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Formelsammlung Tensoralgebra x n displaystyle sqrt n x Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra Es

Formelsammlung Tensoralgebra

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines Bearbeiten

Notation Bearbeiten

  • Operatoren wie werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
    • .
      Ausnahme:
      Die imaginäre Einheit und die #Vektorinvariante werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
  • Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum .
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
      Ausnahme #Dualer axialer Vektor
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von ist ê1,2,3.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen.
    • Dreiergruppen von Vektoren wie in oder bezeichnen eine rechtshändige Basis von .
    • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist dual zu .
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge .
  • Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index summiert:
      .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert:
      .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
      .

Glossar Bearbeiten

Reservierte und besondere Symbole Bearbeiten

Zeichen für Operatoren Bearbeiten

Tensorfunktionen Bearbeiten

Indizes Bearbeiten

Mengen Bearbeiten

Kronecker-Delta Bearbeiten

Für Summen gilt dann z. B.

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol Bearbeiten

Kreuzprodukt:

Spaltenvektoren und Matrizen Bearbeiten

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

Drei Vektoren können spaltenweise in einer 3×3-Matrix arrangiert werden:

Die Determinante der Matrix

ist

Also gewährleistet , dass die Vektoren eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

worin die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich .

Vektoralgebra Bearbeiten

Basis und Duale Basis Bearbeiten

Basisvektoren

Duale Basisvektoren

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

mit dem Spatprodukt

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen :

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren zu sich selbst dual:

Berechnung von Vektorkomponenten Bearbeiten

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren Bearbeiten

Wechsel der Basis bei Vektoren Bearbeiten

Wechsel von

Basis mit dualer Basis

nach

Basis mit dualer Basis :

Matrizengleichung:

Dyadisches Produkt Bearbeiten

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung

Multiplikation mit einem Skalar:

Distributivität:

Skalarprodukt:

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes Bearbeiten

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von dargestellt werden:

Die Dyaden und bilden Basissysteme von .

Operatoren Bearbeiten

Transposition Bearbeiten

Abbildung

Vektortransformation Bearbeiten

Abbildung oder

Dyaden:

Allgemeine Tensoren:

Symbolisch:

Tensorprodukt Bearbeiten

Abbildung

Skalarprodukt von Tensoren Bearbeiten

Abbildung

Definition über die #Spur:

Eigenschaften:

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor Bearbeiten

Abbildung oder

Dyaden:

Allgemeine Tensoren:

Symmetrische Tensoren:

Insbesondere Kugeltensoren:

Schiefsymmetrische Tensoren:

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

Mehrfach:

Meistens ist aber:

Kreuzprodukt von Tensoren Bearbeiten

Abbildung

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe .

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

Mit #Einheitstensor:

Mehrfachprodukte:

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

Skalarkreuzprodukt von Tensoren Bearbeiten

Abbildung

Veröffentlichungsdatum:
x n displaystyle sqrt n x Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra Es werden mathematische Symbole verwendet die im Artikel Liste mathematischer Symbole erlautert werden Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra fur Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 1 1 Notation 1 2 Glossar 1 2 1 Reservierte und besondere Symbole 1 2 2 Zeichen fur Operatoren 1 2 3 Tensorfunktionen 1 2 4 Indizes 1 2 5 Mengen 1 3 Kronecker Delta 1 4 Permutationssymbol 1 5 Spaltenvektoren und Matrizen 1 6 Vektoralgebra 1 6 1 Basis und Duale Basis 1 6 2 Berechnung von Vektorkomponenten 1 6 3 Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren 1 6 4 Wechsel der Basis bei Vektoren 2 Dyadisches Produkt 3 Tensoren als Elemente eines Vektorraumes 3 1 Operatoren 3 1 1 Transposition 3 1 2 Vektortransformation 3 1 3 Tensorprodukt 3 1 4 Skalarprodukt von Tensoren 3 1 5 Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor 3 1 6 Kreuzprodukt von Tensoren 3 1 7 Skalarkreuzprodukt von Tensoren 3 1 8 Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren 3 1 9 Ausseres Tensorprodukt 3 2 Produkte von Tensoren Dyaden und Vektoren 3 3 Tensorkomponenten 3 4 Wechsel der Basis 3 5 Bilinearform und Identitat von Tensoren 3 6 Kofaktor 3 7 Adjunkte 3 8 Inverse 4 Eigensystem 4 1 Eigenwertproblem 4 2 Eigenwerte 4 3 Eigenvektoren 4 4 Eigensystem symmetrischer Tensoren 4 5 Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren 4 6 Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren 4 6 1 Drei reelle Eigenwerte 4 6 2 Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte 5 Invarianten 5 1 Eigenwerte des Tensors 5 2 Hauptinvarianten 5 2 1 Charakteristisches Polynom 5 2 2 Spur 5 2 3 Zweite Hauptinvariante 5 2 4 Determinante 5 3 Betrag 5 4 Dualer axialer Vektor 5 5 Vektorinvariante 6 Spezielle Tensoren 6 1 Dyade 6 2 Dyadentripel 6 3 Einheitstensor 6 4 Unimodulare Tensoren 6 5 Orthogonale Tensoren 6 6 Positiv definite Tensoren 6 7 Symmetrische Tensoren 6 7 1 Symmetrische und positiv definite Tensoren 6 7 2 Voigt Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe 6 8 Schiefsymmetrische Tensoren 6 9 Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix 6 10 Deviatorische Tensoren 6 11 Kugeltensoren 7 Dekompositionen eines Tensors 7 1 Symmetrischer Anteil 7 2 Schiefsymmetrischer Anteil 7 3 Deviator 7 4 Kugelanteil 7 5 Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors 7 6 Polarzerlegung 8 Projektionen 8 1 Punkt auf Gerade 8 2 Punkt oder Gerade auf Ebene 9 Fundamentaltensor 3 Stufe 10 Tensoren vierter Stufe 10 1 Transpositionen 10 2 Symmetrische Tensoren vierter Stufe 10 3 Einheitstensor vierter Stufe 10 4 Spezielle Tensoren vierter Stufe 10 5 Invertierungsformel 10 6 Hooke sches Gesetz 10 7 Voigt sche Notation von Tensoren vierter Stufe 11 Einzelnachweise 12 LiteraturAllgemeines BearbeitenNotation Bearbeiten Operatoren wie I 1 displaystyle mathrm I 1 nbsp werden nicht kursiv geschrieben Buchstaben die als Indizes benutzt werden i j k l m n 1 2 3 displaystyle i j k l m n in 1 2 3 nbsp Ausnahme Die imaginare Einheit i 2 1 displaystyle mathrm i 2 1 nbsp und die Vektorinvariante i displaystyle vec mathrm i nbsp werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben p q r s 1 2 9 displaystyle p q r s in 1 2 ldots 9 nbsp u v 1 2 6 displaystyle u v in 1 2 ldots 6 nbsp Alle anderen Buchstaben stehen fur reelle Zahlen oder komplexe Zahlen Vektoren Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum V displaystyle mathbb V nbsp Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet Ausnahme Dualer axialer Vektor A A displaystyle stackrel A overrightarrow mathbf A nbsp Einheitsvektoren mit Lange eins werden wie in e mit einem Hut versehen Die Standardbasis von V displaystyle mathbb V nbsp ist e1 2 3 Vektoren mit unbestimmter Lange werden wie in a displaystyle vec a nbsp mit einem Pfeil versehen Dreiergruppen von Vektoren wie in h 1 h 2 h 3 displaystyle vec h 1 vec h 2 vec h 3 nbsp oder g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp bezeichnen eine rechtshandige Basis von V displaystyle mathbb V nbsp Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander z B g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp ist dual zu g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Grossbuchstaben notiert Die Menge aller Tensoren wird mit L L i n V V displaystyle mathcal L mathrm Lin mathbb V mathbb V nbsp bezeichnet Tensoren hoherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in C 4 displaystyle stackrel 4 mathbf C nbsp geschrieben Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge L 4 L i n L L displaystyle stackrel 4 mathcal L mathrm Lin mathcal L mathcal L nbsp Es gilt die Einstein sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in c a i b i displaystyle c a i b i nbsp wird uber diesen Index summiert c a i b i i 1 3 a i b i displaystyle c a i b i sum i 1 3 a i b i nbsp Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in c A p q B q p displaystyle c A pq B q p nbsp wird uber diese summiert c A p q B q p p 1 9 q 1 9 A p q B q p displaystyle c A pq B q p sum p 1 9 sum q 1 9 A pq B q p nbsp Ein Index der nur einfach vorkommt wie u displaystyle u nbsp in a u A u v b v displaystyle a u A uv b v nbsp ist ein freier Index Die Formel gilt dann fur alle Werte der freien Indizes a u A u v b v a u v 1 6 A u v b v u 1 6 displaystyle a u A uv b v quad leftrightarrow quad a u sum v 1 6 A uv b v quad forall u in 1 ldots 6 nbsp Glossar Bearbeiten Reservierte und besondere Symbole Bearbeiten Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia ArtikelI 1 displaystyle mathbf I 1 nbsp Einheitstensor EinheitstensorQ R displaystyle mathbf Q R nbsp Orthogonale Tensoren Orthogonaler Tensorl displaystyle lambda nbsp Eigenwerte Eigenwertproblemd i j displaystyle delta ij nbsp Kronecker Delta Kronecker Deltaϵ i j k displaystyle epsilon ijk nbsp Permutationssymbol PermutationssymbolE 3 displaystyle stackrel 3 mathbf E nbsp Fundamentaltensor 3 Stufe Epsilon Tensor a displaystyle vec a times nbsp Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix KreuzproduktA A A displaystyle stackrel A overrightarrow mathbf A mathbf A times nbsp Dualer axialer Vektor Kreuzprodukti displaystyle vec mathrm i nbsp Vektorinvariante Vektorinvariantei displaystyle mathrm i nbsp Imaginare EinheitZeichen fur Operatoren Bearbeiten Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia Artikel displaystyle cdot cdot cdot nbsp Skalarprodukt von Vektoren Vektortransformation Tensorprodukt Skalarprodukt displaystyle cdot times cdot nbsp Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor Kreuzprodukt von Tensoren Kreuzprodukt displaystyle cdot cdot nbsp Skalarprodukt von Tensoren Frobenius Skalarprodukt displaystyle cdot otimes cdot nbsp Dyadisches Produkt Dyadisches Produkt displaystyle cdot cdot times cdot nbsp Skalarkreuzprodukt von Tensoren displaystyle cdot times times cdot nbsp Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren displaystyle cdot cdot nbsp Ausseres Tensorprodukt Ausseres Tensorprodukt displaystyle parallel cdot parallel nbsp Betrag Frobeniusnorm x v A displaystyle x vec v mathbf A nbsp Betrag der Zahl x oder des Vektors v displaystyle vec v nbsp Determinante des Tensors A DeterminanteTensorfunktionen Bearbeiten Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia ArtikelS p t r I 1 displaystyle mathrm Sp tr I 1 nbsp Spur Spur Mathematik HauptinvarianteI 2 displaystyle mathrm I 2 nbsp Zweite Hauptinvariante Hauptinvarianted e t I 3 A displaystyle mathrm det I 3 mathbf A nbsp Determinante Determinante Hauptinvariantesym Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrixskw skew Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrixadj Adjunkte Adjunktecof Kofaktor Minor Mathematik Kofaktormatrixdev Deviator Deviator Spannungsdeviatorsph Kugelanteil KugeltensorIndizes Bearbeiten Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia Artikel i j i j j i displaystyle cdot ij cdot ij cdot j i nbsp Tensorkomponenten displaystyle cdot top nbsp Transposition Transponierte Matrix m n displaystyle cdot stackrel mn top nbsp Transpositionen von Tensoren vierter Stufe 1 displaystyle cdot 1 nbsp Inverse Inverse Matrix 1 displaystyle cdot top cdot top 1 nbsp Transposition der Inverse S displaystyle cdot mathrm S nbsp Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix A displaystyle cdot mathrm A nbsp Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix D displaystyle cdot mathrm D nbsp Deviator Deviator Spannungsdeviator K displaystyle cdot mathrm K nbsp Kugelanteil Kugeltensor n displaystyle stackrel n cdot nbsp Tensor n ter StufeA A A displaystyle stackrel A overrightarrow mathbf A mathbf A times nbsp Dualer axialer Vektor KreuzproduktMengen Bearbeiten Formelzeichen ElementeR displaystyle mathbb R nbsp Reelle ZahlenC displaystyle mathbb C nbsp Komplexe ZahlenV displaystyle mathbb V nbsp VektorenL L i n V V displaystyle mathcal L mathrm Lin mathbb V V nbsp Tensoren zweiter StufeL 4 L i n L L displaystyle stackrel 4 mathcal L mathrm Lin mathcal L L nbsp Tensoren vierter StufeKronecker Delta Bearbeiten Siehe auch Kronecker Delta d i j d i j d i j d j i 1 f a l l s i j 0 s o n s t displaystyle delta ij delta ij delta i j delta j i begin cases 1 amp mathrm falls quad i j 0 amp mathrm sonst end cases nbsp Fur Summen gilt dann z B v i d i j v j displaystyle v i delta ij v j nbsp A i j d i j A i i displaystyle A ij delta ij A ii nbsp Dies gilt fur die anderen Indexgruppen entsprechend Permutationssymbol Bearbeiten Siehe auch Permutationssymbol ϵ i j k e i e j e k 1 falls i j k 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 falls i j k 1 3 2 2 1 3 3 2 1 0 sonst d h bei doppeltem Index displaystyle epsilon ijk hat e i cdot hat e j times hat e k begin cases 1 amp text falls i j k in 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 amp text falls i j k in 1 3 2 2 1 3 3 2 1 0 amp text sonst d h bei doppeltem Index end cases nbsp ϵ i j k ϵ l m n d i l d j l d k l d i m d j m d k m d i n d j n d k n displaystyle epsilon ijk epsilon lmn begin vmatrix delta il amp delta jl amp delta kl delta im amp delta jm amp delta km delta in amp delta jn amp delta kn end vmatrix nbsp ϵ i j k ϵ k l m d i l d j m d i m d j l displaystyle epsilon ijk epsilon klm delta il delta jm delta im delta jl nbsp ϵ i j k ϵ j k l 2 d i l displaystyle epsilon ijk epsilon jkl 2 delta il nbsp ϵ i j k ϵ i j k 6 displaystyle epsilon ijk epsilon ijk 6 nbsp Kreuzprodukt a i e i b j e j ϵ i j k a i b j e k ϵ i j k a j b k e i ϵ i j k a k b i e j displaystyle a i hat e i times b j hat e j epsilon ijk a i b j hat e k epsilon ijk a j b k hat e i epsilon ijk a k b i hat e j nbsp ϵ i j k e k e i e j displaystyle epsilon ijk hat e k hat e i times hat e j nbsp Spaltenvektoren und Matrizen Bearbeiten Siehe auch Matrix Mathematik Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren a a i e i a 1 a 2 a 3 displaystyle vec a a i hat e i begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix nbsp Drei Vektoren a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp konnen spaltenweise in einer 3 3 Matrix M displaystyle M nbsp arrangiert werden M a b c a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 displaystyle M begin pmatrix vec a amp vec b amp vec c end pmatrix begin pmatrix a 1 amp b 1 amp c 1 a 2 amp b 2 amp c 2 a 3 amp b 3 amp c 3 end pmatrix nbsp Die Determinante der Matrix M a b c displaystyle M begin vmatrix vec a amp vec b amp vec c end vmatrix nbsp ist ungleich null wenn die Spaltenvektoren linear unabhangig sind und grosser null wenn die Spaltenvektoren zusatzlich ein Rechtssystem bilden Also gewahrleistet a b c gt 0 displaystyle begin vmatrix vec a amp vec b amp vec c end vmatrix gt 0 nbsp dass die Vektoren a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp eine rechtshandige Basis bilden Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis wenn M M 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle M top M begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp worin M displaystyle M top nbsp die transponierte Matrix ist Bei der hier vorausgesetzten Rechtshandigkeit gilt dann zusatzlich M 1 displaystyle M 1 nbsp Vektoralgebra Bearbeiten Basis und Duale Basis Bearbeiten Siehe auch Vektorraumbasis Basisvektoren g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp Duale Basisvektoren g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp Beziehungen zwischen den Basisvektoren g i g j d i j displaystyle vec g i cdot vec g j delta i j nbsp g 1 g 2 g 3 g 1 g 2 g 3 g 2 g 3 g 1 g 1 g 2 g 3 g 3 g 1 g 2 g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 frac vec g 2 times vec g 3 vec g 1 vec g 2 vec g 3 quad g 2 frac vec g 3 times vec g 1 vec g 1 vec g 2 vec g 3 quad g 3 frac vec g 1 times vec g 2 vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp g 1 g 2 g 3 g 1 g 2 g 3 g 2 g 3 g 1 g 1 g 2 g 3 g 3 g 1 g 2 g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 frac vec g 2 times vec g 3 vec g 1 vec g 2 vec g 3 quad g 2 frac vec g 3 times vec g 1 vec g 1 vec g 2 vec g 3 quad g 3 frac vec g 1 times vec g 2 vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp mit dem Spatprodukt a b c a b c c a b b c a a b c displaystyle vec a vec b vec c vec a cdot vec b times vec c vec c cdot vec a times vec b vec b cdot vec c times vec a begin vmatrix vec a amp vec b amp vec c end vmatrix nbsp Tragt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der transponiert Inversen 1 displaystyle top 1 nbsp g 1 g 2 g 3 g 1 g 2 g 3 1 displaystyle begin pmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp vec g 3 end pmatrix begin pmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp vec g 3 end pmatrix top 1 nbsp In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren e 1 e 2 e 3 displaystyle hat e 1 hat e 2 hat e 3 nbsp zu sich selbst dual e i e i displaystyle hat e i hat e i nbsp Berechnung von Vektorkomponenten Bearbeiten v v i e i v i v e i displaystyle vec v v i hat e i quad rightarrow v i vec v cdot hat e i nbsp v v i g i v i v g i displaystyle vec v v i vec g i quad rightarrow v i vec v cdot vec g i nbsp v v i g i v i v g i displaystyle vec v v i vec g i quad rightarrow v i vec v cdot vec g i nbsp Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren Bearbeiten g i g k g k g j g i g j g k g k g i g j d i j displaystyle vec g i cdot vec g k vec g k cdot vec g j vec g i cdot vec g j cdot vec g k vec g k vec g i cdot vec g j delta i j nbsp Wechsel der Basis bei Vektoren Bearbeiten Siehe auch Koordinatentransformation Wechsel vonBasis g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp mit dualer Basis g 1 g 2 g 3 displaystyle vec g 1 vec g 2 vec g 3 nbsp nachBasis h 1 h 2 h 3 displaystyle vec h 1 vec h 2 vec h 3 nbsp mit dualer Basis h 1 h 2 h 3 displaystyle vec h 1 vec h 2 vec h 3 nbsp v v i g i v i h i v i h i g j v j displaystyle vec v v i vec g i v i ast vec h i quad rightarrow v i ast vec h i cdot vec g j v j nbsp Matrizengleichung v 1 v 2 v 3 h 1 g 1 h 1 g 2 h 1 g 3 h 2 g 1 h 2 g 2 h 2 g 3 h 3 g 1 h 3 g 2 h 3 g 3 v 1 v 2 v 3 h 1 h 2 h 3 g 1 g 2 g 3 v 1 v 2 v 3 displaystyle begin aligned begin pmatrix v 1 ast v 2 ast v 3 ast end pmatrix amp begin pmatrix vec h 1 cdot vec g 1 amp vec h 1 cdot vec g 2 amp vec h 1 cdot vec g 3 vec h 2 cdot vec g 1 amp vec h 2 cdot vec g 2 amp vec h 2 cdot vec g 3 vec h 3 cdot vec g 1 amp vec h 3 cdot vec g 2 amp vec h 3 cdot vec g 3 end pmatrix begin pmatrix v 1 v 2 v 3 end pmatrix amp begin pmatrix vec h 1 amp vec h 2 amp vec h 3 end pmatrix top begin pmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp vec g 3 end pmatrix begin pmatrix v 1 v 2 v 3 end pmatrix end aligned nbsp Dyadisches Produkt BearbeitenSiehe auch Dyadisches Produkt Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts sind Abbildung V V L displaystyle mathbb V times mathbb V to mathcal L nbsp a g T L displaystyle vec a otimes vec g mathbf T in mathcal L nbsp Multiplikation mit einem Skalar x a g x a g a x g x a g displaystyle x vec a otimes vec g x vec a otimes vec g vec a otimes x vec g x vec a otimes vec g nbsp Distributivitat x y a g x a g y a g displaystyle x y vec a otimes vec g x vec a otimes vec g y vec a otimes vec g nbsp a b g a g b g displaystyle vec a vec b otimes vec g vec a otimes vec g vec b otimes vec g nbsp a g h a g a h displaystyle vec a otimes vec g vec h vec a otimes vec g vec a otimes vec h nbsp Skalarprodukt a g b h a b g h displaystyle vec a otimes vec g vec b otimes vec h vec a cdot vec b vec g cdot vec h nbsp Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe Dyade und den folgenden Abschnitt Tensoren als Elemente eines Vektorraumes BearbeitenSiehe auch Dyadisches Produkt und Tensor Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird L displaystyle mathcal L nbsp zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezuglich einer Basis von L displaystyle mathcal L nbsp dargestellt werden A L A A i j e i e j A i j a i g j displaystyle mathbf A in mathcal L rightarrow mathbf A A ij hat e i otimes hat e j A ij vec a i otimes vec g j nbsp mit Komponenten A i j A i j R displaystyle A ij A ij in mathbb R nbsp Die Dyaden e i e j i j 1 2 3 displaystyle hat e i otimes hat e j i j 1 2 3 nbsp und a i g j i j 1 2 3 displaystyle vec a i otimes vec g j i j 1 2 3 nbsp bilden Basissysteme von L displaystyle mathcal L nbsp Operatoren Bearbeiten Transposition Bearbeiten Siehe auch Transponierte Matrix Abbildung L L displaystyle mathcal L to mathcal L nbsp a g g a displaystyle vec a otimes vec g top vec g otimes vec a nbsp A i j e i e j A i j e j e i A j i e i e j displaystyle A ij hat e i otimes hat e j top A ij hat e j otimes hat e i A ji hat e i otimes hat e j nbsp A i j a i g j A i j g j a i A j i g i a j displaystyle A ij vec a i otimes vec g j top A ij vec g j otimes vec a i A ji vec g i otimes vec a j nbsp A A displaystyle left mathbf A top right top mathbf A nbsp A B A B displaystyle mathbf A B top mathbf A top mathbf B top nbsp A B B A displaystyle mathbf A cdot B top mathbf B top cdot mathbf A top nbsp Vektortransformation Bearbeiten Abbildung L V V displaystyle mathcal L times mathbb V to mathbb V nbsp oder V L V displaystyle mathbb V times mathcal L to mathbb V nbsp Dyaden a g h g h a displaystyle vec a otimes vec g cdot vec h vec g cdot vec h vec a nbsp b a g a b g displaystyle vec b cdot vec a otimes vec g vec a cdot vec b vec g nbsp a g h h a g displaystyle vec a otimes vec g cdot vec h vec h cdot vec a otimes vec g top nbsp b a g a g b displaystyle vec b cdot vec a otimes vec g vec a otimes vec g top cdot vec b nbsp Allgemeine Tensoren A i j e i e j v A i j v e j e i displaystyle A ij hat e i otimes hat e j cdot vec v A ij vec v cdot hat e j hat e i nbsp A i j a i g j v A i j v g j a i displaystyle A ij vec a i otimes vec g j cdot vec v A ij vec v cdot vec g j vec a i nbsp v A i j e i e j A i j v e i e j displaystyle vec v cdot A ij hat e i otimes hat e j A ij vec v cdot hat e i hat e j nbsp v A i j a i g j A i j v a i g j displaystyle vec v cdot A ij vec a i otimes vec g j A ij vec v cdot hat a i vec g j nbsp Symbolisch A v v A displaystyle mathbf A cdot vec v vec v cdot mathbf A top nbsp v A A v displaystyle vec v cdot mathbf A mathbf A top cdot vec v nbsp Tensorprodukt Bearbeiten Siehe auch Matrizenmultiplikation Abbildung L L L displaystyle mathcal L times mathcal L to mathcal L nbsp a g h u g h a u displaystyle vec a otimes vec g cdot vec h otimes vec u vec g cdot vec h vec a otimes vec u nbsp a g A a g A a g A a A g displaystyle vec a otimes vec g cdot mathbf A vec a otimes vec g cdot mathbf A vec a otimes vec g cdot mathbf A vec a otimes mathbf A top cdot vec g nbsp A a g A a g A a g displaystyle mathbf A cdot vec a otimes vec g mathbf A cdot vec a otimes vec g mathbf A cdot vec a otimes vec g nbsp A i k e i e k B l j e l e j A i k B k j e i e j displaystyle A ik hat e i otimes hat e k cdot B lj hat e l otimes hat e j A ik B kj hat e i otimes hat e j nbsp A i j a i g j B k l h k u l A i j g j h k B k l a i u l displaystyle left A ij vec a i otimes vec g j right cdot left B kl vec h k otimes vec u l right A ij vec g j cdot vec h k B kl vec a i otimes vec u l nbsp Skalarprodukt von Tensoren Bearbeiten Siehe auch Frobenius Skalarprodukt Abbildung L L R displaystyle mathcal L times mathcal L to mathbb R nbsp Definition uber die Spur a g b h S p a g b h a b g h displaystyle vec a otimes vec g vec b otimes vec h mathrm Sp vec a otimes vec g top cdot vec b otimes vec h vec a cdot vec b vec g cdot vec h nbsp A B S p A B displaystyle mathbf A mathbf B mathrm Sp mathbf A top cdot mathbf B nbsp Eigenschaften A B B A A B B A displaystyle mathbf A mathbf B mathbf B mathbf A mathbf A top mathbf B top mathbf B top mathbf A top nbsp A B A B displaystyle mathbf A top mathbf B mathbf A mathbf B top nbsp A B C B A C A C B displaystyle mathbf A mathbf B cdot C mathbf B top cdot mathbf A mathbf C mathbf A cdot C top mathbf B nbsp A B C B A C A C B displaystyle mathbf A cdot B mathbf C mathbf B mathbf A top cdot mathbf C mathbf A mathbf C cdot B top nbsp u v A u A v displaystyle vec u otimes vec v mathbf A vec u cdot mathbf A cdot vec v nbsp Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor Bearbeiten Abbildung V L L displaystyle mathbb V times mathcal L to mathcal L nbsp oder L V L displaystyle mathcal L times mathbb V to mathcal L nbsp Dyaden a b g a b g a b g displaystyle vec a times vec b otimes vec g vec a times vec b otimes vec g vec a times vec b otimes vec g nbsp a g h a g h a g h displaystyle vec a otimes vec g times vec h vec a otimes vec g times vec h vec a otimes vec g times vec h nbsp a b g b g a displaystyle vec a times vec b otimes vec g vec b otimes vec g top times vec a top nbsp a g h h a g displaystyle vec a otimes vec g times vec h vec h times vec a otimes vec g top top nbsp a j e j A k l e k e l a j A k l e j e k e l ϵ i j k a j A k l e i e l displaystyle a j hat e j times A kl hat e k otimes hat e l a j A kl hat e j times hat e k otimes hat e l epsilon ijk a j A kl hat e i otimes hat e l nbsp A i j e i e j a k e k A i j a k e i e j e k ϵ j k l A i j a k e i e l displaystyle A ij hat e i otimes hat e j times a k hat e k A ij a k hat e i otimes hat e j times hat e k epsilon jkl A ij a k hat e i otimes hat e l nbsp Allgemeine Tensoren a A g a A g a g A displaystyle vec a times mathbf A cdot vec g vec a times mathbf A cdot vec g vec a times vec g cdot mathbf A top nbsp b a A b a A displaystyle vec b cdot vec a times mathbf A vec b times vec a cdot mathbf A nbsp g A a g A a A g a displaystyle vec g cdot mathbf A times vec a vec g cdot mathbf A times vec a mathbf A top cdot vec g times vec a nbsp A a b A a b displaystyle mathbf A times vec a cdot vec b mathbf A cdot vec a times vec b nbsp a A A a displaystyle vec a times mathbf A left mathbf A top times vec a right top nbsp A a a A displaystyle mathbf A times vec a left vec a times mathbf A top right top nbsp Symmetrische Tensoren a A S A S a displaystyle vec a times mathbf A mathrm S left mathbf A mathrm S times vec a right top nbsp Insbesondere Kugeltensoren a A K A K a a A K displaystyle vec a times mathbf A mathrm K mathbf A mathrm K times vec a vec a times mathbf A mathrm K top nbsp Schiefsymmetrische Tensoren a A A A A a displaystyle vec a times mathbf A mathrm A left mathbf A mathrm A times vec a right top nbsp Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem Einheitstensor a 1 g a g 1 a 1 g a g displaystyle vec a times mathbf 1 cdot vec g vec a cdot vec g times mathbf 1 vec a cdot mathbf 1 times vec g vec a times vec g nbsp Mehrfach a b A g a b A g a A g b a b A g displaystyle vec a times vec b times mathbf A cdot vec g vec a times vec b times mathbf A cdot vec g vec a cdot mathbf A cdot vec g vec b vec a cdot vec b mathbf A cdot vec g nbsp a b A b a A a b A displaystyle vec a times vec b times mathbf A vec b otimes vec a cdot mathbf A vec a cdot vec b mathbf A nbsp Meistens ist aber A a g A a g A a g displaystyle mathbf A cdot vec a times vec g neq mathbf A cdot vec a times vec g mathbf A times vec a cdot vec g nbsp a g A a g A a g A displaystyle vec a times vec g cdot mathbf A neq vec a times vec g cdot mathbf A vec a cdot vec g times mathbf A nbsp Kreuzprodukt von Tensoren Bearbeiten Abbildung L L V displaystyle mathcal L times mathcal L to mathbb V nbsp A B E 3 A B E 3 B A B A V displaystyle mathbf A times B stackrel 3 mathbf E mathbf A cdot B top stackrel 3 mathbf E mathbf B cdot A top mathbf B times A in mathbb V nbsp mit Fundamentaltensor 3 Stufe E 3 displaystyle stackrel 3 mathbf E nbsp a g b h g h a b displaystyle vec a otimes vec g times vec b otimes vec h vec g cdot vec h vec a times vec b nbsp A i k e i e k B j l e j e l A i k B j k e i e j A 21 B 31 A 31 B 21 A 22 B 32 A 32 B 22 A 23 B 33 A 33 B 23 A 31 B 11 A 11 B 31 A 32 B 12 A 12 B 32 A 33 B 13 A 13 B 33 A 11 B 21 A 21 B 11 A 12 B 22 A 22 B 12 A 13 B 23 A 23 B 13 displaystyle begin aligned amp A ik hat e i otimes hat e k times B jl hat e j otimes hat e l A ik B jk hat e i times hat e j ldots amp ldots begin pmatrix A 21 B 31 A 31 B 21 A 22 B 32 A 32 B 22 A 23 B 33 A 33 B 23 A 31 B 11 A 11 B 31 A 32 B 12 A 12 B 32 A 33 B 13 A 13 B 33 A 11 B 21 A 21 B 11 A 12 B 22 A 22 B 12 A 13 B 23 A 23 B 13 end pmatrix end aligned nbsp Zusammenhang mit Dualer axialer Vektor und Vektorinvariante A B 2 A B A i A B displaystyle mathbf A times B 2 stackrel A overrightarrow mathbf A cdot B top vec mathrm i mathbf A cdot B top nbsp Mit Einheitstensor 1 A 2 A A i A displaystyle mathbf 1 times A 2 stackrel A overrightarrow mathbf A vec mathrm i mathbf A nbsp Mehrfachprodukte A B C A C B displaystyle mathbf A cdot B times mathbf C mathbf A times mathbf C cdot B top nbsp A B C A C B displaystyle mathbf A times mathbf B cdot C mathbf A cdot C top times mathbf B nbsp Zusammenhang mit dem Skalarkreuzprodukt von Tensoren A B A B displaystyle mathbf A times B mathbf A cdot times mathbf B top nbsp Skalarkreuzprodukt von Tensoren Bearbeiten Abbildung L L V displaystyle mathcal L times mathcal L to mathbb V nbsp a g h u