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Steiner Ellipse In der Geometrie ist die eines Dreiecks zur Unterscheidung von der Steiner Inellipse auch Steiner Umelli

Steiner-Ellipse

In der Geometrie ist die Steiner-Ellipse eines Dreiecks (zur Unterscheidung von der Steiner-Inellipse auch Steiner-Umellipse genannt) die eindeutig bestimmte Ellipse, die durch die Ecken des Dreiecks geht und deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks ist. Die nach Jakob Steiner benannte Ellipse ist ein Beispiel für einen umbeschriebenen Kegelschnitt. Zum Vergleich: Auch der Umkreis eines Dreiecks ist ein solcher Kegelschnitt, der durch die Ecken verläuft; aber der Umkreismittelpunkt fällt nicht mit dem Schwerpunkt zusammen – außer wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Die Steiner-Ellipse eines Dreiecks. Im Zentrum der Schwerpunkt des Dreiecks, der mit dem Mittelpunkt der Steiner-Ellipse übereinstimmt.

Der Flächeninhalt der Steiner-Ellipse ist gleich dem -fachen Flächeninhalt des Dreiecks und folglich viermal so groß wie der Inhalt der Steiner-Inellipse. Die Steiner-Ellipse hat den kleinsten Flächeninhalt unter allen dem Dreieck umbeschriebenen Ellipsen.

Eigenschaft einer Steiner-Ellipse Bearbeiten

Steiner-Ellipse eines gleichseitigen (links) und gleichschenkligen Dreiecks
  • Eine Steiner-Ellipse ist die einzige Ellipse, die den Schwerpunkt eines Dreiecks als Mittelpunkt besitzt und durch die Ecken des Dreiecks verläuft. Der Flächeninhalt der Steiner-Ellipse ist gleich dem -fachen Flächeninhalt des Dreiecks.

A) Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Ellipse offensichtlich der Umkreis. Er ist die einzige Ellipse, die die Forderungen erfüllt. Denn da der Mittelpunkt der Ellipse ist, müssen auch die drei an gespiegelten Ecken auf der Ellipse liegen. Dies ist für den Umkreis der Fall. Da ein Kegelschnitt durch 5 Punkte eindeutig bestimmt ist, ist der Kreis die einzige Ellipse mit der geforderten Eigenschaft.

B) Da ein beliebiges Dreieck als affines Bild eines gleichseitigen Dreiecks angesehen werden kann, ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse und der Schwerpunkt eines Dreiecks in den Schwerpunkt des Bilddreiecks übergeht, gilt die Eigenschaft (genau eine Umellipse mit Mittelpunkt im Schwerpunkt) für alle Dreiecke.

Die Fläche des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich dem -fachen Flächeninhalt des Dreiecks. Bei einer affinen Abbildung bleiben Flächenverhältnisse unverändert. Also gilt diese Aussage über das Flächenverhältnis auch bei einem beliebigen Dreieck und seiner Steiner-Ellipse.

Konstruktion von konjugierten Halbmessern Bearbeiten

Um eine Ellipse zeichnen zu können, benötigt man wenigstens zwei konjugierte Halbmesser. Dann lassen sich

Die Scheitel und Halbachsen und daher auch die Exzentrizität lassen sich auch rechnerisch bestimmen.

Bild 1: Konstruktionsschritte einer zeichnerischen Bestimmung der Steiner-Ellipse
1) Scherung des Dreiecks zu einem gleichschenkligen
2) Bestimmung des Punktes (Schritte 1–5)
3) Zeichnen der Ellipse mit Hilfe der konjugierten Halbmesser

Zeichnerische Bestimmung der Steiner-Ellipse Bearbeiten

Es sei ein Dreieck (Bild 1) und dessen Schwerpunkt. Legt man durch eine Parallele zur Seite und führt das Dreieck durch eine Scherung an in ein gleichschenkliges Dreieck über (s. Bild), so ist ein Scheitel der Steiner-Ellipse des Dreiecks . Ein weiterer Scheitel dieser Ellipse liegt auf , da zu (aus Symmetriegründen) senkrecht ist. Dieser Scheitel lässt sich aus den Daten (Ellipse mit Mittelpunkt durch und , ) berechnen. Es ergibt sich:

Oder: Man bestimmt zeichnerisch mit Hilfe der Ellipsen-Konstruktion von de la Hire (s. mittleres Bild) den Scheitel der Umellipse des gleichschenkligen Dreiecks .
Macht man die Scherung rückgängig, geht wieder in über und bleibt als Punkt der Scherachse fest. Damit ist ein zu konjugierter Halbmesser. I. A. stehen beide nicht senkrecht aufeinander.
Mit Hilfe dieser konjugierten Halbmesser lässt sich, wie oben beschrieben, die gesuchte Steiner-Ellipse zeichnen.

Alternative Konstruktion des zweiten Halbmessers Bearbeiten

Bild 2: Steiner-Ellipse, alternative Konstruktion des Halbmessers mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks

Gegeben sei das Dreieck (Bild 2) und dessen Schwerpunkt

Zuerst erfolgt die Berechnung des Halbmessers Als Ansatz dient die allgemeine Formel für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite

Die Hälfte dieses gleichseitigen Dreiecks ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der (gleichen) Höhe:

Setzt man und   ein, ergibt dies das rechtwinklige Dreieck mit der Höhe

umgeformt gilt

Es geht weiter mit der Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks

Sie beginnt mit dem Einzeichnen einer Senkrechten (Orthogonalen) zu ab dem Schwerpunkt und dem Übertragen der Strecke auf die Senkrechte; es ergibt die Strecke Nun folgt die Konstruktion der Winkelweite am Winkelscheitel indem man die Strecke in halbiert, einen Kreisbogen mit Radius um den Punkt und einen weiteren Kreisbogen mit derselben Zirkelöffnung um den Punkt zieht; dabei ergibt sich der Schnittpunkt Durch das Einzeichnen einer Halbgeraden, ab durch , wird am Winkelscheitel der Winkel generiert. Die abschließende Parallele zur Strecke ab dem Schwerpunkt erzeugt den Schnittpunkt auf der Halbgeraden und liefert somit den zu konjugierten Halbmesser

Die fünf Ellipsen-Punkte und ermöglichen das exakte Einzeichnen der Ellipsenlinie, z. B. mit Hilfe einer Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).

Parameterdarstellung und Gleichung Bearbeiten

Steiner-Ellipse eines Dreiecks mit Achsen und Scheiteln (magenta)

Gegeben: Dreieck
Gesucht: Parameterdarstellung und Gleichung der zugehörigen Steiner-Ellipse.

Der Schwerpunkt des Dreiecks ist

Parameterdarstellung:

  • Aus den Überlegungen des vorigen Abschnitts ergibt sich die folgende Parameterdarstellung der Steiner-Ellipse:
  • Die 4 Scheitel der Ellipse sind
wobei sich aus
ergibt (s. Ellipse).

Die Rollen der Punkte bei der Aufstellung der Parameterdarstellung können beliebig vertauscht werden.

Beispiel (s. Bild):

Steiner-Ellipse als Beispiel zu „Gleichung“

Gleichung:

Falls der Nullpunkt der Schwerpunkt ist, ist die Gleichung der Ellipse mit der Parameterdarstellung

mit

Beispiel: Für das Dreieck liegt der Schwerpunkt im Nullpunkt und es ist

Die Gleichung der Steiner-Ellipse ist:

Berechnung der Halbachsen Bearbeiten

Hat man die Scheitel der Steiner-Ellipse schon bestimmt (s. vorigen Abschnitt), lassen sich daraus die Halbachsen berechnen. Ist man überhaupt nur an den Halbachsen interessiert, so führt die folgende Methode schneller zum Ziel:

Sind die Halbachsen der Steiner-Ellipse, so folgt aus den Sätzen des Apollonios über Eigenschaften konjugierter Halbmesser von Ellipsen:

Bezeichnet man die jeweils rechte Seite mit bzw. , formt das nichtlineare Gleichungssystem (unter Berücksichtigung von ) um zu

und löst nach und auf, so erhält man für die Halbachsen:

Außerdem gilt:

Für die lineare Exzentrizität der Steiner-Ellipse ergibt sich:

Der Flächeninhalt ist:

Trilineare und baryzentrische Gleichung Bearbeiten

Die Gleichung der Steiner-Umellipse in trilinearen Koordinaten ist

wobei die Seitenlängen des Dreiecks bezeichnen.

Eine besonders einfache Gleichung erhält man, wenn man baryzentrische Koordinaten verwendet:

Alternative Berechnung der Halbachsen und Brennpunkte Bearbeiten

Die Längen der großen und kleinen Halbachse für ein Dreieck mit Seitenlängen sind

mit der Abkürzung

Die lineare Exzentrizität ist

Die Brennpunkte der Steiner-Ellipse sind die sogenannten Bickart-Punkte des Dreiecks.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Eric W. Weisstein: Steiner Circumellipse. In: MathWorld (englisch).
  2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 65.

Literatur Bearbeiten

  • Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: The Universe of conics. From the ancient Greeks to 21st century developments. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-45449-7, S. 383.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie ist die Steiner Ellipse eines Dreiecks zur Unterscheidung von der Steiner Inellipse auch Steiner Umellipse genannt die eindeutig bestimmte Ellipse die durch die Ecken des Dreiecks geht und deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks ist 1 Die nach Jakob Steiner benannte Ellipse ist ein Beispiel fur einen umbeschriebenen Kegelschnitt Zum Vergleich Auch der Umkreis eines Dreiecks ist ein solcher Kegelschnitt der durch die Ecken verlauft aber der Umkreismittelpunkt fallt nicht mit dem Schwerpunkt zusammen ausser wenn das Dreieck gleichseitig ist Die Steiner Ellipse eines Dreiecks Im Zentrum der Schwerpunkt des Dreiecks der mit dem Mittelpunkt der Steiner Ellipse ubereinstimmt Der Flacheninhalt der Steiner Ellipse ist gleich dem 4 p 3 3 displaystyle tfrac 4 pi 3 sqrt 3 fachen Flacheninhalt des Dreiecks und folglich viermal so gross wie der Inhalt der Steiner Inellipse Die Steiner Ellipse hat den kleinsten Flacheninhalt unter allen dem Dreieck umbeschriebenen Ellipsen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaft einer Steiner Ellipse 2 Konstruktion von konjugierten Halbmessern 2 1 Zeichnerische Bestimmung der Steiner Ellipse 2 2 Alternative Konstruktion des zweiten Halbmessers 3 Parameterdarstellung und Gleichung 4 Berechnung der Halbachsen 5 Trilineare und baryzentrische Gleichung 6 Alternative Berechnung der Halbachsen und Brennpunkte 7 Einzelnachweise 8 LiteraturEigenschaft einer Steiner Ellipse Bearbeiten nbsp Steiner Ellipse eines gleichseitigen links und gleichschenkligen DreiecksEine Steiner Ellipse ist die einzige Ellipse die den Schwerpunkt S displaystyle S nbsp eines Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp als Mittelpunkt besitzt und durch die Ecken des Dreiecks verlauft Der Flacheninhalt der Steiner Ellipse ist gleich dem 4 p 3 3 displaystyle tfrac 4 pi 3 sqrt 3 nbsp fachen Flacheninhalt des Dreiecks BeweisA Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Ellipse offensichtlich der Umkreis Er ist die einzige Ellipse die die Forderungen erfullt Denn da S displaystyle S nbsp der Mittelpunkt der Ellipse ist mussen auch die drei an S displaystyle S nbsp gespiegelten Ecken auf der Ellipse liegen Dies ist fur den Umkreis der Fall Da ein Kegelschnitt durch 5 Punkte eindeutig bestimmt ist ist der Kreis die einzige Ellipse mit der geforderten Eigenschaft B Da ein beliebiges Dreieck als affines Bild eines gleichseitigen Dreiecks angesehen werden kann ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse und der Schwerpunkt eines Dreiecks in den Schwerpunkt des Bilddreiecks ubergeht gilt die Eigenschaft genau eine Umellipse mit Mittelpunkt im Schwerpunkt fur alle Dreiecke Die Flache des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich dem 4 p 3 3 displaystyle tfrac 4 pi 3 sqrt 3 nbsp fachen Flacheninhalt des Dreiecks Bei einer affinen Abbildung bleiben Flachenverhaltnisse unverandert Also gilt diese Aussage uber das Flachenverhaltnis auch bei einem beliebigen Dreieck und seiner Steiner Ellipse Konstruktion von konjugierten Halbmessern BearbeitenUm eine Ellipse zeichnen zu konnen benotigt man wenigstens zwei konjugierte Halbmesser Dann lassen sich entweder mit Hilfe einer Rytz Konstruktion die Scheitel bestimmen und mit einem Ellipsenzirkel die Ellipse zeichnen oder mit einem Computerprogramm die Ellipse als parametrisierte Kurve zeichnen Die Scheitel und Halbachsen und daher auch die Exzentrizitat lassen sich auch rechnerisch bestimmen nbsp Bild 1 Konstruktionsschritte einer zeichnerischen Bestimmung der Steiner Ellipse1 Scherung des Dreiecks zu einem gleichschenkligen2 Bestimmung des Punktes D displaystyle D nbsp Schritte 1 5 3 Zeichnen der Ellipse mit Hilfe der konjugierten Halbmesser S C S D displaystyle SC SD nbsp Zeichnerische Bestimmung der Steiner Ellipse Bearbeiten Es sei A B C displaystyle ABC nbsp ein Dreieck Bild 1 und S displaystyle S nbsp dessen Schwerpunkt Legt man durch S displaystyle S nbsp eine Parallele d displaystyle d nbsp zur Seite A B displaystyle AB nbsp und fuhrt das Dreieck durch eine Scherung an d displaystyle d nbsp in ein gleichschenkliges Dreieck A B C displaystyle A B C nbsp uber s Bild so ist C displaystyle C nbsp ein Scheitel der Steiner Ellipse des Dreiecks A B C displaystyle A B C nbsp Ein weiterer Scheitel D displaystyle D nbsp dieser Ellipse liegt auf d displaystyle d nbsp da d displaystyle d nbsp zu S C displaystyle SC nbsp aus Symmetriegrunden senkrecht ist Dieser Scheitel lasst sich aus den Daten Ellipse mit Mittelpunkt S displaystyle S nbsp durch C displaystyle C nbsp und B displaystyle B nbsp A B c displaystyle A B c nbsp berechnen Es ergibt sich S D c 3 displaystyle SD frac c sqrt 3 nbsp Oder Man bestimmt zeichnerisch mit Hilfe der Ellipsen Konstruktion von de la Hire s mittleres Bild den Scheitel D displaystyle D nbsp der Umellipse des gleichschenkligen Dreiecks A B C displaystyle A B C nbsp Macht man die Scherung ruckgangig geht C displaystyle C nbsp wieder in C displaystyle C nbsp uber und D displaystyle D nbsp bleibt als Punkt der Scherachse fest Damit ist S D displaystyle SD nbsp ein zu S C displaystyle SC nbsp konjugierter Halbmesser I A stehen beide nicht senkrecht aufeinander Mit Hilfe dieser konjugierten Halbmesser lasst sich wie oben beschrieben die gesuchte Steiner Ellipse zeichnen Alternative Konstruktion des zweiten Halbmessers Bearbeiten nbsp Bild 2 Steiner Ellipse alternative Konstruktion des Halbmessers S D displaystyle overline SD nbsp mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks S E D displaystyle SED nbsp Gegeben sei das Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp Bild 2 und dessen Schwerpunkt S displaystyle S nbsp Zuerst erfolgt die Berechnung des Halbmessers S D displaystyle overline SD nbsp Als Ansatz dient die allgemeine Formel fur die Hohe h displaystyle h nbsp des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a displaystyle a nbsp h 3 2 a displaystyle h frac sqrt 3 2 cdot a nbsp Die Halfte dieses gleichseitigen Dreiecks ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der gleichen Hohe h 3 2 2 a 2 3 a 2 displaystyle h frac sqrt 3 2 cdot 2 cdot frac a 2 sqrt 3 cdot frac a 2 nbsp Setzt man A B c S E displaystyle overline AB c overline SE nbsp E D a displaystyle overline ED a nbsp a 2 S D displaystyle frac a 2 overline SD nbsp und h c displaystyle h c nbsp ein ergibt dies das rechtwinklige Dreieck S E D displaystyle SED nbsp mit der Hohe c 3 S D displaystyle c sqrt 3 cdot overline SD nbsp umgeformt gilt S D c 3 displaystyle overline SD frac c sqrt 3 nbsp Es geht weiter mit der Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks S E D displaystyle SED nbsp Sie beginnt mit dem Einzeichnen einer Senkrechten Orthogonalen zu A B displaystyle overline AB nbsp ab dem Schwerpunkt S displaystyle S nbsp und dem Ubertragen der Strecke A B c displaystyle overline AB c nbsp auf die Senkrechte es ergibt die Strecke S E displaystyle overline SE nbsp Nun folgt die Konstruktion der Winkelweite 30 displaystyle 30 circ nbsp am Winkelscheitel E displaystyle E nbsp indem man die Strecke S E displaystyle overline SE nbsp in F displaystyle F nbsp halbiert einen Kreisbogen mit Radius F S displaystyle overline FS nbsp um den Punkt F displaystyle F nbsp und einen weiteren Kreisbogen mit derselben Zirkeloffnung um den Punkt S displaystyle S nbsp zieht dabei ergibt sich der Schnittpunkt G displaystyle G nbsp Durch das Einzeichnen einer Halbgeraden ab E displaystyle E nbsp durch G displaystyle G nbsp wird am Winkelscheitel E displaystyle E nbsp der Winkel 30 displaystyle 30 circ nbsp generiert Die abschliessende Parallele zur Strecke A B displaystyle overline AB nbsp ab dem Schwerpunkt S displaystyle S nbsp erzeugt den Schnittpunkt D displaystyle D nbsp auf der Halbgeraden und liefert somit den zu S C displaystyle overline SC nbsp konjugierten Halbmesser S D displaystyle overline SD nbsp Die funf Ellipsen Punkte D C D A displaystyle D C D A nbsp und B displaystyle B nbsp ermoglichen das exakte Einzeichnen der Ellipsenlinie z B mit Hilfe einer Dynamischen Geometrie Software DGS Parameterdarstellung und Gleichung Bearbeiten nbsp Steiner Ellipse eines Dreiecks mit Achsen und Scheiteln magenta Gegeben Dreieck A a 1 a 2 B b 1 b 2 C c 1 c 2 displaystyle A a 1 a 2 B b 1 b 2 C c 1 c 2 nbsp Gesucht Parameterdarstellung und Gleichung der zugehorigen Steiner Ellipse Der Schwerpunkt des Dreiecks ist S a 1 b 1 c 1 3 a 2 b 2 c 2 3 displaystyle S tfrac a 1 b 1 c 1 3 tfrac a 2 b 2 c 2 3 nbsp Parameterdarstellung Aus den Uberlegungen des vorigen Abschnitts ergibt sich die folgende Parameterdarstellung der Steiner Ellipse x p t O S S C cos t 1 3 A B sin t 0 t lt 2 p displaystyle vec x vec p t overrightarrow OS overrightarrow SC cos t frac 1 sqrt 3 overrightarrow AB sin t quad 0 leq t lt 2 pi nbsp dd Die 4 Scheitel der Ellipse sindp t 0 p t 0 p 2 p t 0 p displaystyle vec p t 0 vec p t 0 pm frac pi 2 vec p t 0 pi nbsp dd wobei sich t 0 displaystyle t 0 nbsp auscot 2 t 0 f 1 2 f 2 2 2 f 1 f 2 displaystyle cot 2t 0 tfrac vec f 1 2 vec f 2 2 2 vec f 1 cdot vec f 2 quad nbsp mit f 1 S C f 2 1 3 A B displaystyle quad vec f 1 vec SC quad vec f 2 frac 1 sqrt 3 vec AB nbsp dd ergibt s Ellipse Die Rollen der Punkte bei der Aufstellung der Parameterdarstellung konnen beliebig vertauscht werden Beispiel s Bild A 5 5 B 0 25 C 20 0 displaystyle A 5 5 B 0 25 C 20 0 nbsp nbsp Steiner Ellipse als Beispiel zu Gleichung Gleichung Falls der Nullpunkt der Schwerpunkt ist ist die Gleichung der Ellipse mit der Parameterdarstellung x f 1 cos t f 2 sin t displaystyle vec x vec f 1 cos t vec f 2 sin t nbsp 2 x f 2 y y f 2 x 2 y f 1 x x f 1 y 2 f 1 x f 2 y f 1 y f 2 x 2 0 displaystyle xf 2y yf 2x 2 yf 1x xf 1y 2 f 1x f 2y f 1y f 2x 2 0 nbsp mit f i f i x f i y T displaystyle vec f i f ix f iy T nbsp Beispiel Fur das Dreieck A 3 2 3 3 2 B 3 2 3 2 C 3 3 displaystyle quad A tfrac 3 2 sqrt 3 tfrac 3 2 B tfrac sqrt 3 2 tfrac 3 2 C sqrt 3 3 quad nbsp liegt der Schwerpunkt im Nullpunkt und es ist f 1 3 3 T f 2 2 0 T displaystyle vec f 1 sqrt 3 3 T vec f 2 2 0 T nbsp Die Gleichung der Steiner Ellipse ist 9 x 2 7 y 2 6 3 x y 36 0 displaystyle 9x 2 7y 2 6 sqrt 3 xy 36 0 nbsp Berechnung der Halbachsen BearbeitenHat man die Scheitel der Steiner Ellipse schon bestimmt s vorigen Abschnitt lassen sich daraus die Halbachsen berechnen Ist man uberhaupt nur an den Halbachsen interessiert so fuhrt die folgende Methode schneller zum Ziel Sind a b a gt b displaystyle a b a gt b nbsp die Halbachsen der Steiner Ellipse so folgt aus den Satzen des Apollonios uber Eigenschaften konjugierter Halbmesser von Ellipsen a 2 b 2 S C 2 S D 2 a b det S C S D displaystyle a 2 b 2 vec SC 2 vec SD 2 quad a cdot b left det vec SC vec SD right nbsp Bezeichnet man die jeweils rechte Seite mit M displaystyle M nbsp bzw N displaystyle N nbsp formt das nichtlineare Gleichungssystem unter Berucksichtigung von a gt b gt 0 displaystyle a gt b gt 0 nbsp um zu a 2 b 2 M a b N a 2 2 a b b 2 M 2 N a 2 2 a b b 2 M 2 N displaystyle a 2 b 2 M ab N quad rightarrow quad a 2 2ab b 2 M 2N a 2 2ab b 2 M 2N nbsp a b 2 M 2 N a b 2 M 2 N a b M 2 N a b M 2 N displaystyle rightarrow quad a b 2 M 2N a b 2 M 2N quad rightarrow quad a b sqrt M 2N a b sqrt M 2N nbsp und lost nach a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp auf so erhalt man fur die Halbachsen a 1 2 M 2 N M 2 N displaystyle a frac 1 2 sqrt M 2N sqrt M 2N nbsp b 1 2 M 2 N M 2 N displaystyle b frac 1 2 sqrt M 2N sqrt M 2N nbsp Ausserdem gilt M S C 2 1 3 A B 2 displaystyle M vec SC 2 frac 1 3 vec AB 2 nbsp N 1 3 det S C A B displaystyle N frac 1 sqrt 3 left det vec SC vec AB right nbsp Fur die lineare Exzentrizitat der Steiner Ellipse ergibt sich e a 2 b 2 M 2 4 N 2 displaystyle e sqrt a 2 b 2 dotsb sqrt sqrt M 2 4N 2 nbsp Der Flacheninhalt ist F p a b p N p 3 det S C A B displaystyle F pi ab pi N frac pi sqrt 3 left det vec SC vec AB right nbsp Trilineare und baryzentrische Gleichung BearbeitenDie Gleichung der Steiner Umellipse in trilinearen Koordinaten ist 1 v w y z w u z x u v x y 0 displaystyle vwyz wuzx uvxy 0 nbsp wobei u v w displaystyle u v w nbsp die Seitenlangen des Dreiecks bezeichnen Eine besonders einfache Gleichung erhalt man wenn man baryzentrische Koordinaten verwendet y z z x x y 0 displaystyle yz zx xy 0 nbsp Alternative Berechnung der Halbachsen und Brennpunkte BearbeitenDie Langen der grossen und kleinen Halbachse fur ein Dreieck mit Seitenlangen u v w displaystyle u v w nbsp sind 1 1 3 u 2 v 2 w 2 2 Z displaystyle frac 1 3 sqrt u 2 v 2 w 2 pm 2Z nbsp mit der Abkurzung Z u 4 v 4 w 4 u 2 v 2 v 2 w 2 w 2 u 2 displaystyle Z sqrt u 4 v 4 w 4 u 2 v 2 v 2 w 2 w 2 u 2 nbsp Die lineare Exzentrizitat ist 2 3 Z displaystyle frac 2 3 sqrt Z nbsp Die Brennpunkte der Steiner Ellipse sind die sogenannten Bickart Punkte des Dreiecks Einzelnachweise Bearbeiten a b c d Eric W Weisstein Steiner Circumellipse In MathWorld englisch CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 65 Literatur BearbeitenGeorg Glaeser Hellmuth Stachel Boris Odehnal The Universe of conics From the ancient Greeks to 21st century developments Springer 2016 ISBN 978 3 662 45449 7 S 383 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Steiner Ellipse amp oldid 233412840