In der Mathematik speziell der Vektoranalysis sind die beiden greenschen Formeln manchmal auch greensche Identitaten greensche Satze oder Theoreme spezielle Anwendungen des gaussschen Integralsatzes Sie sind benannt nach dem Mathematiker George Green Anwendung finden sie unter anderem in der Elektrostatik bei der Berechnung von Potentialen Die Formeln sind nicht zu verwechseln mit dem Satz von Green bei dem es um ebene Integrale geht Im Folgenden sei U R n displaystyle U subset mathbb R n kompakt mit abschnittweise glattem Rand und ϕ displaystyle phi und ps displaystyle psi seien zwei Funktionen auf U displaystyle U wobei ϕ displaystyle phi einfach und ps displaystyle psi zweifach stetig differenzierbar sei displaystyle nabla ist der Nabla Operator Inhaltsverzeichnis 1 Erste greensche Identitat 2 Zweite greensche Identitat 3 Anwendungen in der Elektrostatik 3D 3 1 Eindeutigkeitssatz 3 2 Abschirmung durch geschlossene Leiterflache 3 3 Symmetrie der greenschen Funktion 3 4 Potential ausgedruckt durch Ladungsdichte und Randwerte 3 5 Integralgleichung fur das Potential 4 LiteraturErste greensche Identitat Bearbeiten U ϕ 2 ps ϕ ps d U U ϕ ps n d S displaystyle int limits U phi nabla 2 psi nabla phi cdot nabla psi mathrm d U int limits partial U phi frac partial psi partial n mathrm d S nbsp wobei ps n ps n displaystyle tfrac partial psi partial n nabla psi cdot vec n nbsp die Normalenableitung von ps displaystyle psi nbsp also die Normalkomponente des Gradienten von ps displaystyle psi nbsp auf dem Rand U displaystyle partial U nbsp bezeichnet Diese Identitat lasst sich wie folgt beweisen U ϕ ps n d S U ϕ ps n d S U ϕ ps d U U ϕ 2 ps ϕ ps d U displaystyle int limits partial U phi frac partial psi partial n mathrm d S int limits partial U phi nabla psi cdot vec n mathrm d S int limits U nabla cdot phi nabla psi mathrm d U int limits U phi nabla 2 psi nabla phi cdot nabla psi mathrm d U nbsp wobei im zweiten Schritt der gausssche Integralsatz in der Form U F n d S U F d U displaystyle int limits partial U vec F cdot vec n mathrm d S int limits U nabla cdot vec F mathrm d U nbsp benutzt wurde Zweite greensche Identitat Bearbeiten U ϕ 2 ps ps 2 ϕ d U U ϕ ps n ps ϕ n d S displaystyle int limits U phi nabla 2 psi psi nabla 2 phi mathrm d U int limits partial U left phi frac partial psi partial n psi frac partial phi partial n right mathrm d S nbsp Die zweite greensche Identitat folgt aus der ersten greenschen Identitat wobei nun vorausgesetzt wird dass auch ϕ displaystyle phi nbsp zweimal stetig differenzierbar ist U ϕ 2 ps ϕ ps d U U ϕ ps n d S displaystyle int limits U phi nabla 2 psi nabla phi cdot nabla psi mathrm d U int limits partial U phi frac partial psi partial n mathrm d S nbsp U ps 2 ϕ ps ϕ d U U ps ϕ n d S displaystyle int limits U psi nabla 2 phi nabla psi cdot nabla phi mathrm d U int limits partial U psi frac partial phi partial n mathrm d S nbsp Subtrahiert man nun die zweite Gleichung von der ersten Gleichung so ergibt sich die zweite greensche Identitat Anwendungen in der Elektrostatik 3D BearbeitenEindeutigkeitssatz Bearbeiten Fur ein elektrostatisches Potential ϕ displaystyle phi nbsp gilt die Poissongleichung 2 ϕ 4 p r displaystyle nabla 2 phi 4 pi rho nbsp wobei r displaystyle rho nbsp die elektrische Ladungsdichte ist gausssches Einheitensystem Wenn in einem Volumen U displaystyle U nbsp die Ladungsdichte gegeben ist und wenn zusatzlich auf dem Rand U displaystyle partial U nbsp die Werte von ϕ displaystyle phi nbsp gegeben sind Dirichlet Randbedingung dann gilt Innerhalb von U displaystyle U nbsp ist ϕ r displaystyle phi vec r nbsp eindeutig bestimmt Beweis Es seien ϕ 1 r displaystyle phi 1 vec r nbsp und ϕ 2 r displaystyle phi 2 vec r nbsp zwei Potentiale die dieselben Vorgaben uber Ladungsdichte und Randwerte erfullen Fur die Differenzfunktion gilt dann x r ϕ 1 r ϕ 2 r 2 x r 0 r U x r 0 r U displaystyle chi vec r phi 1 vec r phi 2 vec r qquad begin array rl nabla 2 chi vec r 0 amp vec r in U chi vec r 0 amp vec r in partial U end array nbsp Setzt man x displaystyle chi nbsp in der ersten greenschen Formel fur ϕ displaystyle phi nbsp und auch fur ps displaystyle psi nbsp ein so folgt U x x d U 0 displaystyle int U nabla chi cdot nabla chi mathrm d U 0 nbsp Also muss der Gradient x displaystyle nabla chi nbsp uberall in U displaystyle U nbsp verschwinden somit x displaystyle chi nbsp konstant sein und wegen seines Null Randwerts sogar konstant gleich null sein Also gilt ϕ 1 r ϕ 2 r displaystyle phi 1 vec r phi 2 vec r nbsp innerhalb von U displaystyle U nbsp N B Bei dem Beweis wird die Poissongleichung und somit die Ladungsdichte nur innerhalb von U displaystyle U nbsp benutzt Abschirmung durch geschlossene Leiterflache Bearbeiten U displaystyle partial U nbsp sei eine geschlossene Leiterflache so dass das elektrostatische Potential ϕ displaystyle phi nbsp auf U displaystyle partial U nbsp einen konstanten Wert ϕ 0 displaystyle phi 0 nbsp hat Aquipotentialflache Zum Beispiel lasst sich ϕ 0 0 displaystyle phi 0 0 nbsp physikalisch realisieren indem die Leiterflache geerdet wird Nach dem Eindeutigkeitssatz ist der Potentialverlauf innerhalb von U displaystyle U nbsp bereits durch die Ladungsverteilung in U displaystyle U nbsp und durch den Randwert bestimmt Folglich haben elektrische Ladungen im Aussenraum keinen Einfluss auf den Potentialverlauf im Innenraum Wenn die geschlossene Leiterflache nicht geerdet ist dann sind die Randwerte von ϕ displaystyle phi nbsp immer noch konstant aber mit unbekanntem Wert Dieser Wert kann davon abhangen welche Ladungen ausserhalb von U displaystyle U nbsp vorhanden sind Der Beweis des Eindeutigkeitssatzes lasst sich dahingehend verallgemeinern dass die Differenzfunktion x displaystyle chi nbsp noch konstant in U displaystyle U nbsp aber nicht mehr gleich null ist Fur die elektrische Feldstarke die durch Ableitungen aus dem Potential gewonnen wird spielt die Konstante keine Rolle die elektrische Feldstarke ist also auch ohne Erdung abgeschirmt Symmetrie der greenschen Funktion Bearbeiten Die greensche Funktion mit Dirichlet Randbedingung und mit vektoriellem Parameter r 1 U displaystyle vec r 1 in U nbsp ist definiert durch 2 G D r r 1 d r r 1 r U G D r r 1 0 r U displaystyle begin array cl nabla 2 G D vec r vec r 1 delta vec r vec r 1 amp vec r in U G D vec r vec r 1 0 amp vec r in partial U end array nbsp Bis auf einen Faktor 4 p displaystyle 4 pi nbsp entspricht das der Poissongleichung fur ein Potential ϕ r displaystyle phi vec r nbsp das von einer Punktladung am Ort r 1 displaystyle vec r 1 nbsp erzeugt wird und das auf der geerdeten Oberflache U displaystyle partial U nbsp den Randwert 0 hat Die Existenz einer solchen Funktion ist physikalisch klar und wegen des Eindeutigkeitssatzes ist sie eindeutig bestimmt Obwohl die Rollen von r displaystyle vec r nbsp Messpunkt und r 1 displaystyle vec r 1 nbsp Position der Ladung physikalisch verschieden sind besteht mathematisch eine Symmetrie G D r 2 r 1 G D r 1 r 2 displaystyle G D vec r 2 vec r 1 G D vec r 1 vec r 2 nbsp Beweis Setzt man in der zweiten greenschen Formel ϕ r G D r r 1 ps r G D r r 2 displaystyle phi vec r G D vec r vec r 1 qquad psi vec r G D vec r vec r 2 nbsp so erhalt man auf der linken Seite Integrale mit Delta Funktionen die G D r 2 r 1 G D r 1 r 2 displaystyle G D vec r 2 vec r 1 G D vec r 1 vec r 2 nbsp ergeben Auf der rechten Seite verschwinden die Integranden wegen der Randwerte von G D displaystyle G D nbsp Potential ausgedruckt durch Ladungsdichte und Randwerte Bearbeiten Verwendet man in der zweiten greenschen Formel als Integrationsvariable r 1 displaystyle vec r 1 nbsp und lasst man ϕ displaystyle phi nbsp das elektrostatische Potential sein so erhalt man mit ps r 1 G D r r 1 displaystyle psi vec r 1 G D vec r vec r 1 nbsp und mit Hilfe der Symmetrie von G D displaystyle G D nbsp den expliziten Ausdruck ϕ r 4 p U G D r r 1 r r 1 d U 1 U ϕ r 1 G D r r 1 n 1 d S 1 displaystyle phi vec r 4 pi int U G D vec r vec r 1 rho vec r 1 dU 1 int partial U phi vec r 1 frac partial G D vec r vec r 1 partial n 1 dS 1 nbsp Integralgleichung fur das Potential Bearbeiten Unter Anwendung der oben gezeigten greenschen Formeln lassen sich Ausdrucke fur das elektrostatische Potential einer Ladungsverteilung herleiten Dabei sei r r displaystyle rho vec r nbsp die Ladungsdichte am Ort r displaystyle vec r nbsp Mit ϕ r displaystyle phi vec r nbsp werde das Potenzial am Ort r displaystyle vec r nbsp bezeichnet Gesucht ist die Funktion ϕ displaystyle phi nbsp Wir setzen fur ps r 1 r r displaystyle psi vec r frac 1 vec r vec r nbsp Es gilt dann D ps r D 1 r r 4 p d r r displaystyle Delta psi vec r Delta frac 1 vec r vec r 4 pi delta vec r vec r nbsp wobei D 2 displaystyle Delta nabla 2 nbsp der Laplace Operator ist der Strich anzeigt dass dieser Operator auf die gestrichene Variable wirkt und d displaystyle delta nbsp die Delta Distribution ist Diese Identitat ist also im Sinne von distributionellen Ableitungen zu verstehen D ϕ r 4 p r r displaystyle Delta phi vec r 4 pi rho vec r nbsp mit der Ladungsverteilung r displaystyle rho nbsp am Ort r displaystyle vec r nbsp Setzen wir beides in die zweite greensche Identitat ein erhalten wir auf der linken Seite V ϕ r 4 p d r r 1 r r 4 p r r d V 4 p V ϕ r d r r d V 4 p V r r r r d V displaystyle int limits V phi vec r 4 pi delta vec r vec r frac 1 vec r vec r 4 pi rho vec r mathrm d V 4 pi int limits V phi vec r delta vec r vec r mathrm d V 4 pi int limits V frac rho vec r vec r vec r mathrm d V nbsp Die rechte Seite der Identitat ist F ϕ r n 1 r r 1 r r n ϕ r d F displaystyle int limits F left phi vec r frac partial partial n frac 1 vec r vec r frac 1 vec r vec r frac partial partial n phi vec r right mathrm d F nbsp Als Identitat geschrieben 4 p V ϕ r d r r d V 4 p V r r r r d V F ϕ r n 1 r r 1 r r n ϕ r d F displaystyle 4 pi int limits V phi vec r delta vec r vec r mathrm d V 4 pi int limits V frac rho vec r vec r vec r mathrm d V int limits F left phi vec r frac partial partial n frac 1 vec r vec r frac 1 vec r vec r frac partial partial n phi vec r right mathrm d F nbsp Innerhalb des Volumens gilt an der Stelle r displaystyle vec r nbsp wegen der d displaystyle delta nbsp Funktion 4 p V ϕ r d r r d V 4 p ϕ r displaystyle 4 pi int limits V phi vec r delta vec r vec r mathrm d V 4 pi phi vec r nbsp Damit konnen wir schliesslich obige Identitat nach dem Potential auflosen und erhalten ϕ r V r r r r d V 1 4 p F ϕ r n 1 r r 1 r r n ϕ r d F displaystyle phi vec r int limits V frac rho vec r vec r vec r mathrm d V frac 1 4 pi int limits F left phi vec r frac partial partial n frac 1 vec r vec r frac 1 vec r vec r frac partial partial n phi vec r right mathrm d F nbsp Literatur BearbeitenJohn David Jackson Klassische Elektrodynamik Walter de Gruyter Berlin 2006 ISBN 3 11 018970 4 Walter Greiner Theoretische Physik Band 3 Klassische Elektrodynamik Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main Thun ISBN 3 8171 1184 3 Otto Forster Analysis 3 Integralrechnung imRnmit Anwendungen 3 Aufl Vieweg Verlag 1996 ISBN 3 528 27252 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Greensche Formeln amp oldid 170536164
