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Inverse Matrix Die inverse Matrix reziproke Matrix Kehrmatrix oder kurz Inverse einer quadratischen Matrix ist in der Ma

Inverse Matrix

Die inverse Matrix, reziproke Matrix, Kehrmatrix oder kurz Inverse einer quadratischen Matrix ist in der Mathematik eine ebenfalls quadratische Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse; die invertierbaren Matrizen werden reguläre Matrizen genannt. Eine reguläre Matrix ist die Darstellungsmatrix einer bijektiven linearen Abbildung und die inverse Matrix stellt dann die Umkehrabbildung dieser Abbildung dar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die allgemeine lineare Gruppe. Die inverse Matrix ist dann das inverse Element in dieser Gruppe.

Die Berechnung der Inverse einer Matrix wird auch als Inversion oder Invertierung der Matrix bezeichnet. Die Invertierung einer Matrix kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus oder über die Adjunkte der Matrix erfolgen. Die inverse Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, bei Äquivalenzrelationen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen verwendet.

Definition Bearbeiten

Ist eine reguläre Matrix mit Einträgen aus einem unitären Ring (in der Praxis meist dem Körper der reellen Zahlen), dann ist die zugehörige inverse Matrix diejenige Matrix , für die

gilt, wobei der Malpunkt   die Matrizenmultiplikation darstellt und die Einheitsmatrix der Größe ist. Ist ein kommutativer Ring, Körper oder Schiefkörper, so sind die beiden Bedingungen äquivalent, das heißt eine rechtsinverse Matrix ist auch linksinvers und umgekehrt.

Beispiele Bearbeiten

Die Inverse der reellen -Matrix

ist

denn es gilt

Die Inverse einer reellen Diagonalmatrix mit Diagonalelementen ergibt sich durch Bildung der Kehrwerte aller Diagonalelemente, denn

Eigenschaften Bearbeiten

Gruppeneigenschaften Bearbeiten

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe über einem unitären Ring bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinen nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe . In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element. Als solches ist die Inverse einer Matrix eindeutig definiert und sowohl links-, als auch rechtsinvers. Insbesondere ergibt die Inverse der Einheitsmatrix wieder die Einheitsmatrix, also

und die Inverse der inversen Matrix wieder die Ausgangsmatrix, das heißt

Die Matrizen und werden daher auch zueinander invers genannt. Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und die Inverse des Produkts ist das Produkt der jeweiligen Inversen, allerdings in umgekehrter Reihenfolge:

Kann eine Matrix als Produkt leicht invertierbarer Matrizen dargestellt werden, so kann auf diese Weise die Inverse der Matrix schnell ermittelt werden. Für die Inverse des Produkts mehrerer Matrizen gilt die allgemeine Produktformel

mit . Damit gilt speziell für die Inverse einer Matrixpotenz

Diese Matrix wird auch durch notiert.

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Für die Inverse einer Matrix mit Einträgen aus einem Körper gelten folgende weitere Eigenschaften. Für die Inverse des Produkts einer Matrix mit einem Skalar mit gilt

Die Inverse der transponierten Matrix ist gleich der Transponierten der Inversen, also

Gleiches gilt auch für die Inverse einer adjungierten komplexen Matrix

Diese beiden Matrizen werden gelegentlich auch durch und notiert. Für den Rang der Inversen gilt

und für ihre Determinante

Ist ein Eigenwert von zum Eigenvektor , so ist ein Eigenwert von ebenfalls zum Eigenvektor .

Invarianten Bearbeiten

Manche reguläre Matrizen behalten ihre Zusatzeigenschaften unter Inversion. Beispiele hierfür sind:

Berechnung Bearbeiten

Zur Berechnung der Inversen einer Matrix (auch als Inversion oder Invertierung der Matrix bezeichnet) nutzt man, dass deren -ten Spalten jeweils die Lösungen der linearen Gleichungssysteme mit dem -ten Einheitsvektor als rechter Seite sind. Numerische Verfahren wie der Gauß-Jordan-Algorithmus führen dann zu effizienten Algorithmen zur Berechnung der Inversen. Daneben lassen sich unter Verwendung der Adjunkten einer Matrix auch explizite Formeln für die Inverse herleiten.

Im Folgenden wird angenommen, dass die Einträge der Matrix aus einem Körper stammen, damit die entsprechenden Rechenoperationen stets durchführbar sind.

Gauß-Jordan-Algorithmus Bearbeiten

Gleichungsdarstellung Bearbeiten

Ausgeschrieben lautet die Matrixgleichung mit und

Die -te Spalte der Inversen ergibt sich damit als Lösung des linearen Gleichungssystems

wobei der -te Einheitsvektor ist. Die Inverse einer Matrix ist demnach spaltenweise in der Form

aus den Lösungen linearer Gleichungssysteme mit jeweils als Koeffizientenmatrix und einem Einheitsvektor als rechter Seite zusammengesetzt.

Verfahren Bearbeiten

Die Inverse einer Matrix kann nun effizient mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden. Die Idee bei diesem Verfahren ist es, die linearen Gleichungssysteme simultan zu lösen. Hierzu wird zunächst die Koeffizientenmatrix um die Einheitsmatrix erweitert und man schreibt dann

Nun wird die Matrix mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt gebracht, wobei die Einheitsmatrix mit umgeformt wird:

An dieser Stelle kann entschieden werden, ob die Matrix überhaupt eine Inverse besitzt. Die Matrix ist nämlich genau dann invertierbar, wenn die Matrix keine Null auf der Hauptdiagonalen enthält. Ist dies der Fall, so kann die Matrix mit weiteren elementaren Zeilenumformungen zunächst auf Diagonalgestalt gebracht werden und dann durch entsprechende Skalierungen in die Einheitsmatrix überführt werden. Schließlich erhält man die Form

wobei auf der rechten Seite dann die gesuchte Inverse steht.

Beispiele Bearbeiten

Als Beispiel werde die Inverse der reellen -Matrix

gesucht. Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ergeben sich die Rechenschritte

Hierbei wird zunächst die unterhalb der Diagonale eliminiert, was durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile von der zweiten Zeile erfolgt. Anschließend wird die oberhalb der Diagonale zu null gesetzt, was durch Addition des Doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht. Im letzten Schritt wird dann das zweite Diagonalelement auf eins normiert, was eine Multiplikation der zweiten Zeile mit erfordert. Die Inverse von ist demnach

Als weiteres Beispiel werde die Inverse der reellen -Matrix

gesucht. Zunächst werden hier die beiden -en in der ersten Spalte eliminiert, was jeweils durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile erfolgt. Nachdem in der zweiten Spalte nun das Pivotelement gleich ist, wird zur Elimination der die zweite mit der dritten Zeile vertauscht und man erhält die obere Dreiecksform:

Auch diese Matrix ist also invertierbar. Nun muss lediglich die verbleibende oberhalb der Diagonalen zu null gesetzt werden, was durch Addition des Zweidrittelfachen der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht. Schließlich muss noch die zweite Zeile durch dividiert werden und man erhält als Ergebnis:

Die Inverse von ist demnach

Korrektheit Bearbeiten

Dass durch den Gauß-Jordan-Algorithmus tatsächlich die inverse Matrix berechnet wird, kann wie folgt nachgewiesen werden. Sind Elementarmatrizen, mit denen die Matrix in die Einheitsmatrix umgeformt wird, dann gilt

Werden nun beide Seiten dieser Gleichung von rechts mit der Matrix multipliziert, folgt daraus

Wird demnach eine Matrix durch Multiplikation von links mit einer Reihe von Elementarmatrizen in die Einheitsmatrix umgewandelt, so ergibt die Multiplikation der Einheitsmatrix mit diesen Elementarmatrizen in der gleichen Reihenfolge gerade die Inverse .

Laufzeit Bearbeiten

Die Laufzeit des Gauß-Jordan-Algorithmus für die Inversion einer -Matrix beträgt .

Darstellung über die Adjunkte Bearbeiten

Herleitung Bearbeiten

Mit Hilfe der Cramerschen Regel lässt sich die Lösung des linearen Gleichungssystems auch explizit durch

angeben, wobei die Matrix durch Ersetzen der -ten Spalte mit dem Einheitsvektor entsteht. Wird nun die Determinante im Zähler mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach der -ten Spalte entwickelt, ergibt sich

wobei die Untermatrix von ist, die durch Streichung der -ten Zeile und -ten Spalte entsteht (man beachte in obiger Formel die Vertauschung der Reihenfolge von und ). Die Unterdeterminanten werden auch als Minoren von bezeichnet. Die Zahlen

heißen auch Kofaktoren von und bilden als Matrix zusammengefasst die Kofaktormatrix . Die Transponierte der Kofaktormatrix wird auch Adjunkte von genannt. Mit der Adjunkten hat die Inverse einer Matrix dann die explizite Darstellung

Diese Darstellung gilt auch für Matrizen mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins, sofern eine Einheit in dem Ring darstellt.

Explizite Formeln Bearbeiten

Für -Matrizen ergibt sich damit die explizite Formel

Für -Matrizen ergibt sich entsprechend die Formel

wobei mit der Regel von Sarrus angegeben werden kann. Auch für größere Matrizen können auf diese Weise explizite Formeln für die Inverse hergeleitet werden; ihre Darstellung und Berechnung erweist sich jedoch schnell als sehr aufwändig.

Beispiele Bearbeiten

Die Inverse der folgenden reellen -Matrix ergibt sich zu

und die Inverse der folgenden reellen -Matrix zu

Blockweise Inversion Bearbeiten

Ist eine quadratische Blockmatrix gegeben, wobei und das Schur-Komplement von in eine reguläre Matrix ist, dann ist auch eine reguläre Matrix und es gilt

Daraus folgt für die inverse Matrix

Wenn und das Schur-Komplement von in eine reguläre Matrix ist, gilt entsprechend

und für die inverse Matrix

Mithilfe dieser Formel kann die inverse Matrix einer quadratischen ()-Blockmatrix mit Blöcken der Dimension effizient berechnet werden. Es ist also . Die Laufzeit für die Inversion beträgt . Im Vergleich dazu beträgt die Laufzeit für den Gauß-Jordan-Algorithmus .

Darstellung mithilfe des charakteristischen Polynoms Bearbeiten

Speziell für eine quadratische, reguläre Matrix lässt sich das Inverse mithilfe ihres charakteristischen Polynomes berechnen:

Sei eine quadratische Matrix, und das charakteristische Polynom von . Dann ist genau dann regulär, wenn ist, da gleich der Determinante von ist, und es gilt

Das Einsetzen der Matrix in das Polynom verläuft analog zum Einsetzen einer reellen Zahl, nur dass hier die Rechenregeln für Matrizen gelten. bezeichnet die Einheitsmatrix mit Zeilen und Spalten.

Herleitung Bearbeiten

Ausgenutzt wurde hierbei der Satz von Cayley-Hamilton, welcher besagt, dass sich immer ergibt, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt. Für mit ihrem charakteristischen Polynom gilt also immer:

Beispiel Bearbeiten

Sei . Dann ist ihr charakteristisches Polynom .

Einsetzen in die Formel ergibt:

Wobei hier die Zusammenhänge (siehe charakteristisches Polynom) sowie (siehe Einheitsmatrix) ausgenutzt wurden.

Numerische Berechnung Bearbeiten

Generell werden in der Numerik lineare Gleichungssysteme der Form nicht über die Inverse durch

sondern mit speziellen Verfahren für lineare Gleichungssysteme gelöst (siehe Numerische lineare Algebra). Der Berechnungsweg über die Inverse ist zum einen wesentlich aufwändiger und zum anderen weniger stabil. Gelegentlich kann es jedoch erforderlich sein, die Inverse einer Matrix explizit zu ermitteln. Insbesondere bei sehr großen Matrizen wird dann auf Näherungsverfahren zurückgegriffen. Ein Ansatz hierfür ist die Neumann-Reihe, mit der die Inverse einer Matrix durch die unendliche Reihe

dargestellt werden kann, sofern die Reihe konvergiert. Wird diese Reihe nach endlich vielen Termen abgeschnitten, erhält man eine näherungsweise Inverse. Für spezielle Matrizen, wie Bandmatrizen oder Toeplitz-Matrizen, gibt es eigene effiziente Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Inversen.

Verwendung Bearbeiten

Spezielle Matrizen Bearbeiten

Mit Hilfe der inversen Matrix können folgende Klassen von Matrizen charakterisiert werden:

Weitere Matrizen, deren Inverse explizit angegeben werden kann, sind neben Diagonalmatrizen unter anderem Frobeniusmatrizen, Hilbertmatrizen und Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen.

Inverse Abbildungen Bearbeiten

Sind und zwei -dimensionale Vektorräume über dem Körper , dann wird die zu einer gegebenen bijektiven linearen Abbildung zugehörige inverse Abbildung durch

charakterisiert, wobei die identische Abbildung darstellt. Ist nun eine Basis für und eine Basis für , dann gilt für die zugehörigen Abbildungsmatrizen und die Beziehung

Die Abbildungsmatrix der inversen Abbildung ist demnach gerade die Inverse der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung.

Duale Basen Bearbeiten

Ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper , dann ist der zugehörige Dualraum der Vektorraum der linearen Funktionale . Ist eine Basis für , dann wird die zugehörige duale Basis von mit Hilfe des Kronecker-Deltas durch

für charakterisiert. Ist nun die Matrix bestehend aus den Koordinatenvektoren der Basisvektoren, dann ergibt sich die zugehörige duale Matrix als

Die Basismatrix der dualen Basis ist demnach gerade die Inverse der Basismatrix der primalen Basis.

Weitere Anwendungen Bearbeiten

Inverse Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem auch verwendet:

Siehe auch Bearbeiten

  • Pseudoinverse, eine Verallgemeinerung der Inversen auf singuläre und nichtquadratische Matrizen
  • Sherman-Morrison-Woodbury-Formel, eine Formel für die Inverse einer Rang-k-modifizierten Matrix
  • Diagonalisierung, die Umwandlung einer Matrix in Diagonalform durch eine Ähnlichkeitstransformation
  • Smith-Normalform, die Diagonalisierung einer Matrix mit Einträgen aus einem Hauptidealring

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
  • Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 0-8018-5414-8.
  • Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-38632-2.
  • Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-62741-9, doi:10.1007/978-3-662-62742-6.
  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. G. W. Stewart: Matrix Algorithms. Volume 1: Basic Decompositions. SIAM, 1998, S. 38.
  2. Universität Leipzig: Lineare Gleichungssysteme und lineare Unterräume
  3. Stephen M. Watt, University of Western Ontario: Pivot-Free Block Matrix Inversion
  4. Iria C. S. Cosme, Isaac F. Fernandes, Joao L. de Carvalho, Samuel Xavier-de-Souza: Memory-Usage Advantageous Block Recursive Matrix Inverse
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Die inverse Matrix reziproke Matrix Kehrmatrix oder kurz Inverse einer quadratischen Matrix ist in der Mathematik eine ebenfalls quadratische Matrix die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse die invertierbaren Matrizen werden regulare Matrizen genannt Eine regulare Matrix ist die Darstellungsmatrix einer bijektiven linearen Abbildung und die inverse Matrix stellt dann die Umkehrabbildung dieser Abbildung dar Die Menge der regularen Matrizen fester Grosse bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknupfung die allgemeine lineare Gruppe Die inverse Matrix ist dann das inverse Element in dieser Gruppe Die Berechnung der Inverse einer Matrix wird auch als Inversion oder Invertierung der Matrix bezeichnet Die Invertierung einer Matrix kann mit dem Gauss Jordan Algorithmus oder uber die Adjunkte der Matrix erfolgen Die inverse Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei der Losung linearer Gleichungssysteme bei Aquivalenzrelationen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Gruppeneigenschaften 3 2 Weitere Eigenschaften 3 3 Invarianten 4 Berechnung 4 1 Gauss Jordan Algorithmus 4 1 1 Gleichungsdarstellung 4 1 2 Verfahren 4 1 3 Beispiele 4 1 4 Korrektheit 4 1 5 Laufzeit 4 2 Darstellung uber die Adjunkte 4 2 1 Herleitung 4 2 2 Explizite Formeln 4 2 3 Beispiele 4 3 Blockweise Inversion 4 4 Darstellung mithilfe des charakteristischen Polynoms 4 4 1 Herleitung 4 4 2 Beispiel 4 5 Numerische Berechnung 5 Verwendung 5 1 Spezielle Matrizen 5 2 Inverse Abbildungen 5 3 Duale Basen 5 4 Weitere Anwendungen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIst A R n n displaystyle A in R n times n nbsp eine regulare Matrix mit Eintragen aus einem unitaren Ring R displaystyle R nbsp in der Praxis meist dem Korper der reellen Zahlen dann ist die zugehorige inverse Matrix diejenige Matrix A 1 R n n displaystyle A 1 in R n times n nbsp fur die A A 1 A 1 A I displaystyle A cdot A 1 A 1 cdot A I nbsp gilt wobei der Malpunkt displaystyle cdot nbsp die Matrizenmultiplikation darstellt und I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix der Grosse n n displaystyle n times n nbsp ist Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring Korper oder Schiefkorper so sind die beiden Bedingungen aquivalent das heisst eine rechtsinverse Matrix ist auch linksinvers und umgekehrt Beispiele BearbeitenDie Inverse der reellen 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix A 2 1 6 4 displaystyle A begin pmatrix 2 amp 1 6 amp 4 end pmatrix nbsp ist A 1 2 1 2 3 1 displaystyle A 1 begin pmatrix 2 amp tfrac 1 2 3 amp 1 end pmatrix nbsp denn es gilt A A 1 2 1 6 4 2 1 2 3 1 4 3 1 1 12 12 3 4 1 0 0 1 I displaystyle A cdot A 1 begin pmatrix 2 amp 1 6 amp 4 end pmatrix cdot begin pmatrix 2 amp tfrac 1 2 3 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 4 3 amp 1 1 12 12 amp 3 4 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix I nbsp Die Inverse einer reellen Diagonalmatrix mit Diagonalelementen d 1 d n 0 displaystyle d 1 ldots d n neq 0 nbsp ergibt sich durch Bildung der Kehrwerte aller Diagonalelemente denn diag d 1 d n diag d 1 1 d n 1 diag 1 1 I displaystyle operatorname diag left d 1 ldots d n right cdot operatorname diag left d 1 1 ldots d n 1 right operatorname diag left 1 ldots 1 right I nbsp Eigenschaften BearbeitenGruppeneigenschaften Bearbeiten Die Menge der regularen Matrizen fester Grosse uber einem unitaren Ring R displaystyle R nbsp bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknupfung eine im Allgemeinen nichtkommutative Gruppe die allgemeine lineare Gruppe GL n R displaystyle operatorname GL n R nbsp In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element Als solches ist die Inverse einer Matrix eindeutig definiert und sowohl links als auch rechtsinvers Insbesondere ergibt die Inverse der Einheitsmatrix wieder die Einheitsmatrix also I 1 I displaystyle I 1 I nbsp und die Inverse der inversen Matrix wieder die Ausgangsmatrix das heisst A 1 1 A displaystyle left A 1 right 1 A nbsp Die Matrizen A displaystyle A nbsp und A 1 displaystyle A 1 nbsp werden daher auch zueinander invers genannt Das Produkt zweier regularer Matrizen ist wieder regular und die Inverse des Produkts ist das Produkt der jeweiligen Inversen allerdings in umgekehrter Reihenfolge A B 1 B 1 A 1 displaystyle left A cdot B right 1 B 1 cdot A 1 nbsp Kann eine Matrix als Produkt leicht invertierbarer Matrizen dargestellt werden so kann auf diese Weise die Inverse der Matrix schnell ermittelt werden Fur die Inverse des Produkts mehrerer Matrizen gilt die allgemeine Produktformel A 1 A 2 A k 1 A k 1 A 2 1 A 1 1 displaystyle left A 1 cdot A 2 dotsm A k right 1 A k 1 dotsm A 2 1 cdot A 1 1 nbsp mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp Damit gilt speziell fur die Inverse einer Matrixpotenz A k 1 A 1 k displaystyle left A k right 1 left A 1 right k nbsp Diese Matrix wird auch durch A k displaystyle A k nbsp notiert Weitere Eigenschaften Bearbeiten Fur die Inverse einer Matrix mit Eintragen aus einem Korper K displaystyle K nbsp gelten folgende weitere Eigenschaften Fur die Inverse des Produkts einer Matrix mit einem Skalar c K displaystyle c in K nbsp mit c 0 displaystyle c neq 0 nbsp gilt c A 1 c 1 A 1 displaystyle cA 1 c 1 A 1 nbsp Die Inverse der transponierten Matrix ist gleich der Transponierten der Inversen also A T 1 A 1 T displaystyle left A T right 1 left A 1 right T nbsp Gleiches gilt auch fur die Inverse einer adjungierten komplexen Matrix A H 1 A 1 H displaystyle left A H right 1 left A 1 right H nbsp Diese beiden Matrizen werden gelegentlich auch durch A T displaystyle A T nbsp und A H displaystyle A H nbsp notiert 1 Fur den Rang der Inversen gilt rang A 1 rang A n displaystyle operatorname rang left A 1 right operatorname rang A n nbsp und fur ihre Determinante det A 1 det A 1 displaystyle operatorname det left A 1 right det A 1 nbsp Ist l displaystyle lambda nbsp ein Eigenwert von A displaystyle A nbsp zum Eigenvektor x displaystyle x nbsp so ist l 1 displaystyle lambda 1 nbsp ein Eigenwert von A 1 displaystyle A 1 nbsp ebenfalls zum Eigenvektor x displaystyle x nbsp Invarianten Bearbeiten Manche regulare Matrizen behalten ihre Zusatzeigenschaften unter Inversion Beispiele hierfur sind obere und untere Dreiecksmatrizen sowie strikt obere und untere Dreiecksmatrizen positiv definite und negativ definite Matrizen symmetrische persymmetrische bisymmetrische und zentralsymmetrische Matrizen unimodulare und ganzzahlige unimodulare MatrizenBerechnung BearbeitenZur Berechnung der Inversen einer Matrix A displaystyle A nbsp auch als Inversion oder Invertierung der Matrix bezeichnet nutzt man dass deren j displaystyle j nbsp ten Spalten a j displaystyle hat a j nbsp jeweils die Losungen der linearen Gleichungssysteme A a j e j displaystyle A cdot hat a j e j nbsp mit dem j displaystyle j nbsp ten Einheitsvektor als rechter Seite sind Numerische Verfahren wie der Gauss Jordan Algorithmus fuhren dann zu effizienten Algorithmen zur Berechnung der Inversen Daneben lassen sich unter Verwendung der Adjunkten einer Matrix auch explizite Formeln fur die Inverse herleiten Im Folgenden wird angenommen dass die Eintrage der Matrix aus einem Korper stammen damit die entsprechenden Rechenoperationen stets durchfuhrbar sind Gauss Jordan Algorithmus Bearbeiten Hauptartikel Gauss Jordan Algorithmus Gleichungsdarstellung Bearbeiten Ausgeschrieben lautet die Matrixgleichung A A 1 I displaystyle A cdot A 1 I nbsp mit A a i j displaystyle A a ij nbsp und A 1 a i j displaystyle A 1 hat a ij nbsp a 11 a 1 n a n 1 a n n a 11 a 1 n a n 1 a n n 1 0 0 1 displaystyle begin pmatrix a 11 amp ldots amp a 1n vdots amp amp vdots a n1 amp ldots amp a nn end pmatrix cdot begin pmatrix hat a 11 amp ldots amp hat a 1n vdots amp amp vdots hat a n1 amp ldots amp hat a nn end pmatrix begin pmatrix 1 amp amp 0 amp ddots amp 0 amp amp 1 end pmatrix nbsp Die j displaystyle j nbsp te Spalte der Inversen a j a 1 j a 2 j a n j T displaystyle hat a j left hat a 1j hat a 2j ldots hat a nj right T nbsp ergibt sich damit als Losung des linearen Gleichungssystems A a j e j displaystyle A cdot hat a j e j nbsp wobei e j displaystyle e j nbsp der j displaystyle j nbsp te Einheitsvektor ist Die Inverse einer Matrix A displaystyle A nbsp ist demnach spaltenweise in der Form A 1 a 1 a 2 a n displaystyle A 1 left hat a 1 hat a 2 ldots hat a n right nbsp aus den Losungen n displaystyle n nbsp linearer Gleichungssysteme mit jeweils A displaystyle A nbsp als Koeffizientenmatrix und einem Einheitsvektor als rechter Seite zusammengesetzt Verfahren Bearbeiten Die Inverse einer Matrix kann nun effizient mit dem Gauss Jordan Algorithmus berechnet werden Die Idee bei diesem Verfahren ist es die n displaystyle n nbsp linearen Gleichungssysteme A a j e j displaystyle A cdot hat a j e j nbsp simultan zu losen Hierzu wird zunachst die Koeffizientenmatrix A displaystyle A nbsp um die Einheitsmatrix I displaystyle I nbsp erweitert und man schreibt dann A I a 11 a 1 n 1 0 a n 1 a n n 0 1 displaystyle A I left begin array ccc ccc a 11 amp ldots amp a 1n amp 1 amp amp 0 vdots amp amp vdots amp amp ddots amp a n1 amp ldots amp a nn amp 0 amp amp 1 end array right nbsp Nun wird die Matrix A displaystyle A nbsp mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt gebracht wobei die Einheitsmatrix I displaystyle I nbsp mit umgeformt wird D B 0 displaystyle D B left begin array ccc ccc amp ldots amp amp amp ldots amp amp ddots amp vdots amp vdots amp amp vdots 0 amp amp amp amp ldots amp end array right nbsp An dieser Stelle kann entschieden werden ob die Matrix A displaystyle A nbsp uberhaupt eine Inverse besitzt Die Matrix A displaystyle A nbsp ist namlich genau dann invertierbar wenn die Matrix D displaystyle D nbsp keine Null auf der Hauptdiagonalen enthalt Ist dies der Fall so kann die Matrix D displaystyle D nbsp mit weiteren elementaren Zeilenumformungen zunachst auf Diagonalgestalt gebracht werden und dann durch entsprechende Skalierungen in die Einheitsmatrix uberfuhrt werden Schliesslich erhalt man die Form I A 1 1 0 a 11 a 1 n 0 1 a n 1 a n n displaystyle I A 1 left begin array ccc ccc 1 amp amp 0 amp hat a 11 amp ldots amp hat a 1n amp ddots amp amp vdots amp amp vdots 0 amp amp 1 amp hat a n1 amp ldots amp hat a nn end array right nbsp wobei auf der rechten Seite dann die gesuchte Inverse A 1 displaystyle A 1 nbsp steht Beispiele Bearbeiten Als Beispiel werde die Inverse der reellen 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix A 1 2 2 3 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 2 amp 3 end pmatrix nbsp gesucht Mit dem Gauss Jordan Algorithmus ergeben sich die Rechenschritte 1 2 1 0 2 3 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 1 0 3 2 0 1 2 1 1 0 3 2 0 1 2 1 displaystyle left begin array cc cc 1 amp 2 amp 1 amp 0 color BrickRed 2 amp 3 amp 0 amp 1 end array right rightarrow left begin array cc cc 1 amp color OliveGreen 2 amp 1 amp 0 0 amp 1 amp 2 amp 1 end array right rightarrow left begin array cc cc 1 amp 0 amp 3 amp 2 0 amp color Blue 1 amp 2 amp 1 end array right rightarrow left begin array cc cc 1 amp 0 amp 3 amp 2 0 amp 1 amp 2 amp 1 end array right nbsp Hierbei wird zunachst die 2 displaystyle color BrickRed 2 nbsp unterhalb der Diagonale eliminiert was durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile von der zweiten Zeile erfolgt Anschliessend wird die 2 displaystyle color OliveGreen 2 nbsp oberhalb der Diagonale zu null gesetzt was durch Addition des Doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht Im letzten Schritt wird dann das zweite Diagonalelement auf eins normiert was eine Multiplikation der zweiten Zeile mit 1 displaystyle color Blue 1 nbsp erfordert Die Inverse von A displaystyle A nbsp ist demnach A 1 3 2 2 1 displaystyle A 1 begin pmatrix 3 amp 2 2 amp 1 end pmatrix nbsp Als weiteres Beispiel werde die Inverse der reellen 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp Matrix A 1 2 0 2 4 1 2 1 0 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 0 2 amp 4 amp 1 2 amp 1 amp 0 end pmatrix nbsp gesucht Zunachst werden hier die beiden 2 displaystyle color BrickRed 2 nbsp en in der ersten Spalte eliminiert was jeweils durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile erfolgt Nachdem in der zweiten Spalte nun das Pivotelement gleich 0 displaystyle 0 nbsp ist wird zur Elimination der 3 displaystyle color BrickRed 3 nbsp die zweite mit der dritten Zeile vertauscht und man erhalt die obere Dreiecksform 1 2 0 1 0 0 2 4 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 3 0 2 0 1 1 2 0 1 0 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 2 1 0 displaystyle left begin array ccc ccc 1 amp 2 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 color BrickRed 2 amp 4 amp 1 amp 0 amp 1 amp 0 color BrickRed 2 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 end array right rightarrow left begin array ccc ccc 1 amp 2 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 2 amp 1 amp 0 0 amp color BrickRed 3 amp 0 amp 2 amp 0 amp 1 end array right rightarrow left begin array ccc ccc 1 amp 2 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 3 amp 0 amp 2 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 1 amp 2 amp 1 amp 0 end array right nbsp Auch diese Matrix ist also invertierbar Nun muss lediglich die verbleibende 2 displaystyle color OliveGreen 2 nbsp oberhalb der Diagonalen zu null gesetzt werden was durch Addition des Zweidrittelfachen der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht Schliesslich muss noch die zweite Zeile durch 3 displaystyle color Blue 3 nbsp dividiert werden und man erhalt als Ergebnis 1 2 0 1 0 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 3 0 2 3 0 3 0 2 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 3 0 2 3 0 1 0 2 3 0 1 3 0 0 1 2 1 0 displaystyle left begin array ccc ccc 1 amp color OliveGreen 2 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 3 amp 0 amp 2 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 1 amp 2 amp 1 amp 0 end array right rightarrow left begin array ccc ccc color Blue 1 amp 0 amp 0 amp tfrac 1 3 amp 0 amp tfrac 2 3 0 amp color Blue 3 amp 0 amp 2 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 1 amp 2 amp 1 amp 0 end array right rightarrow left begin array ccc ccc 1 amp 0 amp 0 amp tfrac 1 3 amp 0 amp tfrac 2 3 0 amp 1 amp 0 amp tfrac 2 3 amp 0 amp tfrac 1 3 0 amp 0 amp 1 amp 2 amp 1 amp 0 end array right nbsp Die Inverse von A displaystyle A nbsp ist demnach A 1 1 3 0 2 3 2 3 0 1 3 2 1 0 1 3 1 0 2 2 0 1 6 3 0 displaystyle A 1 begin pmatrix tfrac 1 3 amp 0 amp tfrac 2 3 tfrac 2 3 amp 0 amp tfrac 1 3 2 amp 1 amp 0 end pmatrix frac 1 3 begin pmatrix 1 amp 0 amp 2 2 amp 0 amp 1 6 amp 3 amp 0 end pmatrix nbsp Korrektheit Bearbeiten Dass durch den Gauss Jordan Algorithmus tatsachlich die inverse Matrix berechnet wird kann wie folgt nachgewiesen werden Sind N 1 N m displaystyle N 1 ldots N m nbsp Elementarmatrizen mit denen die Matrix A displaystyle A nbsp in die Einheitsmatrix umgeformt wird dann gilt I N m N 2 N 1 A displaystyle I N m dotsm N 2 cdot N 1 cdot A nbsp Werden nun beide Seiten dieser Gleichung von rechts mit der Matrix A 1 displaystyle A 1 nbsp multipliziert folgt daraus A 1 N m N 2 N 1 I displaystyle A 1 N m dotsm N 2 cdot N 1 cdot I nbsp Wird demnach eine Matrix A displaystyle A nbsp durch Multiplikation von links mit einer Reihe von Elementarmatrizen in die Einheitsmatrix umgewandelt so ergibt die Multiplikation der Einheitsmatrix mit diesen Elementarmatrizen in der gleichen Reihenfolge gerade die Inverse A 1 displaystyle A 1 nbsp Laufzeit Bearbeiten Die Laufzeit des Gauss Jordan Algorithmus fur die Inversion einer n n displaystyle n times n nbsp Matrix betragt O n 3 displaystyle O n 3 nbsp 2 Darstellung uber die Adjunkte Bearbeiten Herleitung Bearbeiten Mit Hilfe der Cramerschen Regel lasst sich die Losung des linearen Gleichungssystems A a j e j displaystyle A cdot hat a j e j nbsp auch explizit durch a i j det A i det A displaystyle hat a ij frac det A i det A nbsp angeben wobei die Matrix A i displaystyle A i nbsp durch Ersetzen der i displaystyle i nbsp ten Spalte mit dem Einheitsvektor e j displaystyle e j nbsp entsteht Wird nun die Determinante im Zahler mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach der i displaystyle i nbsp ten Spalte entwickelt ergibt sich a i j 1 i j det A j i det A displaystyle hat a ij frac 1 i j cdot det A ji det A nbsp wobei A i j displaystyle A ij nbsp die Untermatrix von A displaystyle A nbsp ist die durch Streichung der i displaystyle i nbsp ten Zeile und j displaystyle j nbsp ten Spalte entsteht man beachte in obiger Formel die Vertauschung der Reihenfolge von i displaystyle i nbsp und j displaystyle j nbsp Die Unterdeterminanten det A i j displaystyle det A ij nbsp werden auch als Minoren von A displaystyle A nbsp bezeichnet Die Zahlen a i j 1 i j det A i j displaystyle tilde a ij 1 i j cdot det A ij nbsp heissen auch Kofaktoren von A displaystyle A nbsp und bilden als Matrix zusammengefasst die Kofaktormatrix cof A a i j displaystyle operatorname cof A tilde a ij nbsp Die Transponierte der Kofaktormatrix wird auch Adjunkte adj A displaystyle operatorname adj A nbsp von A displaystyle A nbsp genannt Mit der Adjunkten hat die Inverse einer Matrix dann die explizite Darstellung A 1 1 det A adj A displaystyle A 1 frac 1 det A cdot operatorname adj A nbsp Diese Darstellung gilt auch fur Matrizen mit Eintragen aus einem kommutativen Ring mit Eins sofern det A displaystyle det A nbsp eine Einheit in dem Ring darstellt Explizite Formeln Bearbeiten Fur 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen ergibt sich damit die explizite Formel a b c d 1 1 det A d b c a 1 a d b c d b c a displaystyle begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix 1 frac 1 det A cdot begin pmatrix d amp b c amp a end pmatrix frac 1 ad bc cdot begin pmatrix d amp b c amp a end pmatrix nbsp Fur 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp Matrizen ergibt sich entsprechend die Formel a b c d e f g h i 1 1 det A e i f h c h b i b f c e f g d i a i c g c d a f d h e g b g a h a e b d displaystyle begin pmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end pmatrix 1 frac 1 det A cdot begin pmatrix ei fh amp ch bi amp bf ce fg di amp ai cg amp cd af dh eg amp bg ah amp ae bd end pmatrix nbsp wobei det A displaystyle det A nbsp mit der Regel von Sarrus angegeben werden kann Auch fur grossere Matrizen konnen auf diese Weise explizite Formeln fur die Inverse hergeleitet werden ihre Darstellung und Berechnung erweist sich jedoch schnell als sehr aufwandig Beispiele Bearbeiten Die Inverse der folgenden reellen 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix ergibt sich zu 1 2 3 4 1 1 4 6 4 2 3 1 1 2 4 2 3 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 2 3 amp 4 end pmatrix 1 frac 1 4 6 begin pmatrix 4 amp 2 3 amp 1 end pmatrix frac 1 2 begin pmatrix 4 amp 2 3 amp 1 end pmatrix nbsp und die Inverse der folgenden reellen 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp Matrix zu 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 1 8 2 2 4 1 2 0 1 0 2 0 4 0 2 0 1 0 2 0 4 1 1 4 3 2 1 2 4 2 1 2 3 displaystyle begin pmatrix 2 amp 1 amp 0 1 amp 2 amp 1 0 amp 1 amp 2 end pmatrix 1 frac 1 8 2 2 begin pmatrix 4 1 amp 2 0 amp 1 0 2 0 amp 4 0 amp 2 0 1 0 amp 2 0 amp 4 1 end pmatrix frac 1 4 begin pmatrix 3 amp 2 amp 1 2 amp 4 amp 2 1 amp 2 amp 3 end pmatrix nbsp Blockweise Inversion Bearbeiten Ist eine quadratische Blockmatrix M A B C D displaystyle M left begin matrix A amp B C amp D end matrix right nbsp gegeben wobei A displaystyle A nbsp und das Schur Komplement M A D C A 1 B displaystyle M A D CA 1 B nbsp von A displaystyle A nbsp in M displaystyle M nbsp eine regulare Matrix ist dann ist auch M displaystyle M nbsp eine regulare Matrix und es gilt M I 0 C A 1 I A 0 0 M A I A 1 B 0 I displaystyle M left begin matrix I amp 0 CA 1 amp I end matrix right left begin matrix A amp 0 0 amp M A end matrix right left begin matrix I amp A 1 B 0 amp I end matrix right nbsp Daraus folgt fur die inverse Matrix M 1 I A 1 B 0 I 1 A 0 0 M A 1 I 0 C A 1 I 1 I A 1 B 0 I A 1 0 0 M A 1 I 0 C A 1 I A 1 A 1 B M A 1 C A 1 A 1 B M A 1 M A 1 C A 1 M A 1 displaystyle begin aligned M 1 amp left begin matrix I amp A 1 B 0 amp I end matrix right 1 left begin matrix A amp 0 0 amp M A end matrix right 1 left begin matrix I amp 0 CA 1 amp I end matrix right 1 amp left begin matrix I amp A 1 B 0 amp I end matrix right left begin matrix A 1 amp 0 0 amp M A 1 end matrix right left begin matrix I amp 0 CA 1 amp I end matrix right amp left begin matrix A 1 A 1 B M A 1 CA 1 amp A 1 B M A 1 M A 1 CA 1 amp M A 1 end matrix right end aligned nbsp Wenn D displaystyle D nbsp und das Schur Komplement M D A B D 1 C displaystyle M D A BD 1 C nbsp von D displaystyle D nbsp in M displaystyle M nbsp eine regulare Matrix ist gilt entsprechend M I B D 1 0 I M D 0 0 D I 0 D 1 C I displaystyle M left begin matrix I amp BD 1 0 amp I end matrix right left begin matrix M D amp 0 0 amp D end matrix right left begin matrix I amp 0 D 1 C amp I end matrix right nbsp und fur die inverse Matrix 3 M 1 I 0 D 1 C I 1 M D 0 0 D 1 I B D 1 0 I 1 I 0 D 1 C I M D 1 0 0 D 1 I B D 1 0 I M D 1 M D 1 B D 1 D 1 C M D 1 D 1 D 1 C M D 1 B D 1 displaystyle begin aligned M 1 amp left begin matrix I amp 0 D 1 C amp I end matrix right 1 left begin matrix M D amp 0 0 amp D end matrix right 1 left begin matrix I amp BD 1 0 amp I end matrix right 1 amp left begin matrix I amp 0 D 1 C amp I end matrix right left begin matrix M D 1 amp 0 0 amp D 1 end matrix right left begin matrix I amp BD 1 0 amp I end matrix right amp left begin matrix M D 1 amp M D 1 BD 1 D 1 C M D 1 amp D 1 D 1 C M D 1 BD 1 end matrix right end aligned nbsp Mithilfe dieser Formel kann die inverse Matrix einer quadratischen k k displaystyle k times k nbsp Blockmatrix A R n n displaystyle A in R n times n nbsp mit Blocken der Dimension b b displaystyle b times b nbsp effizient berechnet werden Es ist also n k b displaystyle n k cdot b nbsp Die Laufzeit fur die Inversion betragt O k 2 b 3 4 k displaystyle O k 2 cdot b 3 cdot 4 k nbsp Im Vergleich dazu betragt die Laufzeit fur den Gauss Jordan Algorithmus O n 3 O k 3 b 3 displaystyle O n 3 O k 3 cdot b 3 nbsp 4 Darstellung mithilfe des charakteristischen Polynoms Bearbeiten Speziell fur eine quadratische regulare Matrix lasst sich das Inverse mithilfe ihres charakteristischen Polynomes berechnen Sei A K n n displaystyle A in K n times n nbsp eine quadratische Matrix und x A t a 0 a 1 t 1 a n t n displaystyle chi A t alpha 0 alpha 1 cdot t 1 ldots alpha n cdot t n nbsp das charakteristische Polynom von A displaystyle A nbsp Dann ist A displaystyle A nbsp genau dann regular wenn a 0 0 displaystyle alpha 0 neq 0 nbsp ist da a 0 displaystyle alpha 0 nbsp gleich der Determinante von A displaystyle A nbsp ist und es gilt A 1 1 det A a 1 I n a 2 A a n A n 1 displaystyle A 1 frac 1 det A left alpha 1 I n alpha 2 A ldots alpha n A n 1 right nbsp Das Einsetzen der Matrix in das Polynom verlauft analog zum Einsetzen einer reellen Zahl nur dass hier die Rechenregeln fur Matrizen gelten I n displaystyle I n nbsp bezeichnet die Einheitsmatrix mit n displaystyle n nbsp Zeilen und Spalten Herleitung Bearbeiten Ausgenutzt wurde hierbei der Satz von Cayley Hamilton welcher besagt dass sich immer 0 displaystyle 0 nbsp ergibt wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt Fur A K n n displaystyle A in K n n nbsp mit ihrem charakteristischen Polynom x A t a 0 a 1 t 1 a n t n displaystyle chi A t alpha 0 alpha 1 cdot t 1 ldots alpha n cdot t n nbsp gilt also immer x A A 0 a 0 I n i 1 n a i A i 0 a 0 I n A i 1 n a i A i 1 A 1 i 1 n a i A i 1 a 0 displaystyle chi A A 0 Longleftrightarrow alpha 0 cdot I n sum i 1 n alpha i cdot A i 0 Longleftrightarrow alpha 0 cdot I n A cdot sum i 1 n alpha i cdot A i 1 Longleftrightarrow A 1 displaystyle frac sum i 1 n alpha i cdot A i 1 alpha 0 nbsp Beispiel Bearbeiten Sei A 3 2 5 1 1 3 2 4 6 displaystyle A begin pmatrix 3 amp 2 amp 5 1 amp 1 amp 3 2 amp 4 amp 6 end pmatrix nbsp Dann ist ihr charakteristisches Polynom x A t t 3 10 t 2 3 t 8 displaystyle chi A t t 3 10 cdot t 2 3 cdot t 8 nbsp Einsetzen in die Formel ergibt A 1 1 a 0 i 1 n a i A i 1 1 a 0 a 1 I 3 a 2 A a 3 A 2 1 8 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 10 3 2 5 1 1 3 2 4 6 1 21 28 51 10 15 26 22 32 58 1 8 6 8 1 0 8 4 2 8 1 displaystyle begin aligned A 1 amp frac 1 alpha 0 sum i 1 n alpha i cdot A i 1 amp frac 1 alpha 0 left alpha 1 cdot I 3 alpha 2 cdot A alpha 3 cdot A 2 right amp frac 1 8 left 3 cdot begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix 10 cdot begin pmatrix 3 amp 2 amp 5 1 amp 1 amp 3 2 amp 4 amp 6 end pmatrix 1 cdot begin pmatrix 21 amp 28 amp 51 10 amp 15 amp 26 22 amp 32 amp 58 end pmatrix right amp frac 1 8 begin pmatrix 6 amp 8 amp 1 0 amp 8 amp 4 2 amp 8 amp 1 end pmatrix end aligned nbsp Wobei hier die Zusammenhange a 0 det A displaystyle alpha 0 det A nbsp siehe charakteristisches Polynom sowie A 0 I n displaystyle A 0 I n nbsp siehe Einheitsmatrix ausgenutzt wurden Numerische Berechnung Bearbeiten Generell werden in der Numerik lineare Gleichungssysteme der Form A x b displaystyle Ax b nbsp nicht uber die Inverse durch x A 1 b displaystyle x A 1 b nbsp sondern mit speziellen Verfahren fur lineare Gleichungssysteme gelost siehe Numerische lineare Algebra Der Berechnungsweg uber die Inverse ist zum einen wesentlich aufwandiger und zum anderen weniger stabil Gelegentlich kann es jedoch erforderlich sein die Inverse einer Matrix explizit zu ermitteln Insbesondere bei sehr grossen Matrizen wird dann auf Naherungsverfahren zuruckgegriffen Ein Ansatz hierfur ist die Neumann Reihe mit der die Inverse einer Matrix durch die unendliche Reihe A 1 k 0 I A k displaystyle A 1 sum k 0 infty I A k nbsp dargestellt werden kann sofern die Reihe konvergiert Wird diese Reihe nach endlich vielen Termen abgeschnitten erhalt man eine naherungsweise Inverse Fur spezielle Matrizen wie Bandmatrizen oder Toeplitz Matrizen gibt es eigene effiziente Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Inversen Verwendung BearbeitenSpezielle Matrizen Bearbeiten Mit Hilfe der inversen Matrix konnen folgende Klassen von Matrizen charakterisiert werden Fur eine selbstinverse Matrix ist die Inverse gleich der Ausgangsmatrix das heisst A 1 A displaystyle A 1 A nbsp Fur eine orthogonale Matrix ist die Inverse gleich der Transponierten das heisst A 1 A T displaystyle A 1 A T nbsp Fur eine unitare Matrix ist die Inverse gleich der Adjungierten das heisst A 1 A H displaystyle A 1 A H nbsp Weitere Matrizen deren Inverse explizit angegeben werden kann sind neben Diagonalmatrizen unter anderem Frobeniusmatrizen Hilbertmatrizen und Tridiagonal Toeplitz Matrizen Inverse Abbildungen Bearbeiten Sind V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp zwei n displaystyle n nbsp dimensionale Vektorraume uber dem Korper K displaystyle K nbsp dann wird die zu einer gegebenen bijektiven linearen Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp zugehorige inverse Abbildung f 1 W V displaystyle f 1 colon W to V nbsp durch f 1 f f f 1 id displaystyle f 1 circ f f circ f 1 operatorname id nbsp charakterisiert wobei id displaystyle operatorname id nbsp die identische Abbildung darstellt Ist nun v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp eine Basis fur V displaystyle V nbsp und w 1 w n displaystyle w 1 ldots w n nbsp eine Basis fur W displaystyle W nbsp dann gilt fur die zugehorigen Abbildungsmatrizen A f K n n displaystyle A f in K n times n nbsp und A f 1 K n n displaystyle A f 1 in K n times n nbsp die Beziehung A f 1 A f 1 displaystyle A f 1 A f 1 nbsp Die Abbildungsmatrix der inversen Abbildung ist demnach gerade die Inverse der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung Duale Basen Bearbeiten Ist V displaystyle V nbsp ein endlichdimensionaler Vektorraum uber dem Korper K displaystyle K nbsp dann ist der zugehorige Dualraum V displaystyle V ast nbsp der Vektorraum der linearen Funktionale V K displaystyle V to K nbsp Ist v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp eine Basis fur V displaystyle V nbsp dann wird die zugehorige duale Basis v 1 v n displaystyle v 1 ast ldots v n ast nbsp von V displaystyle V ast nbsp mit Hilfe des Kronecker Deltas durch v i v j d i j displaystyle v i ast v j delta ij nbsp fur i j 1 n displaystyle i j 1 ldots n nbsp charakterisiert Ist nun A v x 1 x n displaystyle A v x 1 mid ldots mid x n nbsp die Matrix bestehend aus den Koordinatenvektoren der Basisvektoren dann ergibt sich die zugehorige duale Matrix A v x 1 x n T displaystyle A v ast x 1 ast mid ldots mid x n ast T nbsp als A v A v 1 displaystyle A v ast A v 1 nbsp Die Basismatrix der dualen Basis ist demnach gerade die Inverse der Basismatrix der primalen Basis Weitere Anwendungen Bearbeiten Inverse Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem auch verwendet bei Aquivalenzrelationen beispielsweise der Ahnlichkeit und der Aquivalenz von Matrizen bei Normalformen von Matrizen beispielsweise der Jordan Normalform oder der Frobenius Normalform bei Matrixzerlegungen beispielsweise der Singularwertzerlegung bei der Berechnung der Kondition regularer MatrizenSiehe auch BearbeitenPseudoinverse eine Verallgemeinerung der Inversen auf singulare und nichtquadratische Matrizen Sherman Morrison Woodbury Formel eine Formel fur die Inverse einer Rang k modifizierten Matrix Diagonalisierung die Umwandlung einer Matrix in Diagonalform durch eine Ahnlichkeitstransformation Smith Normalform die Diagonalisierung einer Matrix mit Eintragen aus einem HauptidealringLiteratur BearbeitenSiegfried Bosch Lineare Algebra Springer 2006 ISBN 3 540 29884 3 Gene Golub Charles van Loan Matrix Computations 3 Auflage Johns Hopkins University Press 1996 ISBN 0 8018 5414 8 Roger Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 1990 ISBN 0 521 38632 2 Jorg Liesen Volker Mehrmann Lineare Algebra 3 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2021 ISBN 978 3 662 62741 9 doi 10 1007 978 3 662 62742 6 Hans Rudolf Schwarz Norbert Kockler Numerische Mathematik 8 Auflage Vieweg amp Teubner 2011 ISBN 978 3 8348 1551 4 Weblinks BearbeitenInverse matrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Kh D Ikramov Inversion of a matrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Matrix Inverse In MathWorld englisch akrowne Matrix inverse In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten G W Stewart Matrix Algorithms Volume 1 Basic Decompositions SIAM 1998 S 38 Universitat Leipzig Lineare Gleichungssysteme und lineare Unterraume Stephen M Watt University of Western Ontario Pivot Free Block Matrix Inversion Iria C S Cosme Isaac F Fernandes Joao L de Carvalho Samuel Xavier de Souza Memory Usage Advantageous Block Recursive Matrix Inverse Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Inverse Matrix amp oldid 238183709