Die Simpliziale Homologie ist in der Algebraischen Topologie einem Teilgebiet der Mathematik eine Methode die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet Anschaulich gesprochen zahlt sie die Locher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes Inhaltsverzeichnis 1 Simplizialkomplexe 2 Simpliziale Homologie 3 Beispiel 3 1 Rechenbeispiel 3 2 Weitere Beispiele 4 Funktorialitat 4 1 Simpliziale Abbildungen 4 2 Stetige Abbildungen 5 Simpliziale Homologie mit Koeffizienten 6 Simpliziale versus Singulare Homologie 7 LiteraturSimplizialkomplexe BearbeitenEin simplizialer Komplex oder Simplizialkomplex K displaystyle K nbsp ist eine Menge von durch ihre Eckpunkte eindeutig bestimmten Simplizes so dass jede Seitenflache eines der Simplizes wieder in dieser Menge liegt Einfache Beispiele sind Polygone und Polyeder Nach einem Satz der Topologie kann man jede differenzierbare Mannigfaltigkeit triangulieren also als einen simplizialen Komplex SK auffassen Simpliziale Homologie BearbeitenZu einem Simplizialkomplex K displaystyle K nbsp betrachten wir fur n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots nbsp die freie abelsche Gruppe uber der Menge der n displaystyle n nbsp Simplizes des simplizialen Komplexes C n K displaystyle C n K nbsp Elemente von C n K displaystyle C n K nbsp sind also formale Summen der Form i 1 r a i s i displaystyle sum i 1 r a i sigma i nbsp mit a i Z displaystyle a i in mathbb Z nbsp und s i displaystyle sigma i nbsp ein n displaystyle n nbsp Simplex von K displaystyle K nbsp Dabei wird gefordert dass s i s j displaystyle sigma i sigma j nbsp gilt wenn die Simplizes s i displaystyle sigma i nbsp und s j displaystyle sigma j nbsp umgekehrte Orientierung besitzen Die Randabbildung C n K C n 1 K displaystyle partial colon C n K rightarrow C n 1 K nbsp bilde jeden Simplex auf die alternierende Summe seiner Seitenflachen ab das heisst v 0 v n i 0 n 1 i v 0 v i v n displaystyle partial v 0 dots v n sum i 0 n 1 i v 0 ldots hat v i ldots v n nbsp wobei v i displaystyle hat v i nbsp bedeutet dass v i displaystyle v i nbsp ausgelassen wird Die alternierenden Vorzeichenfaktoren konnen auch als geometrische Orientierungszahlen interpretiert werden Diese auf den Erzeugern von C n K displaystyle C n K nbsp definierte Randabbildung setzt sich durch lineare Fortsetzung i 1 r a i s i i 1 r a i s i displaystyle partial sum i 1 r a i sigma i sum i 1 r a i partial sigma i nbsp eindeutig zu einer Abbildung C n K C n 1 K displaystyle partial C n K rightarrow C n 1 K nbsp fort Man rechnet leicht nach dass 0 displaystyle partial circ partial 0 nbsp gilt C K displaystyle C K partial nbsp ist also ein Kettenkomplex er wird als simplizialer Kettenkomplex des Simplizialkomplexes K displaystyle K nbsp bezeichnet Die Homologie dieses Kettenkomplexes heisst die simpliziale Homologie von K displaystyle K nbsp und wird mit H K displaystyle H K nbsp bezeichnet Beispiel BearbeitenRechenbeispiel Bearbeiten nbsp DreieckWir wollen die Homologiegruppen des Dreiecks bestehend aus drei 0 Simplizes v 1 v 2 v 3 displaystyle v 1 v 2 v 3 nbsp und den drei sie verbindenden 1 Simplizes keinem 2 Simplex und keinen hoherdimensionalen Simplizes berechnen Nach Definition des Randoperators ist 0 v i 0 displaystyle partial 0 v i 0 nbsp also k e r 0 C 0 a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 a 1 a 2 a 3 Z Z Z Z displaystyle mathrm ker partial 0 C 0 a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 a 1 a 2 a 3 in mathbb Z cong mathbb Z oplus mathbb Z oplus mathbb Z nbsp d h alle 0 Ketten sind im Kern Fur eine 1 Kette c 1 b 1 v 1 v 2 b 2 v 2 v 3 b 3 v 3 v 1 displaystyle c 1 b 1 v 1 v 2 b 2 v 2 v 3 b 3 v 3 v 1 nbsp ist 1 c 1 b 3 b 1 v 1 b 1 b 2 v 2 b 2 b 3 v 3 displaystyle partial 1 c 1 b 3 b 1 v 1 b 1 b 2 v 2 b 2 b 3 v 3 nbsp Daraus erhalt man I m 1 b 3 b 1 v 1 b 1 b 2 v 2 b 2 b 3 v 3 b 1 b 2 b 3 Z displaystyle mathrm Im partial 1 b 3 b 1 v 1 b 1 b 2 v 2 b 2 b 3 v 3 b 1 b 2 b 3 in mathbb Z nbsp Eine 0 Kette c 0 a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 displaystyle c 0 a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 nbsp gehort also genau dann zum Bild von 1 displaystyle partial 1 nbsp wenn a 1 b 3 b 1 displaystyle a 1 b 3 b 1 nbsp a 2 b 1 b 2 displaystyle a 2 b 1 b 2 nbsp a 3 b 2 b 3 displaystyle a 3 b 2 b 3 nbsp also genau dann wenn a 1 a 2 a 3 0 displaystyle a 1 a 2 a 3 0 nbsp Daraus folgt H 0 S Z Z Z a 1 a 2 a 3 0 Z displaystyle H 0 S cong mathbb Z oplus mathbb Z oplus mathbb Z a 1 a 2 a 3 0 cong mathbb Z nbsp Zur Berechnung der ersten Homologiegruppe Fur eine 1 Kette c 1 b 1 v 1 v 2 b 2 v 2 v 3 b 3 v 3 v 1 displaystyle c 1 b 1 v 1 v 2 b 2 v 2 v 3 b 3 v 3 v 1 nbsp ist 1 c 1 0 displaystyle partial 1 c 1 0 nbsp genau dann wenn b 1 b 2 b 3 displaystyle b 1 b 2 b 3 nbsp also k e r 1 b v 1 v 2 b v 2 v 3 b v 3 v 1 b Z Z displaystyle mathrm ker partial 1 b v 1 v 2 b v 2 v 3 b v 3 v 1 b in mathbb Z cong mathbb Z nbsp Weil es keine 2 Simplizes gibt sind Kern und Bild von 2 displaystyle partial 2 nbsp trivial k e r 2 I m 2 0 displaystyle mathrm ker partial 2 mathrm Im partial 2 0 nbsp Damit erhalten wir H 1 S k e r 1 I m 2 k e r 1 Z displaystyle H 1 S mathrm ker partial 1 mathrm Im partial 2 mathrm ker partial 1 cong mathbb Z nbsp H 2 S k e r 2 I m 3 0 displaystyle H 2 S mathrm ker partial 2 mathrm Im partial 3 cong 0 nbsp und trivialerweise H i S 0 displaystyle H i S cong 0 nbsp fur alle i gt 2 displaystyle i gt 2 nbsp Weitere Beispiele Bearbeiten Es gelten Ist K displaystyle K nbsp der simpliziale Komplex der das Dreieck mit Inhalt trianguliert Das heisst der Komplex wie oben nur zusatzlich mit dem 2 Simplex Dann ergibt sich H 0 K Z H 1 K H 2 K 0 displaystyle H 0 K mathbb Z H 1 K H 2 K ldots 0 nbsp Fur den 2 Torus T S 1 S 1 displaystyle T S 1 times S 1 nbsp gilt H 1 T Z 2 H 2 T Z displaystyle H 1 T mathbb Z 2 H 2 T mathbb Z nbsp und H i T 0 displaystyle H i T 0 nbsp fur i gt 2 displaystyle i gt 2 nbsp Fur die Kleinsche Flasche K displaystyle K nbsp gilt H 1 K Z Z 2 Z displaystyle H 1 K mathbb Z oplus mathbb Z 2 mathbb Z nbsp und H i K 0 displaystyle H i K 0 nbsp fur i 2 displaystyle i geq 2 nbsp Es gilt H 1 R P 2 Z displaystyle H 1 mathbb R P 2 mathbb Z nbsp und H i R P 2 0 displaystyle H i mathbb R P 2 0 nbsp fur alle i 2 displaystyle i geq 2 nbsp Sei K displaystyle K nbsp ein simplizialer Komplex mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp Zusammenhangskomponenten dann gilt H 0 K Z n displaystyle H 0 K mathbb Z n nbsp Funktorialitat BearbeitenSimpliziale Abbildungen Bearbeiten Eine simpliziale Abbildung f K L displaystyle f colon K to L nbsp induziert eine Kettenabbildung f C K C L displaystyle f C K rightarrow C L nbsp durch f i 1 r a i s i i 1 r a i f s i displaystyle f sum i 1 r a i sigma i sum i 1 r a i f sigma i nbsp und wegen d f f d displaystyle df fd nbsp eine wohldefinierte Abbildung f H K H L displaystyle f H K rightarrow H L nbsp Stetige Abbildungen Bearbeiten Sei f K L displaystyle f vert K vert to vert L vert nbsp eine stetige Abbildung zwischen den geometrischen Realisierungen zweier Simplizialkomplexe K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp Wir bezeichnen mit B d K displaystyle Bd K nbsp die baryzentrische Unterteilung von K displaystyle K nbsp und mit B d n K displaystyle Bd n K nbsp die n displaystyle n nbsp fach iterierte baryzentrische Unterteilung Es gilt B d n K K displaystyle vert Bd n K vert vert K vert nbsp Nach dem simplizialen Approximationssatz gibt es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp so dass f B d n K L displaystyle f vert Bd n K vert to vert L vert nbsp eine simpliziale Approximation g B d n K L displaystyle g Bd n K rightarrow L nbsp besitzt Dann wird f H K H L displaystyle f H K rightarrow H L nbsp definiert als die Verknupfung von g displaystyle g nbsp mit dem kanonischen Isomorphismus H K H B d n K displaystyle H K to H Bd n K nbsp Man kann zeigen dass der so definierte Homomorphismus f displaystyle f nbsp unabhangig von der Wahl der simplizialen Approximation ist Simpliziale Homologie mit Koeffizienten BearbeitenFur eine abelsche Gruppe G displaystyle G nbsp und einen Simplizialkomplex K displaystyle K nbsp definiert man C K G C K Z G displaystyle C K G C K otimes mathbb Z G nbsp Elemente von C n K G displaystyle C n K G nbsp sind also formale Summen der Form i 1 r a i s i displaystyle textstyle sum i 1 r a i sigma i nbsp mit a i G displaystyle a i in G nbsp und s i displaystyle sigma i nbsp ein n displaystyle n nbsp Simplex in K displaystyle K nbsp Der Randoperator setzt sich fort mittels d i 1 r a i s i i 1 r a i d s i displaystyle d sum i 1 r a i sigma i sum i 1 r a i d sigma i nbsp Die Homologie mit Koeffizienten in G H X G displaystyle H X G nbsp ist definiert als die Homologie des Kettenkomplexes C X G d displaystyle C X G d nbsp Simpliziale versus Singulare Homologie BearbeitenDie simpliziale Homologie eines Simplizialkomplexes ist isomorph zur singularen Homologie seiner geometrischen Realisierung H K G H K G displaystyle H K G H vert K vert G nbsp Literatur BearbeitenStocker Ralph Zieschang Heiner Algebraische Topologie Eine Einfuhrung 2 Auflage Mathematische Leitfaden B G Teubner Stuttgart 1994 ISBN 3 519 12226 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Simpliziale Homologie amp oldid 232040287
