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Hesse Matrix Die nach Otto Hesse benannte ist eine quadratische Matrix die in der mehrdimensionalen reellen Analysis ein

Hesse-Matrix

Die nach Otto Hesse benannte Hesse-Matrix ist eine quadratische Matrix, die in der mehrdimensionalen reellen Analysis ein Analogon zur zweiten Ableitung einer Funktion ist.

Die Hesse-Matrix taucht bei der Approximation einer mehrdimensionalen Funktion in der Taylor-Entwicklung auf. Sie ist unter anderem in Zusammenhang mit der Optimierung von Systemen von Bedeutung, die durch mehrere Parameter beschrieben werden, wie sie beispielsweise in den Wirtschaftswissenschaften, in der Physik, theoretischen Chemie oder in den Ingenieurwissenschaften häufig auftreten.

Definition Bearbeiten

Sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist die Hesse-Matrix von am Punkt definiert durch

Mit werden die zweiten partiellen Ableitungen bezeichnet. Die Hesse-Matrix entspricht der Transponierten der Jacobi-Matrix des Gradienten, ist aber bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge symmetrisch, so dass das Transponieren der Matrix keine Änderung bewirkt.

Beispiele Bearbeiten

  • Für , gilt
  • Die Funktion , , die jedem Vektor im seine euklidische Norm zuordnet, ist für alle zweimal stetig differenzierbar und es gilt nach der Kettenregel
sowie weiter nach der Quotientenregel
wobei das Kronecker-Delta bezeichnet. In Matrixschreibweise folgt also
mit der -Einheitsmatrix .

Anwendungen Bearbeiten

Taylor-Entwicklung Bearbeiten

Die Taylor-Entwicklung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion mit um eine Entwicklungsstelle beginnt mit

Die Terme zweiter Ordnung dieser Entwicklung sind also durch die quadratische Form gegeben, deren Matrix die an der Entwicklungsstelle ausgewertete Hesse-Matrix ist.

Extremwerte Bearbeiten

Mit Hilfe der Hesse-Matrix lässt sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Definitheit der Hesse-Matrix.

  • Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion.
  • Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum.
  • Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion.

Falls die Hesse-Matrix an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist, so versagt dieses Kriterium und der Charakter des kritischen Punktes muss auf anderem Wege ermittelt werden. Welcher dieser Fälle vorliegt, kann – wie unter Definitheit beschrieben – zum Beispiel mit Hilfe der Vorzeichen der Eigenwerte der Matrix oder ihrer Hauptminoren entschieden werden.

Beispiel: Die Funktion hat in einen kritischen Punkt, aber ist weder positiv noch negativ definit und auch nicht semidefinit, sondern indefinit. Die Funktion hat in diesem Punkt kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt, in dem sich zwei Höhenlinien schneiden.

Konvexität Bearbeiten

Es besteht zudem ein Zusammenhang zwischen der positiven Definitheit der Hesse-Matrix und der Konvexität einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion , die auf einer offenen, konvexen Menge definiert ist: Eine solche Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Hesse-Matrix überall in positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix sogar positiv definit in , dann ist die Funktion auf strikt konvex. Entsprechend gilt: Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist auf ihrer konvexen Definitionsmenge genau dann konkav, wenn ihre Hesse-Matrix negativ semidefinit ist. Ist die Hessematrix sogar negativ definit auf , so ist auf strikt konkav.

Ist auf ihrer Definitionsmenge strikt konvex, so besitzt höchstens ein globales Minimum auf . Jedes lokale Minimum ist zugleich das (einzige) globale Minimum. Ist strikt konkav, so besitzt höchstens ein globales Maximum. Jedes lokale Maximum ist zugleich ihr (einziges) globales Maximum.

Laplace-Operator Bearbeiten

Der Laplace-Operator einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion mit ist gleich der Spur ihrer Hesse-Matrix und daher unabhängig von der Wahl der Koordinaten:

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0575-1, S. 78.
  2. (Nicht mehr online verfügbar.) S. 16, archiviert vom Original am 2. November 2013; abgerufen am 16. September 2012.

Weblinks Bearbeiten

Literatur und Einzelnachweise Bearbeiten

  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
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Veröffentlichungsdatum:
Die nach Otto Hesse benannte Hesse Matrix ist eine quadratische Matrix die in der mehrdimensionalen reellen Analysis ein Analogon zur zweiten Ableitung einer Funktion ist Die Hesse Matrix taucht bei der Approximation einer mehrdimensionalen Funktion in der Taylor Entwicklung auf Sie ist unter anderem in Zusammenhang mit der Optimierung von Systemen von Bedeutung die durch mehrere Parameter beschrieben werden wie sie beispielsweise in den Wirtschaftswissenschaften in der Physik theoretischen Chemie oder in den Ingenieurwissenschaften haufig auftreten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Anwendungen 3 1 Taylor Entwicklung 3 2 Extremwerte 3 3 Konvexitat 3 4 Laplace Operator 4 Siehe auch 5 Einzelnachweise 6 Weblinks 7 Literatur und EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei f D R n R displaystyle f colon D subset mathbb R n to mathbb R nbsp eine zweimal stetig differenzierbare Funktion Dann ist die Hesse Matrix von f displaystyle f nbsp am Punkt x x 1 x n D displaystyle x x 1 ldots x n in D nbsp definiert durch H f x 2 f x i x j x i j 1 n 2 f x 1 x 1 x 2 f x 1 x 2 x 2 f x 1 x n x 2 f x 2 x 1 x 2 f x 2 x 2 x 2 f x 2 x n x 2 f x n x 1 x 2 f x n x 2 x 2 f x n x n x displaystyle operatorname H f x left frac partial 2 f partial x i partial x j x right i j 1 dots n begin pmatrix frac partial 2 f partial x 1 partial x 1 x amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 x amp cdots amp frac partial 2 f partial x 1 partial x n x 0 5em frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 x amp frac partial 2 f partial x 2 partial x 2 x amp cdots amp frac partial 2 f partial x 2 partial x n x vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial 2 f partial x n partial x 1 x amp frac partial 2 f partial x n partial x 2 x amp cdots amp frac partial 2 f partial x n partial x n x end pmatrix nbsp Mit 2 f x i x j displaystyle tfrac partial 2 f partial x i partial x j nbsp werden die zweiten partiellen Ableitungen bezeichnet Die Hesse Matrix entspricht der Transponierten der Jacobi Matrix des Gradienten ist aber bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge symmetrisch 1 so dass das Transponieren der Matrix keine Anderung bewirkt Beispiele BearbeitenFur f R 2 R displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R nbsp f x y x 3 y 3 3 x y displaystyle f x y x 3 y 3 3xy nbsp gilt f x x y 3 x 2 3 y displaystyle tfrac partial f partial x x y 3x 2 3y nbsp und f y x y 3 y 2 3 x displaystyle tfrac partial f partial y x y 3y 2 3x nbsp und fur die zweiten Ableitungen dementsprechend 2 f x x x y 6 x displaystyle tfrac partial 2 f partial x partial x x y 6x nbsp und 2 f x y x y 3 displaystyle tfrac partial 2 f partial x partial y x y 3 nbsp beziehungsweise 2 f y x x y 3 displaystyle tfrac partial 2 f partial y partial x x y 3 nbsp sowie 2 f y y x y 6 y displaystyle tfrac partial 2 f partial y partial y x y 6y nbsp Somit ergibt sich die Hessematrix zu H f x y 6 x 3 3 6 y displaystyle operatorname H f x y begin pmatrix 6x amp 3 3 amp 6y end pmatrix nbsp dd Die Funktion r R n R displaystyle r colon mathbb R n to mathbb R nbsp r x x j 1 n x j 2 displaystyle textstyle r x x sqrt sum j 1 n x j 2 nbsp die jedem Vektor im R n displaystyle mathbb R n nbsp seine euklidische Norm zuordnet ist fur alle x 0 displaystyle x neq 0 nbsp zweimal stetig differenzierbar und es gilt nach der Kettenregel r x j x x j x displaystyle frac partial r partial x j x frac x j x nbsp dd sowie weiter nach der Quotientenregel 2 r x i x j x d i j x x j x i x x 2 1 x d i j x i x j x 3 displaystyle frac partial 2 r partial x i partial x j x frac delta ij x x j frac x i x x 2 frac 1 x delta ij frac x i x j x 3 nbsp dd wobei d i j x j x i displaystyle delta ij frac partial x j partial x i nbsp das Kronecker Delta bezeichnet In Matrixschreibweise folgt alsoH r x 1 x E n 1 x 3 x x T displaystyle operatorname H r x frac 1 x E n frac 1 x 3 xx T nbsp dd mit der n n displaystyle n times n nbsp Einheitsmatrix E n displaystyle E n nbsp Anwendungen BearbeitenTaylor Entwicklung Bearbeiten Die Taylor Entwicklung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp mit D R n displaystyle D subseteq mathbb R n nbsp um eine Entwicklungsstelle a D displaystyle a in D nbsp beginnt mit T x f a x a T grad f a 1 2 x a T H f a x a displaystyle T x f a x a T operatorname grad f a frac 1 2 x a T operatorname H f a x a ldots nbsp Die Terme zweiter Ordnung dieser Entwicklung sind also durch die quadratische Form gegeben deren Matrix die an der Entwicklungsstelle ausgewertete Hesse Matrix ist Extremwerte Bearbeiten Mit Hilfe der Hesse Matrix lasst sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in R n displaystyle mathbb R n nbsp bestimmen Dazu bestimmt man fur die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Definitheit der Hesse Matrix Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion Ist die Hesse Matrix dort negativ definit so handelt es sich um ein lokales Maximum Ist sie indefinit dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion Falls die Hesse Matrix an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist so versagt dieses Kriterium und der Charakter des kritischen Punktes muss auf anderem Wege ermittelt werden Welcher dieser Falle vorliegt kann wie unter Definitheit beschrieben zum Beispiel mit Hilfe der Vorzeichen der Eigenwerte der Matrix oder ihrer Hauptminoren entschieden werden Beispiel Die Funktion f x y x 2 y 2 displaystyle f x y x 2 y 2 nbsp hat in 0 0 displaystyle 0 0 nbsp einen kritischen Punkt aber H f 0 0 2 0 0 2 displaystyle H f 0 0 begin pmatrix 2 amp 0 0 amp 2 end pmatrix nbsp ist weder positiv noch negativ definit und auch nicht semidefinit sondern indefinit Die Funktion hat in diesem Punkt kein Extremum sondern einen Sattelpunkt in dem sich zwei Hohenlinien schneiden Konvexitat Bearbeiten Es besteht zudem ein Zusammenhang zwischen der positiven Definitheit der Hesse Matrix und der Konvexitat einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f displaystyle f nbsp die auf einer offenen konvexen Menge D displaystyle D nbsp definiert ist Eine solche Funktion ist genau dann konvex wenn ihre Hesse Matrix uberall in D displaystyle D nbsp positiv semidefinit ist Ist die Hesse Matrix sogar positiv definit in D displaystyle D nbsp dann ist die Funktion auf D displaystyle D nbsp strikt konvex Entsprechend gilt Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f displaystyle f nbsp ist auf ihrer konvexen Definitionsmenge D displaystyle D nbsp genau dann konkav wenn ihre Hesse Matrix negativ semidefinit ist Ist die Hessematrix sogar negativ definit auf D displaystyle D nbsp so ist f displaystyle f nbsp auf D displaystyle D nbsp strikt konkav Ist f displaystyle f nbsp auf ihrer Definitionsmenge D displaystyle D nbsp strikt konvex so besitzt f displaystyle f nbsp hochstens ein globales Minimum auf D displaystyle D nbsp Jedes lokale Minimum ist zugleich das einzige globale Minimum Ist f displaystyle f nbsp strikt konkav so besitzt f displaystyle f nbsp hochstens ein globales Maximum Jedes lokale Maximum ist zugleich ihr einziges globales Maximum 2 Laplace Operator Bearbeiten Der Laplace Operator einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp mit D R n displaystyle D subseteq mathbb R n nbsp ist gleich der Spur ihrer Hesse Matrix und daher unabhangig von der Wahl der Koordinaten D f S p u r H f displaystyle Delta f mathrm Spur H f nbsp Siehe auch BearbeitenGeranderte Hesse MatrixEinzelnachweise Bearbeiten Otto Forster Analysis 2 Differentialrechnung im Rn gewohnliche Differentialgleichungen 8 Auflage Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden 2008 ISBN 978 3 8348 0575 1 S 78 Konvexe Funktionen Nicht mehr online verfugbar S 16 archiviert vom Original am 2 November 2013 abgerufen am 16 September 2012 Weblinks BearbeitenWeiteres zum Zusammenhang Konvexitat Hesse MatrixLiteratur und Einzelnachweise BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis Band 2 3 uberarbeitete Auflage Springer Verlag Berlin u a 2000 ISBN 3 540 66902 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hesse Matrix amp oldid 236462043