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Satz von Schwarz Dieser Artikel ist über einen Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen Er sol

Satz von Schwarz

Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt; oder auch Young-Theorem) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.

Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma.

Aussage Bearbeiten

Sei eine offene Menge sowie mindestens -mal partiell differenzierbar und sind alle -ten partiellen Ableitungen in zumindest noch stetig, so ist -mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen -ten partiellen Ableitungen mit unerheblich.

Insbesondere für und gilt also

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen; es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind. Präziser gesagt, gilt zum Beispiel nach auch die folgende, geometrische Formulierung des Satzes: Seien und Banachräume über dem Körper , sei eine nichtleere, offene Teilmenge von , sei und sei die Abbildung in zweimal (total) differenzierbar, dann ist deren zweite Ableitung (die per definitionem ein Element von , also selbst eine stetige bilineare Funktion auf ist) symmetrisch; das heißt, für alle gilt

Wenn das kartesische Produkt von Banachräumen ist, also gilt, und die Norm von mit der Produkttopologie verträglich ist, dann folgen aus der Existenz und Symmetrie von für alle sowohl die Existenz der zweiten partiellen Ableitungen mit und im Punkt (diese sind per definitionem Elemente von ) als auch deren Symmetrie unter Vertauschung der Variablen und Argumente. Das heißt, für alle und gilt

Anmerkungen: Aus der Stetigkeit aller 2. partiellen Ableitung folgt bekanntlich die Stetigkeit von . Diese ist aber nicht Voraussetzung für den Satz. Die klassische Formulierung entspricht dem Spezialfall und ; da auf (und ) alle Normen äquivalent sind, sind diese automatisch verträglich mit der Produkttopologie, so dass diese Voraussetzung dann entfällt. Die geometrische Formulierung verallgemeinert die klassische auf nicht notwendig endlichdimensionale, reelle oder komplexe Banachräume und . Ohne ihre Argumente und wäre die angegebene Formel im Allgemeinen falsch, denn und wirken auf unterschiedlichen Räumen. So könnten die Banachräume und selbst dann, wenn sie endlichdimensional sind, von unterschiedlicher Dimension sein. Da die multilinearen Abbildungen auf Produkten von Banachräumen (mit der Operatornorm) selbst wieder Banachräume bilden, überträgt sich die (vollständige) Symmetrie (per vollständiger Induktion) auf alle höheren Ableitungen, so dass die beliebige Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen in diesem Sinne bis einschließlich zur Differenzierbarkeitsordnung (der Funktion an dieser Stelle) gilt.

Andere Schreibweisen Bearbeiten

Mögliche Schreibweisen ohne Klammern sind

Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von nach und von nach auffasst, kann man noch kürzer schreiben:

Andere Formulierungen Bearbeiten

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man als differenzierbare 0-Form auf und schreibt für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form bzw. auch einfach nur .

Für lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null: , oder mit Nabla-Symbol geschrieben: . Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei die Funktion durch Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen

und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen und

Es ist zu erkennen, dass gilt

Gegenbeispiel Bearbeiten

Ohne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsächlich nicht. Ein Gegenbeispiel, bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt, ist die Funktion mit und

Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz , aber es gilt

Bezug zu exakten Differentialgleichungen Bearbeiten

Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form

Man nennt diese exakt, wenn es eine stetig partiell differenzierbare Funktion gibt, so dass für gilt:

Sind und stetig partiell differenzierbare Funktionen auf , so ist nach dem Satz von Schwarz eine notwendige Bedingung hierfür, dass

gilt.

Wenn die offene Menge einfach zusammenhängend ist, dann folgt aus der Bedingung auch die Existenz von (z. B. folgt dies für sternförmiges aus dem Poincaré-Lemma).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. http://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~mate/misc/mixedpartial.pdf
  2. Arens et al.: Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, 2008, S. 789
  3. Hans Grauert und Wolfgang Fischer, Differential- und Integralrechnung II., Springer Verlag 1978
  4. Henri Cartan, Differentialrechnung, Bibliographisches Institut Mannheim/Wien/Zürich 1974
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 3-7643-7105-6, S. 192–193.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel ist uber einen Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen Er sollte nicht mit dem Lemma von Schwarz aus der komplexen Analysis verwechselt werden Der Satz von Schwarz nach Hermann Amandus Schwarz wird auch Satz von Clairaut genannt oder auch Young Theorem 1 ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen Er besagt dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge in der die partiellen Differentiationen Ableitungen nach den einzelnen Variablen durchgefuhrt werden nicht entscheidend fur das Ergebnis ist Tatsachlich leitet er zusatzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1 1 Andere Schreibweisen 2 Andere Formulierungen 3 Beispiel 4 Gegenbeispiel 5 Bezug zu exakten Differentialgleichungen 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei U R n displaystyle U subseteq mathbb R n nbsp eine offene Menge sowie f U R displaystyle f colon U to mathbb R nbsp mindestens k displaystyle k nbsp mal partiell differenzierbar und sind alle k displaystyle k nbsp ten partiellen Ableitungen in U displaystyle U nbsp zumindest noch stetig so ist f displaystyle f nbsp k displaystyle k nbsp mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen l displaystyle l nbsp ten partiellen Ableitungen mit l k displaystyle l leq k nbsp unerheblich 2 Insbesondere fur n 2 displaystyle n 2 nbsp und k 2 displaystyle k geq 2 nbsp gilt also x y f x y y x f x y displaystyle frac partial partial x left frac partial partial y f x y right frac partial partial y left frac partial partial x f x y right nbsp Der Satz gilt schon unter leicht schwacheren Voraussetzungen es genugt dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind 3 Praziser gesagt gilt zum Beispiel nach 4 auch die folgende geometrische Formulierung des Satzes Seien E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp Banachraume uber dem Korper K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C nbsp sei U displaystyle U nbsp eine nichtleere offene Teilmenge von E displaystyle E nbsp sei a U displaystyle a in U nbsp und sei die Abbildung f U F displaystyle f colon U to F nbsp in a displaystyle a nbsp zweimal total differenzierbar dann ist deren zweite Ableitung f a displaystyle f a nbsp die per definitionem ein Element von L E L E F L E E F displaystyle L E L E F cong L E E F nbsp also selbst eine stetige bilineare Funktion auf E E displaystyle E times E nbsp ist symmetrisch das heisst fur alle h k E displaystyle h k in E nbsp gilt f a h k f a k h displaystyle f a cdot h cdot k f a cdot k cdot h nbsp Wenn E displaystyle E nbsp das kartesische Produkt von n displaystyle n nbsp Banachraumen E i displaystyle E i nbsp ist also E E 1 E n displaystyle E E 1 times cdots times E n nbsp gilt und die Norm von E displaystyle E nbsp mit der Produkttopologie vertraglich ist dann folgen aus der Existenz und Symmetrie von f a displaystyle f a nbsp fur alle i j 1 n displaystyle i j 1 ldots n nbsp sowohl die Existenz der zweiten partiellen Ableitungen 2 f x i x j displaystyle frac partial 2 f partial x i partial x j nbsp mit x i E i displaystyle x i in E i nbsp und x j E j displaystyle x j in E j nbsp im Punkt a U displaystyle a in U nbsp diese sind per definitionem Elemente von L E i L E j F L E i E j F displaystyle L E i L E j F cong L E i E j F nbsp als auch deren Symmetrie unter Vertauschung der Variablen und Argumente Das heisst fur alle k i E i displaystyle k i in E i nbsp und h j E j displaystyle h j in E j nbsp gilt 2 f x i x j a k i h j 2 f x j x i a h j k i displaystyle left frac partial 2 f partial x i partial x j a cdot k i right cdot h j left frac partial 2 f partial x j partial x i a cdot h j right cdot k i nbsp Anmerkungen Aus der Stetigkeit aller 2 partiellen Ableitung folgt bekanntlich die Stetigkeit von f displaystyle f nbsp Diese ist aber nicht Voraussetzung fur den Satz Die klassische Formulierung entspricht dem Spezialfall E R n displaystyle E mathbb R n nbsp und E i F R displaystyle E i F mathbb R nbsp da auf R n displaystyle mathbb R n nbsp und C n displaystyle mathbb C n nbsp alle Normen aquivalent sind sind diese automatisch vertraglich mit der Produkttopologie so dass diese Voraussetzung dann entfallt Die geometrische Formulierung verallgemeinert die klassische auf nicht notwendig endlichdimensionale reelle oder komplexe Banachraume E i displaystyle E i nbsp und F displaystyle F nbsp Ohne ihre Argumente k i displaystyle k i nbsp und h j displaystyle h j nbsp ware die angegebene Formel im Allgemeinen falsch denn 2 f x i x j a displaystyle frac partial 2 f partial x i partial x j a nbsp und 2 f x j x i a displaystyle frac partial 2 f partial x j partial x i a nbsp wirken auf unterschiedlichen Raumen So konnten die Banachraume E i displaystyle E i nbsp und E j displaystyle E j nbsp selbst dann wenn sie endlichdimensional sind von unterschiedlicher Dimension sein Da die multilinearen Abbildungen auf Produkten von Banachraumen mit der Operatornorm selbst wieder Banachraume bilden ubertragt sich die vollstandige Symmetrie per vollstandiger Induktion auf alle hoheren Ableitungen so dass die beliebige Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen in diesem Sinne bis einschliesslich zur Differenzierbarkeitsordnung der Funktion an dieser Stelle gilt Andere Schreibweisen Bearbeiten Mogliche Schreibweisen ohne Klammern sind 2 f x y x y 2 f y x x y displaystyle frac partial 2 f partial x partial y x y frac partial 2 f partial y partial x x y nbsp oder auch f x y f y x displaystyle f xy f yx nbsp Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von C 2 U R displaystyle C 2 U mathbb R nbsp nach C 1 U R displaystyle C 1 U mathbb R nbsp und von C 1 U R displaystyle C 1 U mathbb R nbsp nach C 0 U R displaystyle C 0 U mathbb R nbsp auffasst kann man noch kurzer schreiben 2 x y 2 y x displaystyle frac partial 2 partial x partial y frac partial 2 partial y partial x nbsp oder auch 1 2 2 1 displaystyle partial 1 partial 2 partial 2 partial 1 nbsp Andere Formulierungen BearbeitenDer Satz von Schwarz sagt auch aus dass die Hesse Matrix symmetrisch ist Fasst man f C 2 U R displaystyle f in C 2 U mathbb R nbsp als differenzierbare 0 Form auf und schreibt d displaystyle d nbsp fur die aussere Ableitung so hat der Satz von Schwarz die Form d d f 0 displaystyle d df 0 nbsp bzw auch einfach nur d d 0 displaystyle dd 0 nbsp Fur U R 3 displaystyle U subseteq mathbb R 3 nbsp lasst sich das auch wie folgt formulieren Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null rot grad f 0 displaystyle operatorname rot operatorname grad f 0 nbsp oder mit Nabla Symbol geschrieben f 0 displaystyle vec nabla times vec nabla f vec 0 nbsp Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei Beispiel BearbeitenGegeben sei die Funktion f R 2 R displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R nbsp durch f x y e x 2 sin y displaystyle f x y e x 2 sin y nbsp Es ergibt sich fur die ersten partiellen Ableitungen f x 2 x e x 2 sin y f y e x 2 cos y displaystyle f x 2xe x 2 sin y qquad f y e x 2 cos y nbsp und fur die beiden zweiten partiellen Ableitungen f y x displaystyle f yx nbsp und f x y displaystyle f xy nbsp f y x 2 x e x 2 cos y f x y 2 x e x 2 cos y displaystyle f yx 2xe x 2 cos y qquad f xy 2xe x 2 cos y nbsp Es ist zu erkennen dass gilt f x y f y x displaystyle f xy f yx nbsp Gegenbeispiel BearbeitenOhne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsachlich nicht Ein Gegenbeispiel bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt ist die Funktion f R 2 R displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R nbsp mit f 0 0 0 displaystyle f 0 0 0 nbsp und f x y x 3 y x y 3 x 2 y 2 displaystyle f x y frac x 3 y xy 3 x 2 y 2 nbsp fur x y 0 0 displaystyle x y neq 0 0 nbsp Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp aber es gilt 5 2 x y f 0 0 1 displaystyle frac partial 2 partial x partial y f 0 0 1 nbsp und 2 y x f 0 0 1 displaystyle displaystyle frac partial 2 partial y partial x f 0 0 1 nbsp Bezug zu exakten Differentialgleichungen BearbeitenGegeben sei eine Differentialgleichung der Form a x y b x y y 0 displaystyle a x y b x y cdot y 0 nbsp Man nennt diese exakt wenn es eine stetig partiell differenzierbare Funktion F U R displaystyle Phi colon U to mathbb R nbsp gibt so dass fur x y U R 2 displaystyle x y in U subseteq mathbb R 2 nbsp gilt y F x y b x y displaystyle frac partial partial y Phi x y b x y nbsp und x F x y a x y displaystyle frac partial partial x Phi x y a x y nbsp Sind a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp stetig partiell differenzierbare Funktionen auf U displaystyle U nbsp so ist nach dem Satz von Schwarz eine notwendige Bedingung hierfur dass y a x y x b x y displaystyle frac partial partial y a x y frac partial partial x b x y qquad nbsp gilt Wenn die offene Menge U R 2 displaystyle U subset mathbb R 2 nbsp einfach zusammenhangend ist dann folgt aus der Bedingung displaystyle nbsp auch die Existenz von F displaystyle Phi nbsp z B folgt dies fur sternformiges U displaystyle U nbsp aus dem Poincare Lemma Weblinks BearbeitenEarliest Uses Clairaut s theorem Schwarz theorem and Young s theoremEinzelnachweise Bearbeiten http www sci brooklyn cuny edu mate misc mixedpartial pdf Arens et al Mathematik Spektrum Akademischer Verlag 2008 S 789 Hans Grauert und Wolfgang Fischer Differential und Integralrechnung II Springer Verlag 1978 Henri Cartan Differentialrechnung Bibliographisches Institut Mannheim Wien Zurich 1974 Herbert Amann Joachim Escher Analysis II 2 Auflage Birkhauser Basel Boston Berlin 2006 ISBN 3 7643 7105 6 S 192 193 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Schwarz amp oldid 229964062