Ein Simplizialkomplex ist ein Begriff der algebraischen Topologie. Bei einem Simplizialkomplex handelt es sich um ein rein kombinatorisch beschreibbares Objekt, mit dessen Hilfe die entscheidenden Eigenschaften von bestimmten, als triangulierbar bezeichneten topologischen Räumen algebraisch charakterisiert werden können. Insbesondere werden Simplizialkomplexe dazu verwendet, für den zugrundeliegenden topologischen Raum Invarianten zu definieren.
Die Idee des Simplizialkomplexes besteht darin, einen topologischen Raum dadurch zu untersuchen, dass – sofern möglich – durch Zusammenfügen von Simplizes eine Menge im d-dimensionalen euklidischen Raum konstruiert wird, die homöomorph ist zum gegebenen topologischen Raum. Die „Anleitung zum Zusammenbau“ der Simplizes, das heißt die Angaben darüber, wie die Simplizes zusammengefügt sind, wird dann in Form einer Sequenz von Gruppenhomomorphismen rein algebraisch charakterisiert.
Grundidee Bearbeiten
Der formalen Definition eines Simplizialkomplexes liegt die Idee zugrunde, dass bestimmte Teilmengen des -dimensionalen euklidischen Raums zerlegt werden können in Punkte, Strecken, Dreiecke, Tetraeder und so weiter. Da es sich bei den vier aufgezählten geometrischen Objekten um die einfachsten Polytope der jeweiligen Dimension handelt, die als -Simplex bezeichnet werden, handelt es sich allgemein um Zerlegungen in -Simplizes: Punkt (0-Simplex), Gerade (1-Simplex), Dreieck (2-Simplizes), Tetraeder (3-Simplex), Pentachoron (4-Simplex), 5-Simplex und so weiter.
Bei der formalen Beschreibung einer solchen Zerlegung im Rahmen eines Simplzialkomplexes werden die Kantenlängen ausgeblendet. Maßgeblich ist nur die Art des „Zusammenbaus“, d. h. die Information darüber, wie die -Simplizes aneinandergefügt sind. Diese Informationen dienen dann dazu, die zerlegte Punktmenge zu charakterisieren.
Definitionen Bearbeiten
Abstrakter Simplizialkomplex Bearbeiten
Ein abstraktes Simplex ist eine endliche nichtleere Menge. Ein Element eines abstrakten Simplexes nennt man Ecke von , eine nichtleere Teilmenge von ist wieder ein abstraktes Simplex und wird Facette (oder Seite) von genannt.
Ein abstrakter oder auch kombinatorischer Simplizialkomplex ist eine Menge von Simplizes mit der Eigenschaft, dass jede Facette eines Simplexes wieder zu gehört, also . Die Vereinigungsmenge aller Ecken von Simplizes des Simplizialkomplexes wird Eckenmenge oder Eckpunktbereich genannt und mit bezeichnet.
Die Dimension eines abstrakten Simplex, das Ecken enthält, ist definiert als , und die Dimension des Simplizialkomplexes ist definiert als das Maximum der Dimension aller Simplizes. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann heißt unendlichdimensional.
Der Simplizialkomplex heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist, und lokal endlich, falls jede Ecke nur zu endlich vielen Simplizes gehört.
Das -Skelett eines Simplizialkomplexes ist die Menge aller seiner Simplizes der Dimension .
Geometrischer Simplizialkomplex Bearbeiten
Ein geometrischer Simplizialkomplex ist eine Menge von Simplizes in einem euklidischen Raum mit der Eigenschaft, dass jede Facette eines Simplexes wieder zu gehört und dass für alle Simplizes der Durchschnitt entweder leer oder eine gemeinsame Facette von und ist. Mit wird die Vereinigung aller Simplizes des geometrischen Komplexes bezeichnet.
Geometrische Realisierung Bearbeiten
Ein geometrischer Simplizialkomplex , dessen Ecken einem gegebenen abstrakten Simplizialkomplex entsprechen, heißt geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes . Sie wird mit bezeichnet. Alle geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes sind zueinander homöomorph.
Zu einem Punkt gibt es einen eindeutigen Simplex aus , in dessen Innerem liegt. Dieser Simplex wird als Trägersimplex von bezeichnet.
Ein simplizialer Teilkomplex ist eine Menge von Simplizes in derart, dass die Vereinigung der Simplizes in einen simplizialen Komplex bildet.
Triangulierung Bearbeiten
Ein topologischer Raum heißt triangulierbar, wenn er homöomorph zu einem geometrischen Simplizialkomplex ist.
Abschluss, Stern und Link Bearbeiten
Sei eine Menge von Simplizes in einem geometrischen Simplizialkomplex . Man kann nun durch drei Konstruktionen zu einem Teilkomplex von machen, wobei der Stern von beim Beweis des simplizialen Approximationssatz gebraucht wird.
Abschluss Bearbeiten
Der Abschluss von ist der kleinste simpliziale Teilkomplex von , der jedes Simplex in enthält. Man definiert . Der Abschluss entsteht, indem man zu jedem Simplex in all seine Seiten (Facetten) hinzufügt.
Stern Bearbeiten
Der Stern von ist der Abschluss aller Simplizes, die eine Seite in besitzen. Man definiert . Den Stern kann man verstehen als die kleinste simpliziale Umgebung von in . Weiterhin bildet eine offene simpliziale Umgebung von in .
Link Bearbeiten
Der Link besteht aus allen Simplizes im Stern von , die kein Simplex von treffen. Man definiert: . Den Link kann man als den topologischen Rand der simplizialen Umgebung auffassen.
Simpliziale Abbildungen Bearbeiten
Eine simpliziale Abbildung ist eine Abbildung zwischen den Eckenmengen , bei der für jedes Simplex aus dessen Ecken unter der Abbildung auf die Ecken eines Simplex in abgebildet werden.
Eine simpliziale Abbildung induziert eine stetige Abbildung . Dazu wird im Inneren jedes geometrischen Simplex eine affin lineare Fortsetzung konstruiert.
Umgekehrt lässt sich eine stetige Abbildung nach endlich vielen baryzentrische Unterteilungen durch eine simpliziale Abbildung approximieren, siehe simplizialer Approximationssatz. Hierbei steht für die baryzentrische Unterteilung.
Eine simpliziale Abbildung, die bijektiv ist, das heißt, die Umkehrabbildung ist auch eine simpliziale Abbildung, nennt man einen simplizialen Isomorphismus.
Der Simplizialkomplex als Kettenkomplex Bearbeiten
Sei ein endlicher Simplizialkomplex. Die -te simpliziale Gruppe von ist die freie abelsche Gruppe, die von der Menge der Simplizes mit Dimension erzeugt wird, sie wird mit notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale -Ketten. Wählt man eine totale Ordnung für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne -Simplex. Ein Randoperator wird dann definiert durch
wobei das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt für alle simplizialen -Ketten . Daher ist ein Kettenkomplex und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine Homologie erklären. Diese Homologie wird simpliziale Homologie genannt.
Anwendung in der Graphentheorie Bearbeiten
Man kann einem Graphen Simplizialkomplexe zuweisen, um so untere Schranken an die chromatische Zahl zu beweisen. Wahrscheinlich am bekanntesten sind die Nachbarschaftskomplexe von László Lovász.
Geschichte Bearbeiten
Triangulierungen und ein in Matrixschreibweise formuliertes Äquivalent zu dem daraus gebildeten Kettenkomplex wurden von Henri Poincaré gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts untersucht. Simplizale Abbildungen wurde erstmals 1912 von Brouwer verwendet. In den 1920er-Jahren entstand dann die Sichtweise, die zum Begriff des Kettenkomplexes führte.
Siehe auch Bearbeiten
- Simpliziales Polytop
- Simpliziale Menge
- Simpliziale Homologie
- CW-Komplex – ein allgemeinerer Begriff, der Simplizialkomplexe als Spezialfall umfasst.
- Fahnenkomplex
Einzelnachweise Bearbeiten
- H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 158 (online)
- Herbert Seifert, William Threlfall: Lehrbuch der Topologie. Hrsg.: AMS Chelsea Publ. 2004, ISBN 978-0-8218-3595-1, S. 47.
- Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 163–164.
- H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 172 (online)
- Jean Dieudonné: A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, S. 4–6, Boston 1989, Reprint 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4
Quellen Bearbeiten
- John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2 (Graduate Texts in Mathematics 202), Seiten 96, 323–324
- S. N. Malygin & M. M. Postnikov: Simplicial complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Weblinks Bearbeiten
- Jörg Bewersdorff: Algebraische Topologie und Fixpunkte. Einführender Überblicksartikel (PDF-Datei; 179 kB).
- Jie Wu: (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive).