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Kleinsche Flasche Die auch Kleinscher Schlauch wurde erstmals 1881 1 von dem deutschen Mathematiker Felix Klein beschrie

Kleinsche Flasche

Die Kleinsche Flasche (auch Kleinscher Schlauch) wurde erstmals 1881 von dem deutschen Mathematiker Felix Klein beschrieben. Sie ist ein Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche. Umgangssprachlich formuliert hat sie die Eigenschaft, dass innen und außen nicht unterschieden werden können, oder anders formuliert, dass sie nur eine einzige Seite besitzt, die gleichzeitig innen und außen ist. Auf der Kleinschen Fläche kann deshalb, so wie beim Möbiusband, kein stetiger Normalenvektor definiert werden. Im Gegensatz zum Möbiusband hat diese Fläche keinen Rand.

Zweidimensionale Darstellung der Kleinschen Flasche als Immersion im dreidimensionalen Raum
Struktur einer drei­dimen­sio­nalen Kleinschen Flasche

Konstruktion Bearbeiten

Man beginnt mit einem Quadrat und klebt die Ecken und Ränder mit den entsprechenden Farben zusammen, so dass die Pfeile zueinander passen. Dies ist in der nachfolgenden Skizze dargestellt. Formell gesagt wird die Kleinsche Flasche beschrieben durch die Quotiententopologie des Quadrates mit Kanten, welche die folgenden Relationen erfüllen: für und für .

Das Quadrat ist ein Fundamentalpolygon der Kleinschen Flasche.

Man beachte, dass diese Beschreibung das „Kleben“ in einem abstrakten Sinn meint, das versucht, die dreidimensionale Kleinsche Flasche mit sich selbst überkreuzenden Kanten zu konstruieren. Faktisch hat die Kleinsche Flasche keine sich überkreuzenden Kanten. Dessen ungeachtet ist es eine Möglichkeit, dieses Objekt in seiner Konstruktion zu veranschaulichen.

Man klebe die roten Pfeile des Quadrats zusammen (linke und rechte Kanten), so dass man einen Zylinder erhält. Man ziehe den Zylinder etwas auseinander und klebe weiterhin die Enden so zusammen, dass die Pfeile auf den Kreis passen. Dabei wird die Kreisfläche der einen Zylinderfläche durch die der anderen geschoben. Beachte, dass dieser Vorgang zur Überkreuzung von Kanten führt. Man bezeichnet dies als Immersion der Kleinschen Flasche im dreidimensionalen Raum.

Bettet man die Kleinsche Flasche in den vierdimensionalen reellen Raum ein, kann eine Selbstdurchdringung vermieden werden. Anschaulich geschieht dies folgendermaßen: Man nimmt die oben abgebildete Immersion in den dreidimensionalen Raum und belässt die vierte Koordinate zunächst bei null. In der Nähe der Selbstdurchdringung erhöht man den Wert der vierten Koordinate für eine der (lokalen) Komponenten stetig auf eins und senkt sie danach wieder ab. Grafisch lässt sich die vierte Koordinate durch eine unterschiedliche Farbwahl veranschaulichen.

Beschreibung im dreidimensionalen Raum Bearbeiten

Glasgeblasene Kleinsche Flasche

Wie das Möbiusband ist die Kleinsche Flasche eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, die nicht orientierbar ist. Im Gegensatz zum Möbiusband kann die Kleinsche Flasche nicht ohne Selbstdurchdringung in den dreidimensionalen Euklidischen Raum eingebettet werden. Sie kann also nicht in den eingebettet, sondern nur immergiert werden. Ohne Selbstdurchdringung ist eine Einbettung aber in den und in höherdimensionale Räume möglich.

Die Hälfte einer Kleinschen Flasche, gemäß der nebenstehenden Parametri­sierung für .

Eine immergierte Kleinsche Flasche kann für und durch folgende Gleichungen im dargestellt werden:

wobei ist. ist die ungefähre Breite, die ungefähre Höhe der Figur. Übliche Werte: , .

Anmerkung: Die Kleinsche Flasche lässt sich so zerteilen, dass zwei Möbiusbänder daraus entstehen (siehe die Abbildung rechts).

Topologische Eigenschaften Bearbeiten

Die Fundamentalgruppe der Kleinschen Flasche hat die Präsentation

Die Homologiegruppen sind

Die Kleinsche Flasche ist die nicht-orientierbare geschlossene Fläche vom Geschlecht 2.

Es gibt eine 2-blättrige Überlagerung der Kleinschen Flasche durch den Torus.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Kleinsche Flasche – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Felix, Klein: Über Körper, welche von confocalen Flächen zweiten Grades begränzt sind. In: Mathematische Annalen. Band 18, 1881, S. 410–427.
  2. Eric W. Weisstein: Genus. In: MathWorld (englisch).
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Die Kleinsche Flasche auch Kleinscher Schlauch wurde erstmals 1881 1 von dem deutschen Mathematiker Felix Klein beschrieben Sie ist ein Beispiel einer nicht orientierbaren Flache Umgangssprachlich formuliert hat sie die Eigenschaft dass innen und aussen nicht unterschieden werden konnen oder anders formuliert dass sie nur eine einzige Seite besitzt die gleichzeitig innen und aussen ist Auf der Kleinschen Flache kann deshalb so wie beim Mobiusband kein stetiger Normalenvektor definiert werden Im Gegensatz zum Mobiusband hat diese Flache keinen Rand Zweidimensionale Darstellung der Kleinschen Flasche als Immersion im dreidimensionalen RaumStruktur einer drei dimen sio nalen Kleinschen Flasche Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Beschreibung im dreidimensionalen Raum 3 Topologische Eigenschaften 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenMan beginnt mit einem Quadrat und klebt die Ecken und Rander mit den entsprechenden Farben zusammen so dass die Pfeile zueinander passen Dies ist in der nachfolgenden Skizze dargestellt Formell gesagt wird die Kleinsche Flasche beschrieben durch die Quotiententopologie des Quadrates 0 1 0 1 displaystyle 0 1 times 0 1 nbsp mit Kanten welche die folgenden Relationen erfullen 0 y 1 y displaystyle 0 y sim 1 y nbsp fur 0 y 1 displaystyle 0 leq y leq 1 nbsp und x 0 1 x 1 displaystyle x 0 sim 1 x 1 nbsp fur 0 x 1 displaystyle 0 leq x leq 1 nbsp Das Quadrat ist ein Fundamentalpolygon der Kleinschen Flasche Man beachte dass diese Beschreibung das Kleben in einem abstrakten Sinn meint das versucht die dreidimensionale Kleinsche Flasche mit sich selbst uberkreuzenden Kanten zu konstruieren Faktisch hat die Kleinsche Flasche keine sich uberkreuzenden Kanten Dessen ungeachtet ist es eine Moglichkeit dieses Objekt in seiner Konstruktion zu veranschaulichen Man klebe die roten Pfeile des Quadrats zusammen linke und rechte Kanten so dass man einen Zylinder erhalt Man ziehe den Zylinder etwas auseinander und klebe weiterhin die Enden so zusammen dass die Pfeile auf den Kreis passen Dabei wird die Kreisflache der einen Zylinderflache durch die der anderen geschoben Beachte dass dieser Vorgang zur Uberkreuzung von Kanten fuhrt Man bezeichnet dies als Immersion der Kleinschen Flasche im dreidimensionalen Raum nbsp Schritt 1 nbsp Schritt 2 nbsp Schritt 3 nbsp Schritt 4 nbsp Schritt 5 nbsp Schritt 6Bettet man die Kleinsche Flasche in den vierdimensionalen reellen Raum ein kann eine Selbstdurchdringung vermieden werden Anschaulich geschieht dies folgendermassen Man nimmt die oben abgebildete Immersion in den dreidimensionalen Raum und belasst die vierte Koordinate zunachst bei null In der Nahe der Selbstdurchdringung erhoht man den Wert der vierten Koordinate fur eine der lokalen Komponenten stetig auf eins und senkt sie danach wieder ab Grafisch lasst sich die vierte Koordinate durch eine unterschiedliche Farbwahl veranschaulichen Beschreibung im dreidimensionalen Raum Bearbeiten nbsp Glasgeblasene Kleinsche FlascheWie das Mobiusband ist die Kleinsche Flasche eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit die nicht orientierbar ist Im Gegensatz zum Mobiusband kann die Kleinsche Flasche nicht ohne Selbstdurchdringung in den dreidimensionalen Euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp eingebettet werden Sie kann also nicht in den R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp eingebettet sondern nur immergiert werden Ohne Selbstdurchdringung ist eine Einbettung aber in den R 4 displaystyle mathbb R 4 nbsp und in hoherdimensionale Raume moglich nbsp Die Halfte einer Kleinschen Flasche gemass der nebenstehenden Parametri sierung fur 0 lt u lt 2 p 0 lt v lt p displaystyle 0 lt u lt 2 pi 0 lt v lt pi nbsp Eine immergierte Kleinsche Flasche kann fur 0 u lt 2 p displaystyle 0 leq u lt 2 pi nbsp und 0 v lt 2 p displaystyle 0 leq v lt 2 pi nbsp durch folgende Gleichungen im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp dargestellt werden x b 1 sin u cos u r cos v 2 e u 2 p 2 1 y r sin v z h sin u 0 5 r sin u cos v e u 3 p 2 2 displaystyle begin aligned amp x b 1 sin u cos u r cos v 2 e u 2 pi 2 1 amp y r sin v amp z h sin u 0 5 r sin u cos v e u 3 pi 2 2 end aligned nbsp wobei r 2 cos u displaystyle r 2 cos u nbsp ist b displaystyle b nbsp ist die ungefahre Breite h displaystyle h nbsp die ungefahre Hohe der Figur Ubliche Werte b 2 displaystyle b 2 nbsp h 6 displaystyle h 6 nbsp Anmerkung Die Kleinsche Flasche lasst sich so zerteilen dass zwei Mobiusbander daraus entstehen siehe die Abbildung rechts Topologische Eigenschaften BearbeitenDie Fundamentalgruppe der Kleinschen Flasche hat die Prasentation p 1 K a b a b a b 1 1 displaystyle pi 1 K langle a b abab 1 1 rangle nbsp Die Homologiegruppen sind H 0 K Z H 1 K Z Z 2 Z H 2 K 0 displaystyle H 0 K mathbb Z H 1 K mathbb Z oplus mathbb Z 2 mathbb Z H 2 K 0 nbsp Die Kleinsche Flasche ist die nicht orientierbare geschlossene Flache vom Geschlecht 2 2 Es gibt eine 2 blattrige Uberlagerung der Kleinschen Flasche durch den Torus Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Kleinsche Flasche Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Die Banchoff Kleinsche Flasche auf spass mit mathematik de Imker Peter Mathematiker hakeln vierdimensionale Wollmutzen Memento vom 17 Marz 2003 im Internet Archive Internetprasenz des P M Magazins Bouteille de Klein franzosisch gute Abbildungen bei mathcurve com Konstruktion der Kleinschen Flasche als Video bei YouTube www klein bottle film com Kleinsche Flasche Animation von 2010 Inklusive einer Autofahrt durch die Kleinsche Flasche und der Originalbeschreibung von Felix Klein Video bei YouTubeEinzelnachweise Bearbeiten Felix Klein Uber Korper welche von confocalen Flachen zweiten Grades begranzt sind In Mathematische Annalen Band 18 1881 S 410 427 Eric W Weisstein Genus In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kleinsche Flasche amp oldid 238896229