Dieser Artikel behandelt einen Green schen Integralsatz der Ebene Weitere nach George Green benannte Satze siehe unter Greensche Formeln Der Satz von Green auch Green Riemannsche Formel oder Lemma von Green gelegentlich auch Satz von Gauss Green erlaubt es das Integral uber eine ebene Flache durch ein Kurvenintegral auszudrucken Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes Erstmals formuliert und bewiesen wurde er 1828 von George Green in An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Sonderfall Wegunabhangigkeit 3 Anwendungsbeispiele 3 1 Flacheninhalt 3 2 Flachenschwerpunkt 4 LiteraturFormulierung des Satzes Bearbeiten nbsp Kompaktum D in der xy Ebene mit abschnittsweise glattem Rand C Sei D displaystyle D nbsp ein Kompaktum in der xy Ebene mit abschnittsweise glattem Rand D C displaystyle partial D C nbsp siehe Abbildung Weiter seien f g D R displaystyle f g colon D to mathbb R nbsp stetige Funktionen mit den ebenfalls auf D displaystyle D nbsp stetigen partiellen Ableitungen f y x y displaystyle tfrac partial f partial y x y nbsp und g x x y displaystyle tfrac partial g partial x x y nbsp Dann gilt D g x x y f y x y d x d y C f x y d x g x y d y displaystyle iint D left frac partial g partial x x y frac partial f partial y x y right mathrm d x mathrm d y oint C left f x y mathrm d x g x y mathrm d y right nbsp Dabei bedeutet C f x y d x displaystyle textstyle oint C f x y mathrm d x nbsp das Kurvenintegral entlang C displaystyle C nbsp von f x y e x displaystyle f x y cdot e x nbsp also C f x y d x a b f g x t g y t g x t d t displaystyle textstyle oint C f x y mathrm d x int a b f gamma x t gamma y t cdot dot gamma x t mathrm d t nbsp falls C displaystyle C nbsp durch eine stuckweise stetig differenzierbare Kurve g g x g y a b C displaystyle gamma gamma x gamma y a b to C nbsp beschrieben wird Analog wird C g x y d y displaystyle textstyle oint C g x y mathrm d y nbsp definiert Sonderfall Wegunabhangigkeit BearbeitenFur den speziellen Fall dass der Integrand f x y d x g x y d y displaystyle f x y mathrm d x g x y mathrm d y nbsp im Kurvenintegral rechts das totale Differential d u x y displaystyle mathrm d u x y nbsp einer skalaren Funktion u x y displaystyle u x y nbsp darstellt d h es ist f x y u x x y displaystyle f x y tfrac partial u partial x x y nbsp und g x y u y x y displaystyle g x y tfrac partial u partial y x y nbsp folgt nach dem Satz von Schwarz Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Ableitungen von u x y displaystyle u x y nbsp nach x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp dass x y u x y y x u x y displaystyle frac partial partial x left frac partial partial y u x y right frac partial partial y left frac partial partial x u x y right nbsp sein muss Damit wird g x x y f y x y displaystyle tfrac partial g partial x x y tfrac partial f partial y x y nbsp so dass das Flachenintegral links und damit das Kurvenintegral rechts uber den geschlossenen Weg gleich null werden d h der Wert der Funktion u x y displaystyle u x y nbsp hat sich nicht verandert Solche wegunabhangigen zweidimensionalen Funktionsanderungen treten beispielsweise in der Thermodynamik bei der Betrachtung von Kreisprozessen auf wobei u displaystyle u nbsp dann dort fur die innere Energie oder die Entropie des Systems steht Fur dreidimensionale skalare Potentialfelder u x y z displaystyle u x y z nbsp wie sie in der Mechanik z B das konservative Kraftfeld eines Newton schen Gravitationspotential F displaystyle Phi nbsp beschreiben kann die Wegunabhangigkeit uber den allgemeineren Satz von Stokes ahnlich bewiesen werden Anwendungsbeispiele BearbeitenFlacheninhalt Bearbeiten Wahlt man f x y 0 displaystyle f x y 0 nbsp und g x y x displaystyle g x y x nbsp so lauten die partiellen Ableitungen f y x y 0 displaystyle tfrac partial f partial y x y 0 nbsp und g x x y 1 displaystyle tfrac partial g partial x x y 1 nbsp Die Integrale beschreiben dann den Flacheninhalt von D displaystyle D nbsp der alleine durch den Verlauf der Randkurve eindeutig bestimmt ist und statt durch ein Doppelintegral durch ein Kurvenintegral berechnet werden kann A D D 1 d x d y C x d y displaystyle A D iint D 1 mathrm d x mathrm d y oint C x mathrm d y nbsp Wahlt man f x y y displaystyle f x y y nbsp und g x y 0 displaystyle g x y 0 nbsp so erhalt man analog A D D 1 d x d y C y d x displaystyle A D iint D 1 mathrm d x mathrm d y oint C y mathrm d x nbsp Addiert man die beiden Resultate so erhalt man die Sektorformel von Leibniz fur eine geschlossene Kurve A D 1 2 C x d y y d x displaystyle A D frac 1 2 oint C x mathrm d y y mathrm d x nbsp Flachenschwerpunkt Bearbeiten Wahlt man f x y 0 displaystyle f x y 0 nbsp und g x y x 2 2 displaystyle g x y x 2 2 nbsp so lauten die partiellen Ableitungen f y x y 0 displaystyle tfrac partial f partial y x y 0 nbsp und g x x y x displaystyle tfrac partial g partial x x y x nbsp Dann kann man die x displaystyle x nbsp Koordinate des Schwerpunkts der Flache D displaystyle D nbsp durch ein Kurvenintegral berechnen x s 1 A D D x d x d y 1 2 A D C x 2 d y displaystyle x s frac 1 A D iint D x mathrm d x mathrm d y frac 1 2A D oint C x 2 mathrm d y nbsp Entsprechend erhalt man mit f x y y 2 2 displaystyle f x y y 2 2 nbsp und g x y 0 displaystyle g x y 0 nbsp fur die y displaystyle y nbsp Koordinate des Schwerpunktes der Flache D displaystyle D nbsp y s 1 A D D y d x d y 1 2 A D C y 2 d x displaystyle y s frac 1 A D iint D y mathrm d x mathrm d y frac 1 2A D oint C y 2 mathrm d x nbsp Dieses Prinzip wird auch in Planimetern oder Integrimetern verwendet um Flacheninhalte und Flachenmomente hoherer Ordnung zu bestimmen Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis Band 3 Mass und Integrationstheorie Integralsatze im Rn und Anwendungen 8 verbesserte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2017 ISBN 978 3 658 16745 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Green amp oldid 238276943
