Das Poincare Lemma ist ein Satz aus der Mathematik und wurde nach dem franzosischen Mathematiker Henri Poincare benannt Inhaltsverzeichnis 1 Exakte und geschlossene Differentialformen 2 Aussage 3 Beweis konstruktiv 4 Umeichung 5 Anwendung in der Elektrodynamik 6 Anwendung in der Kontinuumsmechanik 7 LiteraturExakte und geschlossene Differentialformen BearbeitenEine Differentialform w displaystyle omega nbsp vom Grad k displaystyle k nbsp heisst geschlossen falls d w 0 displaystyle mathrm d omega 0 nbsp gilt Dabei bezeichnet d displaystyle mathrm d nbsp die aussere Ableitung Eine Differentialform w displaystyle omega nbsp vom Grad k displaystyle k nbsp heisst exakt falls es eine k 1 displaystyle k 1 nbsp Differentialform n displaystyle nu nbsp gibt so dass w d n displaystyle omega mathrm d nu nbsp gilt Die Form n displaystyle nu nbsp nennt man eine Potentialform von w displaystyle omega nbsp Die Potentialform ist nicht eindeutig bestimmt sondern nur bis auf Umeichung siehe unten Wegen d d 0 displaystyle mathrm d circ mathrm d equiv 0 nbsp ist jede exakte Differentialform auch geschlossen Das Poincare Lemma gibt Voraussetzungen an unter denen auch die umgekehrte Aussage gilt Beim Beweis ergibt sich daruber hinaus eine Verallgemeinerung des Lemmas Von jeder Differentialform lasst sich per Konstruktion ein exakter Anteil abspalten Aussage BearbeitenDas Poincare Lemma besagt dass jede auf einer sternformigen offenen Menge U R d displaystyle U subseteq mathbb R d nbsp definierte geschlossene Differentialform exakt ist Die Aussage lasst sich abstrakter auch so formulieren Fur eine sternformige offene Menge U R d displaystyle U subseteq mathbb R d nbsp verschwindet die k displaystyle k nbsp te De Rham Kohomologie fur alle k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp H d R k U 0 displaystyle mathrm H mathrm dR k U 0 nbsp Im dreidimensionalen Spezialfall besagt das Poincare Lemma in die Sprache der Vektoranalysis uberfuhrt dass ein auf einem einfach zusammenhangenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld als Gradient eines Potentialfeldes F r displaystyle Phi mathbf r nbsp k 1 displaystyle k 1 nbsp ein quellfreies Vektorfeld auf einem konvexen Gebiet durch Rotation eines Vektorpotentials A r t displaystyle vec A mathbf r t nbsp k 2 displaystyle k 2 nbsp und eine skalare Felddichte Quellendichte als Divergenz eines Vektorfeldes k 3 displaystyle k 3 nbsp dargestellt werden konnen Beweis konstruktiv BearbeitenSei x 0 U displaystyle x 0 in U nbsp der Punkt um welchen herum U R n displaystyle U subset mathbb R n nbsp sternformig ist Das Poincare Lemma gibt explizit eine k 1 displaystyle k 1 nbsp Form an und zwar mit folgender Formel Einer beliebigen k displaystyle k nbsp Form w k w I d x I displaystyle textstyle omega k sum omega I rm d x I nbsp lasst sich Geschlossenheit nicht notwendig vorausgesetzt eine k 1 displaystyle k 1 nbsp Form P k 1 w k displaystyle P k 1 omega k nbsp zuordnen aus der sich bei Geschlossenheit die gesuchte Potentialform ergibt Diese zugeordnete Form lasst sich durch folgende Abbildung definieren P k 1 w k x i 1 lt lt i k a 1 k 1 a 1 0 1 t k 1 w i 1 i k x 0 t x d t x i a d x i 1 d x i a d x i k displaystyle P k 1 omega k x sum i 1 lt cdots lt i k sum alpha 1 k 1 alpha 1 Big int 0 1 t k 1 omega i 1 cdots i k x 0 tx dt Big x i alpha rm d x i 1 wedge cdots wedge widehat rm d x i alpha wedge cdots wedge rm d x i k nbsp Das Dachsymbol in der i a displaystyle i alpha nbsp ten Spalte der rechten Seite bedeutet dass das entsprechende Differential ausgelassen wird Nun zeigt man direkt dass folgende Identitat gilt w k P k d w k d P k 1 w k displaystyle omega k equiv mathrm P k rm d omega k rm d mathrm P k 1 omega k mathrm nbsp was formal der Produktregel der Differentiation entspricht und die durch w k displaystyle omega k nbsp reprasentierten Eigenschaften in zwei Anteile zerlegt von denen der zweite die gesuchte Eigenschaft besitzt Wegen der Voraussetzung d w k 0 displaystyle rm d omega k equiv 0 nbsp und wegen d d 0 displaystyle mathrm d circ mathrm d 0 nbsp ergibt sich zunachst 0 d P k d w k 0 displaystyle 0 equiv mathrm d P k mathrm d omega k to 0 nbsp Dies gilt ohne Einschrankung der Allgemeinheit auch ohne das vorderste d displaystyle mathrm d nbsp der rechten Seite und zwar deshalb weil durch die Forderung d w k 0 displaystyle mathrm d omega k to 0 nbsp die Form d P k displaystyle mathrm d P k nbsp nur am Nullpunkt betrachtet wird sodass wie beim Totalen Differential einer Funktion aus d P k 0 displaystyle mathrm d P k 0 nbsp bis auf sog Eichtransformationen siehe unten auch P k 0 displaystyle mathrm P k 0 nbsp gefolgert werden kann Somit bleibt nur der letzte Term der obigen Identitat und es folgt die gesuchte Aussage w k d h k 1 displaystyle omega k equiv mathrm d eta k 1 nbsp mit h k 1 P k 1 w k displaystyle eta k 1 mathrm P k 1 omega k nbsp Die angegebene Identitat verallgemeinert zugleich das Poincaresche Lemma durch Zerlegung einer beliebigen Differentialform w displaystyle omega nbsp in einen nicht exakten anholonomen und einen exakten holonomen Anteil die eingeklammerten Bezeichnungen entsprechen den sog Zwangskraften in der analytischen Mechanik Es entspricht zugleich der Zerlegung eines beliebigen Vektorfeldes in einen Wirbel und einen Quellen Anteil In der Sprache der homologischen Algebra ist P displaystyle P nbsp eine kontrahierende Homotopie die z B auf den zentralen Punkt des hier betrachteten sternformigen Gebietes kontrahiert Umeichung BearbeitenDas so definierte h k 1 displaystyle eta k 1 nbsp ist nicht die einzige k 1 displaystyle k 1 nbsp Form deren ausseres Differential w k displaystyle omega k nbsp ist Alle anderen unterscheiden sich aber hochstens um das Differential einer k 2 displaystyle k 2 nbsp Form voneinander Sind h 2 k 1 displaystyle eta 2 k 1 nbsp und h 1 k 1 displaystyle eta 1 k 1 nbsp zwei solche k 1 displaystyle k 1 nbsp Formen so existiert eine k 2 displaystyle k 2 nbsp Form 3 k 2 displaystyle xi k 2 nbsp derart dass h 2 k 1 h 1 k 1 d 3 k 2 displaystyle eta 2 k 1 eta 1 k 1 mathrm d xi k 2 nbsp gilt Der Zusatz d 3 k 2 displaystyle mathrm d xi k 2 nbsp wird auch als Eichtransformation bzw Umeichung von h 1 k 1 displaystyle eta 1 k 1 nbsp bezeichnet Anwendung in der Elektrodynamik BearbeitenAus der Elektrodynamik ist der Fall eines von einem stationaren Strom erzeugten Magnetfeldes bekannt mit dem sog Vektorpotential A r displaystyle vec A mathbf r nbsp Dieser Fall entspricht k 2 displaystyle k 2 nbsp wobei das sternformige Gebiet der R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ist Der Vektor der Stromdichte ist j displaystyle vec j nbsp und entspricht der Stromform I j 1 x y z d x 2 d x 3 j 2 x y z d x 3 d x 1 j 3 x y z d x 1 d x 2 displaystyle mathbf I j 1 x y z rm d x 2 wedge rm d x 3 j 2 x y z rm d x 3 wedge rm d x 1 j 3 x y z rm d x 1 wedge rm d x 2 nbsp Fur das Magnetfeld B displaystyle vec B nbsp gilt Analoges es entspricht der Magnetflussform F B B 1 d x 2 d x 3 displaystyle Phi B B 1 rm d x 2 wedge rm d x 3 dots nbsp und lasst sich aus dem Vektorpotential ableiten B rot A A 3 x 2 A 2 x 3 A 1 x 3 A 3 x 1 A 2 x 1 A 1 x 2 t displaystyle textstyle vec B operatorname rot vec A left tfrac partial A 3 partial x 2 tfrac partial A 2 partial x 3 tfrac partial A 1 partial x 3 tfrac partial A 3 partial x 1 tfrac partial A 2 partial x 1 tfrac partial A 1 partial x 2 right t nbsp oder F B d A displaystyle Phi B rm d mathbf A nbsp Dabei entspricht das Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp der Potentialform A A 1 d x 1 A 2 d x 2 A 3 d x 3 displaystyle mathbf A A 1 rm d x 1 A 2 rm d x 2 A 3 rm d x 3 nbsp Die Geschlossenheit der Magnetflussform entspricht der Quellenfreiheit des Magnetfeldes div B 0 displaystyle operatorname div vec B equiv 0 nbsp Unter Verwendung der Coulomb Eichung div A 0 displaystyle operatorname div vec A stackrel 0 nbsp bzw passend zu div j 0 displaystyle operatorname div vec j stackrel 0 nbsp gilt dann fur i 1 2 3 A i r m 0 j i r d x 1 d x 2 d x 3 4 p r r displaystyle A i vec r int frac mu 0 j i vec r dx 1 dx 2 dx 3 4 pi vec r vec r nbsp dabei ist m 0 displaystyle mu 0 nbsp eine Naturkonstante die sogenannte Magnetische Feldkonstante An dieser Gleichung ist u a bemerkenswert dass sie vollstandig einer bekannten Formel fur das elektrische Feld E displaystyle vec E nbsp entspricht dem Coulombpotential ϕ x 1 x 2 x 3 displaystyle phi x 1 x 2 x 3 nbsp einer gegebenen Ladungsverteilung mit der Dichte r x 1 x 2 x 3 displaystyle rho x 1 x 2 x 3 nbsp Man vermutet an dieser Stelle bereits dass E displaystyle vec E nbsp und B displaystyle vec B nbsp bzw r displaystyle rho nbsp und j displaystyle vec j nbsp sowie ϕ displaystyle phi nbsp und A displaystyle vec A nbsp zusammengefasst werden konnen und dass sich die relativistische Invarianz der Maxwellschen Elektrodynamik daraus ergibt siehe dazu Elektrodynamik Wenn man die Bedingung der Stationaritat aufgibt muss auf der linken Seite der obigen Gleichung bei A i displaystyle A i nbsp zu den Raumkoordinaten das Zeitargument t displaystyle t nbsp hinzugefugt werden wahrend auf der rechten Seite in j i displaystyle j i nbsp die sog retardierte Zeit t t r r c displaystyle t t tfrac vec r vec r c nbsp zu erganzen ist Es wird dabei wie zuvor uber die drei Raumkoordinaten r displaystyle vec r nbsp integriert Schliesslich ist c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Anwendung in der Kontinuumsmechanik BearbeitenIn der Kontinuumsmechanik wird das Lemma auf Tensoren angewendet was z B fur die Aufstellung der Kompatibilitatsbedingungen gebraucht wird Ausgangspunkt ist das Lemma in der Formulierung rot u e k u x k 0 f u grad f displaystyle operatorname rot vec u hat e k times frac partial vec u partial x k vec 0 quad rightarrow quad exists varphi colon vec u operatorname grad varphi nbsp I Der Operator grad bildet den Gradient die Vektoren e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp sind die Standardbasis des kartesischen Koordinatensystems mit Koordinaten x 1 2 3 displaystyle x 1 2 3 nbsp und es wurde die einsteinsche Summenkonvention angewendet dergemass uber in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes hier k von eins bis drei zu summieren ist was auch im Folgenden praktiziert werden soll Gegeben sei nun ein Tensorfeld T e i t i displaystyle mathbf T hat e i otimes vec t i nbsp dessen Zeilenvektoren t 1 2 3 displaystyle vec t 1 2 3 nbsp mit dem dyadischen Produkt zum Tensor zusammengefugt werden Jeder Tensor zweiter Stufe kann in dieser Form dargestellt werden Die Rotation des Tensors verschwinde rot T T e k x k t i e i e k t i x k e i 0 e k t i x k 0 i 1 2 3 displaystyle begin aligned operatorname rot mathbf T nabla times mathbf T top amp hat e k times frac partial partial x k vec t i otimes hat e i left hat e k times frac partial vec t i partial x k right otimes hat e i mathbf 0 amp rightarrow quad hat e k times frac partial vec t i partial x k vec 0 quad i 1 2 3 end aligned nbsp so dass also jeder Zeilenvektor rotationsfrei ist Dann gibt es fur jeden Zeilenvektor ein Skalarfeld u i displaystyle u i nbsp dessen Gradient er ist t i grad u i T e i t i e i grad u i grad u displaystyle vec t i operatorname grad u i quad rightarrow quad mathbf T hat e i otimes vec t i hat e i otimes operatorname grad u i operatorname grad vec u nbsp denn der Gradient des Vektors u u i e i displaystyle vec u u i hat e i nbsp bildet sich gemass grad u u i x k e i e k e i u i x k e k e i grad u i displaystyle operatorname grad vec u frac partial u i partial x k hat e i otimes hat e k hat e i otimes frac partial u i partial x k hat e k hat e i otimes operatorname grad u i nbsp Damit gilt die zweite Form des Lemmas rot T T 0 u T grad u displaystyle operatorname rot mathbf T nabla times mathbf T top mathbf 0 quad rightarrow quad exists vec u colon mathbf T operatorname grad vec u nbsp II Wenn zusatzlich die Spur des Tensors verschwindet dann ist das Vektorfeld divergenz frei Sp T Sp e i grad u i e i u i x k e k u i x i div u 0 displaystyle operatorname Sp mathbf T operatorname Sp hat e i otimes operatorname grad u i hat e i cdot frac partial u i partial x k hat e k frac partial u i partial x i operatorname div vec u 0 nbsp In diesem Fall berechnet sich mit dem Einheitstensor 1 ej ej rot 1 u e k x k e j e j u i e i u i x k e k e j e i e j u i x k d i k e j d j k e i e j u i x i e j e j u i x j e i e j grad u displaystyle begin aligned operatorname rot mathbf 1 times vec u amp hat e k times frac partial partial x k hat e j otimes hat e j times u i hat e i top frac partial u i partial x k hat e k times hat e j times hat e i otimes hat e j amp frac partial u i partial x k delta ik hat e j delta jk hat e i otimes hat e j frac partial u i partial x i hat e j otimes hat e j frac partial u i partial x j hat e i otimes hat e j amp operatorname grad vec u end aligned nbsp und der Tensor 1 u displaystyle mathbf 1 times vec u nbsp ist schiefsymmetrisch 1 u e i e i u j e j ϵ i j k u j e k e i u j e k e k e j 1 u displaystyle mathbf 1 times vec u top hat e i otimes hat e i times u j hat e j top epsilon ijk u j hat e k otimes hat e i u j hat e k otimes hat e k times hat e j mathbf 1 times vec u nbsp Darin ist ϵijk ei ej ek das Permutationssymbol Mit W 1 u displaystyle mathbf W mathbf 1 times vec u nbsp folgt die dritte Form des Lemmas rot T 0 und Sp T 0 W T rot W mit W W displaystyle operatorname rot mathbf T mathbf 0 text und operatorname Sp mathbf T 0 rightarrow quad exists mathbf W colon mathbf T operatorname rot mathbf W text mit mathbf W mathbf W top nbsp III oder mit W 1 u displaystyle mathbf W mathbf 1 times vec u nbsp und dem Nabla Operator T 0 und Sp T 0 W T W mit W W displaystyle nabla times mathbf T top mathbf 0 text und operatorname Sp mathbf T 0 rightarrow quad exists mathbf W colon mathbf T nabla times mathbf W text mit mathbf W mathbf W top nbsp III Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis Band 3 Integralrechnung im ℝn mit Anwendungen 4 Auflage Vieweg Teubner Braunschweig u a 2007 ISBN 978 3 528 37252 1 John M Lee Introduction to Smooth Manifolds Graduate Texts in Mathematics 218 Springer Verlag New York NY u a 2003 ISBN 0 387 95448 1 C Truesdell Festkorpermechanik II in S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VIa 2 Springer Verlag 1972 ISBN 3 540 05535 5 ISBN 0 387 05535 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Poincare Lemma amp oldid 223324354
