Toeplitz-Matrizen sind (endliche oder unendliche) Matrizen mit einer speziellen Struktur. Sie sind nach Otto Toeplitz benannt, der ihre algebraischen und funktionalanalytischen Eigenschaften in dem 1911 erschienenen Artikel Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen untersuchte.
Definition Bearbeiten
Eine Matrix wird Toeplitz-Matrix genannt, wenn die Einträge nur von der Differenz der Indizes abhängen. Die Haupt- und Nebendiagonalen der Matrix sind also konstant. Eine endliche Toeplitz-Matrix mit Zeilen und Spalten ist somit durch die Einträge am linken und oberen Rand (also die erste Zeile und erste Spalte) vollständig bestimmt.
Beispiel Bearbeiten
Hier ein Beispiel einer -Toeplitz-Matrix:
Eigenschaften Bearbeiten
Quadratische Toeplitz-Matrizen sind persymmetrisch, das heißt, ihre Einträge ändern sich nicht, wenn sie an der Gegendiagonale der Matrix gespiegelt werden. Symmetrische Toeplitz-Matrizen sind sowohl bisymmetrisch als auch zentralsymmetrisch. Gilt bei einer quadratischen Toeplitz-Matrix für alle , so spricht man von einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix. Die Eigenwerte und Eigenvektoren von Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen lassen sich explizit angeben. Eine Blockmatrix, deren Blöcke eine Toeplitz-Struktur aufweisen, heißt Block-Toeplitz-Matrix.
Anwendung Bearbeiten
Für große lineare Gleichungssysteme , bei denen eine Toeplitz-Matrix ist, gibt es besonders effiziente Lösungsverfahren. Dabei werden häufig unendlich große Toeplitz-Matrizen durch ihre Erzeugungsfunktion beschrieben. Sofern diese Fourier-transformierbar sind, können die Operationen Matrizenmultiplikation und Matrixinversion auf einfache Multiplikationen bzw. Divisionen zurückgeführt werden. Umgekehrt nutzt man die Eigenschaften von Toeplitz-Matrizen auch bei der schnellen Fourier-Transformation.
Siehe auch Bearbeiten
- Hankel-Matrix, eine Matrix, deren Einträge in den von rechts oben nach links unten verlaufenden Diagonalen konstant sind.
Literatur Bearbeiten
- Albrecht Böttcher, Bernd Silbermann: Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices (= Universitext). Springer New York, New York, NY 1999, ISBN 978-1-4612-7139-0, doi:10.1007/978-1-4612-1426-7 (englisch).
- I. I. Volkov: Toeplitz matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Einzelnachweise Bearbeiten
- Otto Toeplitz: Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen: I. Teil: Theorie der L-Formen. In: Mathematische Annalen. Band 70, Nr. 3, September 1911, ISSN 0025-5831, S. 351–376, doi:10.1007/BF01564502 (springer.com [abgerufen am 16. November 2022]).