Konjugierte Durchmesser sind in der Geometrie zwei Durchmesser einer Ellipse, die in einer besonderen Beziehung zueinander stehen. Dabei bedeutet Durchmesser eine Sehne durch den Mittelpunkt. Ist die Ellipse ein Kreis, so sind zwei Durchmesser genau dann konjugiert, wenn sie orthogonal sind.
oben: KD1, mitte: KD2, unten KD3
Definition Bearbeiten
In der Literatur findet man die folgenden äquivalenten Definitionen:
- KD1: Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers einer Ellipse sind parallel. Ist der zu diesen Tangenten parallele Durchmesser, so gilt auch die Umkehrung: Die Tangenten in den Endpunkten von sind zu parallel.
- KD2: Die Mittelpunkte der zu einem Durchmesser parallelen Sehnen einer Ellipse liegen auf einem Durchmesser . Und umgekehrt: Die Mittelpunkte der zu parallelen Sehnen liegen auf .
- KD3: Fasst man eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auf, so heißen die Bilder orthogonaler Kreisdurchmesser konjugiert.
Der Beweis der Eigenschaften in KD1 und KD2 ergibt sich aus der Tatsache, dass eine beliebige Ellipse ein affines Bild des Einheitskreises ist (siehe Ellipse (Darstellende Geometrie)). Denn die beiden Eigenschaften sind bei einem Kreis offensichtlich richtig, und eine affine Abbildung bildet Mittelpunkte auf Mittelpunkte ab und erhält die Parallelität.
Die Hauptachsen einer Ellipse sind immer konjugiert.
Zwei konjugierte Halbmesser einer Ellipse sind zwei auf verschiedenen zueinander konjugierten Durchmessern liegende halbe Durchmesser.
Zwei konjugierte Punkte einer Ellipse sind zwei auf verschiedenen zueinander konjugierten Durchmessern liegende Ellipsenpunkte.
Zwei Richtungen (Vektoren) heißen konjugiert, wenn es ein dazu paralleles Paar von konjugierten Durchmessern der Ellipse gibt.
Konjugierte Durchmesser spielen in der Darstellenden Geometrie bei der Rytzschen Achsenkonstruktion eine wichtige Rolle (siehe Ellipse in der Darstellenden Geometrie). Dabei werden aus der Kenntnis zweier konjugierter Halbmesser die Hauptachsen einer Ellipse rekonstruiert.
Bemerkung:
- Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer Hyperbel liegen auch auf einer Gerade durch den Mittelpunkt. Diese Gerade muss aber keine Sehne sein, nämlich dann, wenn die parallelen Sehnen beide Äste der Hyperbel schneiden. Deshalb spricht man hier nur von konjugierten Richtungen. Wenn bei einer Hyperbel von konjugierten Durchmessern die Rede ist, ist mit Durchmesser ein Durchmesser der gegebenen Hyperbel oder der zu ihr konjugierten Hyperbel gemeint. (Die zur Hyperbel konjugierte Hyperbel hat die Gleichung .)
- Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer Parabel liegen auch auf einer Gerade. Diese Gerade ist immer parallel zur Parabelachse (s. Bild). Da eine Parabel keinen Mittelpunkt besitzt, spricht man hier i.a. nicht von konjugierten Durchmessern. Manchmal wird eine Parallele zur Parabelachse als Durchmesser bezeichnet.
Berechnung konjugierter Punkte einer Ellipse Bearbeiten
Die Tangente an die Ellipse im Punkt hat die Gleichung (siehe Ellipse). Ein zu konjugierter Punkt muss auf der zur Tangente parallelen Gerade durch den Nullpunkt (Mittelpunkt) liegen. Also gilt
- Zwei Punkte der Ellipse sind genau dann konjugiert, wenn die Gleichung
Falls , d. h. die Ellipse ein Kreis ist, gehören zwei konjugierte Punkte zwei orthogonalen Halbmessern an und die letzte Gleichung hat die vertraute Form (Skalarprodukt =0).
Ist die Ellipse durch die Parameterdarstellung
gegeben d. h. als affines Bild des Einheitskreises , so gehören die Punkte als Bilder von orthogonalen Halbmessern des Einheitskreises zu konjugierten Punkten der Ellipse. Mit Hilfe der Additionstheoreme folgt:
- Die zwei Punkte sind zum Punkt konjugiert.
Zusammenhang mit Orthogonalitätsrelationen Bearbeiten
Der vorige Abschnitt hat gezeigt, dass die Ellipse direkt mit der symmetrischen Bilinearform
zusammenhängt. Diese Bilinearform definiert
- auf eine Orthogonalitätsrelation:
- auf eine Metrik:
- auf der Ferngerade eine elliptische Polarität. (Elliptisch bedeutet hier: die Polarität hat keine Fixpunkte. Dies ist gleichbedeutend zu kein Vektor ist zu sich selbst orthogonal)
Zwei konjugierte Richtungen sind also orthogonal im hier definierten Sinne und die gegebene Ellipse ist der „Einheitskreis“ bezüglich der hier definierten Metrik.
Bemerkung 1: Die Hyperbel führt mit analogen Überlegungen auf die symmetrische Bilinearform
- .
Bemerkung 2: Versucht man analoge Überlegungen für eine Parabel, so führt dies auf eine „unbrauchbare“ Orthogonalitätsrelation. In diesem Fall wären nämlich alle Richtungen zur Richtung der Parabelachse orthogonal.
Siehe auch Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 106.
- C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 61.
- Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 183.