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Gravizentrum Das eines Körpers bezeichnet das Mittel aller Positionen gewichtet nach der angreifenden Gravitationskraft

Gravizentrum

Das Gravizentrum eines Körpers bezeichnet das Mittel aller Positionen, gewichtet nach der angreifenden Gravitationskraft im jeweiligen Punkt.

  • Für ein homogenes Gravitationsfeld (z. B. in der Nähe der Erdoberfläche) stimmt das Gravizentrum mit dem Massenmittelpunkt des Körpers überein. Daher werden beide Begriffe häufig undifferenziert als Schwerpunkt bezeichnet.
  • Im allgemeinen Fall inhomogener Gravitationsfelder (dritter Fall unten) sind Gravizentrum und Massenmittelpunkt verschieden. Welcher der beiden Punkte als „Schwerpunkt“ bezeichnet wird, hängt dann vom Autor ab.

Überblick Bearbeiten

Bei näherer Betrachtung weist der Begriff des Schwerpunkts als Zentrum der Schwerkraft eine komplexere Struktur auf, als man von der intuitiven Anschauung her – unter vereinfachenden Bedingungen wie konstante Schwerebeschleunigung und homogene Dichte – erwartet.

  • Bei homogener Dichte () und homogener Schwerkraft (Schwerebeschleunigung ) lässt sich der Gesamtschwerpunkt einer Ansammlung aus der gewichteten Summe der Schwerpunkte aller Subsysteme ermitteln:
  • Bei Körpern mit inhomogener Dichte () und bei konstantem Schwerefeld () wird der Gesamtschwerpunkt berechnet als das erste Moment der Verteilungsfunktion der Dichte einer Ansammlung im Raum, normiert auf das Gesamtgewicht:
  • Ist zusätzlich auch das Gravitationsfeld inhomogen (), so integriert man nicht über die Dichte (Massen), sondern über die Wichte :

Auswirkung der Abweichung von Massenmittelpunkt und Gravizentrum Bearbeiten

Eine Langhantel der Länge falle scheinbar „schwerelos“ in einem niedrigen Orbit um die Erde. Sie sei schräg zur Vertikalen orientiert, so dass die beiden Gewichte eine Höhendifferenz von einem Meter haben. Die Schwerebeschleunigung nimmt pro Meter Höhe um etwa ab. Bezogen auf den Massenmittelpunkt (Baryzentrum) liegt also das Gravizentrum um näher am tiefer liegenden Ende der Hantel. Im Gravizentrum greift die Schwerkraft an, während die Trägheitskraft (Zentrifugalkraft) im Baryzentrum angreift. Es entsteht ein kleines Drehmoment in Richtung vertikaler Ausrichtung, siehe Gravitationsstabilisierung von Satelliten.

Auf die gleiche Weise entsteht das Drehmoment bei der Gezeitenreibung.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. James H. Allen: Statik für Maschinenbauer für Dummies. John Wiley & Sons, 2012, ISBN 978-3-527-70761-4, S. 158 (Google Books).
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Das Gravizentrum eines Korpers bezeichnet das Mittel aller Positionen gewichtet nach der angreifenden Gravitationskraft im jeweiligen Punkt Fur ein homogenes Gravitationsfeld z B in der Nahe der Erdoberflache stimmt das Gravizentrum mit dem Massenmittelpunkt des Korpers uberein 1 Daher werden beide Begriffe haufig undifferenziert als Schwerpunkt bezeichnet Im allgemeinen Fall inhomogener Gravitationsfelder dritter Fall unten sind Gravizentrum und Massenmittelpunkt verschieden Welcher der beiden Punkte als Schwerpunkt bezeichnet wird hangt dann vom Autor ab Inhaltsverzeichnis 1 Uberblick 2 Auswirkung der Abweichung von Massenmittelpunkt und Gravizentrum 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseUberblick BearbeitenBei naherer Betrachtung weist der Begriff des Schwerpunkts als Zentrum der Schwerkraft eine komplexere Struktur auf als man von der intuitiven Anschauung her unter vereinfachenden Bedingungen wie konstante Schwerebeschleunigung und homogene Dichte erwartet Bei homogener Dichte r r k o n s t r displaystyle rho vec r mathrm konst rho nbsp und homogener Schwerkraft Schwerebeschleunigung g r k o n s t g displaystyle g vec r mathrm konst g nbsp lasst sich der Gesamtschwerpunkt einer Ansammlung aus der gewichteten Summe der Schwerpunkte aller Subsysteme ermitteln r s g r G r d V displaystyle vec r s frac g cdot rho G int vec r mathrm d V nbsp dd mit G g r d V r s r d V V displaystyle G g cdot rho int mathrm d V Rightarrow vec r s frac int vec r mathrm d V V nbsp die Subsysteme werden so gewahlt dass ihre Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind Dabei sind r displaystyle vec r nbsp Ortsvektor V displaystyle V nbsp Volumen G displaystyle G nbsp GesamtgewichtBei Korpern mit inhomogener Dichte r r k o n s t displaystyle rho vec r neq mathrm konst nbsp und bei konstantem Schwerefeld g r k o n s t g displaystyle g vec r mathrm konst g nbsp wird der Gesamtschwerpunkt berechnet als das erste Moment der Verteilungsfunktion der Dichte einer Ansammlung im Raum normiert auf das Gesamtgewicht r s g G r r r d V displaystyle vec r s frac g G int vec r cdot rho vec r mathrm d V nbsp dd mit G g r r d V r s r r r d V r r d V displaystyle G g int rho vec r mathrm d V Rightarrow vec r s frac int vec r cdot rho vec r mathrm d V int rho vec r mathrm d V nbsp In diesem Fall z B naherungsweise auf der Erdoberflache oder bei Objekten die so klein sind dass sich die Schwerkraft im Bereich ihres Volumens nicht merklich andert stimmt das Gravizentrum des Systems mit seinem Massenmittelpunkt uberein Ist zusatzlich auch das Gravitationsfeld inhomogen g r k o n s t displaystyle g vec r neq mathrm konst nbsp so integriert man nicht uber die Dichte Massen sondern uber die Wichte r r g r displaystyle rho vec r cdot g vec r nbsp r s 1 G r r r g r d V displaystyle vec r s frac 1 G int vec r cdot rho vec r cdot g vec r mathrm d V nbsp dd mit G r r g r d V displaystyle G int rho vec r cdot g vec r mathrm d V nbsp Die Verteilungsfunktion ist das Produkt einer externen und einer internen Komponente die externe wird von der ortsabhangigen Gravitationsbeschleunigung g r displaystyle g vec r nbsp gebildet die interne von der Ansammlung definierte ist die Dichte Diese Dichte gibt an wo wie viel von dem was dem betrachteten System zugeordnet wird lokalisiert ist ausserhalb ist sie Null So beschreibt die Dichtefunktion die Form der Objekte Auswirkung der Abweichung von Massenmittelpunkt und Gravizentrum BearbeitenEine Langhantel der Lange d displaystyle d nbsp falle scheinbar schwerelos in einem niedrigen Orbit um die Erde Sie sei schrag zur Vertikalen orientiert so dass die beiden Gewichte eine Hohendifferenz von einem Meter haben Die Schwerebeschleunigung g displaystyle g nbsp nimmt pro Meter Hohe um etwa 3 10 7 g displaystyle 3 cdot 10 7 g nbsp ab Bezogen auf den Massenmittelpunkt Baryzentrum liegt also das Gravizentrum um 1 5 10 7 d displaystyle 1 5 cdot 10 7 d nbsp naher am tiefer liegenden Ende der Hantel Im Gravizentrum greift die Schwerkraft an wahrend die Tragheitskraft Zentrifugalkraft im Baryzentrum angreift Es entsteht ein kleines Drehmoment in Richtung vertikaler Ausrichtung siehe Gravitationsstabilisierung von Satelliten Auf die gleiche Weise entsteht das Drehmoment bei der Gezeitenreibung Siehe auch BearbeitenGeometrischer Schwerpunkt Baryzentrum Schwerefeld MassenverteilungEinzelnachweise Bearbeiten James H Allen Statik fur Maschinenbauer fur Dummies John Wiley amp Sons 2012 ISBN 978 3 527 70761 4 S 158 Google Books Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gravizentrum amp oldid 228733994