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Einsteinsche Summenkonvention Die einsteinsche Summenkonvention ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrück

Einsteinsche Summenkonvention

Die einsteinsche Summenkonvention ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrücke innerhalb des Ricci-Kalküls und stellt eine Indexschreibweise dar. Dieser Kalkül wird in der Tensoranalysis, der Differentialgeometrie und insbesondere in der theoretischen Physik verwendet. Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein eingeführt. Mit ihr werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Übersicht einfach weggelassen und stattdessen wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

Motivation Bearbeiten

In der Matrix- und Tensorrechnung werden oft Summen über Indizes gebildet. Zum Beispiel lautet das Matrizenprodukt zweier -Matrizen und in Komponenten:

Hier wird über den Index von 1 bis summiert. Treten mehrere Matrizenmultiplikationen, Skalarprodukte oder andere Summen in einer Rechnung auf, kann dies schnell unübersichtlich werden. Mit der einsteinschen Summenkonvention lautet die Rechnung von oben dann:

Formale Beschreibung Bearbeiten

Im einfachsten Fall der Summenkonvention gilt: Über doppelt auftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert. In der Relativitätstheorie gilt als zusätzliche Regel: Summiert wird nur, wenn der Index sowohl als oberer (kontravarianter) als auch als unterer (kovarianter) Index auftritt.

Die Summenkonvention verringert vor allem den Schreibaufwand. Teilweise hilft sie dabei, bestehende Zusammenhänge und Symmetrien hervorzuheben, die in der konventionellen Summenschreibweise nicht so leicht erkennbar sind.

Beispiele Bearbeiten

Ohne Beachtung der Indexstellung Bearbeiten

In den folgenden Beispielen stehen für Matrizen mit Elementen und für dazu passende Vektoren.

Unter Berücksichtigung der Indexstellung Bearbeiten

  • Standardskalarprodukt .
  • Das Produkt zweier Tensoren mit Tensorkomponenten und ist .
  • Anwendung eines Tensors mit Komponenten auf die Summe der Vektoren , um Vektor zu erhalten: .
  • Ein Tensorfeld t in einer Umgebung hat die Darstellung

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer 7 (1916), S. 770–822, doi:10.1002/andp.19163540702.
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Veröffentlichungsdatum:
Die einsteinsche Summenkonvention ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrucke innerhalb des Ricci Kalkuls und stellt eine Indexschreibweise dar Dieser Kalkul wird in der Tensoranalysis der Differentialgeometrie und insbesondere in der theoretischen Physik verwendet Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein eingefuhrt 1 Mit ihr werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Ubersicht einfach weggelassen und stattdessen wird uber doppelt auftretende Indizes summiert Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Formale Beschreibung 3 Beispiele 3 1 Ohne Beachtung der Indexstellung 3 2 Unter Berucksichtigung der Indexstellung 4 EinzelnachweiseMotivation BearbeitenIn der Matrix und Tensorrechnung werden oft Summen uber Indizes gebildet Zum Beispiel lautet das Matrizenprodukt zweier n n displaystyle n times n nbsp Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp in Komponenten A B i j k 1 n A i k B k j displaystyle A cdot B ij sum k 1 n A ik cdot B kj nbsp Hier wird uber den Index k displaystyle k nbsp von 1 bis n displaystyle n nbsp summiert Treten mehrere Matrizenmultiplikationen Skalarprodukte oder andere Summen in einer Rechnung auf kann dies schnell unubersichtlich werden Mit der einsteinschen Summenkonvention lautet die Rechnung von oben dann A B i j A i k B k j displaystyle A cdot B ij A ik cdot B kj nbsp Formale Beschreibung BearbeitenIm einfachsten Fall der Summenkonvention gilt Uber doppelt auftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert In der Relativitatstheorie gilt als zusatzliche Regel Summiert wird nur wenn der Index sowohl als oberer kontravarianter als auch als unterer kovarianter Index auftritt Die Summenkonvention verringert vor allem den Schreibaufwand Teilweise hilft sie dabei bestehende Zusammenhange und Symmetrien hervorzuheben die in der konventionellen Summenschreibweise nicht so leicht erkennbar sind Beispiele BearbeitenOhne Beachtung der Indexstellung Bearbeiten In den folgenden Beispielen stehen A B displaystyle A B nbsp fur n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Elementen A i j B i j displaystyle A ij B ij nbsp und x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n displaystyle vec x left x 1 x 2 dots x n right vec y left y 1 y 2 dots y n right nbsp fur dazu passende Vektoren Standardskalarprodukt x y x i y i displaystyle vec x cdot vec y x i y i nbsp Anwendung einer Matrix auf einen Vektor A x i A i j x j displaystyle left A vec x right i A ij x j nbsp Produkt mehrerer hier 4 Matrizen A B C D i j A i l B l m C m n D n j displaystyle ABCD ij A il B lm C mn D nj nbsp Spur einer Matrix A Spur A A i i displaystyle text Spur A A ii nbsp Unter Berucksichtigung der Indexstellung Bearbeiten Standardskalarprodukt x y x i y i displaystyle vec x cdot vec y x i y i nbsp Das Produkt C i j displaystyle C i j nbsp zweier Tensoren mit Tensorkomponenten A i j displaystyle A i j nbsp und B i j displaystyle B i j nbsp ist C i j A i k B k j displaystyle C i j A i k B k j nbsp Anwendung eines Tensors mit Komponenten A i j displaystyle A i j nbsp auf die Summe der Vektoren x i y i displaystyle x i y i nbsp um Vektor z i displaystyle z i nbsp zu erhalten z i A i j x j y j displaystyle z i A i j left x j y j right nbsp Ein Tensorfeld t in einer Umgebung U displaystyle U nbsp hat die Darstellungt U t j 1 j s i 1 i r x i 1 x i r d x j 1 d x j s displaystyle t U t j 1 ldots j s i 1 ldots i r frac partial partial x i 1 otimes cdots otimes frac partial partial x i r otimes mathrm d x j 1 otimes cdots otimes mathrm d x j s nbsp Hierbei versteht man den Index des Objektes x i 1 displaystyle tfrac partial partial x i 1 nbsp als unteren Index Einzelnachweise Bearbeiten Albert Einstein Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie In Annalen der Physik 4 Folge Bd 49 354 Bd der ganzen Reihe Nummer 7 1916 S 770 822 doi 10 1002 andp 19163540702 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einsteinsche Summenkonvention amp oldid 232110838