 0 r o t g r a d f f 0 d i v r o t T T 0 r o t g r a d f f 0 displaystyle begin array rclcl mathrm div rot vec f amp amp nabla cdot nabla times vec f amp amp 0 mathrm rot grad f amp amp nabla times nabla f amp amp vec 0 mathrm div big rot mathbf T top big amp amp nabla cdot nabla times mathbf T amp amp vec 0 mathrm rot big grad vec f big amp amp nabla times nabla otimes vec f amp amp mathbf 0 end array nbsp r o t r o t f g r a d d i v f D f r o t r o t T g r a d d i v T D T displaystyle begin aligned mathrm rot big rot vec f big amp mathrm grad big div vec f big Delta vec f mathrm rot big rot mathbf T top big top amp mathrm grad big div mathbf T big Delta mathbf T end aligned nbsp oder mit den Nabla Operator f f D f T T D T displaystyle begin aligned nabla times nabla times vec f amp nabla nabla cdot vec f Delta vec f left nabla times big nabla times mathbf T top big right top amp big nabla otimes nabla cdot mathbf T top big top Delta mathbf T end aligned nbsp Darin ist D 2 der Laplace Operator Siehe auch BearbeitenFormelsammlung Tensoralgebra Formelsammlung TensoranalysisEinzelnachweise Bearbeiten Walter Rogowski Wie kann man sich vom Rotor Wirbel eines Vektorfeldes und vom Vektorpotentiale eine Anschauung verschaffen In Archiv fur Elektrotechnik Band 2 1914 S 234 245 doi 10 1007 BF01655798 Hans Karl Iben Tensorrechnung Mathematik fur Naturwissenschaftler und Ingenieure Vieweg Teubner Verlag Stuttgart Leipzig 1999 ISBN 978 3 519 00246 8 doi 10 1007 978 3 322 84792 8 Bronstein Semendjajew Musiol Muhlig Taschenbuch der Mathematik 8 Auflage Harri Deutsch Frankfurt 2012 ISBN 978 3 8171 2008 6 Abschn 13 2 Raumliche Differentialoperatoren Formelsammlung Mechanik Memento vom 10 August 2016 im Internet Archive Altenbach 2012 S 46 C Truesdell Festkorpermechanik II In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VIa 2 Springer 1972 ISBN 3 540 05535 5 Altenbach 2012 S 43 Literatur BearbeitenAdolf J Schwab Begriffswelt der Feldtheorie Praxisnahe anschauliche Einfuhrung Springer Verlag 2002 ISBN 3 540 42018 5 Siegfried Grossmann Mathematischer Einfuhrungskurs fur die Physik Teubner Verlag 2012 ISBN 978 3 8351 0254 5 doi 10 1007 978 3 8348 8347 6 Holm Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 Weblinks BearbeitenWie krumme ich Nabla und Delta Herleitung des Nablaoperators fur orthonormal krummlinige Koordinaten auf matheplanet com Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rotation eines Vektorfeldes amp oldid 235412549
