In der Mathematik ist baryzentrische Unterteilung ein Verfahren, um Simplizes (Dreiecke, Tetraeder …) in kleinere Simplizes zu zerlegen.
Baryzentrum Bearbeiten
Seien Punkte in allgemeiner Lage. Für einen Punkt
werden die Zahlen als baryzentrische Koordinaten von bezüglich bezeichnet. (Diese Zerlegung ist eindeutig, wenn die Punkte in allgemeiner Lage sind.)
Für einen -Simplex mit Ecken bezeichnet man als Baryzentrum den Punkt
In diesem Punkt sind also alle baryzentrischen Koordinaten gleich .
Zum Beispiel ist das Baryzentrum eines 0-Simplex das 0-Simplex selbst, das Baryzentrum eines 1-Simplex ist der Mittelpunkt der Strecke, das Baryzentrum eines 2-Simplex ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Baryzentrische Unterteilung Bearbeiten
Die baryzentrische Unterteilung von Simplizes wird wie folgt definiert. Die baryzentrische Unterteilung eines 0-Simplex ist das 0-Simplex selbst. Wenn die baryzentrische Unterteilung von (n-1)-Simplizes bereits definiert ist, definiert man die baryzentrische Unterteilung eines n-Simplizes als bestehend aus den n-Simplizes, die von dem Baryzentrum des n-Simplexes und den (n-1)-Simplizes in den baryzentrischen Unterteilungen der Randflächen aufgespannt werden.
Die baryzentrische Unterteilung eines 1-Simplex besteht also aus den beiden 1-Simplizes, die vom Mittelpunkt und einem der beiden Eckpunkte der Strecke aufgespannt werden. Die baryzentrische Unterteilung eines 2-Simplex besteht aus den sechs 2-Simplizes, die vom Baryzentrum (dem Schwerpunkt des Dreiecks), einem Seitenmittelpunkt und einem benachbarten Eckpunkt aufgespannt werden.
Die baryzentrische Unterteilung eines n-Simplex besteht aus n-Simplizes. Der Durchmesser jedes dieser Simplizes ist höchstens mal der Durchmesser des ursprünglichen Simplex.
Als iterierte baryzentrische Unterteilung bezeichnet man die mehrmalige Anwendung der baryzentrischen Unterteilung auf einen Simplizialkomplex.
Anwendungen in der Topologie Bearbeiten
- Iterierte baryzentrische Unterteilung wird verwendet im Beweis des simplizialen Approximationssatzes und damit beim Beweis der Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie.
- Für eine offene Überdeckung eines metrischen Raumes und eine Homologieklasse kann man mittels hinreichend häufiger baryzentrischer Unterteilung eines repräsentierenden Zyklus beweisen, dass sich repräsentieren lässt durch einen Zyklus, dessen Simplizes alle in (mindestens) einer der offenen Mengen der Überdeckung enthalten sind. Dies ist ein wesentlicher Schritt im Beweis des Ausschneidungssatzes und der Mayer-Vietoris-Sequenz.
Literatur Bearbeiten
- A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-79540-0/pbk