Die Sektorformel von Leibniz benannt nach Gottfried Wilhelm Leibniz berechnet den orientierten Flacheninhalt den ein Fahrstrahl eines Kurvenabschnitts uberstreicht insbesondere kann man mit ihr Flacheninhalte von Gebieten die durch eine geschlossene Kurve beschrieben werden berechnen Kurve mit Fahrstrahlgeschlossene Kurve mit Fahrstrahl Inhaltsverzeichnis 1 Formel 2 Stuckweise glatte Kurven 3 Zusammenhang mit Dreiecken 4 Zusammenhang mit den Integralsatzen 5 Alternative Formel 6 Beispiel 7 Literatur 8 WeblinksFormel BearbeitenSei g a b R 2 displaystyle gamma a b rightarrow mathbb R 2 nbsp mit t x t y t displaystyle t mapsto x t y t nbsp eine glatte Kurve dann uberstreicht ihr mit dem Ursprung gebildeter Fahrstrahl den orientierten Flacheninhalt F displaystyle F nbsp der folgenden Grosse F g 1 2 a b x t y t y t x t d t displaystyle F gamma frac 1 2 int a b x t y prime t y t x prime t dt nbsp Stuckweise glatte Kurven BearbeitenIst g displaystyle gamma nbsp eine stuckweise glatte Kurve auf a b displaystyle a b nbsp und t 0 t n displaystyle t 0 ldots t n nbsp eine Partition von a b displaystyle a b nbsp so dass g displaystyle gamma nbsp auf den Teilintervallen t k 1 t k displaystyle t k 1 t k nbsp fur k 1 n displaystyle k 1 ldots n nbsp glatt ist so gilt F g F g 1 F g n displaystyle F gamma F gamma 1 ldots F gamma n nbsp Hierbei bezeichnet g k displaystyle gamma k nbsp die auf das Intervall t k 1 t k displaystyle t k 1 t k nbsp beschrankte Kurve Zusammenhang mit Dreiecken Bearbeiten nbsp Dreieck als stuckweise glatte KurveMan kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des Flacheninhaltes von Dreiecken auffassen Sind A x 1 y 1 displaystyle A x 1 y 1 nbsp B x 2 y 2 displaystyle B x 2 y 2 nbsp C x 3 y 3 displaystyle C x 3 y 3 nbsp die Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks dann wird dieses durch die folgende stuckweise glatte Kurve 0 3 R 2 displaystyle 0 3 rightarrow mathbb R 2 nbsp beschrieben g t g a t x 1 x 2 x 1 t y 1 y 2 y 1 t falls 0 t 1 g b t x 2 x 3 x 2 t 1 y 2 y 3 y 2 t 1 falls 1 t 2 g c t x 3 x 1 x 3 t 2 y 3 y 1 y 3 t 2 falls 2 t 3 displaystyle gamma t begin cases gamma a t x 1 x 2 x 1 t y 1 y 2 y 1 t amp text falls 0 leq t leq 1 gamma b t x 2 x 3 x 2 t 1 y 2 y 3 y 2 t 1 amp text falls 1 leq t leq 2 gamma c t x 3 x 1 x 3 t 2 y 3 y 1 y 3 t 2 amp text falls 2 leq t leq 3 end cases nbsp Dann gilt nun fur die Flachenberechnung des Dreiecks F 1 2 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 y 3 y 2 x 3 x 3 y 1 y 3 x 1 1 2 0 1 x 1 x 2 x 1 t y 2 y 1 y 1 y 2 y 1 t x 2 x 1 d t 1 2 1 2 x 2 x 3 x 2 t 1 y 3 y 2 y 2 y 3 y 2 t 1 x 3 x 2 d t 1 2 2 3 x 3 x 1 x 3 t 2 y 1 y 3 y 3 y 1 y 3 t 2 x 1 x 3 d t F g a F g b F g c F g displaystyle begin aligned F triangle amp frac 1 2 left begin matrix 1 amp x 1 amp y 1 1 amp x 2 amp y 2 1 amp x 3 amp y 3 end matrix right frac 1 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 y 3 y 2 x 3 x 3 y 1 y 3 x 1 amp quad frac 1 2 int 0 1 x 1 x 2 x 1 t y 2 y 1 y 1 y 2 y 1 t x 2 x 1 dt amp quad frac 1 2 int 1 2 x 2 x 3 x 2 t 1 y 3 y 2 y 2 y 3 y 2 t 1 x 3 x 2 dt amp quad frac 1 2 int 2 3 x 3 x 1 x 3 t 2 y 1 y 3 y 3 y 1 y 3 t 2 x 1 x 3 dt amp F gamma a F gamma b F gamma c amp F gamma end aligned nbsp Zusammenhang mit den Integralsatzen BearbeitenFur den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des Integralsatzes von Green Der Integralsatz liefert fur die von einer Kurve g a b R 2 displaystyle gamma a b rightarrow mathbb R 2 nbsp mit g a g b displaystyle gamma a gamma b nbsp eingeschlossene Flache B displaystyle B nbsp und zwei differenzierbare Funktionen f g R 2 R displaystyle f g mathbb R 2 rightarrow mathbb R nbsp die folgende Gleichung B g x x y f y x y d x d y a b f x t y t x t g x t y t y t d t displaystyle int B Bigl g x x y f y x y Bigr dxdy int a b Bigl f bigl x t y t bigr cdot x prime t g bigl x t y t bigr cdot y prime t Bigr dt nbsp Wahlt man fur die dortigen Funktionen f x y y displaystyle f x y y nbsp und g x y x displaystyle g x y x nbsp so gilt f y x y 1 displaystyle f y x y 1 nbsp und g x x y 1 displaystyle g x x y 1 nbsp und man erhalt B 1 1 d x d y a b y t x t x t y t d t B 1 d x d y 1 2 a b x t y t y t x t d t displaystyle begin aligned amp int B 1 1 dxdy int a b Bigl y t cdot x prime t x t cdot y prime t Bigr dt Leftrightarrow amp int B 1dxdy frac 1 2 int a b Bigl x t cdot y prime t y t cdot x prime t Bigr dt end aligned nbsp dd Da die Integration uber eine Flache mit 1 den Flacheninhalt selbst liefert gilt F g B 1 d x d y 1 2 a b x t y t y t x t d t displaystyle F gamma int B 1dxdy frac 1 2 int a b Bigl x t cdot y prime t y t cdot x prime t Bigr dt nbsp Alternative Formel Bearbeiten nbsp Alternative FormelIn der Literatur wird gelegentlich auch eine weitere Formel als Sektorformel von Leibniz bezeichnet Diese ist wesentlich spezieller und verwendet statt Koordinatenfunktionen x t displaystyle x t nbsp und y t displaystyle y t nbsp der Parameterkurve g t displaystyle gamma t nbsp eine Funktion r t displaystyle r t nbsp die den Abstand eines Kurvenpunktes vom Zentrum einer sternformigen Menge B displaystyle B nbsp beschreibt Mit dieser gilt dann F B 1 2 a b r t 2 d t displaystyle F B frac 1 2 int a b r t 2 dt nbsp Da diese Formel im Gegensatz zur vorherigen keinen orientierten Flacheninhalt verwendet ist sie nur fur sternformige Mengen gultig Ist x z y z displaystyle x z y z nbsp ein Zentrum der sternformigen Menge so lasst sich r t mittels der Beziehung r t x t x z 2 y t y z 2 displaystyle r t sqrt x t x z 2 y t y z 2 nbsp aus den Koordinatenfunktionen der Parameterkurve berechnen Beispiel BearbeitenEine Herzkurve g 0 2 p R 2 displaystyle gamma 0 2 pi rightarrow mathbb R 2 nbsp besitzt die folgende Parameterdarstellung x a cos t 1 cos t y a sin t 1 cos t displaystyle x a cos t 1 cos t qquad y a sin t 1 cos t nbsp Mit der Sektorformel ergibt sich dann der folgende Flacheninhalt F g 1 2 0 2 p a cos t 1 cos t a cos t 2 cos t 2 1 a sin t 1 2 cos t a sin t 1 cos t d t 1 2 0 2 p 1 cos t 2 a 2 d t 3 2 a 2 p displaystyle begin aligned F gamma amp frac 1 2 int 0 2 pi Bigl a cos t 1 cos t a cos t 2 cos t 2 1 a sin t 1 2 cos t a sin t 1 cos t Bigr dt amp frac 1 2 int 0 2 pi Bigl 1 cos t 2 a 2 Bigr dt amp frac 3 2 a 2 pi end aligned nbsp nbsp HerzkurveBei der Verwendung der alternativen Formel kann man 0 0 displaystyle 0 0 nbsp als Zentrum wahlen und erhalt dann F g 1 2 0 2 p a cos t 1 cos t 2 a sin t 1 cos t 2 d t 1 2 0 2 p 1 cos t 2 a 2 cos t 2 sin t 2 d t 1 2 0 2 p 1 cos t 2 a 2 d t 3 2 a 2 p displaystyle begin aligned F gamma amp frac 1 2 int 0 2 pi Bigl bigl a cos t 1 cos t bigr 2 bigl a sin t 1 cos t bigr 2 Bigr dt amp frac 1 2 int 0 2 pi Bigl 1 cos t 2 a 2 cos t 2 sin t 2 Bigr dt amp frac 1 2 int 0 2 pi Bigl 1 cos t 2 a 2 Bigr dt amp frac 3 2 a 2 pi end aligned nbsp Literatur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 1 2 te Auflage Springer 1992 ISBN 3 540 55116 6 S 343 Wolfgang Walter Analysis I 2 te Auflage Springer 1985 ISBN 3 540 51708 1 S 285 286 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 2 5 te Auflage Teubner 1990 ISBN 3 519 42222 0 S 498Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Sektorformel von Leibniz Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien J Weikert Kurven und Bogenlange PDF 595 kB In Mathematik fur Informatiker I Skript Uni Saarland Mehrdimensionale Integralrechnung In Hohere Mathematik II Uni Skript Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sektorformel von Leibniz amp oldid 219252269
