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Satz von Apollonios Dieser Artikel behandelt den Satz des Apollonios in der Geometrie der Ellipsen Zu weiteren Sätzen de

Satz von Apollonios

Der Satz von Apollonios (oder auch Satz des Apollonios) ist ein klassischer Lehrsatz der Analytischen Geometrie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den antiken griechischen Mathematiker Apollonios von Perge zurück und behandelt metrische Eigenschaften der konjugierten Durch- und Halbmesser der Ellipsen in der euklidischen Ebene.

Zu einem Satz von Apollonios über konjugierte Durch/Halbmesser einer Ellipse

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz besteht aus zwei Teilsätzen, die auch erster und zweiter Satz von Apollonios genannt werden und die folgendermaßen anzugeben sind:

Alternative Formulierungen Bearbeiten

Im Bronstein wird der Satz des Apollonios auf andere Weise angegeben. Hier wird nämlich anstelle der Identitätsgleichung des obigen zweiten Satzes des Apollonios die folgende formuliert:

In einer dritten Version tritt der zweite Satz des Apollonios in Band IV der Enzyklopädie der Elementarmathematik in Erscheinung. Diese lässt sich etwa wie folgt darstellen:

Beweis der Aussagen Bearbeiten

Der Beweis der Aussagen ergibt sich aus der Beschreibung konjugierter Punkte einer Ellipse (s. konjugierte Durchmesser): Ist die Ellipse durch die Parameterdarstellung

gegeben d. h. als affines Bild des Einheitskreises , so gehören die Punkte als Bilder von orthogonalen Halbmessern des Einheitskreises zu konjugierten Punkten der Ellipse. Mit Hilfe der Additionstheoreme folgt:

  • Der Vektor (Halbmesser) ist zum Vektor konjugiert.

Es ist

Der Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Dreiecks ist:

Bemerkung: Ein Beweis, der ebenfalls die Determinante benutzt, aber ohne Winkelfunktionen auskommt, findet sich im Beweisarchiv, a.a.0 unter (6.1) und (6.2).

Das der Ellipse umschriebene Parallelogramm aus konjugierten Durchmessern setzt sich aus 8 flächengleichen Dreiecken zusammen. Hieraus folgt die Letzte der Aussagen.

Hintergrund der Flächenberechnung Bearbeiten

Sowohl der erste als auch der zweite Satz von Apollonios lassen sich im Wesentlichen schon mit Mitteln der Schulmathematik herleiten.

Dabei ist für den Hintergrund des zweiten apollonischen Satzes bedeutsam, dass man hier – wie dies etwa die Ellipsenachsenkonstruktion nach Rytz von Brugg nahelegt – die Ellipse auch als kompaktes Flächenstück der reellen Koordinatenebene auffassen kann, die als senkrecht achsenaffines Bild der um den Ursprung gegebenen abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radius entsteht.

Die dabei herangezogene lineare Transformation  

ist ein Homöomorphismus der Koordinatenebene auf sich selbst.

Folglich erhält man unter Anwendung des Transformationssatzes für den Flächeninhalt eines jeden kompakten Flächenstücks

und damit insbesondere

sowie

Genauso beweist man, dass der Flächeninhalt der gesamten Ellipse

beträgt.

Literatur Bearbeiten

  • P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin: Enzyklopädie der Elementarmathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 10). Band IV. Geometrie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969.
  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9.
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  • Hans Honsberg: Analytische Geometrie. Mit Anhang „Einführung in die Vektorrechnung“ (= Mathematik für Gymnasien). 3. Auflage. Bayerischer Schulbuch-Verlag, München 1971, ISBN 3-7627-0677-8.
  • Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970, S. 510–511 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  2. Innerhalb ist also die Hauptachse die längste und die Nebenachse die kürzeste Strecke. Dabei ist wie üblich die Länge der großen und die Länge der kleinen Halbachse.
  3. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 205
  4. ↑ P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV 1969, S. 598
  5. Ein der Ellipse umbeschriebenes Parallelogramm zeichnet sich dadurch aus, dass jede seiner vier Seiten auf einer Tangente von liegt, also in nur in einem einzigen Punkt berührt.
  6. Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Konjugierte Durchmesser – Lern- und Lehrmaterialien
  7. Hans Honsberg: Analytische Geometrie. 1971, S. 88–90, 95–96
  8. Lässt man die Randkurve jeweils weg, so bleibt der Flächeninhalt selbstverständlich unverändert.
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Dieser Artikel behandelt den Satz des Apollonios in der Geometrie der Ellipsen Zu weiteren Satzen des Apollonios siehe Satz des Apollonios Der Satz von Apollonios oder auch Satz des Apollonios ist ein klassischer Lehrsatz der Analytischen Geometrie einem der Teilgebiete der Mathematik Er geht auf den antiken griechischen Mathematiker Apollonios von Perge zuruck und behandelt metrische Eigenschaften der konjugierten Durch und Halbmesser der Ellipsen in der euklidischen Ebene Zu einem Satz von Apollonios uber konjugierte Durch Halbmesser einer Ellipse Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Alternative Formulierungen 3 Beweis der Aussagen 3 1 Hintergrund der Flachenberechnung 4 Literatur 5 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz besteht aus zwei Teilsatzen die auch erster und zweiter Satz von Apollonios genannt werden und die folgendermassen anzugeben sind 1 Gegeben sei eine Ellipse E displaystyle E nbsp der euklidischen Ebene mit Haupt und Nebenachsen der Langen 2 a 2 b gt 0 displaystyle 2a 2b gt 0 nbsp 2 Dann gilt Erster Satz von Apollonios Fur jedes Paar von konjugierten Durch und Halbmessern der Ellipse E displaystyle E nbsp ist die Quadratsumme der jeweiligen Langen stets gleich Dabei gilt fur ein Paar von konjugierten Halbmessern der Langen c 1 c 2 gt 0 displaystyle c 1 c 2 gt 0 nbsp stets c 1 2 c 2 2 a 2 b 2 displaystyle c 1 2 c 2 2 a 2 b 2 nbsp Zweiter Satz von Apollonios Fur jedes Paar von konjugierten Halbmessern besitzt das von diesen innerhalb der Ellipse aufgespannte Dreieck D displaystyle Delta nbsp stets denselben Flacheninhalt F D displaystyle F Delta nbsp namlich F D a b 2 displaystyle F Delta tfrac a cdot b 2 nbsp Alternative Formulierungen BearbeitenIm Bronstein wird der Satz des Apollonios auf andere Weise angegeben Hier wird namlich anstelle der Identitatsgleichung des obigen zweiten Satzes des Apollonios die folgende formuliert 3 Sind in der Ellipse E displaystyle E nbsp fur ein Paar von konjugierten Halbmessern a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp die spitzen Winkel dieser beiden mit der Hauptachse so gilt stets c 1 c 2 sin a b a b displaystyle c 1 cdot c 2 cdot sin alpha beta a cdot b nbsp In einer dritten Version tritt der zweite Satz des Apollonios in Band IV der Enzyklopadie der Elementarmathematik in Erscheinung Diese lasst sich etwa wie folgt darstellen 4 Wird der Ellipse E displaystyle E nbsp zu einem Paar von konjugierten Durchmesser das zugehorige Parallelogramm P displaystyle Pi nbsp umbeschrieben 5 dessen Seiten paarweise parallel zu einem der beiden konjugierten Durchmesser sind so hat P displaystyle Pi nbsp stets denselben Flacheninhalt F P displaystyle F Pi nbsp namlich F P 4 a b displaystyle F Pi 4 cdot a cdot b nbsp Beweis der Aussagen BearbeitenDer Beweis der Aussagen ergibt sich aus der Beschreibung konjugierter Punkte einer Ellipse s konjugierte Durchmesser Ist die Ellipse durch die Parameterdarstellung x t a cos t y t b sin t displaystyle x t a cos t quad y t b sin t nbsp gegeben d h als affines Bild des Einheitskreises cos t sin t 0 t lt 2 p displaystyle big cos t sin t big 0 leq t lt 2 pi nbsp so gehoren die Punkte x t y t x t p 2 y t p 2 displaystyle big x t y t big big x t pm tfrac pi 2 y t pm tfrac pi 2 big nbsp als Bilder von orthogonalen Halbmessern des Einheitskreises zu konjugierten Punkten der Ellipse Mit Hilfe der Additionstheoreme folgt Der Vektor Halbmesser c 2 a sin t b cos t T displaystyle vec c 2 a sin t b cos t T nbsp ist zum Vektor c 1 a cos t b sin t T displaystyle vec c 1 a cos t b sin t T nbsp konjugiert Es ist c 1 2 c 2 2 a 2 cos 2 t b 2 sin 2 t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a 2 b 2 displaystyle vec c 1 2 vec c 2 2 a 2 cos 2 t b 2 sin 2 t a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t a 2 b 2 nbsp Der Flacheninhalt des von den Vektoren c 1 c 2 displaystyle vec c 1 vec c 2 nbsp aufgespannten Dreiecks ist F D 1 2 det c 1 c 2 1 2 a b 1 2 c 1 c 2 sin a b displaystyle F Delta tfrac 1 2 det vec c 1 vec c 2 cdots tfrac 1 2 ab tfrac 1 2 c 1 c 2 sin alpha beta nbsp s Bild und Dreiecksflache Also gilt c 1 c 2 sin a b a b displaystyle c 1 c 2 sin alpha beta ab nbsp Bemerkung Ein Beweis der ebenfalls die Determinante benutzt aber ohne Winkelfunktionen auskommt findet sich im Beweisarchiv 6 a a 0 unter 6 1 und 6 2 Das der Ellipse umschriebene Parallelogramm aus konjugierten Durchmessern setzt sich aus 8 flachengleichen Dreiecken zusammen Hieraus folgt die Letzte der Aussagen Hintergrund der Flachenberechnung Bearbeiten Sowohl der erste als auch der zweite Satz von Apollonios lassen sich im Wesentlichen schon mit Mitteln der Schulmathematik herleiten 7 4 Dabei ist fur den Hintergrund des zweiten apollonischen Satzes bedeutsam dass man hier wie dies etwa die Ellipsenachsenkonstruktion nach Rytz von Brugg nahelegt die Ellipse E displaystyle E nbsp auch als kompaktes Flachenstuck der reellen Koordinatenebene R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp auffassen kann die als senkrecht achsenaffines Bild der um den Ursprung gegebenen abgeschlossenen Kreisscheibe B a 2 0 0 displaystyle overline B a 2 begin pmatrix 0 0 end pmatrix nbsp vom Radius a displaystyle a nbsp entsteht Die dabei herangezogene lineare Transformation T R 2 R 2 displaystyle T colon mathbb R 2 to mathbb R 2 nbsp x y x b a y 1 0 0 b a x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix mapsto begin pmatrix x frac b a y end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 0 amp frac b a end pmatrix begin pmatrix x y end pmatrix nbsp ist ein Homoomorphismus der Koordinatenebene auf sich selbst Folglich erhalt man unter Anwendung des Transformationssatzes fur den Flacheninhalt eines jeden kompakten Flachenstucks A R 2 displaystyle A subseteq mathbb R 2 nbsp F T A det 1 0 0 b a F A b a F A displaystyle F T A det begin pmatrix 1 amp 0 0 amp frac b a end pmatrix cdot F A frac b a cdot F A nbsp und damit insbesondere F D b a a 2 2 a b 2 displaystyle F Delta frac b a cdot bigl frac a 2 2 bigr frac a cdot b 2 nbsp sowie F P b a 4 a 2 4 a b displaystyle F Pi frac b a cdot bigl 4 cdot a 2 bigr 4 cdot a cdot b nbsp Genauso beweist man dass der Flacheninhalt der gesamten Ellipse F E b a p a 2 p a b displaystyle F E frac b a cdot bigl pi cdot a 2 bigr pi cdot a cdot b nbsp betragt 8 Literatur BearbeitenP S Alexandroff A I Markuschewitsch A J Chintschin Enzyklopadie der Elementarmathematik Hochschulbucher fur Mathematik Band 10 Band IV Geometrie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1969 I N Bronstein K A Semendjajev G Musiol H Muhlig Hrsg Taschenbuch der Mathematik 7 vollstandig uberarbeitete und erganzte Auflage Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main 2008 ISBN 978 3 8171 2007 9 Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig 1970 ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Hans Honsberg Analytische Geometrie Mit Anhang Einfuhrung in die Vektorrechnung Mathematik fur Gymnasien 3 Auflage Bayerischer Schulbuch Verlag Munchen 1971 ISBN 3 7627 0677 8 Des Apollonius von Perga sieben Bucher uber KegelschnitteEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig 1970 S 510 511 ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Innerhalb E displaystyle E nbsp ist also die Hauptachse die langste und die Nebenachse die kurzeste Strecke Dabei ist wie ublich a displaystyle a nbsp die Lange der grossen und b displaystyle b nbsp die Lange der kleinen Halbachse I N Bronstein K A Semendjajev et al Taschenbuch der Mathematik 2008 S 205 a b P S Alexandroff et al Enzyklopadie der Elementarmathematik Band IV 1969 S 598 Ein der Ellipse E displaystyle E nbsp umbeschriebenes Parallelogramm zeichnet sich dadurch aus dass jede seiner vier Seiten auf einer Tangente von E displaystyle E nbsp liegt also E displaystyle E nbsp in nur in einem einzigen Punkt beruhrt nbsp Wikibooks Beweisarchiv Geometrie Konjugierte Durchmesser Lern und Lehrmaterialien Hans Honsberg Analytische Geometrie 1971 S 88 90 95 96 Lasst man die Randkurve jeweils weg so bleibt der Flacheninhalt selbstverstandlich unverandert Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Apollonios amp oldid 213996153