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Gaußsche Trapezformel Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel nach Carl Friedrich Gauß ist es möglich die Fläche eines einf

Gaußsche Trapezformel

Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist es möglich, die Fläche eines einfachen Polygons zu berechnen. Dabei wird jeder Polygonkante ein Trapez (siehe Bild) zugeordnet, dessen Flächeninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann. Negative Flächenteile kompensieren außerhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze.

Jeder Polygonkante wird der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt eines Trapezes zugeordnet. Der Flächeninhalt des Polygons ergibt sich dann durch Aufsummieren dieser Trapezflächen

Eine Variation der Trapezformel ist die Dreiecksform, deren Analogon für stückweise glatte Kurven die Sektorformel von Leibniz ist.

Das Prinzip und die Formel Bearbeiten

Prinzip

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte des Polygons im ersten Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Punkte mit wachsendem im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn) durchlaufen werden. Aus praktischen Gründen wird angenommen, dass ist. Der Kante wird dann der Flächeninhalt

des Trapezes zugeordnet. Ist so ist negativ, im anderen Fall positiv oder falls ist. In der Zeichnung ist die Orientierung der Kanten durch Pfeile gekennzeichnet. An der Farbe der Pfeile ist das Vorzeichen der jeweiligen Trapezfläche zu erkennen: rot steht für , grün für . Im ersten Fall heißt das Trapez negatives Trapez, im zweiten Fall positives Trapez. Die negativen Trapeze löschen die außerhalb des Polygons liegenden Flächenteile positiver Trapeze. Am einfachsten ist dies an dem Beispiel eines konvexen Polygons (im Bild oben) zu erkennen: Der Flächeninhalt des Polygons ist gleich der Summe der Flächeninhalte aller positiven Trapeze (mit grünen Kanten) minus den Flächeninhalten aller negativen Trapeze (mit roten Kanten).

Für den Flächeninhalt, des von dem Polygon eingeschlossenen Gebiets ergibt sich also

Dreiecksform: Die Farben der Polygonkanten deuten an, welche Dreiecksfläche positiv (grün) bzw. negativ (rot) ist

Multipliziert man die Klammern aus und beachtet , erhält man die Determinantenform der Flächenformel:

Da die Hälfte der Determinante die vorzeichenbehaftete Fläche des Dreiecks ist, wird diese Formel auch als Dreiecksform bezeichnet.

Setzt man (zusätzlich zu (siehe oben)), so gilt und

Führt man beide Summen wieder zusammen und klammert aus, so erhält man eine weitere Darstellung der Flächenformel:

Verwendet man erhält man

Geht man von einem Polygon mit negativer Orientierung aus, ist auch der Flächeninhalt negativ.

Hinweis: In der Geodäsie ist die x-Achse vertikal und y-Achse horizontal und die Orientierung des Polygons entgegengesetzt. Vertauschen der Koordinaten und der Orientierung des Polygons bewirken bei der Anwendung der Formeln keine Änderung. Falls man eine dieser Änderungen nicht beachtet, erhält man mit den obigen Formeln in jedem Fall mit den gesuchten Flächeninhalt.
Die beiden letzten Formeln werden in Büchern über Vermessungskunde auch als Gaußsche Dreiecksformeln bezeichnet.

Speziell für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der Satz von Pick anwenden. Andere Flächen lassen sich in der Regel problemlos durch Polygone approximieren, so dass man leicht an einen Näherungswert kommen kann.

Beispiel und Schnürsenkel-Schema Bearbeiten

Beispiel

Für das 5-Eck mit den Punkten

ergibt sich

Schnürsenkel-Schema für das Beispiel

In der englischen Literatur gibt es ein Schema, das das Berechnen der 2x2-Determinanten optimiert: Das Schnürsenkel-Schema (engl. shoelace formula) (siehe Bild). Diese plastische Beschreibung zeigt die praktische Bedeutung der Gaußschen Trapezformel. Statt 10 Spalten genügen bei dieser Methode 6 Spalten.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662068095, 9783662068090, S. 116
  2. Josef Schlesinger: Der Tachygraph, Centralblatt für das gesamte Forstwesen: Organ der K.K. Forstlichen Versuchsanstalt in Mariabrunn, Band 2, Wien, 1876, S. 243
  3. Martin Näbauer: Vermessungskunde, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662418665, 9783662418666, S. 341
  4. Heribert Kahmen: Vermessungskunde, Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2020, ISBN 3110874067, 9783110874068, S. 259

Weblink Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Beat Brüderlin, Andreas Meier: Computergrafik und Geometrisches Modellieren, Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80111-1, S. 36
  • P. Grobstich, G. Strey: Mathematik für Bauingenieure, Springer-Verlag 2013, ISBN 3322800512, 9783322800510, S. 113 (Dreiecksregel)
  • Pietro Labranca: Probleme der Festigkeitslehre: Berechnung der Querschnittswerte und der Spannungen, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-663-13976-X, 9783663139768, S. 69
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch Verlag, Frankfurt, 1977, S. 318
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Veröffentlichungsdatum:
Mit Hilfe der gaussschen Trapezformel nach Carl Friedrich Gauss ist es moglich die Flache eines einfachen Polygons zu berechnen 1 Dabei wird jeder Polygonkante ein Trapez siehe Bild zugeordnet dessen Flacheninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann Negative Flachenteile kompensieren ausserhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze Jeder Polygonkante wird der vorzeichenbehaftete Flacheninhalt eines Trapezes zugeordnet Der Flacheninhalt des Polygons ergibt sich dann durch Aufsummieren dieser TrapezflachenEine Variation der Trapezformel ist die Dreiecksform deren Analogon fur stuckweise glatte Kurven die Sektorformel von Leibniz ist Inhaltsverzeichnis 1 Das Prinzip und die Formel 2 Beispiel und Schnursenkel Schema 3 Einzelnachweise 4 Weblink 5 LiteraturDas Prinzip und die Formel Bearbeiten nbsp PrinzipEs wird vorausgesetzt dass die Punkte P i x i y i i 1 n displaystyle P i x i y i i 1 n nbsp des Polygons im ersten Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Punkte mit wachsendem i displaystyle i nbsp im mathematisch positiven Sinn Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden Aus praktischen Grunden wird angenommen dass P n 1 P 1 displaystyle P n 1 P 1 nbsp ist Der Kante P i P i 1 displaystyle P i P i 1 nbsp wird dann der Flacheninhalt A i 1 2 y i y i 1 x i x i 1 displaystyle A i tfrac 1 2 y i y i 1 x i x i 1 nbsp des Trapezes x i y i x i 1 y i 1 x i 0 x i 1 0 displaystyle x i y i x i 1 y i 1 x i 0 x i 1 0 nbsp zugeordnet Ist x i lt x i 1 displaystyle x i lt x i 1 nbsp so ist A i displaystyle A i nbsp negativ im anderen Fall positiv oder A i 0 displaystyle A i 0 nbsp falls x i x i 1 displaystyle x i x i 1 nbsp ist In der Zeichnung ist die Orientierung der Kanten durch Pfeile gekennzeichnet An der Farbe der Pfeile ist das Vorzeichen der jeweiligen Trapezflache zu erkennen rot steht fur A i lt 0 displaystyle A i lt 0 nbsp grun fur A i gt 0 displaystyle A i gt 0 nbsp Im ersten Fall heisst das Trapez negatives Trapez im zweiten Fall positives Trapez Die negativen Trapeze loschen die ausserhalb des Polygons liegenden Flachenteile positiver Trapeze Am einfachsten ist dies an dem Beispiel eines konvexen Polygons im Bild oben zu erkennen Der Flacheninhalt des Polygons ist gleich der Summe der Flacheninhalte aller positiven Trapeze mit grunen Kanten minus den Flacheninhalten aller negativen Trapeze mit roten Kanten Fur den Flacheninhalt des von dem Polygon P 1 P n displaystyle P 1 P n nbsp eingeschlossenen Gebiets ergibt sich also A 1 2 i 1 n y i y i 1 x i x i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n y i y i 1 x i x i 1 nbsp 1 2 y 1 y 2 x 1 x 2 y n y 1 x n x 1 displaystyle quad frac 1 2 Big y 1 y 2 x 1 x 2 cdots y n y color red 1 x n x color red 1 Big nbsp nbsp Dreiecksform Die Farben der Polygonkanten deuten an welche Dreiecksflache positiv grun bzw negativ rot istMultipliziert man die Klammern aus und beachtet i 1 n x i y i i 1 n x i 1 y i 1 displaystyle sum i 1 n x i y i sum i 1 n x i 1 y i 1 nbsp erhalt man die Determinantenform der Flachenformel A 1 2 i 1 n x i y i 1 x i 1 y i 1 2 i 1 n x i x i 1 y i y i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n x i y i 1 x i 1 y i frac 1 2 sum i 1 n begin vmatrix x i amp x i 1 y i amp y i 1 end vmatrix nbsp 1 2 x 1 y 2 x 2 y 1 x n y 1 x 1 y n displaystyle qquad frac 1 2 Big x 1 y 2 x 2 y 1 cdots x n y color red 1 x color red 1 y n Big nbsp Da die Halfte der Determinante die vorzeichenbehaftete Flache des Dreiecks O P i P i 1 displaystyle OP i P i 1 nbsp ist wird diese Formel auch als Dreiecksform bezeichnet Setzt man P 0 P n displaystyle P 0 P n nbsp zusatzlich zu P n 1 P 1 displaystyle P n 1 P 1 nbsp siehe oben so gilt i 1 n x i y i 1 i 1 n x i 1 y i displaystyle sum i 1 n x i y i 1 sum i 1 n x i 1 y i nbsp und 2 A i 1 n x i y i 1 x i 1 y i i 1 n x i y i 1 i 1 n x i 1 y i i 1 n x i 1 y i i 1 n x i 1 y i displaystyle 2A sum i 1 n x i y i 1 x i 1 y i sum i 1 n x i y i 1 sum i 1 n x i 1 y i sum i 1 n color red x i 1 y i sum i 1 n x i 1 y i nbsp Fuhrt man beide Summen wieder zusammen und klammert y i displaystyle y i nbsp aus so erhalt man eine weitere Darstellung der Flachenformel 2 A 1 2 i 1 n y i x i 1 x i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n y i x i 1 x i 1 nbsp 1 2 y 1 x n x 2 y 2 x 1 x 3 y n x n 1 x 1 displaystyle quad frac 1 2 Big y 1 x color red n x 2 y 2 x 1 x 3 cdots y n x n 1 x color red 1 Big nbsp Verwendet man i 1 n x i 1 y i i 1 n x i y i 1 displaystyle sum i 1 n x i 1 y i sum i 1 n x i y i 1 nbsp erhalt man A 1 2 i 1 n x i y i 1 y i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n x i y i 1 y i 1 nbsp Geht man von einem Polygon mit negativer Orientierung aus ist auch der Flacheninhalt A displaystyle A nbsp negativ Hinweis In der Geodasie ist die x Achse vertikal und y Achse horizontal und die Orientierung des Polygons entgegengesetzt Vertauschen der Koordinaten und der Orientierung des Polygons bewirken bei der Anwendung der Formeln keine Anderung Falls man eine dieser Anderungen nicht beachtet erhalt man mit den obigen Formeln in jedem Fall mit A displaystyle A nbsp den gesuchten Flacheninhalt Die beiden letzten Formeln werden in Buchern uber Vermessungskunde auch als Gausssche Dreiecksformeln bezeichnet 3 4 Speziell fur polygonale Flachen mit Gitterpunkten als Ecken lasst sich der Satz von Pick anwenden Andere Flachen lassen sich in der Regel problemlos durch Polygone approximieren so dass man leicht an einen Naherungswert kommen kann Beispiel und Schnursenkel Schema Bearbeiten nbsp BeispielFur das 5 Eck mit den Punkten P 1 1 6 P 2 3 1 P 3 7 2 displaystyle P 1 1 6 P 2 3 1 P 3 7 2 nbsp P 4 4 4 P 5 8 5 displaystyle P 4 4 4 P 5 8 5 nbsp ergibt sich 2 A 1 3 6 1 3 7 1 2 7 4 2 4 4 8 4 5 8 1 5 6 displaystyle 2A begin vmatrix 1 amp 3 6 amp 1 end vmatrix begin vmatrix 3 amp 7 1 amp 2 end vmatrix begin vmatrix 7 amp 4 2 amp 4 end vmatrix begin vmatrix 4 amp 8 4 amp 5 end vmatrix begin vmatrix 8 amp 1 5 amp 6 end vmatrix nbsp 1 18 6 7 28 8 20 32 48 5 33 displaystyle quad 1 18 6 7 28 8 20 32 48 5 33 nbsp A 16 5 displaystyle A 16 5 nbsp nbsp Schnursenkel Schema fur das BeispielIn der englischen Literatur gibt es ein Schema das das Berechnen der 2x2 Determinanten optimiert Das Schnursenkel Schema engl shoelace formula siehe Bild Diese plastische Beschreibung zeigt die praktische Bedeutung der Gaussschen Trapezformel Statt 10 Spalten genugen bei dieser Methode 6 Spalten Einzelnachweise Bearbeiten Max Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie Springer Verlag 2013 ISBN 3662068095 9783662068090 S 116 Josef Schlesinger Der Tachygraph Centralblatt fur das gesamte Forstwesen Organ der K K Forstlichen Versuchsanstalt in Mariabrunn Band 2 Wien 1876 S 243 Martin Nabauer Vermessungskunde Springer Verlag 2013 ISBN 3662418665 9783662418666 S 341 Heribert Kahmen Vermessungskunde Walter de Gruyter GmbH amp Co KG 2020 ISBN 3110874067 9783110874068 S 259Weblink BearbeitenP Bender Uni Paderborn Eine einfache Formel fur den Flacheninhalt von PolygonenLiteratur BearbeitenBeat Bruderlin Andreas Meier Computergrafik und Geometrisches Modellieren Springer Verlag 2013 ISBN 978 3 322 80111 1 S 36 P Grobstich G Strey Mathematik fur Bauingenieure Springer Verlag 2013 ISBN 3322800512 9783322800510 S 113 Dreiecksregel Pietro Labranca Probleme der Festigkeitslehre Berechnung der Querschnittswerte und der Spannungen Springer Verlag 2013 ISBN 3 663 13976 X 9783663139768 S 69 Kleine Enzyklopadie Mathematik Harri Deutsch Verlag Frankfurt 1977 S 318 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gausssche Trapezformel amp oldid 235180248