Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung Sie fuhrt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zuruck Sind die Funktionen u x displaystyle u x und v x displaystyle v x von einem Intervall D displaystyle D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x x a displaystyle x x a mit v x a 0 displaystyle v x a neq 0 differenzierbar dann ist auch die Funktion f displaystyle f mit f x u x v x displaystyle f x frac u x v x an der Stelle x a displaystyle x a differenzierbar und es gilt f x a u x a v x a u x a v x a v x a 2 displaystyle f x a frac u x a cdot v x a u x a cdot v x a v x a 2 In Kurzschreibweise u v u v u v v 2 displaystyle left frac u v right frac u v uv v 2 Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Beispiel 3 Weitere Herleitungen 4 Literatur 5 WeblinksHerleitung Bearbeiten QuotientenregelDer Quotient u x v x displaystyle u x over v x kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden dessen Katheten u x displaystyle u x und v x displaystyle v x sind siehe Abbildung Wenn x displaystyle x um D x displaystyle Delta x anwachst andert sich u displaystyle u um D u displaystyle Delta u und v displaystyle v um D v displaystyle Delta v Die Anderung der Steigung ist dann D u v u D u v D v u v u D u v u v D v v D v v D u v u D v v 2 D v v displaystyle begin aligned Delta left u over v right amp u Delta u over v Delta v u over v amp u Delta u cdot v u cdot v Delta v over v Delta v cdot v amp Delta u cdot v u cdot Delta v over v 2 Delta v cdot v end aligned Dividiert man durch D x displaystyle Delta x so folgt D u v D x D u D x v u D v D x v 2 D v v displaystyle Delta left u over v right over Delta x Delta u over Delta x cdot v u cdot Delta v over Delta x over v 2 Delta v cdot v Bildet man nun Limes D x 0 displaystyle Delta x to 0 so folgt u v u v u v v 2 displaystyle left u over v right u cdot v u cdot v over v 2 wie behauptet Beispiel BearbeitenVerwendet man die Kurznotation u v u v u v v 2 displaystyle left frac u color Blue v right frac u color Blue v color Black u color Blue v color Blue v color Black 2 so erhalt man beispielsweise fur die Ableitung folgender Funktion f x x 2 1 2 3 x f x 2 x 2 3 x x 2 1 3 2 3 x 2 displaystyle begin aligned f x amp frac x 2 1 color Blue 2 3x f x amp frac 2x cdot color Blue 2 3x color Black x 2 1 cdot color Blue 3 color Blue 2 3x color Black 2 end aligned Ausmultipliziert ergibt sich f x 3 x 2 4 x 3 2 3 x 2 displaystyle f x frac 3x 2 4x 3 2 3x 2 Weitere Herleitungen BearbeitenGegeben sei f x u x v x displaystyle f x frac u x v x Nach der Produktregel gilt f x u x 1 v x u x 1 v x u x 1 v x displaystyle begin aligned f x amp left u x cdot frac 1 v x right amp u x frac 1 v x u x left frac 1 v x right end aligned Mit der Kehrwertregel 1 v x v x v 2 x displaystyle left frac 1 v x right frac v x v 2 x folgt f x u x 1 v x u x v x v 2 x u x v x u x v x v 2 x displaystyle begin aligned f x amp u x frac 1 v x u x left frac v x v 2 x right amp frac u x v x u x v x v 2 x end aligned Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung f x v x u x displaystyle f x cdot v x u x Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt dass f x displaystyle f x uberhaupt eine Ableitung besitzt das heisst dass f x displaystyle f x existiert f x v x f x v x u x displaystyle f x cdot v x f x cdot v x u x folglich f x u x v x u x v x v x v x u x v x u x v x v 2 x displaystyle begin aligned f x amp frac u x v x frac u x v x cdot frac v x v x amp frac u x v x u x v x v 2 x end aligned Literatur BearbeitenDie Quotientenregel fur Funktionen wird in fast jedem Buch erlautert das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt Einige konkrete Beispiele sind Otto Forster Analysis 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen 7 Auflage Vieweg Braunschweig 2004 ISBN 3 528 67224 2 S 155 157 Auszug Google Konrad Konigsberger Analysis 1 Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 41282 4 S 129 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 Vieweg Teubner Wiesbaden 1980 ISBN 3 519 02221 4 17 aktualisierte Auflage ebenda 2009 ISBN 978 3 8348 0777 9 S 270 271 Auszug Google Weblinks BearbeitenQuotientenregel auf Wikibooks Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quotientenregel amp oldid 234423165
