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Smith Normalform Die ist in der Mathematik eine Normalform die für beliebige Matrizen mit Einträgen aus einem Hauptideal

Smith-Normalform

Die Smith-Normalform ist in der Mathematik eine Normalform, die für beliebige Matrizen mit Einträgen aus einem Hauptidealring definiert ist. Die Smith-Normalform einer Matrix ist eine Diagonalmatrix, die aus der Ausgangsmatrix durch Multiplikation von links und von rechts mit je einer regulären quadratischen Matrix erhalten wird. Die Einträge dieser Diagonalmatrix werden Elementarteiler oder invariante Faktoren der Ausgangsmatrix genannt. Die Smith-Normalform ist nach dem englischen Mathematiker Henry John Stephen Smith benannt.

Definition Bearbeiten

Ist eine -Matrix über einem Hauptidealring , die nicht gleich der Nullmatrix ist, dann existieren eine reguläre -Matrix und eine reguläre -Matrix , sodass

gilt. Für die Hauptdiagonalelemente soll dabei für gelten. Diese Darstellung wird Smith-Normalform der Matrix genannt. Die Einträge sind bis auf Multiplikation mit einer Einheit eindeutig definiert und werden Elementarteiler oder invariante Faktoren der Matrix genannt. Die Elementarteiler sind dabei (bis auf Multiplikation mit einer Einheit) durch

gegeben, wobei der größte gemeinsame Teiler aller -Minoren der Matrix ist.

Algorithmus Bearbeiten

Der schwierige Teil bei der Ermittlung der Smith-Normalform ist die Bestimmung zweier Matrizen und , sodass das Produkt eine Diagonalmatrix ergibt. Hierzu wird die Matrix sukzessive auf Diagonalgestalt gebracht, wobei in jedem Schritt elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen durchgeführt werden. Parallel dazu werden die Matrizen und ausgehend von Einheitsmatrizen passender Größe sukzessive umgeformt. Dabei wird bei einer Zeilenumformung die Matrix von rechts und bei einer Spaltenumformung die Matrix von links mit einer entsprechenden Elementarmatrix multipliziert. Für die in einem Schritt modifizierten Matrizen gilt dann die Beziehung

Dabei werden nur invertierbare Zeilen- und Spaltenoperationen durchgeführt, sodass und regulär bleiben. Ausgehend von der Diagonalgestalt von wird dann schließlich die Smith-Normalform ermittelt. Um eine Matrix in Smith-Normalform zu bringen, werden für konkret die folgenden Schritte durchgeführt.

Schritt 1: Wahl des Pivots Bearbeiten

Sei der kleinste Spaltenindex derjenigen Spalten von , die mindestens einen Eintrag ungleich null aufweisen, wobei die Suche für bei gestartet wird. Nun wird gefordert, dass für das Diagonalelement

gilt. Ist dies nicht der Fall, dann gibt es nach Voraussetzung ein Element . Nun werden die beiden Zeilen und durch Multiplikation mit einer Permutationsmatrix vertauscht, sodass auf der Diagonale der aktuellen Spalte ein Element ungleich null zu stehen kommt. Dieses Element wird dann Pivotelement genannt.

Schritt 2: Verbesserung des Pivots Bearbeiten

Gibt es nun einen Eintrag mit , dann sei

Der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente eines Hauptidealrings lässt sich durch das Lemma von Bézout darstellen. Es existieren dann Elemente , sodass

gilt. Mittels einer Zeilenumformung wird nun das -fache der Zeile zu dem -fachen der Zeile addiert. Erfüllen und obige Gleichung, dann gilt für und (diese Divisionen sind aufgrund der Definition von möglich)

Die Matrix

ist damit regulär mit der Inversen

Indem die Einträge der Matrix in die Zeilen und Spalten und einer Einheitsmatrix eingefügt werden, erhält man die Elementarmatrix . Das Produkt besitzt dann an der Stelle den Eintrag (und aufgrund der Wahl von und an der Stelle den Eintrag null, was praktisch, aber nicht wesentlich für den Algorithmus ist). Dieser neue Eintrag teilt den vorigen Eintrag . Dieser Schritt wird nun solange wiederholt, bis keine Verbesserung eintritt. Bezeichnet die Anzahl der Primfaktoren eines Elements , dann gilt nach jedem Schritt

daher terminiert der Prozess nach endlich vielen Schritten. Das Ergebnis ist eine Matrix mit einem Eintrag an der Stelle , der alle Einträge in der Spalte teilt.

Schritt 3: Elimination von Einträgen Bearbeiten

Durch Addition entsprechender Vielfache der Zeile werden nun alle Einträge in der Spalte außerhalb der Diagonale zu null gesetzt. Dies kann ebenfalls durch Linksmultiplikation mit entsprechenden Elementarmatrizen erreicht werden. Um die Matrix jedoch auf volle Diagonalgestalt zu bringen, müssen auch die Einträge ungleich Null in der Zeile eliminiert werden. Dies kann durch Wiederholung von Schritt 2 für die Spalten der Matrix in Kombination mit Rechtsmultiplikationen erreicht werden. Allerdings kann dies dazu führen, dass Nulleinträge, die in einer vorhergegangenen Anwendung von Schritt 3 erzeugt wurden, wieder ungleich null werden.

Die Ideale, die durch die Elemente an der Position gebildet werden, erzeugen jedoch eine aufsteigende Kette, da die Einträge aus einem späteren Schritt immer die Einträge aus einem früheren Schritt teilen. Nachdem noethersch ist, werden die Ideale ab einem gewissen Schritt stationär und ändern sich nicht mehr. Das bedeutet, dass schließlich der Eintrag an der Stelle nach einer Anwendung von Schritt 2 alle Einträge ungleich null in der gleichen Spalte und Zeile teilt. Dann können diese Einträge eliminiert werden, wobei die bereits erzeugten Nulleinträge erhalten bleiben. Nun muss nur noch der Block von rechts unterhalb von diagonalisiert werden. Der Algorithmus wird mit dieser Teilmatrix mit bei Schritt 1 weitergeführt.

Schritt 4: Normierung Bearbeiten

Die wiederholte Anwendung der Schritte 1 bis 3 führt schließlich zu einer -Matrix, bei der nur die Einträge für mit ungleich null sind. Die Nullspalten dieser Matrix werden nun nach rechts verschoben, sodass die Einträge ungleich null genau an den Positionen für liegen. Diese Einträge seien nun durch bezeichnet.

Die Teilbarkeitsforderung der Smith-Normalform an die Diagonalelemente ist jedoch möglicherweise noch nicht erfüllt. Gilt für einen Index , dann kann dies durch Zeilen- und Spaltenumformungen folgendermaßen behoben werden. Zunächst wird die Spalte zur Spalte addiert, sodass ein Eintrag in der Spalte entsteht, ohne dass der Diagonaleintrag an der Position verändert wird. Nun wird wie in Schritt 2 mit einer Zeilenumformung der Eintrag an der Stelle gleich

gesetzt. Schließlich wird wie in Schritt 3 die Matrix wieder diagonalisiert. Nachdem der neue Eintrag an der Stelle eine Linearkombination der ursprünglichen Einträge und ist, muss er durch teilbar sein. Durch diese Operation ändert sich der Wert nicht (er entspricht dem der Determinante der oberen -Teilmatrix), allerdings verringert sich der Wert von

dadurch dass die Primfaktoren nach rechts verschoben werden. Daher sind nach endlich vielen Anwendungen keine weiteren Operationen möglich, was bedeutet, dass wie gewünscht erreicht wurde. Nachdem alle Zeilen- und Spaltenumformungen dieses Prozesses invertierbar sind, müssen invertierbare Matrizen existieren, sodass die Smith-Normalform ergibt. Insbesondere bedeutet dies, dass die Smith-Normalform immer existiert, was in der Definition noch ohne Beweis angenommen wurde.

Beispiel Bearbeiten

Als Beispiel wird die Smith-Normalform der Matrix

berechnet. Die folgenden Matrizen sind die Zwischenschritte des Smith-Algorithmus angewandt auf diese Matrix:

Die letzte Matrix stellt dann die Smith-Normalform von dar. Die invarianten Faktoren von sind damit , und .

Verwendung Bearbeiten

Die Smith-Normalform ist nützlich für die Berechnung der Homologie eines Kettenkomplexes, wenn seine Moduln endlich erzeugt sind. In der Topologie kann die Smith-Normalform beispielsweise eingesetzt werden, um die Homologie eines Simplizialkomplexes oder eines Zellkomplexes über den ganzen Zahlen zu berechnen, da die Randoperatoren solcher Komplexe gerade durch ganzzahlige Matrizen dargestellt werden. Sie kann auch verwendet werden, um den Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über einem Hauptidealring zu beweisen.

Die Smith-Normalform kann auch verwendet werden, um zu ermitteln ob zwei Matrizen über dem gleichen Körper zueinander ähnlich sind. Zwei Matrizen und sind nämlich genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre charakteristischen Matrizen und die gleiche Smith-Normalform besitzen. Beispielsweise gilt für folgende Matrizen:

Daher sind und zueinander ähnlich, da die Smith-Normalformen ihrer charakteristischen Matrizen gleich sind, sie sind aber nicht ähnlich zu , da die charakteristischen Matrizen unterschiedlich sind.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Smith Normalform ist in der Mathematik eine Normalform die fur beliebige Matrizen mit Eintragen aus einem Hauptidealring definiert ist Die Smith Normalform einer Matrix ist eine Diagonalmatrix die aus der Ausgangsmatrix durch Multiplikation von links und von rechts mit je einer regularen quadratischen Matrix erhalten wird Die Eintrage dieser Diagonalmatrix werden Elementarteiler oder invariante Faktoren der Ausgangsmatrix genannt Die Smith Normalform ist nach dem englischen Mathematiker Henry John Stephen Smith benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Algorithmus 2 1 Schritt 1 Wahl des Pivots 2 2 Schritt 2 Verbesserung des Pivots 2 3 Schritt 3 Elimination von Eintragen 2 4 Schritt 4 Normierung 3 Beispiel 4 Verwendung 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksDefinition BearbeitenIst A displaystyle A nbsp eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix uber einem Hauptidealring R displaystyle R nbsp die nicht gleich der Nullmatrix ist dann existieren eine regulare m m displaystyle m times m nbsp Matrix S displaystyle S nbsp und eine regulare n n displaystyle n times n nbsp Matrix T displaystyle T nbsp sodass S A T a 1 0 0 0 a r 0 0 0 0 0 displaystyle S cdot A cdot T begin pmatrix alpha 1 amp 0 amp cdots amp cdots amp cdots amp 0 0 amp ddots amp ddots amp amp amp vdots vdots amp ddots amp alpha r amp ddots amp amp vdots vdots amp amp ddots amp 0 amp ddots amp vdots vdots amp amp amp ddots amp ddots amp 0 0 amp cdots amp cdots amp cdots amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp gilt Fur die Hauptdiagonalelemente soll dabei a i a i 1 displaystyle alpha i mid alpha i 1 nbsp fur i 1 r 1 displaystyle i 1 ldots r 1 nbsp gelten Diese Darstellung wird Smith Normalform der Matrix A displaystyle A nbsp genannt Die Eintrage a i displaystyle alpha i nbsp sind bis auf Multiplikation mit einer Einheit eindeutig definiert und werden Elementarteiler oder invariante Faktoren der Matrix genannt Die Elementarteiler sind dabei bis auf Multiplikation mit einer Einheit durch a i d i A d i 1 A displaystyle alpha i frac d i A d i 1 A nbsp gegeben wobei d i A displaystyle d i A nbsp der grosste gemeinsame Teiler aller i i displaystyle i times i nbsp Minoren der Matrix A displaystyle A nbsp ist Algorithmus BearbeitenDer schwierige Teil bei der Ermittlung der Smith Normalform ist die Bestimmung zweier Matrizen S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp sodass das Produkt S A T displaystyle S cdot A cdot T nbsp eine Diagonalmatrix ergibt Hierzu wird die Matrix A displaystyle A nbsp sukzessive auf Diagonalgestalt gebracht wobei in jedem Schritt elementare Zeilen oder Spaltenumformungen durchgefuhrt werden Parallel dazu werden die Matrizen S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp ausgehend von Einheitsmatrizen passender Grosse sukzessive umgeformt Dabei wird bei einer Zeilenumformung die Matrix S displaystyle S nbsp von rechts und bei einer Spaltenumformung die Matrix T displaystyle T nbsp von links mit einer entsprechenden Elementarmatrix multipliziert Fur die in einem Schritt modifizierten Matrizen A S T displaystyle A S T nbsp gilt dann die Beziehung A S A T displaystyle A S cdot A cdot T nbsp Dabei werden nur invertierbare Zeilen und Spaltenoperationen durchgefuhrt sodass S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp regular bleiben Ausgehend von der Diagonalgestalt von A displaystyle A nbsp wird dann schliesslich die Smith Normalform ermittelt Um eine Matrix in Smith Normalform zu bringen werden fur t 1 m displaystyle t 1 ldots m nbsp konkret die folgenden Schritte durchgefuhrt Schritt 1 Wahl des Pivots Bearbeiten Sei j t displaystyle j t nbsp der kleinste Spaltenindex derjenigen Spalten von A displaystyle A nbsp die mindestens einen Eintrag ungleich null aufweisen wobei die Suche fur t gt 1 displaystyle t gt 1 nbsp bei j t 1 1 displaystyle j t 1 1 nbsp gestartet wird Nun wird gefordert dass fur das Diagonalelement a t j t 0 displaystyle a t j t neq 0 nbsp gilt Ist dies nicht der Fall dann gibt es nach Voraussetzung ein Element a k j t 0 displaystyle a k j t neq 0 nbsp Nun werden die beiden Zeilen t displaystyle t nbsp und k displaystyle k nbsp durch Multiplikation mit einer Permutationsmatrix vertauscht sodass auf der Diagonale der aktuellen Spalte ein Element ungleich null zu stehen kommt Dieses Element wird dann Pivotelement genannt Schritt 2 Verbesserung des Pivots Bearbeiten Gibt es nun einen Eintrag a k j t displaystyle a k j t nbsp mit a t j t a k j t displaystyle a t j t nmid a k j t nbsp dann sei b ggT a t j t a k j t displaystyle beta operatorname ggT left a t j t a k j t right nbsp Der grosste gemeinsame Teiler zweier Elemente eines Hauptidealrings lasst sich durch das Lemma von Bezout darstellen Es existieren dann Elemente s t R displaystyle sigma tau in R nbsp sodass b a t j t s a k j t t displaystyle beta a t j t cdot sigma a k j t cdot tau nbsp gilt Mittels einer Zeilenumformung wird nun das s displaystyle sigma nbsp fache der Zeile t displaystyle t nbsp zu dem t displaystyle tau nbsp fachen der Zeile k displaystyle k nbsp addiert Erfullen s displaystyle sigma nbsp und t displaystyle tau nbsp obige Gleichung dann gilt fur a a t j t b displaystyle alpha a t j t beta nbsp und g a k j t b displaystyle gamma a k j t beta nbsp diese Divisionen sind aufgrund der Definition von b displaystyle beta nbsp moglich s a t g 1 displaystyle sigma cdot alpha tau cdot gamma 1 nbsp Die Matrix L 0 s t g a displaystyle L 0 begin pmatrix sigma amp tau gamma amp alpha end pmatrix nbsp ist damit regular mit der Inversen L 0 1 a t g s displaystyle L 0 1 begin pmatrix alpha amp tau gamma amp sigma end pmatrix nbsp Indem die Eintrage der Matrix L 0 displaystyle L 0 nbsp in die Zeilen und Spalten t displaystyle t nbsp und k displaystyle k nbsp einer Einheitsmatrix eingefugt werden erhalt man die Elementarmatrix L displaystyle L nbsp Das Produkt L A displaystyle L cdot A nbsp besitzt dann an der Stelle t j t displaystyle t j t nbsp den Eintrag b displaystyle beta nbsp und aufgrund der Wahl von a displaystyle alpha nbsp und g displaystyle gamma nbsp an der Stelle k j t displaystyle k j t nbsp den Eintrag null was praktisch aber nicht wesentlich fur den Algorithmus ist Dieser neue Eintrag b displaystyle beta nbsp teilt den vorigen Eintrag a t j t displaystyle a t j t nbsp Dieser Schritt wird nun solange wiederholt bis keine Verbesserung eintritt Bezeichnet d a displaystyle delta a nbsp die Anzahl der Primfaktoren eines Elements a displaystyle a nbsp dann gilt nach jedem Schritt d b lt d a t j t displaystyle delta beta lt delta a t j t nbsp daher terminiert der Prozess nach endlich vielen Schritten Das Ergebnis ist eine Matrix mit einem Eintrag an der Stelle t j t displaystyle t j t nbsp der alle Eintrage in der Spalte j t displaystyle j t nbsp teilt Schritt 3 Elimination von Eintragen Bearbeiten Durch Addition entsprechender Vielfache der Zeile t displaystyle t nbsp werden nun alle Eintrage in der Spalte j t displaystyle j t nbsp ausserhalb der Diagonale zu null gesetzt Dies kann ebenfalls durch Linksmultiplikation mit entsprechenden Elementarmatrizen erreicht werden Um die Matrix jedoch auf volle Diagonalgestalt zu bringen mussen auch die Eintrage ungleich Null in der Zeile t displaystyle t nbsp eliminiert werden Dies kann durch Wiederholung von Schritt 2 fur die Spalten der Matrix in Kombination mit Rechtsmultiplikationen erreicht werden Allerdings kann dies dazu fuhren dass Nulleintrage die in einer vorhergegangenen Anwendung von Schritt 3 erzeugt wurden wieder ungleich null werden Die Ideale die durch die Elemente an der Position t j t displaystyle t j t nbsp gebildet werden erzeugen jedoch eine aufsteigende Kette da die Eintrage aus einem spateren Schritt immer die Eintrage aus einem fruheren Schritt teilen Nachdem R displaystyle R nbsp noethersch ist werden die Ideale ab einem gewissen Schritt stationar und andern sich nicht mehr Das bedeutet dass schliesslich der Eintrag an der Stelle t j t displaystyle t j t nbsp nach einer Anwendung von Schritt 2 alle Eintrage ungleich null in der gleichen Spalte und Zeile teilt Dann konnen diese Eintrage eliminiert werden wobei die bereits erzeugten Nulleintrage erhalten bleiben Nun muss nur noch der Block von A displaystyle A nbsp rechts unterhalb von t j t displaystyle t j t nbsp diagonalisiert werden Der Algorithmus wird mit dieser Teilmatrix mit t 1 displaystyle t 1 nbsp bei Schritt 1 weitergefuhrt Schritt 4 Normierung Bearbeiten Die wiederholte Anwendung der Schritte 1 bis 3 fuhrt schliesslich zu einer m n displaystyle m times n nbsp Matrix bei der nur die Eintrage l j l displaystyle l j l nbsp fur j 1 lt lt j r displaystyle j 1 lt ldots lt j r nbsp mit r min m n displaystyle r leq min m n nbsp ungleich null sind Die Nullspalten dieser Matrix werden nun nach rechts verschoben sodass die Eintrage ungleich null genau an den Positionen i i displaystyle i i nbsp fur i 1 r displaystyle i 1 ldots r nbsp liegen Diese Eintrage seien nun durch a i displaystyle alpha i nbsp bezeichnet Die Teilbarkeitsforderung der Smith Normalform an die Diagonalelemente ist jedoch moglicherweise noch nicht erfullt Gilt a i a i 1 displaystyle alpha i nmid alpha i 1 nbsp fur einen Index i displaystyle i nbsp dann kann dies durch Zeilen und Spaltenumformungen folgendermassen behoben werden Zunachst wird die Spalte i 1 displaystyle i 1 nbsp zur Spalte i displaystyle i nbsp addiert sodass ein Eintrag a i 1 displaystyle alpha i 1 nbsp in der Spalte i displaystyle i nbsp entsteht ohne dass der Diagonaleintrag a i displaystyle alpha i nbsp an der Position i i displaystyle i i nbsp verandert wird Nun wird wie in Schritt 2 mit einer Zeilenumformung der Eintrag an der Stelle i i displaystyle i i nbsp gleich b ggT a i a i 1 displaystyle beta operatorname ggT alpha i alpha i 1 nbsp gesetzt Schliesslich wird wie in Schritt 3 die Matrix wieder diagonalisiert Nachdem der neue Eintrag an der Stelle i 1 i 1 displaystyle i 1 i 1 nbsp eine Linearkombination der ursprunglichen Eintrage a i displaystyle alpha i nbsp und a i 1 displaystyle alpha i 1 nbsp ist muss er durch b displaystyle beta nbsp teilbar sein Durch diese Operation andert sich der Wert d a 1 d a r displaystyle delta alpha 1 cdots delta alpha r nbsp nicht er entspricht dem d displaystyle delta nbsp der Determinante der oberen r r displaystyle r times r nbsp Teilmatrix allerdings verringert sich der Wert von j 1 r r j d a j displaystyle sum j 1 r r j delta alpha j nbsp dadurch dass die Primfaktoren nach rechts verschoben werden Daher sind nach endlich vielen Anwendungen keine weiteren Operationen moglich was bedeutet dass wie gewunscht a 1 a 2 a r displaystyle alpha 1 mid alpha 2 mid cdots mid alpha r nbsp erreicht wurde Nachdem alle Zeilen und Spaltenumformungen dieses Prozesses invertierbar sind mussen invertierbare Matrizen S T displaystyle S T nbsp existieren sodass S A T displaystyle S cdot A cdot T nbsp die Smith Normalform ergibt Insbesondere bedeutet dies dass die Smith Normalform immer existiert was in der Definition noch ohne Beweis angenommen wurde Beispiel BearbeitenAls Beispiel wird die Smith Normalform der Matrix A 2 4 4 6 6 12 10 4 16 displaystyle A begin pmatrix 2 amp 4 amp 4 6 amp 6 amp 12 10 amp 4 amp 16 end pmatrix nbsp berechnet Die folgenden Matrizen sind die Zwischenschritte des Smith Algorithmus angewandt auf diese Matrix 2 0 0 6 18 24 10 24 36 2 0 0 0 18 24 0 24 36 2 0 0 0 18 24 0 6 12 displaystyle to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 6 amp 18 amp 24 10 amp 24 amp 36 end pmatrix to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 18 amp 24 0 amp 24 amp 36 end pmatrix to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 18 amp 24 0 amp 6 amp 12 end pmatrix nbsp 2 0 0 0 6 12 0 18 24 2 0 0 0 6 12 0 0 12 2 0 0 0 6 0 0 0 12 displaystyle to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 6 amp 12 0 amp 18 amp 24 end pmatrix to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 6 amp 12 0 amp 0 amp 12 end pmatrix to begin pmatrix 2 amp 0 amp 0 0 amp 6 amp 0 0 amp 0 amp 12 end pmatrix nbsp Die letzte Matrix stellt dann die Smith Normalform von A displaystyle A nbsp dar Die invarianten Faktoren von A displaystyle A nbsp sind damit 2 displaystyle 2 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp und 12 displaystyle 12 nbsp Verwendung BearbeitenDie Smith Normalform ist nutzlich fur die Berechnung der Homologie eines Kettenkomplexes wenn seine Moduln endlich erzeugt sind In der Topologie kann die Smith Normalform beispielsweise eingesetzt werden um die Homologie eines Simplizialkomplexes oder eines Zellkomplexes uber den ganzen Zahlen zu berechnen da die Randoperatoren solcher Komplexe gerade durch ganzzahlige Matrizen dargestellt werden Sie kann auch verwendet werden um den Struktursatz fur endlich erzeugte Moduln uber einem Hauptidealring zu beweisen Die Smith Normalform kann auch verwendet werden um zu ermitteln ob zwei Matrizen uber dem gleichen Korper zueinander ahnlich sind Zwei Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp sind namlich genau dann zueinander ahnlich wenn ihre charakteristischen Matrizen x I A displaystyle xI A nbsp und x I B displaystyle xI B nbsp die gleiche Smith Normalform besitzen Beispielsweise gilt fur folgende Matrizen A 1 2 0 1 SNF x I A 1 0 0 x 1 2 B 3 4 1 1 SNF x I B 1 0 0 x 1 2 C 1 0 1 2 SNF x I C 1 0 0 x 1 x 2 displaystyle begin aligned A amp begin pmatrix 1 amp 2 0 amp 1 end pmatrix amp amp mbox SNF xI A begin pmatrix 1 amp 0 0 amp x 1 2 end pmatrix B amp begin pmatrix 3 amp 4 1 amp 1 end pmatrix amp amp mbox SNF xI B begin pmatrix 1 amp 0 0 amp x 1 2 end pmatrix C amp begin pmatrix 1 amp 0 1 amp 2 end pmatrix amp amp mbox SNF xI C begin pmatrix 1 amp 0 0 amp x 1 x 2 end pmatrix end aligned nbsp Daher sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zueinander ahnlich da die Smith Normalformen ihrer charakteristischen Matrizen gleich sind sie sind aber nicht ahnlich zu C displaystyle C nbsp da die charakteristischen Matrizen unterschiedlich sind Siehe auch BearbeitenFrobenius Normalform Jordansche Normalform SingularwertzerlegungLiteratur BearbeitenHenry John Stephen Smith On systems of linear indeterminate equations and congruences In Phil Trans R Soc Lond Band 151 Nr 1 1861 S 293 326 doi 10 1098 rstl 1861 0016 JSTOR 108738 Reprinted J W L Glaisher Hrsg The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith Vol I Clarendon Press Oxford 1894 S 367 409 Textarchiv Internet Archive K R Matthews Smith normal form PDF 143 kB In MP274 Linear Algebra Lecture Notes University of Queensland 1991 G Kemper F Reimers Kapitel 7 Normalformen In Lineare Algebra Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2022 Weblinks BearbeitenSmith normal form In PlanetMath englisch Example of Smith normal form In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Smith Normalform amp oldid 227771046