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Dreiecksfläche Die exakte Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ist eines der ältesten Probleme der Geometrie Ber

Dreiecksfläche

Die exakte Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ist eines der ältesten Probleme der Geometrie. Bereits im antiken Ägypten stellte es sich, wenn nach dem Rückgang der Nilüberschwemmung das fruchtbare Ackerland neu zu verteilen war. Auch in der Landvermessung mittels Triangulierung und in modernen Bereichen der Mathematik wird das Prinzip der Dreiecksnetze benutzt.

allgemeines Dreieck

Flächenformeln Bearbeiten

Die Formel halbe Grundseite mal Höhe Bearbeiten

Die Grundlage aller Flächenformeln von ebenen Figuren ist die Definition des Flächeninhalts eines Rechtecks:

Fläche des Dreiecks:

Die Abbildung zeigt, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite , das ist eine der 3 Dreiecksseiten, und dem Abstand des der Grundseite gegenüberliegenden Dreieckspunktes gleich dem halben Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten ist:

  • .

Alle weiteren Flächenformeln können auf diese Formel zurückgeführt werden.

Weitere Flächenformeln Bearbeiten

mit Seiten und Winkel:

Mit Winkel Bearbeiten

Falls 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind:

  • .

Speziell:
rechtwinkliges Dreieck: , falls und
gleichseitiges Dreieck:

Mit dem Satz von Heron Bearbeiten

Herons Formel:

Dabei ist : (halber Umfang).

mit In- und Umkreisradius

Mit Umkreis- bzw. Inkreisradius Bearbeiten

Mit dem Umkreisradius und dem Inkreisradius . Der Umkreis geht durch die Ecken, der Inkreis berührt die Seiten. Der Umkreismittelpunkt liegt auf allen Mittelsenkrechten, der Inkreismittelpunkt liegt auf allen Winkelhalbierenden und hat zu allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand.
Wendet man den Kreiswinkelsatz auf den Winkel im Umkreis und dessen Zentriwinkel an, so folgt und mit der obigen Flächenformel

Die Dreiecksfläche lässt sich auch als Flächensumme der 3 durch den Inkreismittelpunkt bestimmten Teildreiecken darstellen. Die Höhen der Teildreiecke sind alle gleich dem Inkreisradius . Damit ist:

Mit Koordinaten in der Ebene Bearbeiten

mit Koordinaten

Die Ecken werden mit kartesischen Koordinaten beschrieben:
Die Fläche lässt sich dann als der Betrag einer 2x2-Determinante oder auch einer 3x3-Determinante berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks

Zum Beweis ziehe man (im Bild) von der Fläche des großen Rechtecks die halben Flächen der kleinen Rechtecke (lila Dreiecke) ab:

und vergleiche beide ausmultiplizierten Ausdrücke. Dabei genügt es, die Ausdrücke für den Fall zu vergleichen, da eine Verschiebung des Koordinatensystems an den Flächeninhalten nichts ändert.

Sind die Punkte im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeiger) angeordnet, können die Betragsstriche weggelassen werden. Der Wert der Determinante ist dann immer positiv.

Mit Koordinaten im Raum Bearbeiten

Für das Dreieck im Raum

erhält man den Flächeninhalt mit Hilfe des Vektorproduktes:

ist der Winkel zwischen den Vektoren .
Mit Hilfe des Skalarproduktes ergibt sich

Die letzte Gleichung folgt aus

Flächenberechnung sphärischer Dreiecke Bearbeiten

Streng genommen ist kein Dreieck auf der Erdoberfläche eben, da die Erde bekanntlich annähernd Kugelgestalt hat (siehe Erdkrümmung). Bei sehr großen Dreiecken (etwa Kapstadt – Rio de Janeiro – Tokio) muss man daher auf Methoden der sphärischen Geometrie (bzw. sphärische Trigonometrie) oder der Differentialrechnung zurückgreifen:

Nach dem Satz von Legendre hat ein kleines sphärisches Dreieck nahezu den gleichen Flächeninhalt wie ein ebenes Dreieck mit drei gleich langen Seiten. Diese sog. Verebnung wird umso genauer, je kleiner die Dreiecke werden. Daraus folgt eine iterative Methode der Flächenberechnung eines sphärischen Dreiecks: Man halbiere wiederholt die geodätischen Linien, die die Begrenzung des Dreiecks bilden, und berechne die sich aus den kleineren Dreiecken ergebenden Flächensummen. Der Grenzwert dieses Vorgangs existiert und ist die Fläche des sphärischen Dreiecks.

Zwei direkte Wege führen freilich rascher ans Ziel: entweder über geeignete Formeln aus der sphärischen Trigonometrie oder über den sphärischen Exzess (den Überschuss der Winkelsumme über 180°). Für ein sphärisches Dreieck mit Innenwinkeln , das auf einer Kugel mit Radius liegt, gilt dabei die folgende Formel:

Der Exzess ist direkt proportional zur Dreiecksfläche, was auch auf dem Erdellipsoid für die Praxis der Geodäsie genau genug ist. Der Ersatz von Kugeldreiecken durch ihre ebenen Äquivalente wird allerdings schon ab etwa 10 km zu ungenau.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Martin Nitschke: Geometrie. Hanser Verlag, ISBN 3-446-22676-1.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die exakte Berechnung des Flacheninhalts eines Dreiecks ist eines der altesten Probleme der Geometrie Bereits im antiken Agypten stellte es sich wenn nach dem Ruckgang der Niluberschwemmung das fruchtbare Ackerland neu zu verteilen war Auch in der Landvermessung mittels Triangulierung und in modernen Bereichen der Mathematik wird das Prinzip der Dreiecksnetze benutzt allgemeines Dreieck Inhaltsverzeichnis 1 Flachenformeln 1 1 Die Formel halbe Grundseite mal Hohe 1 2 Weitere Flachenformeln 1 2 1 Mit Winkel 1 2 2 Mit dem Satz von Heron 1 2 3 Mit Umkreis bzw Inkreisradius 1 2 4 Mit Koordinaten in der Ebene 1 2 5 Mit Koordinaten im Raum 2 Flachenberechnung spharischer Dreiecke 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksFlachenformeln BearbeitenDie Formel halbe Grundseite mal Hohe Bearbeiten Die Grundlage aller Flachenformeln von ebenen Figuren ist die Definition des Flacheninhalts eines Rechtecks Der Flacheninhalt F displaystyle F nbsp eines Rechtecks mit den Seitenlangen a b displaystyle a b nbsp ist F a b displaystyle F a cdot b nbsp nbsp Flache des Dreiecks F 1 2 g h displaystyle F tfrac 1 2 g cdot h nbsp Die Abbildung zeigt dass der Flacheninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite g displaystyle g nbsp das ist eine der 3 Dreiecksseiten und dem Abstand h displaystyle h nbsp des der Grundseite gegenuberliegenden Dreieckspunktes gleich dem halben Flacheninhalt eines Rechtecks mit den Seiten g h displaystyle g h nbsp ist F 1 2 g h displaystyle F frac 1 2 g cdot h nbsp Alle weiteren Flachenformeln konnen auf diese Formel zuruckgefuhrt werden Weitere Flachenformeln Bearbeiten nbsp mit Seiten und Winkel h c b sin a a sin b displaystyle h c b sin alpha a sin beta nbsp Mit Winkel Bearbeiten Falls 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind F 1 2 b c sin a 1 2 c a sin b 1 2 a b sin g displaystyle F frac 1 2 bc sin alpha frac 1 2 ca sin beta frac 1 2 ab sin gamma nbsp Speziell rechtwinkliges Dreieck F 1 2 a b displaystyle F frac 1 2 ab nbsp falls g 90 displaystyle gamma 90 circ nbsp undgleichseitiges Dreieck F a 2 3 4 displaystyle F a 2 frac sqrt 3 4 nbsp Mit dem Satz von Heron Bearbeiten Herons Formel F s s a s b s c displaystyle F sqrt s s a s b s c nbsp Dabei ist s a b c 2 displaystyle s frac a b c 2 nbsp halber Umfang nbsp mit In und UmkreisradiusMit Umkreis bzw Inkreisradius Bearbeiten Mit dem Umkreisradius R displaystyle R nbsp und dem Inkreisradius r displaystyle r nbsp Der Umkreis geht durch die Ecken der Inkreis beruhrt die Seiten Der Umkreismittelpunkt U displaystyle U nbsp liegt auf allen Mittelsenkrechten der Inkreismittelpunkt I displaystyle I nbsp liegt auf allen Winkelhalbierenden und hat zu allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand Wendet man den Kreiswinkelsatz auf den Winkel g displaystyle gamma nbsp im Umkreis und dessen Zentriwinkel an so folgt sin g c 2 R displaystyle sin gamma tfrac c 2 R nbsp und mit der obigen Flachenformel F a b c 4 R displaystyle F frac abc 4R nbsp Die Dreiecksflache lasst sich auch als Flachensumme der 3 durch den Inkreismittelpunkt I displaystyle I nbsp bestimmten Teildreiecken darstellen Die Hohen der Teildreiecke sind alle gleich dem Inkreisradius r displaystyle r nbsp Damit ist F a b c 2 r displaystyle F frac a b c 2 r nbsp Mit Koordinaten in der Ebene Bearbeiten nbsp mit KoordinatenDie Ecken werden mit kartesischen Koordinaten beschrieben Die Flache lasst sich dann als der Betrag einer 2x2 Determinante oder auch einer 3x3 Determinante berechnen Der Flacheninhalt des Dreiecks P 1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 P 3 x 3 y 3 displaystyle P 1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 P 3 x 3 y 3 nbsp istF 1 2 x 2 x 1 x 3 x 1 y 2 y 1 y 3 y 1 1 2 1 1 1 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 displaystyle F frac 1 2 begin vmatrix x 2 x 1 amp x 3 x 1 y 2 y 1 amp y 3 y 1 end vmatrix frac 1 2 begin vmatrix 1 amp 1 amp 1 x 1 amp x 2 amp x 3 y 1 amp y 2 amp y 3 end vmatrix nbsp 1 2 x 2 x 1 y 3 y 1 x 3 x 1 y 2 y 1 displaystyle quad frac 1 2 x 2 x 1 y 3 y 1 x 3 x 1 y 2 y 1 nbsp Zum Beweis ziehe man im Bild von der Flache des grossen Rechtecks die halben Flachen der kleinen Rechtecke lila Dreiecke ab F x 2 x 1 y 3 y 1 displaystyle F x 2 x 1 y 3 y 1 nbsp 1 2 x 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 3 y 3 y 2 x 3 x 1 y 3 y 1 displaystyle qquad frac 1 2 left x 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 3 y 3 y 2 x 3 x 1 y 3 y 1 right nbsp und vergleiche beide ausmultiplizierten Ausdrucke Dabei genugt es die Ausdrucke fur den Fall x 1 y 1 0 0 displaystyle x 1 y 1 0 0 nbsp zu vergleichen da eine Verschiebung des Koordinatensystems an den Flacheninhalten nichts andert Sind die Punkte im mathematisch positiven Sinn Gegenuhrzeiger angeordnet konnen die Betragsstriche weggelassen werden Der Wert der Determinante ist dann immer positiv Mit Koordinaten im Raum Bearbeiten Fur das Dreieck im Raum P 1 x 1 y 1 z 1 P 2 x 2 y 2 z 2 P 3 x 3 y 3 z 3 displaystyle P 1 x 1 y 1 z 1 P 2 x 2 y 2 z 2 P 3 x 3 y 3 z 3 nbsp erhalt man den Flacheninhalt mit Hilfe des Vektorproduktes F 1 2 P 1 P 2 P 1 P 3 1 2 P 1 P 2 P 1 P 3 sin f displaystyle F frac 1 2 overrightarrow P 1 P 2 times overrightarrow P 1 P 3 frac 1 2 overrightarrow P 1 P 2 overrightarrow P 1 P 3 sin varphi nbsp f displaystyle varphi nbsp ist der Winkel zwischen den Vektoren P 1 P 2 P 1 P 3 displaystyle overrightarrow P 1 P 2 overrightarrow P 1 P 3 nbsp Mit Hilfe des Skalarproduktes ergibt sich F 1 2 P 1 P 2 2 P 1 P 3 2 P 1 P 2 P 1 P 3 2 displaystyle F frac 1 2 sqrt overrightarrow P 1 P 2 2 overrightarrow P 1 P 3 2 overrightarrow P 1 P 2 cdot overrightarrow P 1 P 3 2 nbsp Die letzte Gleichung folgt aus a b 2 a b sin f 2 a 2 b 2 1 cos 2 f a 2 b 2 a b 2 displaystyle vec a times vec b 2 vec a vec b sin varphi 2 vec a 2 vec b 2 1 cos 2 varphi vec a 2 vec b 2 vec a cdot vec b 2 nbsp Flachenberechnung spharischer Dreiecke BearbeitenStreng genommen ist kein Dreieck auf der Erdoberflache eben da die Erde bekanntlich annahernd Kugelgestalt hat siehe Erdkrummung Bei sehr grossen Dreiecken etwa Kapstadt Rio de Janeiro Tokio muss man daher auf Methoden der spharischen Geometrie bzw spharische Trigonometrie oder der Differentialrechnung zuruckgreifen Nach dem Satz von Legendre hat ein kleines spharisches Dreieck nahezu den gleichen Flacheninhalt wie ein ebenes Dreieck mit drei gleich langen Seiten Diese sog Verebnung wird umso genauer je kleiner die Dreiecke werden Daraus folgt eine iterative Methode der Flachenberechnung eines spharischen Dreiecks Man halbiere wiederholt die geodatischen Linien die die Begrenzung des Dreiecks bilden und berechne die sich aus den kleineren Dreiecken ergebenden Flachensummen Der Grenzwert dieses Vorgangs existiert und ist die Flache des spharischen Dreiecks Zwei direkte Wege fuhren freilich rascher ans Ziel entweder uber geeignete Formeln aus der spharischen Trigonometrie oder uber den spharischen Exzess den Uberschuss der Winkelsumme uber 180 Fur ein spharisches Dreieck mit Innenwinkeln a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp das auf einer Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp liegt gilt dabei die folgende Formel F a b g p r 2 displaystyle F alpha beta gamma pi cdot r 2 nbsp Der Exzess ist direkt proportional zur Dreiecksflache was auch auf dem Erdellipsoid fur die Praxis der Geodasie genau genug ist Der Ersatz von Kugeldreiecken durch ihre ebenen Aquivalente wird allerdings schon ab etwa 10 km zu ungenau Siehe auch BearbeitenGausssche Trapezformel fur den Flacheninhalt eines einfachen PolygonsLiteratur BearbeitenMartin Nitschke Geometrie Hanser Verlag ISBN 3 446 22676 1 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Dreiecksflache In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreiecksflache amp oldid 235180145