Der geometrische Schwerpunkt oder Schwerpunkt einer geometrischen Figur (zum Beispiel Kreisbogen, Dreieck, Kegel) ist ein besonders ausgezeichneter Punkt, den man auch bei unsymmetrischen Figuren als eine Art Mittelpunkt interpretiert. Mathematisch entspricht dies der Mittelung aller Punkte innerhalb der Figur. Im Speziellen wird der geometrische Schwerpunkt von Linien auch Linienschwerpunkt, von Flächen Flächenschwerpunkt und von Körpern Volumenschwerpunkt genannt. Den Schwerpunkt kann man in einfachen Fällen durch geometrische Überlegungen erhalten, oder allgemein mit Mitteln der Mathematik durch Integration berechnen. Zur Beschreibung der Körper werden die Methoden der analytischen Geometrie verwendet. Der Schwerpunkt ist ein Gravizentrum.
Der geometrische Schwerpunkt entspricht dem Massenmittelpunkt eines physikalischen Körpers, der aus homogenem Material besteht, also überall die gleiche Dichte hat. Er lässt sich deshalb auch rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Diese Methode kann an Modellen angewandt werden, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (zum Beispiel Mittelpunkt Europas oder Mittelpunkt Deutschlands).
Insbesondere für die geografische Mitte wird mitunter auch eine andere Definition verwendet, nämlich der Ort der Halbierenden der jeweiligen Erstreckung in der geografischen Länge und in der geografischen Breite.
Bei konkav begrenzten Linien, Flächen (etwa einer sehr schlanken Mondsichel) oder Körpern (etwa dem Werkzeug Sichel) kann der Schwerpunkt, Mittelpunkt oder Mittenpunkt auch außerhalb des jeweiligen Objekts liegen.
Geometrischer Schwerpunkt endlich vieler Punkte im reellen Vektorraum Bearbeiten
Sind in einem -Vektorraum für eine natürliche Zahl paarweise verschiedene Punkte gegeben, so ist deren geometrischer Schwerpunkt definiert als
In diesen Zusammenhang fällt der Begriff des Schwerpunkts eines -dimensionalen Simplexes . Hat ein solches Simplex die Eckpunkte , so ist sein Schwerpunkt nichts weiter als der geometrische Schwerpunkt seiner Eckpunkte, also:
Der Schwerpunkt eines solchen Simplexes zeichnet sich also dadurch aus, dass seine baryzentrischen Koordinaten in Bezug auf das Simplex alle gleich, nämlich
sind.
Bilden diese endlich vielen verschiedenen Punkte die Menge aller Eckpunkte einer geometrischen Figur im euklidischen Raum, so bezeichnet man den geometrischen Schwerpunkt all dieser auch als Eckenschwerpunkt der Figur. Beispiele hierfür geben insbesondere die Strecke, das Dreieck und das Tetraeder. Für Vierecke gilt nach Pierre de Varignon (1654–1722), dass der Eckenschwerpunkt eines Vierecks zugleich der Mittelpunkt der beiden Mittellinien, also der beiden Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte ist.
Schwerpunkte von elementargeometrischen Figuren Bearbeiten
Im Folgenden werden einige Schwerpunkte elementargeometrischer Linien, Flächen und Körper angegeben und teilweise durch geometrische Überlegungen begründet.
Für achsensymmetrische oder rotationssymmetrische Figuren vereinfacht sich die Angabe des Schwerpunkts dadurch, dass dieser stets auf der Symmetrieachse liegt. Bei Figuren mit mehreren Symmetrieachsen bzw. punktsymmetrischen Objekten, wie beispielsweise bei einem Quadrat oder einem Kreis, liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen (Mittelpunkt) der Figur.
Linien Bearbeiten
Strecke Bearbeiten
Der geometrische Schwerpunkt einer Strecke liegt in deren Mitte, ist also identisch mit deren Mittelpunkt.
Kreisbogen Bearbeiten
Ist der Ausschnitt des Kreises so gedreht und verschoben, dass die y-Achse des kartesischen Koordinatensystems eine Symmetrieachse des Kreisbogens ist und der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt (siehe Bild), dann lässt sich der Schwerpunkt durch
berechnen. Hierbei ist der Radius des Kreises, die Länge des Kreisbogens und die Sehnenlänge des Kreisbogens.
Für versagt die Formel. Mit kann der Schwerpunkt auch für sehr kleine Winkel berechnet werden.
Musste der Kreis zu anfangs verschoben oder gedreht werden, dann muss zur Vervollständigung der Rechnung der berechnete Schwerpunkt entsprechend wieder zurückverschoben oder gedreht werden.
Flacher Bogen Bearbeiten
Um den Schwerpunkt eines flachen Bogens näherungsweise zu berechnen, muss dieser im kartesischen Koordinatensystem so verschoben werden, dass der Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Endpunkte im Koordinatenursprung liegt. Dann befindet sich der Schwerpunkt für in guter Näherung etwas unterhalb von
Bei (Halbkreis) liegt der Schwerpunkt exakt bei . Die prozentuale Abweichung steigt in etwa proportional mit h und beträgt bei ungefähr 4,7 %. Daraus folgt der Ausdruck , der den Schwerpunkt im Bereich von mit einer Genauigkeit von besser als 5 Promille angibt. Die exakte Lage des Linienschwerpunktes im gesamten Bereich von findet man mittels Einsetzen von in die Formel für den auf den Kreismittelpunkt bezogenen Schwerpunkt (siehe Oberabschnitt Kreisbogen):
Interessanterweise zeigt ein Maximum etwas größer als bei . War zu Beginn eine Verschiebung oder Drehung notwendig, so muss der Schwerpunkt wieder entsprechend zurückverschoben werden.
Ebene Flächen Bearbeiten
Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine so genannte Schwerelinie einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerelinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls in diesem Schwerpunkt.
Bei Vielecken (insbesondere Dreiecken und Vierecken) unterscheidet man, je nach der Beschaffenheit der ebenen Fläche, zwischen drei verschiedenen Schwerpunkten:
wobei allerdings die beiden letztgenannten Schwerpunkte kaum eine praktische Anwendung haben und deshalb mehr oder weniger von nur akademischem Interesse sind.
Eine homogene Fläche von beliebiger, aber konstanter Dicke hat (genau gesagt) einen Flächenschwerpunkt; meist begnügt man sich jedoch mit der Bezeichnung Schwerpunkt.
Bei einem Vieleck, das nur aus seinen Umrandungen besteht (z. B. aus einzelnen dünnen Stangen oder in Form eines entsprechend gebogenen Drahtes), ist dessen Schwerpunkt ein Kantenschwerpunkt
Bei einem (fiktiven) Modell, bei dem die Masse des Körpers (des Vielecks) lediglich in den Ecken konzentriert ist (z. B. in Form von gleichschweren Kugeln), spricht man von einem Eckenschwerpunkt.
Die Lage dieser drei Schwerpunkte ist bei Vielecken mit gleicher äußerer Form, aber der o. g. unterschiedlichen Beschaffenheit, in der Regel voneinander verschieden; ihre Ermittlung richtet sich nach dem Einzelfall.
Dreieck Bearbeiten
Sind die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks bekannt, so ergeben sich die Koordinaten des Eckenschwerpunkts als arithmetisches Mittel:
Man rechnet nach, dass identisch ist mit dem gemeinsamen Punkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.
Da bei einem Dreieck der Eckenschwerpunkt mit dem Flächenschwerpunkt zusammenfällt (s. unten), spricht man einfach vom Schwerpunkt des Dreiecks.
Das Bild zeigt, wie man zeichnerisch den Schwerpunkt bestimmt.
Die normierten baryzentrischen Koordinaten von sind .
Ausgedrückt durch trilineare Koordinaten lautet der Eckenschwerpunkt eines Dreiecks mit Seitenlängen , ,
Man kann den Schwerpunkt auch mit Hilfe der Länge einer Seite und der Höhe über der gleichen Seite, z. B. mit und , in kartesischen Koordinaten bestimmen. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt im Eckpunkt (siehe Abbildung). Auf diese Weise lassen sich die kartesischen Koordinaten des Schwerpunkts durch
berechnen.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist Mittelpunkt der Steiner-Ellipse (Steiner-Umellipse) und der Steiner-Inellipse.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist zudem derjenige eindeutig bestimmte Punkt im Inneren des Dreiecks, dessen drei Verbindungsstrecken zu den Eckpunkten des Dreiecks dieses in drei Teildreiecke gleichen Flächeninhalts aufteilen (siehe baryzentrische Koordinaten).
Es ist und ist Seitenhalbierende.
Überdeckt man ein gegebenes Dreieck mit Rechtecken wie im Bild (wie bei der Einführung des bestimmten Integrals), so erkennt man mit Hilfe eines Strahlensatzes, dass die Schwerpunkte (Mittelpunkte) der Rechtecke alle auf der Seitenhalbierende liegen. Damit liegt der Gesamtschwerpunkt aller Rechtecke auch auf dieser Seitenhalbierende. Verfeinert man nun die Rechtecküberdeckung, so bleibt die Eigenschaft auch bei unendlich feiner Überdeckung erhalten. Also gilt: der Flächenschwerpunkt des Dreiecks liegt auf der Seitenhalbierende . Mit analogen Überlegungen folgt schließlich:
Der Kantenschwerpunkt eines Dreiecks (oder auch: Der Schwerpunkt des Dreiecksumfangs) lässt sich auf einfache Weise geometrisch ermitteln – es ist dessen Spieker-Punkt.
Trapez Bearbeiten
Der Schwerpunkt des Trapezes lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet. Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet (gemessen vom linken unteren Eckpunkt):
Polygon Bearbeiten
Der Schwerpunkt eines nicht überschlagenen, geschlossenen, auch unregelmäßigen Polygons mit N Eckpunkten kann wie folgt aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden (der nullte Eckpunkt und der -te Eckpunkt sind hierbei identisch). Die Eckpunkte werden fortlaufend gegen den Uhrzeigersinn durchnummeriert. Der Schwerpunkt eines regelmäßigen Polygons entspricht dem Mittelpunkt seines Umkreises.
Der Flächeninhalt des Polygons kann mit der Gaußschen Dreiecksformel
bestimmt werden. Der Flächenschwerpunkt des Polygons wird dann mit den Formeln
bestimmt.
Unregelmäßiges Viereck Bearbeiten
Flächenschwerpunkt
Der Flächenschwerpunkt eines unregelmäßigen Vierecks (Bild 1) kann auch relativ einfach geometrisch bestimmt werden. Es gibt zwei Diagonalen in einem Viereck. Zuerst wird das Viereck mittels der ersten Diagonale in zwei gegenüberliegende Dreiecke und aufgeteilt und jeweils deren Flächenschwerpunkte und bestimmt. Geometrisch kann der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks durch den Schnittpunkt seiner Seitenhalbierenden bestimmt werden. Die Verbindung der Flächenschwerpunkte dieser beiden Dreiecke bildet die Strecke .
Dann wiederholt man die Prozedur mit den beiden Dreiecken und die durch die zweite Diagonale abgetrennt werden. Die Verbindung der Flächenschwerpunkte und dieser beiden neuen Dreiecke bildet die Strecke . Der Schnittpunkt der Strecke und der Strecke ist der Flächenschwerpunkt des Vierecks .
Die Darstellung in Bild 2, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden Dreiecken deren Schwerpunkte und zu ermitteln. Abschließend wird eine Halbgerade ab parallel zur Diagonale und eine Halbgerade ab parallel zur Diagonale gezogen. Somit ist der Schnittpunkt der beiden Halbgeraden der Flächenschwerpunkt des Vierecks.
Ein möglicher elementarer geometrischer Beweis für die Korrektheit der Konstruktion mit der inkludierten Behauptung „ ist parallel zu “ bzw. „ ist parallel zu “ ist der Ansatz mithilfe ähnlicher Dreiecke, siehe Beweisskizze (Bild 3). Es genügt, wenn nur der Beweis für die Behauptung „ ist parallel zu “ geführt wird.
- Die Dreiecke und sind ähnlich wegen
- Die Dreiecke und sind ähnlich wegen
- Aus beidem und der Transitivität der Parallelität folgt: ist parallel zu .
Was zu beweisen war.
Kreisausschnitt Bearbeiten
Ist der Ausschnitt des Kreises so gedreht und verschoben, dass die y-Achse des kartesischen Koordinatensystems eine Symmetrieachse des Kreisausschnitts ist und der Mittelpunkt (des Vollkreises) im Ursprung liegt (siehe Bild), dann lässt sich der Schwerpunkt im Bogenmaß durch
mit berechnen.
Musste der Kreis anfangs verschoben oder gedreht werden, dann muss zur Vervollständigung der Rechnung der berechnete Schwerpunkt entsprechend wieder zurückverschoben oder gedreht werden.
Kreisabschnitt Bearbeiten
Um den Flächenschwerpunkt eines Kreisabschnitts näherungsweise zu berechnen, muss dieser im kartesischen Koordinatensystem so verschoben werden, dass der Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Endpunkte im Koordinatenursprung liegt. Dann befindet sich der Schwerpunkt für in guter Näherung etwas oberhalb von
Bei (Halbkreis) liegt der Schwerpunkt exakt bei . Die prozentuale Abweichung steigt in etwa proportional mit h und beträgt bei ungefähr 5,8 %. Daraus folgt der Ausdruck , der den Schwerpunkt im Bereich von mit einer Genauigkeit von besser als 5 Promille angibt. Die exakte Lage des Flächenschwerpunktes im gesamten Bereich von findet man mittels Einsetzen von in die Formel für den auf den Kreismittelpunkt bezogenen Schwerpunkt :
War zu Beginn eine Verschiebung oder Drehung notwendig, so muss der Schwerpunkt wieder entsprechend zurückverschoben werden.
Körper Bearbeiten
Für dreidimensionale Körper kann man sowohl den Volumenschwerpunkt, also den Schwerpunkt des Vollkörpers, als auch den Flächenschwerpunkt, also den Schwerpunkt der Fläche, die den Körper begrenzt, berechnen.
Pyramide und Kegel Bearbeiten
Um den Volumenschwerpunkt und den Flächenschwerpunkt einer Pyramide oder eines Kegels zu berechnen, verschiebt man sie im schiefwinkligen Koordinatensystem, so dass der Schwerpunkt der Grundfläche im Koordinatenursprung liegt, und die y-Achse durch die Spitze geht. Dann kann der Volumenschwerpunkt einer Pyramide oder eines Kegels durch
und der Flächenschwerpunkt der Mantelfläche durch
berechnet werden.
Rotationsparaboloid Bearbeiten
Um den Volumenschwerpunkt und den Flächenschwerpunkt eines Rotationsparaboloids zu berechnen, wird es im kartesischen Koordinatensystem verschoben, so dass der Schwerpunkt der Grundfläche im Koordinatenursprung liegt. Dann kann man den Volumenschwerpunkt des Rotationsparaboloids durch
berechnen. Der Flächenschwerpunkt sieht ein wenig komplizierter aus. Für die Komponenten und gilt ebenfalls wieder
und die Komponente liegt bei
wobei der Ausdruck im Nenner des ersten Bruchs die Mantelfläche der nach rechts geöffneten Parabel mit der Brennweite f darstellt. Ab strebt gegen , anderenfalls gegen .
Kugelsegment Bearbeiten
Um den Volumenschwerpunkt und den Flächenschwerpunkt eines Kugelsegments zu berechnen, verschiebt man das Segment im kartesischen Koordinatensystem, so dass der Mittelpunkt der Vollkugel im Koordinatenursprung liegt. Der Volumenschwerpunkt wird dann durch
und der Flächenschwerpunkt durch
berechnet. ()
Zusammenfassen von Schwerpunkten Bearbeiten
Es ist möglich, mehrere Schwerpunkte einzelner Figuren zu einem gemeinsamen Schwerpunkt der Gesamtfigur zusammenzufassen, so dass sich der Schwerpunkt einer zusammengesetzten Figur aus den Schwerpunkten einzelner einfacher Elemente ergibt.
| eindimensional | zweidimensional | dreidimensional | allgemein |
|---|---|---|---|
|
|
Die Koordinaten , und sind in einem frei wählbaren, aber einheitlichen kartesischen Koordinatensystem anzugeben. Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden unter Berücksichtigung, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem Vorzeichen in die Berechnung eingehen. Die Komponenten des Schwerpunkts bilden den Vektor .
Definition des Schwerpunkts durch Integrale Bearbeiten
Die Formeln zur Berechnung des Schwerpunkts elementargeometrischer Figuren können mit den nachfolgend angegebenen Integralen hergeleitet werden. Bei komplizierteren Figuren lassen sich diese Integrale häufig nur numerisch bestimmen.
Die Definition entspricht mathematisch der Mittelung aller Punkte des geometrischen Objekts (Körpers) im euklidischen Raum . Bei Linien und Flächen im zweidimensionalen Raum sind nur die Koordinaten und zu berechnen, die -Koordinate entfällt. Der Integrationsbereich ist bei Linien eindimensional, bei Flächen zweidimensional und bei Körpern dreidimensional.
Linie Bearbeiten
Für eine Linie der Länge ergibt sich der Schwerpunkt durch
mit
Diese Integrale sind Wegintegrale erster Art.
Flächen Bearbeiten
Für eine Fläche mit Flächeninhalt ist der Schwerpunkt definiert durch
mit
Diese Integrale sind Oberflächenintegrale mit skalarem Flächenelement.
Körper Bearbeiten
Im Fall eines beschränkten Körpers im dreidimensionalen Raum mit Volumen ist der Schwerpunkt definiert durch
mit
Diese Integrale sind Volumenintegrale.
Allgemein Bearbeiten
Sei ein Körper mit dem Volumen . Der Schwerpunkt von ist definiert durch
wobei das m-dimensionale Volumenelement und die Dimension von , mit ist.
Integration bei symmetrischen Objekten Bearbeiten
Bei Objekten, die Symmetrieelemente, z. B. eine Symmetrieachse oder eine Symmetrieebene besitzen, vereinfacht sich die Berechnung des Schwerpunkts in vielen Fällen, da der Schwerpunkt immer im Symmetrieelement enthalten ist. Hat das Objekt eine Symmetrieachse, so kann das Volumenelement in Abhängigkeit vom infinitesimalen Achsenelement ausgedrückt werden. Es braucht also nur noch über die Symmetrieachse integriert zu werden.
Alternative Integralformel für Flächen in der Ebene Bearbeiten
Eine andere Möglichkeit, die Schwerpunktskoordinaten einer Fläche zu errechnen, ergibt sich durch die Formeln:
wobei die Grenzen und die Schnittpunkte der Funktionen und darstellen. Durch diese Formel lässt sich der Schwerpunkt einer beliebigen ebenen Fläche, die zwischen zwei Funktionen eingeschlossen ist, berechnen. Bedingungen hierfür sind ,
Beispiele zur Integralrechnung Bearbeiten
Linienschwerpunkt eines Kreisbogens Bearbeiten
Punkte auf einem ebenen Kreisbogen können am einfachsten in Polarkoordinaten angegeben werden. Wenn die y-Achse auf der Symmetrielinie mit Ursprung im Kreismittelpunkt liegt, lauten die Koordinaten:
Die Länge des Kreisbogens ergibt sich zu:
wobei das infinitesimale Längenelement durch substituiert werden kann.
Aus Symmetriegründen ist . Für die y-Koordinate des Linienschwerpunkts ergibt sich aus der Definitionsgleichung:
Die Integration in den Grenzen ergibt dann
Flächenschwerpunkt einer Parabel Bearbeiten
Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im zweidimensionalen Fall substituiert man mit , was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei der die Fläche begrenzenden Funktion .
Für die praktische Berechnung der y-Koordinate im zweidimensionalen Fall gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen:
- Entweder man bildet Umkehrfunktion und berechnet das Integral , wobei die „neuen“ Integrationsgrenzen nun auf der y-Achse zu finden sind,
- oder man nutzt aus, dass der Schwerpunkt eines jeden zur y-Achse parallelen infinitesimalen Flächenstreifen ist. Dann erhält man zur Bestimmung der y-Koordinate eine einfachere Formel, mit deren Hilfe das Bilden der Umkehrfunktion erspart bleibt:
Wir suchen den Flächenschwerpunkt jener Fläche, die durch eine Parabel und durch die x-Achse definiert ist (siehe nebenstehende Abbildung).
Zuerst bestimmen wir den Inhalt der Fläche
Die Grenzen des Integrals sind bei Begrenzung der Fläche durch die x-Achse die Nullstellen der Funktion.
Die -Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu
Die -Koordinate ergibt sich zu
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4: S bis Z. Aulis Verlag, Köln 1978, ISBN 3-7614-0242-2, S. 943–944.
- H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel/Stuttgart 1963 (MR0692941).
- Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
- Jens Levenhagen, Manfred Spata: Die Bestimmung von Flächenmittelpunkten. In: Vermessungswesen und Raumordnung Band 60, 1998, S. 31–42.
- Harald Scheid (Hrsg.): Duden: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2.
- Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-12759-5, S. 336–338 (Auszug in der Google-Buchsuche).
Weblinks Bearbeiten
- Schwerpunkt von Figuren auf mathematische-basteleien.de
- Center of Mass auf Paul’s Online Math Notes – Calculus II, Lamar University
- Herleitung von Formeln zum Schwerpunkt beim Dreieck
- Flash-Animation zur Schwerpunkt-Konstruktion beim Dreieck (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven.) (dwu-Unterrichtsmaterialien)
Einzelnachweise Bearbeiten
- Denkmal zur Trennung Tirols vor 100 Jahren orf.at, 10. Oktober 2020, abgerufen 10. Oktober 2020. – Markstein Mitte Tirols (…). „Wird um die Grenzen des Historischen Tirols ein Rechteck gelegt und in diesem zwei Diagonalen gezogen, so befindet sich der Mittelpunkt des historischen Tirols in Latzfons …“.
- Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 31 ff.
- Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4: S bis Z. 1978, S. 944
- Coxeter, op. cit., S. 242
- DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652
- Alfred Böge, Technische Mechanik. Vieweg + Teubner 2009, S. 84 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
- Alfred Böge: Technische Mechanik. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1355-8, S. 77.
- Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, S. 76
- Den Beweis von Riecke (und einen anderen Beweis) findet man im Beweisarchiv.
- (Memento vom 22. September 2009 im Internet Archive)
- Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0156-2, S. 32–38.
- Hans Walser: 2. Im Dreieck. (PDF) Schwerpunkt. Mathematikinformation, S. 4, abgerufen am 18. Oktober 2022.
- R. Lauenstein: 2) Das Viereck. (PDF) Die Graphische Statik. Universität Krakau, S. 28, abgerufen am 18. Oktober 2022.
- Frank Jablonski: (Memento vom 11. Dezember 2009 im Internet Archive), Universität Bremen, S. 114 (PDF; 688 kB)
- Alfred Böge et al.: Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik. Springer 2013, Seite C14, Gl. (39)
- S. 34
- S. 38
- Centroid. In: M. Hazewinkel: Encyclopedia of Mathematics. („center of a compact set“)
- Norbert Henze, Günter Last: Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftlich-technische Studiengänge – Band II. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 3-528-03191-3, S. 128 (Auszug in der Google-Buchsuche)
- David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday Physik für natur- und ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. 3. Auflage. Wiley-VCH-Verlag, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41368-3, S. 116 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Springer 2015, ISBN 978-3-642-54290-9, S. 338.