In dem mathematischen Teilgebiet lineare Algebra ist Ahnlichkeit eine Aquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen Ahnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Selbstabbildung Endomorphismus bei Verwendung unterschiedlicher Basen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 3 1 Kenngrossen 3 2 Charakterisierung 3 3 Aquivalenzklassen 4 Berechnung der Transformationsmatrix 4 1 Vorgehensweise 4 2 Beispiel 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenZwei n displaystyle n nbsp dimensionale quadratische Matrizen A B K n n displaystyle A B in K n times n nbsp uber dem Korper K displaystyle K nbsp heissen zueinander ahnlich wenn es eine regulare Matrix S K n n displaystyle S in K n times n nbsp gibt sodass B S 1 A S displaystyle B S 1 AS nbsp oder aquivalent S B A S displaystyle SB AS nbsp gilt Die Abbildung A B S 1 A S displaystyle A mapsto B S 1 AS nbsp heisst Ahnlichkeitsabbildung oder Ahnlichkeitstransformation Ist eine Matrix einer Diagonalmatrix ahnlich so heisst sie diagonalisierbar ist sie einer oberen Dreiecksmatrix ahnlich so heisst sie trigonalisierbar Beispiel BearbeitenDie beiden reellen Matrizen A 3 2 1 0 displaystyle A begin pmatrix 3 amp 2 1 amp 0 end pmatrix nbsp und B 2 3 4 5 displaystyle B begin pmatrix 2 amp 3 4 amp 5 end pmatrix nbsp sind zueinander ahnlich denn mit der regularen Matrix S 2 1 3 2 displaystyle S begin pmatrix 2 amp 1 3 amp 2 end pmatrix nbsp gilt S 1 A S 2 1 3 2 3 2 1 0 2 1 3 2 2 1 3 2 0 1 2 1 2 3 4 5 B displaystyle S 1 AS begin pmatrix 2 amp 1 3 amp 2 end pmatrix cdot begin pmatrix 3 amp 2 1 amp 0 end pmatrix cdot begin pmatrix 2 amp 1 3 amp 2 end pmatrix begin pmatrix 2 amp 1 3 amp 2 end pmatrix cdot begin pmatrix 0 amp 1 2 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 2 amp 3 4 amp 5 end pmatrix B nbsp Die Matrix S displaystyle S nbsp ist dabei nicht eindeutig bestimmt denn auch jedes Vielfache c S displaystyle cS nbsp mit c 0 displaystyle c neq 0 nbsp erfullt diese Identitat Eigenschaften BearbeitenKenngrossen Bearbeiten Zwei zueinander ahnliche Matrizen A B K n n displaystyle A B in K n times n nbsp haben das gleiche charakteristische Polynom denn es gilt mit der Kommutativitat der Einheitsmatrix I K n n displaystyle I in K n times n nbsp dem Determinantenproduktsatz und der Determinante der Inversen x B l det l I B det l I S 1 A S det S 1 l I S S 1 A S det S 1 l I A S det S 1 det l I A det S det l I A x A l displaystyle begin aligned chi B lambda amp det lambda I B det lambda I S 1 AS det S 1 lambda IS S 1 AS amp det S 1 lambda I A S det S 1 det lambda I A det S det lambda I A chi A lambda end aligned nbsp Daher haben zueinander ahnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren die gleiche Determinante und die gleiche Spur Ausserdem haben zueinander ahnliche Matrizen den gleichen Rang das gleiche Minimalpolynom und die gleiche jordansche Normalform Charakterisierung Bearbeiten Zwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ahnlich wenn sie bis auf die Reihenfolge der Jordanblocke die gleiche jordansche Normalform haben Allgemein sind nach dem Lemma von Frobenius zwei Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp genau dann zueinander ahnlich wenn sie die gleiche Frobenius Normalform besitzen Das ist genau dann der Fall wenn ihre charakteristischen Matrizen x I A displaystyle xI A nbsp und x I B displaystyle xI B nbsp die gleiche Smith Normalform aufweisen Aquivalenzklassen Bearbeiten Die Ahnlichkeit von Matrizen ist eine Aquivalenzrelation also reflexiv symmetrisch und transitiv Man schreibt A B displaystyle A sim B nbsp wenn A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zueinander ahnlich sind und notiert die zu einer Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp zugehorige Aquivalenzklasse durch A B K n n B A displaystyle A B in K n times n mid B sim A nbsp Zum Beispiel besteht die Aquivalenzklasse der zu einem Vielfachen c I displaystyle cI nbsp mit c K displaystyle c in K nbsp der Einheitsmatrix I K n n displaystyle I in K n times n nbsp ahnlichen Matrizen aus genau einem Element c I c I displaystyle left cI right cI nbsp denn S 1 c I S c I displaystyle S 1 cI S cI nbsp fur alle regularen Matrizen S K n n displaystyle S in K n times n nbsp Die Ahnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Aquivalenz auf der Klasse der m n displaystyle m times n nbsp Matrizen Berechnung der Transformationsmatrix BearbeitenVorgehensweise Bearbeiten Sind zwei zueinander ahnliche Matrizen A B K n n displaystyle A B in K n times n nbsp gegeben so lasst sich eine Matrix S displaystyle S nbsp mit der B S 1 A S displaystyle B S 1 AS nbsp gilt folgendermassen ermitteln Zunachst werden die beiden Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp in die gleiche Frobenius Normalform oder falls moglich die gleiche Jordan Normalform F K n n displaystyle F in K n times n nbsp uberfuhrt Sind die beiden hierzu verwendeten Ahnlichkeitstransformationen F G 1 A G displaystyle F G 1 AG nbsp und F H 1 B H displaystyle F H 1 BH nbsp mit regularen Matrizen G H K n n displaystyle G H in K n times n nbsp so folgt daraus durch Gleichsetzen B H G 1 A G H 1 G H 1 1 A G H 1 displaystyle B HG 1 AGH 1 left GH 1 right 1 A left GH 1 right nbsp Die gesuchte Transformationsmatrix ist demnach S G H 1 displaystyle S GH 1 nbsp Beispiel Bearbeiten Seien die beiden 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp wie im obigen Beispiel gegeben Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen ergeben sich zu x A l det l I A l 3 l 2 l 2 l 1 displaystyle chi A lambda det lambda I A lambda 3 lambda 2 lambda 2 lambda 1 nbsp und x B l det l I B l 2 l 5 12 l 2 l 1 displaystyle chi B lambda det lambda I B lambda 2 lambda 5 12 lambda 2 lambda 1 nbsp Die beiden charakteristischen Polynome stimmen also uberein wobei die Eigenwerte l 1 2 displaystyle lambda 1 2 nbsp und l 2 1 displaystyle lambda 2 1 nbsp sind Weil das charakteristische Polynom vollstandig in reelle Linearfaktoren zerfallt lasst sich zu beiden Matrizen die gleiche Jordan Normalform aufstellen die in diesem Fall die Diagonalgestalt F 2 0 0 1 displaystyle F begin pmatrix 2 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp hat Die Transformationsmatrizen in die Jordan Normalform haben dabei die Form G v 1 v 2 displaystyle G v 1 mid v 2 nbsp und H w 1 w 2 displaystyle H w 1 mid w 2 nbsp wobei v 1 w 1 displaystyle v 1 w 1 nbsp jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert l 1 2 displaystyle lambda 1 2 nbsp und v 2 w 2 displaystyle v 2 w 2 nbsp jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert l 2 1 displaystyle lambda 2 1 nbsp sind Fur A displaystyle A nbsp ergeben sich zwei Eigenvektoren durch Losung von 2 I A v 1 0 displaystyle 2I A v 1 0 nbsp und I A v 2 0 displaystyle I A v 2 0 nbsp als v 1 2 1 displaystyle v 1 begin pmatrix 2 1 end pmatrix nbsp und v 2 1 1 displaystyle v 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp Entsprechend ergeben sich fur B displaystyle B nbsp zwei Eigenvektoren durch Losung von 2 I B w 1 0 displaystyle 2I B w 1 0 nbsp und I B w 2 0 displaystyle I B w 2 0 nbsp als w 1 3 4 displaystyle w 1 begin pmatrix 3 4 end pmatrix nbsp und w 2 1 1 displaystyle w 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp Die beiden Transformationsmatrizen in die Jordan Normalform F displaystyle F nbsp sind demnach G 2 1 1 1 displaystyle G begin pmatrix 2 amp 1 1 amp 1 end pmatrix nbsp und H 3 1 4 1 displaystyle H begin pmatrix 3 amp 1 4 amp 1 end pmatrix nbsp und die gesuchte Ahnlichkeitstransformationsmatrix ist damit S G H 1 2 1 1 1 1 1 4 3 2 1 3 2 displaystyle S GH 1 begin pmatrix 2 amp 1 1 amp 1 end pmatrix cdot begin pmatrix 1 amp 1 4 amp 3 end pmatrix begin pmatrix 2 amp 1 3 amp 2 end pmatrix nbsp Siehe auch BearbeitenKongruenz Matrix Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra 18 Auflage Springer Spektrum 2014 ISBN 978 3 8348 0996 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ahnlichkeit Matrix amp oldid 213473517
