Der Nabla Operator ist ein Symbol das in der Vektor und Tensoranalysis benutzt wird um kontextabhangig einen der drei Differentialoperatoren Gradient Divergenz oder Rotation zu notieren Das Formelzeichen des Operators ist das Nabla Symbol displaystyle nabla auch displaystyle vec nabla oder displaystyle underline nabla um die formale Ahnlichkeit zu ublichen vektoriellen Grossen zu betonen Der Name Nabla leitet sich ab von einem harfen ahnlichen phonizischen 1 Saiteninstrument das in etwa die Form dieses Zeichens hatte Die Schreibweise wurde von William Rowan Hamilton 1805 1865 eingefuhrt und vom Mathematiker Peter Guthrie Tait 1831 1901 weiterentwickelt 2 Im Englischen wird der Operator als del bezeichnet 3 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Darstellung anderer Differentialoperatoren 2 1 Im n dimensionalen Raum 2 2 Laplace Operator 2 3 Richtungs Ableitung 2 4 Im dreidimensionalen Raum 3 Notation mit Subskript 4 Darstellung als Quaternion 5 Rechenregeln 6 Anwendung in der Kontinuumsmechanik 7 Siehe auch 8 Weblinks 9 Einzelnachweise und Fussnoten 10 LiteraturDefinition BearbeitenFormal ist der Nabla Operator ein Vektor dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren x i displaystyle textstyle frac partial partial x i nbsp sind x 1 x n displaystyle vec nabla left frac partial partial x 1 ldots frac partial partial x n right nbsp Er kann dabei sowohl als Spalten Vektor zum Beispiel grad als auch als Zeilen Vektor zum Beispiel div auftreten 4 Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schreibt man auch x y z e x x e y y e z z displaystyle vec nabla left frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z right vec e x frac partial partial x vec e y frac partial partial y vec e z frac partial partial z nbsp Dabei sind e x displaystyle vec e x nbsp e y displaystyle vec e y nbsp und e z displaystyle vec e z nbsp die Einheitsvektoren des Koordinatensystems In allgemein krummlinigen Koordinaten 8 i displaystyle Theta i nbsp sind die Einheitsvektoren durch die kontravarianten Basisvektoren zu ersetzen i 1 n g i 8 i mit g i grad 8 i displaystyle vec nabla sum i 1 n vec g i frac partial partial Theta i quad text mit quad vec g i operatorname grad Theta i nbsp Darin ist grad displaystyle operatorname grad nbsp der Gradientenoperator Bei der Anwendung dieses Nabla Operators auf ein Vektorfeld ist zu beachten dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen von den Koordinaten 8 i displaystyle Theta i nbsp abhangen und ebenfalls zu differenzieren sind Gerechnet wird mit dem Nabla Operator wie mit einem Vektor wobei das Produkt von beispielsweise x i displaystyle textstyle frac partial partial x i nbsp mit einer rechts davon stehenden Funktion f displaystyle f nbsp als partielle Ableitung f x i displaystyle textstyle frac partial f partial x i nbsp interpretiert wird Darstellung anderer Differentialoperatoren BearbeitenIm n dimensionalen Raum Bearbeiten Sei D R n displaystyle D subset mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp eine differenzierbare Funktion und V V 1 V n D R n displaystyle vec V V 1 dots V n top colon D to mathbb R n nbsp ein differenzierbares Vektorfeld Das hochgestellte bezeichnet die Transposition Das formale Produkt von displaystyle vec nabla nbsp mit der Funktion f displaystyle f nbsp ergibt deren Gradienten f grad f f x 1 f x n displaystyle vec nabla f operatorname grad f left frac partial f partial x 1 ldots frac partial f partial x n right top nbsp Das transponierte formale dyadische Produkt displaystyle otimes nbsp von displaystyle vec nabla nbsp mit dem Vektorfeld V displaystyle vec V nbsp ergibt dessen Gradienten oder Jacobi Matrix V grad V J V V 1 x 1 V 1 x n V n x 1 V n x n displaystyle vec nabla otimes vec V top operatorname grad vec V J vec V begin pmatrix frac partial V 1 partial x 1 amp ldots amp frac partial V 1 partial x n vdots amp ddots amp vdots frac partial V n partial x 1 amp ldots amp frac partial V n partial x n end pmatrix nbsp Das formale Skalarprodukt mit dem Vektorfeld V displaystyle vec V nbsp ergibt dessen Divergenz V div V i 1 n V i x i displaystyle vec nabla cdot vec V operatorname div vec V sum i 1 n frac partial V i partial x i nbsp Sie ist die Spur des Gradienten Laplace Operator Bearbeiten Das formale Skalarprodukt 2 displaystyle vec nabla 2 nbsp von displaystyle vec nabla nbsp mit sich selbst ergibt den Laplace Operator D displaystyle Delta nbsp denn es gilt 2 i 1 n 2 x i 2 D displaystyle nabla 2 vec nabla cdot vec nabla sum i 1 n frac partial 2 partial x i 2 Delta nbsp Manche Autoren verwenden das Symbol 2 displaystyle nabla 2 nbsp oder displaystyle vec nabla vec nabla nbsp auch fur die Hesse Matrix deshalb sollte immer der Kontext angegeben werden Richtungs Ableitung Bearbeiten Bei einem gegebenen Vektor H displaystyle vec H nbsp kann mit dem Operator D H H i 1 n H i x i displaystyle operatorname D vec H vec H cdot vec nabla sum i 1 n H i frac partial partial x i nbsp die Richtungsableitung von differenzierbaren Funktionen f displaystyle f nbsp in Richtung des Vektors H displaystyle vec H nbsp berechnet werden D H f H f H f H grad f grad f H displaystyle operatorname D vec H f vec H cdot vec nabla f vec H cdot vec nabla f vec H cdot operatorname grad f operatorname grad f cdot vec H nbsp siehe den Zusammenhang zwischen Gradient und Richtungsableitung Ist die Funktion ein Vektorfeld V displaystyle vec V nbsp dann berechnet sich das Produkt aus der Jacobi Matrix des Feldes und dem Vektor D H V H V H V V H g r a d V H H 1 x 1 V 1 H n x n V 1 H 1 x 1 V n H n x n V n V 1 x 1 V 1 x n V n x 1 V n x n H 1 H n displaystyle begin aligned operatorname D vec H vec V amp underbrace vec H cdot vec nabla vec V vec H cdot vec nabla otimes vec V vec nabla otimes vec V top cdot vec H amp amp underbrace mathrm grad vec V cdot vec H amp begin pmatrix H 1 frac partial partial x 1 V 1 amp ldots amp H n frac partial partial x n V 1 vdots amp ddots amp vdots H 1 frac partial partial x 1 V n amp ldots amp H n frac partial partial x n V n end pmatrix amp amp begin pmatrix frac partial V 1 partial x 1 amp ldots amp frac partial V 1 partial x n vdots amp ddots amp vdots frac partial V n partial x 1 amp ldots amp frac partial V n partial x n end pmatrix begin pmatrix H 1 vdots H n end pmatrix end aligned nbsp siehe Vektorgradient und die Anwendung in der Kontinuumsmechanik unten Im dreidimensionalen Raum Bearbeiten Sei D R 3 displaystyle D subset mathbb R 3 nbsp nun eine offene Teilmenge f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp eine differenzierbare Funktion und V V x V y V z D R 3 displaystyle vec V V x V y V z top colon D to mathbb R 3 nbsp ein differenzierbares Vektorfeld Die Indizes x y z bezeichnen hier die Vektorkomponenten und keine Ableitungen Im dreidimensionalen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mit den kartesischen Koordinaten x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar Der Nabla Operator angewandt auf das Skalarfeld f displaystyle f nbsp ergibt den Gradienten des Skalarfeldes grad f f f x f y f z f x e x f y e y f z e z displaystyle operatorname grad f vec nabla f left frac partial f partial x frac partial f partial y frac partial f partial z right top frac partial f partial x vec e x frac partial f partial y vec e y frac partial f partial z vec e z nbsp Das Ergebnis ist ein Vektorfeld Hierbei sind e x e y e z displaystyle vec e x vec e y vec e z nbsp die Einheitsvektoren des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Der Nabla Operator angewandt auf das Vektorfeld V displaystyle vec V nbsp ergibt die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu div V V V x x V y y V z z displaystyle operatorname div vec V vec nabla cdot vec V frac partial V x partial x frac partial V y partial y frac partial V z partial z nbsp also ein Skalarfeld Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds Sie ergibt sich durch rechtsseitige Verknupfung uber das formale Kreuzprodukt als rot V V V z y V y z V x z V z x V y x V x y displaystyle operatorname rot vec V vec nabla times vec V begin pmatrix frac partial V z partial y frac partial V y partial z frac partial V x partial z frac partial V z partial x frac partial V y partial x frac partial V x partial y end pmatrix nbsp also wieder ein Vektorfeld Zylinderkoordinaten r f z und Kugelkoordinaten r 8 f sind Beispiele fur krummlinige Koordinaten Die Formeln fur den Gradient in Zylinder und Kugelkoordinaten ergeben sich aus den Nabla Operatoren in Zylinderkoordinaten e r r 1 r e f f e z z bzw Kugelkoordinaten e r r 1 r e 8 8 1 r sin 8 e f f displaystyle begin aligned text in Zylinderkoordinaten quad amp vec nabla vec e rho frac partial partial rho frac 1 rho vec e varphi frac partial partial varphi vec e z frac partial partial z text bzw Kugelkoordinaten quad amp vec nabla vec e r frac partial partial r frac 1 r vec e theta frac partial partial theta frac 1 r sin theta vec e varphi frac partial partial varphi end aligned nbsp Bei der Anwendung auf ein Vektorfeld ist wie oben erwahnt zu beachten dass die Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen wie auch hier von den Koordinaten abhangen und ebenfalls zu differenzieren sind Beispielsweise ergibt sich fur die Divergenz eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten wo die Basisvektoren e r displaystyle vec e rho nbsp und e f displaystyle vec e varphi nbsp vom Winkel f abhangen und f e r e f f e f e r displaystyle tfrac partial partial varphi vec e rho vec e varphi tfrac partial partial varphi vec e varphi vec e rho nbsp gilt div V V e r r 1 r e f f e z z V r e r V f e f V z e z r V r 1 r e f f V r e r V f e f V z e z V z z r V r 1 r e f V r f e r V r e f V f f e f V f e r V z f e z V z z V r r 1 r V r 1 r V f f V z z displaystyle begin aligned operatorname div vec V amp vec nabla cdot vec V left vec e rho frac partial partial rho frac 1 rho vec e varphi frac partial partial varphi vec e z frac partial partial z right cdot V rho vec e rho V varphi vec e varphi V z vec e z amp frac partial partial rho V rho frac 1 rho vec e varphi cdot frac partial partial varphi V rho vec e rho V varphi vec e varphi V z vec e z frac partial V z partial z amp frac partial partial rho V rho frac 1 rho vec e varphi cdot left frac partial V rho partial varphi vec e rho V rho vec e varphi frac partial V varphi partial varphi vec e varphi V varphi vec e rho frac partial V z partial varphi vec e z right frac partial V z partial z amp frac partial V rho partial rho frac 1 rho V rho frac 1 rho frac partial V varphi partial varphi frac partial V z partial z end aligned nbsp Notation mit Subskript BearbeitenWirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument so wird dies durch ein Subskript angedeutet Fur eine Funktion f r t displaystyle f vec r t nbsp mit r x 1 x 2 x n displaystyle vec r x 1 x 2 dotsc x n nbsp beispielsweise ist r f f x 1 f x 2 f x n displaystyle vec nabla vec r f left frac partial f partial x 1 frac partial f partial x 2 dots frac partial f partial x n right top nbsp im Gegensatz zu f f x 1 f x 2 f x n f t displaystyle vec nabla f left frac partial f partial x 1 frac partial f partial x 2 dots frac partial f partial x n frac partial f partial t right top nbsp Diese Bezeichnung ist ublich wenn mit dem Nabla Symbol das einfache Differential d h die einzeilige Jacobi Matrix bzw ein Teil davon bezeichnet wird Gelegentlich tritt alternativ fur die Schreibweise mit dem Nabla Symbol r displaystyle vec nabla vec r nbsp die Schreibweise r displaystyle tfrac partial partial vec r nbsp auf 5 Darstellung als Quaternion Bearbeiten Hauptartikel Quaternion Sir William Rowan Hamilton 6 definierte den Nabla Operator als reine Quaternion i x j y k z displaystyle nabla mathrm i frac partial partial x mathrm j frac partial partial y mathrm k frac partial partial z nbsp mit den komplex imaginaren Einheiten i displaystyle mathrm i nbsp j displaystyle mathrm j nbsp und k displaystyle mathrm k nbsp die durch die Hamilton Regeln i 2 j 2 k 2 i j k 1 displaystyle mathrm i 2 j 2 k 2 i j k 1 nbsp nicht kommutativ verknupft sind Beispielsweise gilt j k k j i displaystyle mathrm j k k j i nbsp Anwendung auf eine reellwertige Funktion f displaystyle f nbsp formale Multiplikation liefert die quaternionische Entsprechung fur deren Gradient und Laplace Ableitung f i f x j f y k f z grad f f f 2 f x 2 2 f y 2 2 f z 2 D f displaystyle begin aligned nabla f amp mathrm i frac partial f partial x mathrm j frac partial f partial y mathrm k frac partial f partial z operatorname grad f nabla nabla f amp nabla cdot nabla f frac partial 2 f partial x 2 frac partial 2 f partial y 2 frac partial 2 f partial z 2 Delta f end aligned nbsp Anwendung auf eine reine Quaternion q i u j v k w displaystyle q mathrm i u mathrm j v mathrm k w nbsp formale Multiplikation liefert q u x v y w z i w y v z j u z w x k v x u y q q div q rot q displaystyle begin aligned nabla q amp frac partial u partial x frac partial v partial y frac partial w partial z mathrm i left frac partial w partial y frac partial v partial z right mathrm j left frac partial u partial z frac partial w partial x right mathrm k left frac partial v partial x frac partial u partial y right amp nabla cdot q nabla times q operatorname div q operatorname rot q end aligned nbsp Die hier benutzten Definitionen des Skalarprodukts und Kreuzprodukts von Quaternionen sind im Hauptartikel nachzuschlagen Rechenregeln BearbeitenRechenregeln fur den Nabla Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln fur Skalar und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten Dabei muss man die Produktregel anwenden wenn der Nabla Operator links von einem Produkt steht Sind ps displaystyle psi nbsp und f displaystyle varphi nbsp differenzierbare Skalarfelder Funktionen und A displaystyle vec A nbsp sowie B displaystyle vec B nbsp differenzierbare Vektorfelder so gilt f ps d f d ps ps displaystyle vec nabla varphi psi frac mathrm d varphi mathrm d psi vec nabla psi nbsp Kettenregel fur Gradient ps f ps f f ps displaystyle vec nabla psi varphi psi vec nabla varphi varphi vec nabla psi nbsp Produktregel fur Gradient A B A B B A A B B A displaystyle vec nabla vec A cdot vec B vec A cdot vec nabla vec B vec B cdot vec nabla vec A vec A times vec nabla times vec B vec B times vec nabla times vec A nbsp f A f A A f displaystyle vec nabla cdot varphi vec A varphi vec nabla cdot vec A vec A cdot vec nabla varphi nbsp A B B A A B displaystyle vec nabla cdot vec A times vec B vec B cdot vec nabla times vec A vec A cdot vec nabla times vec B nbsp f d i v g r a d f D f displaystyle vec nabla cdot vec nabla varphi operatorname div grad varphi Delta varphi nbsp siehe auch Laplace Operator A d i v r o t A 0 displaystyle vec nabla cdot vec nabla times vec A operatorname div rot vec A 0 nbsp f r o t g r a d f 0 displaystyle vec nabla times vec nabla varphi operatorname rot grad varphi 0 nbsp f A f A A f displaystyle vec nabla times varphi vec A varphi vec nabla times vec A vec A times vec nabla varphi nbsp A B B A B A A B A B displaystyle vec nabla times vec A times vec B vec B cdot vec nabla vec A vec B vec nabla cdot vec A vec A vec nabla cdot vec B vec A cdot vec nabla vec B nbsp A r o t r o t A g r a d d i v A D A displaystyle vec nabla times vec nabla times vec A operatorname rot rot vec A operatorname grad div vec A Delta vec A nbsp siehe auch vektorieller Laplace Operator Weitere Rechenregeln siehe unter Gradient Divergenz und Rotation Anwendung in der Kontinuumsmechanik BearbeitenIn der Kontinuumsmechanik wird der Nabla Operator dazu verwendet zusatzlich zu den oben genannten Operatoren den Gradient eines Vektorfeldes und die Divergenz sowie Rotation eines Tensorfeldes zu definieren Hier kann der Nabla Operator gelegentlich auch nach links wirken 7 Die Darstellung erfolgt wegen der Wichtigkeit der Rotation fur die Kontinuumsmechanik in drei Dimensionen Sei also D R 3 displaystyle D subset mathbb R 3 nbsp eine offene Teilmenge V V x V y V z D R 3 displaystyle vec V V x V y V z top colon D to mathbb R 3 nbsp ein differenzierbares Vektorfeld mit Komponenten Vx y z die wie ublich nach dem Schema x 1 y 2 und z 3 durchnummeriert werden und T D R 3 3 displaystyle mathbf T colon D to mathbb R 3 times 3 nbsp ein differenzierbares Tensorfeld zweiter Stufe mit Komponenten T i j i j 1 2 3 displaystyle T ij i j 1 2 3 nbsp bezuglich eines kartesischen Koordinatensystems Das transponierte dyadische Produkt des Nabla Operators mit einem Vektorfeld V displaystyle vec V nbsp ergibt wie oben dargelegt den Gradient eines Vektorfeldes V grad V j 1 3 V x j e j i 1 3 e i grad V i i j 1 3 V i x j e i e j displaystyle vec nabla otimes vec V top operatorname grad vec V sum j 1 3 frac partial vec V partial x j otimes vec e j sum i 1 3 vec e i otimes operatorname grad V i sum i j 1 3 frac partial V i partial x j vec e i otimes vec e j nbsp also ein Tensorfeld zweiter Stufe Der so definierte Gradient stimmt mit der Frechet Ableitung uberein grad V h d d s V x s h s 0 lim s 0 V x s h V x s fur alle x h D displaystyle operatorname grad vec V cdot vec h left frac mathrm d mathrm d s vec V vec x s vec h right s 0 lim s rightarrow 0 frac vec V vec x s vec h vec V vec x s quad text fur alle vec x vec h in D nbsp und nahert das Vektorfeld in der Nahe eines Punktes x displaystyle vec x nbsp linear an V y V x g r a d V y x O y x displaystyle vec V vec y vec V vec x mathrm grad vec V cdot vec y vec x mathcal O vec y vec x nbsp wenn y x displaystyle vec y to vec x nbsp Das Landau Symbol 𝓞 x stellt eine Grosse dar die langsamer wachst als ihr Argument x Das linksseitige Skalarprodukt des Nabla Operators mit einem transponierten Tensorfeld zweiter Stufe ergibt formal die Divergenz des Tensorfeldes 8 T div T k 1 3 T x k e k i j 3 T i j x j e i displaystyle vec nabla cdot mathbf T top operatorname div mathbf T sum k 1 3 frac partial mathbf T partial x k cdot vec e k sum i j 3 frac partial T ij partial x j vec e i nbsp also ein Vektorfeld Sie entspricht der Definition d i v T c d i v T c fur alle c V displaystyle mathrm div mathbf T cdot vec c mathrm div left mathbf T top cdot vec c right quad text fur alle vec c in mathbb V nbsp Es wird auch die nicht transponierte Version benutzt T displaystyle vec nabla cdot mathbf T nbsp die bei symmetrischen Tensoren zum selben Ergebnis fuhrt Das Kreuzprodukt des Nabla Operators mit einem transponierten Tensor zweiter Stufe liefert dessen Rotation 8 T rot T i j l 1 3 e i T l j x i e j e l i j k l 1 3 ϵ i j k T l j x i e k e l displaystyle vec nabla times mathbf T top operatorname rot mathbf T sum i j l 1 3 vec e i times frac partial T lj partial x i vec e j otimes vec e l sum i j k l 1 3 epsilon ijk frac partial T lj partial x i vec e k otimes vec e l nbsp also ein Tensorfeld zweiter Stufe Darin ist ϵijk ei ej ek das Permutationssymbol Obige Form der Rotation entspricht der Definition r o t T c r o t T c fur alle c V displaystyle mathrm rot mathbf T cdot vec c mathrm rot left mathbf T top cdot vec c right quad text fur alle vec c in mathbb V nbsp Es wird auch die Form ohne Transposition benutzt T displaystyle vec nabla times mathbf T nbsp die bei symmetrischen Tensoren zum selben Ergebnis fuhrt Siehe auch BearbeitenFormelsammlung Tensoranalysis Konvektive Koordinaten Differentialoperatoren und Nabla Operator Poincare LemmaWeblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Formelsammlung Physik Nabla Operator Lern und LehrmaterialienEinzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten K E Georges Ausfuhrliches lateinisch deutsches Handworterbuch Hrsg Karl Maria Guth 1 Auflage Band 4 M Q Hofenberg Berlin 2014 ISBN 978 3 8430 4923 8 Vollstandige Neuausgabe der 8 Auflage von 1913 Wolfgang Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Tensoralgebra und Tensoranalysis Band 1 Springer Vieweg Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25271 7 S 352 doi 10 1007 978 3 658 25272 4 Eric Weisstein Del In MathWorld englisch Zeilen und Spaltenvektoren werden in der Differentialgeometrie und im mathematischen Formalismus der Relativitatstheorie auch als kovariant beziehungsweise kontravariant bezeichnet Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt Jurgen Schnakenberg Elektrodynamik John Wiley amp Sons 2003 ISBN 3 527 40369 8 S 31 ff eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche H D Ebbinghaus H Hermes F Hirzebruch M Koecher K Mainzer A Prestel R Remmert Zahlen Band 1 Grundwissen und Mathematik Springer Verlag Berlin u a 1983 ISBN 978 3 540 12666 9 doi 10 1007 978 3 642 96783 2 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials 2 Auflage Springer 2002 ISBN 978 3 540 43111 4 englisch a b C Truesdell Festkorpermechanik II In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VIa 2 Springer 1972 ISBN 3 540 05535 5 Literatur BearbeitenBronstein Semendjajew Musiol Muhlig Taschenbuch der Mathematik 5 Auflage Harri Deutsch 2001 ISBN 3 8171 2005 2 Enthalt alle hier genannten Eigenschaften jedoch ohne Beweis Janich Vektoranalysis Springer 1992 ISBN 3 540 55530 7 Enthalt nur die grundlegende Definition Grossmann Mathematischer Einfuhrungskurs fur die Physik Teubner Stuttgart 1991 siehe insbesondere Abschnitt 3 6 H Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 siehe Abschnitt 2 3 Tensoranalysis Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nabla Operator amp oldid 237514680
