In der Mathematik bezeichnet eine Blockmatrix eine Matrix die so interpretiert wird als sei sie in mehrere Teile genannt Blocke zerlegt worden Eine Blockmatrix kann auf intuitive Art und Weise als die Originalmatrix mit einer bestimmten Anzahl an horizontalen und vertikalen Trennstrichen dargestellt werden Diese Trennstriche teilen die Originalmatrix in Untermatrizen auf Blockzerlegung einer 14 14 Matrix mit Zeilen und Spaltenpartitionen jeweils der Grosse 2 4 und 8 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Multiplikation von Blockmatrizen 4 Blockdiagonalmatrix 4 1 Beispiel 5 Blocktridiagonalmatrix 6 Block Toeplitz Matrix 7 Blockdreiecksmatrix 8 Siehe auch 9 Literatur 10 WeblinksDefinition BearbeitenSei M displaystyle mathbf M nbsp eine Matrix der Grosse m n displaystyle m times n nbsp Die Zahl der Zeilen und der Spalten der Matrix werde nun mittels m m 1 m 2 m q displaystyle m m 1 m 2 cdots m q nbsp und n n 1 n 2 n r displaystyle n n 1 n 2 cdots n r nbsp ganzzahlig zerlegt wobei q displaystyle q nbsp und r displaystyle r nbsp die Anzahl der Summanden bezeichnen Dann lasst sich M displaystyle mathbf M nbsp darstellen als M M 11 M 12 M 1 r M 21 M 22 M 2 r M q 1 M q 2 M q r displaystyle mathbf M begin bmatrix mathbf M 11 amp mathbf M 12 amp cdots amp mathbf M 1r mathbf M 21 amp mathbf M 22 amp cdots amp mathbf M 2r vdots amp vdots amp ddots amp vdots mathbf M q1 amp mathbf M q2 amp cdots amp mathbf M qr end bmatrix nbsp mit Untermatrizen M i j displaystyle mathbf M ij nbsp der Grosse m i n j displaystyle m i times n j nbsp Jede m n displaystyle m times n nbsp Matrix kann auf unterschiedliche Arten als Blockmatrix interpretiert werden je nachdem wie die m displaystyle m nbsp Zeilen und n displaystyle n nbsp Spalten zerlegt werden Auf triviale Weise kann jede Matrix auch als Blockmatrix mit nur einem Block oder als Blockmatrix mit m n displaystyle mn nbsp Blocken der Grosse 1 1 displaystyle 1 times 1 nbsp aufgefasst werden Beispiel BearbeitenDie Matrix M 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 displaystyle mathbf M begin bmatrix 1 amp 1 amp 2 amp 2 1 amp 1 amp 2 amp 2 3 amp 3 amp 4 amp 4 3 amp 3 amp 4 amp 4 end bmatrix nbsp kann in vier 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Blocke zerlegt werden M 11 1 1 1 1 M 12 2 2 2 2 M 21 3 3 3 3 M 22 4 4 4 4 displaystyle mathbf M 11 begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix mathbf M 12 begin bmatrix 2 amp 2 2 amp 2 end bmatrix mathbf M 21 begin bmatrix 3 amp 3 3 amp 3 end bmatrix mathbf M 22 begin bmatrix 4 amp 4 4 amp 4 end bmatrix nbsp Die zerlegte Matrix ergibt sich dann zu M M 11 M 12 M 21 M 22 displaystyle mathbf M begin bmatrix mathbf M 11 amp mathbf M 12 mathbf M 21 amp mathbf M 22 end bmatrix nbsp Multiplikation von Blockmatrizen Bearbeiten nbsp Beispiel einer Multiplikation zweier BlockmatrizenDas Produkt von Blockmatrizen kann rein mit Operationen der Untermatrizen dargestellt werden Sei A displaystyle mathbf A nbsp eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix mit q displaystyle q nbsp Zeilenzerlegungen und r displaystyle r nbsp Spaltenzerlegungen A A 11 A 12 A 1 r A 21 A 22 A 2 r A q 1 A q 2 A q r displaystyle mathbf A begin bmatrix mathbf A 11 amp mathbf A 12 amp cdots amp mathbf A 1r mathbf A 21 amp mathbf A 22 amp cdots amp mathbf A 2r vdots amp vdots amp ddots amp vdots mathbf A q1 amp mathbf A q2 amp cdots amp mathbf A qr end bmatrix nbsp und B displaystyle mathbf B nbsp eine n p displaystyle n times p nbsp Matrix mit r displaystyle r nbsp Zeilenzerlegungen und s displaystyle s nbsp Spaltenzerlegungen B B 11 B 12 B 1 s B 21 B 22 B 2 s B r 1 B r 2 B r s displaystyle mathbf B begin bmatrix mathbf B 11 amp mathbf B 12 amp cdots amp mathbf B 1s mathbf B 21 amp mathbf B 22 amp cdots amp mathbf B 2s vdots amp vdots amp ddots amp vdots mathbf B r1 amp mathbf B r2 amp cdots amp mathbf B rs end bmatrix nbsp dann gilt dass das Produkt C A B displaystyle mathbf C mathbf A mathbf B nbsp blockweise berechnet werden kann wobei C displaystyle mathbf C nbsp eine m p displaystyle m times p nbsp Matrix mit q displaystyle q nbsp Zeilenzerlegungen und s displaystyle s nbsp Spaltenzerlegungen ist Die Untermatrizen der Blockmatrix C displaystyle mathbf C nbsp sind gegeben durch C i k j 1 r A i j B j k displaystyle mathbf C ik sum j 1 r mathbf A ij mathbf B jk nbsp Oder mithilfe der Einsteinschen Summenkonvention welche implizit uber mehrfach vorhandene Indizes summiert kompakter dargestellt C i k A i j B j k displaystyle mathbf C ik mathbf A ij mathbf B jk nbsp Blockdiagonalmatrix BearbeitenEine Blockdiagonalmatrix ist eine quadratische Blockmatrix deren Hauptdiagonale quadratische Blockmatrizen sind und deren restliche Blocke Nullmatrizen sind Eine Blockdiagonalmatrix A displaystyle mathbf A nbsp hat die Form A A 1 0 0 0 A 2 0 0 0 A n displaystyle mathbf A begin bmatrix mathbf A 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp mathbf A 2 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp mathbf A n end bmatrix nbsp wobei die Untermatrizen A k displaystyle mathbf A k nbsp quadratische Matrizen sind Anders ausgedruckt ist A displaystyle mathbf A nbsp die direkte Summe von A 1 A n displaystyle mathbf A 1 dotsc mathbf A n nbsp das heisst A A 1 A 2 A n displaystyle mathbf A mathbf A 1 oplus mathbf A 2 oplus dotsb oplus mathbf A n nbsp oder mit dem Formalismus von Diagonalmatrizen A diag A 1 A 2 A n displaystyle mathbf A operatorname diag mathbf A 1 mathbf A 2 dotsc mathbf A n nbsp Fur die Determinante und die Spur einer Blockdiagonalmatrix gilt det A det A 1 det A 2 det A n displaystyle det mathbf A det mathbf A 1 cdot det mathbf A 2 dotsm det mathbf A n nbsp und Spur A Spur A 1 Spur A n displaystyle operatorname Spur mathbf A operatorname Spur mathbf A 1 dotsb operatorname Spur mathbf A n nbsp Die Inverse einer Blockdiagonalmatrix A displaystyle mathbf A nbsp ist wiederum eine Blockdiagonalmatrix zusammengesetzt aus den Inversen der einzelnen Blocke A 1 0 0 0 A 2 0 0 0 A n 1 A 1 1 0 0 0 A 2 1 0 0 0 A n 1 displaystyle begin bmatrix mathbf A 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp mathbf A 2 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp mathbf A n end bmatrix 1 begin bmatrix mathbf A 1 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp mathbf A 2 1 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp mathbf A n 1 end bmatrix nbsp Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix entsprechen den kombinierten Eigenwerten und Eigenvektoren der Untermatrizen A 1 A 2 A n displaystyle mathbf A 1 mathbf A 2 dotsc mathbf A n nbsp Beispiel Bearbeiten Wichtige Beispiele fur Blockdiagonalmatrizen sind Matrizen in Jordanscher Normalform Die Blocke sind in diesem Fall sogenannte Jordanblocke das sind Bidiagonalmatrizen auf deren Hauptdiagonalen der Eigenwert des Blocks steht wahrend alle Elemente auf der Nebendiagonalen 1 sind Blocktridiagonalmatrix BearbeitenEine Blocktridiagonalmatrix ist eine andere spezielle Blockmatrix welche genau wie die Blockdiagonalmatrix eine quadratische Matrix ist allerdings zusatzlich mit quadratischen Blockmatrizen in den beiden ersten oberen und unteren Nebendiagonalen Die restlichen Blocke sind Nullmatrizen Die Blocktridiagonalmatrix ist im Grunde genommen eine Tridiagonalmatrix allerdings mit Blockmatrizen anstelle von Skalaren Eine Blocktridiagonalmatrix A displaystyle mathbf A nbsp hat die Form A B 1 C 1 0 A 2 B 2 C 2 A k B k C k A n 1 B n 1 C n 1 0 A n B n displaystyle mathbf A begin bmatrix mathbf B 1 amp mathbf C 1 amp amp amp cdots amp amp 0 mathbf A 2 amp mathbf B 2 amp mathbf C 2 amp amp amp amp amp ddots amp ddots amp ddots amp amp amp vdots amp amp mathbf A k amp mathbf B k amp mathbf C k amp amp vdots amp amp amp ddots amp ddots amp ddots amp amp amp amp amp mathbf A n 1 amp mathbf B n 1 amp mathbf C n 1 0 amp amp cdots amp amp amp mathbf A n amp mathbf B n end bmatrix nbsp wobei A k displaystyle mathbf A k nbsp B k displaystyle mathbf B k nbsp und C k displaystyle mathbf C k nbsp jeweils quadratische Blockmatrizen auf der unteren Nebendiagonale der Hauptdiagonale und der oberen Nebendiagonale sind Blocktridiagonalmatrizen tauchen oft in numerischen Losungen verschiedener Probleme auf zum Beispiel in der numerischen Stromungsmechanik Es existieren optimierte numerische Verfahren zur LR Zerlegung von Blocktridiagonalmatrizen und dementsprechend effiziente Verfahren zur Losung von Gleichungssystemen mit Triadiagonalmatrizen als Koeffizientenmatrix Der Thomas Algorithmus welcher zur effizienten Losung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix verwendet wird kann auch auf Blocktridiagonalmatrizen angewendet werden Block Toeplitz Matrix BearbeitenEine Block Toeplitz Matrix ist eine andere spezielle Blockmatrix welche ahnlich wie die Toeplitz Matrix wiederholt die gleichen Blocke auf den Diagonalen enthalt Eine Block Toeplitz Matrix A displaystyle mathbf A nbsp hat die Form A A 1 1 A 1 2 A 1 n 1 A 1 n A 2 1 A 1 1 A 1 2 A 1 n 1 A 2 1 A 1 1 A 1 2 A n 1 1 A 2 1 A 1 1 A 1 2 A n 1 A n 1 1 A 2 1 A 1 1 displaystyle mathbf A begin bmatrix mathbf A 1 1 amp mathbf A 1 2 amp amp amp cdots amp mathbf A 1 n 1 amp mathbf A 1 n mathbf A 2 1 amp mathbf A 1 1 amp mathbf A 1 2 amp amp amp amp mathbf A 1 n 1 amp ddots amp ddots amp ddots amp amp amp vdots amp amp mathbf A 2 1 amp mathbf A 1 1 amp mathbf A 1 2 amp amp vdots amp amp amp ddots amp ddots amp ddots amp mathbf A n 1 1 amp amp amp amp mathbf A 2 1 amp mathbf A 1 1 amp mathbf A 1 2 mathbf A n 1 amp mathbf A n 1 1 amp cdots amp amp amp mathbf A 2 1 amp mathbf A 1 1 end bmatrix nbsp Blockdreiecksmatrix BearbeitenEine Blockdreiecksmatrix ist das Block Analogon zur Dreiecksmatrix Eine obere Blockdreiecksmatrix ist eine quadratische Blockmatrix deren Hauptdiagonale von quadratischen Blockmatrizen und von Blocken oberhalb der Hauptdiagonalen gebildet wird Die Blocke unterhalb der Hauptdiagonalen sind Nullmatrizen Eine obere Blockdreiecksmatrix A displaystyle mathbf A nbsp hat die Form A A 11 A 12 A 1 n 0 A 22 A 2 n 0 0 A n n displaystyle mathbf A begin bmatrix mathbf A 11 amp mathbf A 12 amp cdots amp mathbf A 1n 0 amp mathbf A 22 amp cdots amp mathbf A 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp mathbf A nn end bmatrix nbsp Analog wird eine untere Blockdreiecksmatrix gebildet Blockdreiecksmatrizen spielen eine Rolle um zu entscheiden ob eine gegebene beliebige Matrix zerlegbar reduzibel oder unzerlegbar irreduzibel ist Eine Matrix B displaystyle mathbf B nbsp ist zerlegbar reduzibel wenn eine Permutationsmatrix P displaystyle P nbsp existiert so dass das Produkt P B P T displaystyle mathbf P mathbf B mathbf P T nbsp eine obere oder untere Blockdreiecksmatrix ist Existiert eine solche Permutationsmatrix nicht so ist die Matrix unzerlegbar irreduzibel Siehe auch BearbeitenKronecker ProduktLiteratur BearbeitenGilbert Strang Lineare Algebra Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 43949 8 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Block matrix In MathWorld englisch Cam McLeman matte Partitioned matrix In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Blockmatrix amp oldid 229083863
