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Trigonalisierbare Matrix Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra einem Teilgebiet der Mathematik eine

Trigonalisierbare Matrix

Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix existiert also eine reguläre Matrix , sodass eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus über einen endlichdimensionalen Vektorraum , falls es eine Basis von gibt, sodass die Darstellungsmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Definition Bearbeiten

Eine quadratische Matrix heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix , sodass eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass die Form

hat, wobei Eigenwerte von D sind.

Ein Endomorphismus über einen endlichdimensionalen Vektorraum heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis von gibt, sodass die Darstellungsmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit Bearbeiten

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix Bearbeiten

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix , mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

Des Weiteren haben und dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert und einen zugehörigen Eigenvektor . Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis des ergänzt. Die Matrix sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich berechnen und die Form

Für das charakteristische Polynom der -Matrix gilt . Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix . Die Matrix ergibt sich als Produkt der Basiswechselmatrizen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 14. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.
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Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra einem Teilgebiet der Mathematik eine quadratische Matrix die ahnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist Fur eine trigonalisierbare Matrix A displaystyle A existiert also eine regulare Matrix S displaystyle S sodass D S 1 A S displaystyle D S 1 AS eine obere Dreiecksmatrix ist Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus f V V displaystyle f colon V to V uber einen endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V falls es eine Basis B displaystyle B von V displaystyle V gibt sodass die Darstellungsmatrix M B f displaystyle M B f eine obere Dreiecksmatrix ist Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Kriterien fur die Trigonalisierbarkeit 3 Berechnung der oberen Dreiecksmatrix 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp heisst trigonalisierbar wenn sie ahnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist Das heisst es existiert eine regulare Matrix S K n n displaystyle S in K n times n nbsp sodass D S 1 A S displaystyle D S 1 AS nbsp eine obere Dreiecksmatrix ist also sodass D displaystyle D nbsp die Form D S 1 A S l 1 0 l 2 0 0 l n K n n displaystyle D S 1 AS begin pmatrix lambda 1 amp ast amp cdots amp ast 0 amp lambda 2 amp ddots amp vdots vdots amp ddots amp ddots amp ast 0 amp cdots amp 0 amp lambda n end pmatrix in K n times n nbsp hat wobei l 1 l 2 l n K displaystyle lambda 1 lambda 2 dotsc lambda n in K nbsp Eigenwerte von D sind Ein Endomorphismus f V V displaystyle f colon V to V nbsp uber einen endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp heisst trigonalisierbar wenn es eine Basis B displaystyle B nbsp von V displaystyle V nbsp gibt sodass die Darstellungsmatrix M B f displaystyle M B f nbsp eine obere Dreiecksmatrix ist Kriterien fur die Trigonalisierbarkeit BearbeitenFolgende Aussagen sind aquivalent und legen damit fest ob eine Matrix trigonalisierbar ist Die Matrix A displaystyle A nbsp ist ahnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix Das heisst es existieren eine obere Dreiecksmatrix D displaystyle D nbsp und eine invertierbare Matrix P displaystyle P nbsp mit D P 1 A P displaystyle D P 1 AP nbsp Das charakteristische Polynom der Matrix A displaystyle A nbsp zerfallt uber dem Korper K displaystyle K nbsp in Linearfaktoren Das Minimalpolynom der Matrix A displaystyle A nbsp zerfallt uber dem Korper K displaystyle K nbsp in Linearfaktoren Die Matrix A displaystyle A nbsp besitzt uber dem Korper K displaystyle K nbsp eine Jordan Normalform Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix uber C displaystyle mathbb C nbsp trigonalisierbar da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfallt Berechnung der oberen Dreiecksmatrix BearbeitenUm die gesuchte obere Dreiecksmatrix D displaystyle D nbsp zu berechnen berechnen wir zuerst die Matrix P displaystyle P nbsp mit der die Ahnlichkeitsabbildung durchgefuhrt wird Es gilt D P 1 A P displaystyle D P 1 AP nbsp Des Weiteren haben A displaystyle A nbsp und D displaystyle D nbsp dieselben Eigenwerte Da das charakteristische Polynom von A displaystyle A nbsp in Linearfaktoren zerfallt gibt es einen Eigenwert l 1 displaystyle lambda 1 nbsp und einen zugehorigen Eigenvektor v 1 displaystyle v 1 nbsp Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis v 1 v 2 v n displaystyle v 1 v 2 dots v n nbsp des K n displaystyle K n nbsp erganzt Die Matrix T 1 displaystyle T 1 nbsp sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis v 1 v 2 v n displaystyle v 1 v 2 dots v n nbsp zu der Einheitsbasis Damit lasst sich T 1 1 A T 1 displaystyle T 1 1 AT 1 nbsp berechnen und die Form T 1 1 A T 1 l 1 d 1 2 d 1 n 0 A 1 0 displaystyle T 1 1 AT 1 begin pmatrix lambda 1 amp d 1 2 amp cdots amp d 1 n 0 amp amp amp vdots amp amp A 1 amp 0 amp amp amp end pmatrix nbsp Fur das charakteristische Polynom der n 1 n 1 displaystyle n 1 times n 1 nbsp Matrix A 1 displaystyle A 1 nbsp gilt p A l l l 1 p A 1 displaystyle p A lambda lambda lambda 1 p A 1 nbsp Es zerfallt daher auch in Linearfaktoren und A 1 displaystyle A 1 nbsp ist somit selbst wieder trigonalisierbar Dieses Verfahren lasst sich nun fortsetzen bis man A n 1 d n n displaystyle A n 1 d n n nbsp berechnet hat Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix D displaystyle D nbsp Die Matrix P displaystyle P nbsp ergibt sich als Produkt T 1 T 2 T n 1 displaystyle T 1 T 2 dots T n 1 nbsp der Basiswechselmatrizen Siehe auch BearbeitenSchur Zerlegung ist ein Beispiel fur ein Trigonalisierungsverfahren uber R displaystyle mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp Diagonalisierbare MatrixLiteratur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 14 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03217 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trigonalisierbare Matrix amp oldid 227164270