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Dreiecksmatrix Unter einer versteht man in der Mathematik eine quadratische Matrix die sich dadurch auszeichnet dass all

Dreiecksmatrix

Unter einer Dreiecksmatrix versteht man in der Mathematik eine quadratische Matrix, die sich dadurch auszeichnet, dass alle Einträge unterhalb (obere Dreiecksmatrix) bzw. oberhalb (untere Dreiecksmatrix) der Hauptdiagonale null sind. Sind zusätzlich alle Einträge auf der Hauptdiagonale null, so spricht man von einer echten oder strikten Dreiecksmatrix.

Dreiecksmatrizen spielen unter anderem beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mittels der LR-Zerlegung eine wichtige Rolle, welche darauf basiert, eine Matrix in das Produkt einer oberen und einer unteren Dreiecksmatrix zu zerlegen.

Beispiele Bearbeiten

Obere und untere Dreiecksmatrix Bearbeiten

Eine Matrix wird obere Dreiecksmatrix genannt, falls alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale gleich null sind. Für die Einträge auf der Hauptdiagonale selbst gibt es keine Beschränkungen.

Für eine obere Dreiecksmatrix gilt somit:

Analog heißt eine Matrix untere Dreiecksmatrix, falls alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonale gleich null sind, also wenn gilt

Normierung Bearbeiten

Eine Dreiecksmatrix heißt normierte Dreiecksmatrix, falls alle Diagonaleinträge gleich 1 sind:

Trigonalisierbarkeit Bearbeiten

Ist ein Vektorraum über dem Körper und hat man eine quadratische Matrix , die die Darstellung einer linearen Abbildung (Vektorraum-Endomorphismus) ist, so heißt diese trigonalisierbar, falls sie bei Betrachtung in einer anderen Basis eine obere Dreiecksgestalt aufweist. Gesucht ist also eine Dreiecksmatrix , die ähnlich zu ist.

Dies ist genau dann der Fall, falls das charakteristische Polynom von über dem Körper in Linearfaktoren zerfällt.

Ist , so ist jede Matrix trigonalisierbar, da nach dem Fundamentalsatz der Algebra der Körper algebraisch abgeschlossen ist.

Strikte obere und untere Dreiecksmatrix Bearbeiten

Es gibt zwei unterschiedliche Definitionen für den Begriff strikte obere Dreiecksmatrix, je nachdem, ob man allgemeine oder nur invertierbare Matrizen betrachtet. Erstere sind nilpotent, letztere unipotent. Die folgenden Definitionen erfolgen analog für strikte untere Dreiecksmatrizen.

Nilpotente Dreiecksmatrizen Bearbeiten

Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix in diesem Sinne sind alle Einträge sowohl unterhalb als auch auf der Hauptdiagonale der Matrix . Es gilt somit:

Bei einer -Matrix gilt also .

Unipotente Dreiecksmatrizen Bearbeiten

Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix im Sinne invertierbarer Matrizen sind alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix , während die Diagonaleinträge alle gleich sind (vgl. normierte Dreiecksmatrix oben). Es gilt somit:

Eine solche -Matrix sieht also wie folgt aus: .

Eine derartige Matrix ist der Spezialfall einer unipotenten Matrix, d. h., die Matrix ist nilpotent, es gibt also eine Zahl , so dass gilt

Eigenschaften Bearbeiten

Es lässt sich beweisen:

  • Das Produkt von unteren (oberen) Dreiecksmatrizen ist wieder eine untere (obere) Dreiecksmatrix.
  • Das Produkt von strikten unteren (oberen) Dreiecksmatrizen ist wieder eine strikte untere (obere) Dreiecksmatrix.
  • Die Inverse einer invertierbaren unteren (oberen) Dreiecksmatrix ist eine untere (obere) Dreiecksmatrix.
  • Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.
  • Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Elemente der Hauptdiagonalen.

Algebraische Eigenschaften Bearbeiten

Einsatz von Dreiecksmatrizen Bearbeiten

Wegen ihrer speziellen Eigenschaften werden Dreiecksmatrizen an verschiedenen Stellen, insbesondere auch bei Verfahren der numerischen Mathematik eingesetzt. Bei der folgenden Aufstellung wird der Körper zugrunde gelegt.

Literatur Bearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 13., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.
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Veröffentlichungsdatum:
Unter einer Dreiecksmatrix versteht man in der Mathematik eine quadratische Matrix die sich dadurch auszeichnet dass alle Eintrage unterhalb obere Dreiecksmatrix bzw oberhalb untere Dreiecksmatrix der Hauptdiagonale null sind Sind zusatzlich alle Eintrage auf der Hauptdiagonale null so spricht man von einer echten oder strikten Dreiecksmatrix Dreiecksmatrizen spielen unter anderem beim Losen von linearen Gleichungssystemen mittels der LR Zerlegung eine wichtige Rolle welche darauf basiert eine Matrix in das Produkt einer oberen und einer unteren Dreiecksmatrix zu zerlegen Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Obere und untere Dreiecksmatrix 3 Normierung 4 Trigonalisierbarkeit 5 Strikte obere und untere Dreiecksmatrix 5 1 Nilpotente Dreiecksmatrizen 5 2 Unipotente Dreiecksmatrizen 6 Eigenschaften 6 1 Algebraische Eigenschaften 7 Einsatz von Dreiecksmatrizen 8 LiteraturBeispiele BearbeitenDie folgenden Matrizen sind Beispiele fur Dreiecksmatrizen a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 mit a i j R displaystyle begin pmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 0 amp a 22 amp a 23 0 amp 0 amp a 33 end pmatrix quad text mit quad a ij in mathbb R nbsp 3 2 3 4 0 5 5 6 0 0 0 7 0 0 0 9 displaystyle begin pmatrix 3 amp 2 amp 3 amp 4 0 amp 5 amp 5 amp 6 0 amp 0 amp 0 amp 7 0 amp 0 amp 0 amp 9 end pmatrix nbsp Obere und untere Dreiecksmatrix BearbeitenEine Matrix wird obere Dreiecksmatrix genannt falls alle Eintrage unterhalb der Hauptdiagonale gleich null sind Fur die Eintrage auf der Hauptdiagonale selbst gibt es keine Beschrankungen Fur eine obere Dreiecksmatrix A a i j displaystyle A a ij nbsp gilt somit i gt j a i j 0 displaystyle i gt j Rightarrow a ij 0 nbsp Analog heisst eine Matrix untere Dreiecksmatrix falls alle Eintrage oberhalb der Hauptdiagonale gleich null sind also wenn gilt i lt j a i j 0 displaystyle i lt j Rightarrow a ij 0 nbsp Normierung BearbeitenEine Dreiecksmatrix A a i j displaystyle A a ij nbsp heisst normierte Dreiecksmatrix falls alle Diagonaleintrage gleich 1 sind a i i 1 displaystyle a ii 1 nbsp fur alle i displaystyle i nbsp Trigonalisierbarkeit Bearbeiten Hauptartikel Trigonalisierung Ist V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber dem Korper K displaystyle mathbb K nbsp und hat man eine quadratische Matrix A displaystyle A nbsp die die Darstellung einer linearen Abbildung f V V displaystyle f colon V to V nbsp Vektorraum Endomorphismus ist so heisst diese trigonalisierbar falls sie bei Betrachtung in einer anderen Basis eine obere Dreiecksgestalt aufweist Gesucht ist also eine Dreiecksmatrix B displaystyle B nbsp die ahnlich zu A displaystyle A nbsp ist Dies ist genau dann der Fall falls das charakteristische Polynom von A displaystyle A nbsp uber dem Korper K displaystyle mathbb K nbsp in Linearfaktoren zerfallt Ist K C displaystyle mathbb K mathbb C nbsp so ist jede Matrix trigonalisierbar da nach dem Fundamentalsatz der Algebra der Korper C displaystyle mathbb C nbsp algebraisch abgeschlossen ist Strikte obere und untere Dreiecksmatrix BearbeitenEs gibt zwei unterschiedliche Definitionen fur den Begriff strikte obere Dreiecksmatrix je nachdem ob man allgemeine oder nur invertierbare Matrizen betrachtet Erstere sind nilpotent letztere unipotent Die folgenden Definitionen erfolgen analog fur strikte untere Dreiecksmatrizen Nilpotente Dreiecksmatrizen Bearbeiten Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix in diesem Sinne sind alle Eintrage sowohl unterhalb als auch auf der Hauptdiagonale der Matrix 0 displaystyle 0 nbsp Es gilt somit i j a i j 0 displaystyle i geq j Rightarrow a ij 0 nbsp Bei einer n n displaystyle n times n nbsp Matrix gilt also A n 0 displaystyle A n 0 nbsp Unipotente Dreiecksmatrizen Bearbeiten Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix im Sinne invertierbarer Matrizen sind alle Eintrage unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix 0 displaystyle 0 nbsp wahrend die Diagonaleintrage alle gleich 1 displaystyle 1 nbsp sind vgl normierte Dreiecksmatrix oben Es gilt somit i gt j a i j 0 displaystyle i gt j Rightarrow a ij 0 nbsp i j a i j 1 displaystyle i j Rightarrow a ij 1 nbsp Eine solche n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp sieht also wie folgt aus A 1 b 1 2 b 1 n 0 b n 1 n 0 0 1 displaystyle A begin pmatrix 1 amp b 1 2 amp cdots amp b 1 n 0 amp ddots amp ddots amp vdots vdots amp ddots amp ddots amp b n 1 n 0 amp cdots amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp Eine derartige Matrix A displaystyle A nbsp ist der Spezialfall einer unipotenten Matrix d h die Matrix A I displaystyle A I nbsp ist nilpotent es gibt also eine Zahl m displaystyle m nbsp so dass gilt A I m 0 displaystyle A I m 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenEs lasst sich beweisen Das Produkt von unteren oberen Dreiecksmatrizen ist wieder eine untere obere Dreiecksmatrix Das Produkt von strikten unteren oberen Dreiecksmatrizen ist wieder eine strikte untere obere Dreiecksmatrix Die Inverse einer invertierbaren unteren oberen Dreiecksmatrix ist eine untere obere Dreiecksmatrix Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Elemente der Hauptdiagonalen Algebraische Eigenschaften Bearbeiten Die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen bildet eine auflosbare Lie Algebra die Menge aller nilpotenten oberen Dreiecksmatrizen eine nilpotente Lie Algebra Die Menge aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen bildet eine auflosbare Gruppe die Menge aller unipotenten oberen Dreiecksmatrizen eine nilpotente Gruppe Die Anzahl der Elemente einer n n displaystyle n times n nbsp Dreiecksmatrix die von Null verschieden sein konnen ist n n 1 2 displaystyle tfrac n n 1 2 nbsp dies ist auch die Dimension als Lie Gruppe oder algebraische Gruppe Einsatz von Dreiecksmatrizen BearbeitenWegen ihrer speziellen Eigenschaften werden Dreiecksmatrizen an verschiedenen Stellen insbesondere auch bei Verfahren der numerischen Mathematik eingesetzt Bei der folgenden Aufstellung wird der Korper C displaystyle mathbb C nbsp zugrunde gelegt Bei einer regularen Matrix A displaystyle A nbsp berechnet der Gauss Algorithmus fur eine geeignete Permutationsmatrix P displaystyle P nbsp eine LR Zerlegung P A L R displaystyle PA LR nbsp in das Produkt einer normierten unteren linken Dreiecksmatrix L displaystyle L nbsp und einer oberen rechten R displaystyle R nbsp Die QR Zerlegung A Q R displaystyle A QR nbsp einer Matrix A displaystyle A nbsp in eine unitare Matrix Q displaystyle Q nbsp und eine obere Dreiecksmatrix R displaystyle R nbsp kann unter anderem mithilfe von Householdertransformationen Givens Rotationen oder mit dem Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren berechnet werden In der Jordan Normalform wird eine Matrix ahnlich auf eine Dreieckgestalt transformiert die beinahe diagonal ist In der Schur Normalform wird eine Matrix unitar ahnlich in eine Dreiecksmatrix transformiert Das QR Verfahren berechnet diese numerisch Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 13 durchgesehene Auflage Vieweg Braunschweig u a 2002 ISBN 3 528 97217 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreiecksmatrix amp oldid 238343025