Kompatibilitatsbedingungen sind in der Kontinuumsmechanik Bedingungen die erfullt sein mussen damit aus Ableitungen eines Bewegungsfeldes nach dem Ort gebildeten Grossen das Bewegungsfeld rekonstruiert werden kann Die abgeleiteten Grossen sind dann kompatibel mit einem Bewegungsfeld Anwendung finden die Kompatibilitatsbedingungen in der Theorie der Spannungsfunktionen mit deren Hilfe analytische Losungen der ebenen und raumlichen linearen Elastostatik berechnet werden konnen z B bei der Airy schen Spannungsfunktion Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 1 1 Motivation 1 2 Bewegungen 2 Kompatibilitatsbedingungen 2 1 Linearisierter Verzerrungstensor 2 2 Spannungen 2 3 Deformationsgradient 2 4 Strecktensor 3 Beispiel 4 Siehe auch 5 Fussnoten 6 Einzelnachweise 7 LiteraturEinfuhrung BearbeitenMotivation Bearbeiten nbsp Bei der Verformung in der Ebene entsprechen zwei Verschiebungen drei Verzerrungsfeldern e 11 e 22 displaystyle varepsilon 11 varepsilon 22 nbsp und e 12 displaystyle varepsilon 12 nbsp Aus ihnen kann das Verschiebungsfeld unten rekonstruiert werden wenn die Kompatibilitatsbedingungen eingehalten werden Bei der Bewegung eines Korpers durch den Raum treten in den fur die Kontinuumsmechanik interessanten Fallen Verformungen auf die sich durch die Verzerrungen quantifizieren lassen die aus Ableitungen des Bewegungsfeldes nach dem Ort berechnet werden Von den Verzerrungen gibt es im allgemeinen dreidimensionalen Fall sechs Komponenten Sollen aus ihnen die drei Komponenten der Bewegung in x y bzw z Richtung rekonstruiert werden ist klar dass die Verzerrungen nicht voneinander unabhangig sein konnen Bei einer ebenen Bewegung liegen drei Verzerrungsfelder e 11 e 22 displaystyle varepsilon 11 varepsilon 22 nbsp und e 12 displaystyle varepsilon 12 nbsp vor die zwei Verschiebungskomponenten in x bzw y Richtung entsprechen nach Umbenennung gemass dem Schema 1 x und 2 y Einen solchen Fall zeigt die nebenstehende Abbildung Nun kann sich die Frage stellen ob sich aus den Verzerrungsfeldern die Bewegung rekonstruieren lasst Dies kann genau dann gelingen wenn die Verzerrungen die fur sie formulierten Kompatibilitatsbedingungen einhalten Indem die drei Komponenten der Bewegung in x y und z Richtung nach den drei Ortskoordinaten in x y bzw z Richtung abgeleitet werden entstehen insgesamt neun Ableitungen die die Komponenten des Deformationsgradienten bilden Auch fur die neun Komponenten des Deformationsgradienten existieren Kompatibilitatsbedingungen die diese einhalten mussen damit aus ihnen die Bewegung wieder hergestellt werden kann Bewegungen Bearbeiten Um die Bewegung eines Korpers zu beschreiben wird zunachst jedem Partikel des Korpers uber die Referenzkonfiguration eineindeutig ein Name oder Etikett zugeordnet Dieser Name soll hier die Position X i 1 3 X i e i V 3 displaystyle vec X sum i 1 3 X i hat e i in mathbb V 3 nbsp des Partikels zu einem bestimmten Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp sein Die Zahlen X 1 2 3 R displaystyle X 1 2 3 in mathbb R nbsp werden materielle Koordinaten des Partikels genannt und gelten in Bezug auf die Standardbasis e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp des euklidischen Vektorraumes V 3 displaystyle mathbb V 3 nbsp Zumeist wird t 0 displaystyle t 0 nbsp so gewahlt dass zu diesem Zeitpunkt der Korper undeformiert und in Ruhe ist und die Bewegung beginnt Im Zuge seiner Bewegung durch den Raum wandert jedes Partikel auf seiner Bahnlinie vorwarts die die Bewegungsfunktion x X t x i 1 3 x i e i V 3 displaystyle vec chi vec X t vec x sum i 1 3 x i hat e i in mathbb V 3 nbsp mathematisch beschreibt In Bezug auf die Standardbasis hat nun jedes Partikel zu einer Zeit t t 0 displaystyle t geq t 0 nbsp raumliche Koordinaten x 1 2 3 R displaystyle x 1 2 3 in mathbb R nbsp Kompatibilitatsbedingungen BearbeitenLinearisierter Verzerrungstensor Bearbeiten Der linearisierte Verzerrungstensor entsteht aus Ableitungen des Verschiebungsfeldes Die Verschiebung u displaystyle vec u nbsp eines Partikels ist sein zuruckgelegter Weg mathematisch der Differenzvektor zwischen seiner aktuellen Position und seiner Position in der Ausgangskonfiguration u X t x X t X i 1 3 u i X t e i displaystyle vec u vec X t vec chi vec X t vec X sum i 1 3 u i vec X t hat e i nbsp Haufig kann vor allem in technischen Anwendungen angenommen werden dass erstens diese Verschiebung im Vergleich zu Abmessungen des Korpers klein ist und zweitens auch die Ableitungen der Verschiebungen nach dem Ort klein gegen eins sind Dann brauchen die materiellen Koordinaten X displaystyle vec X nbsp und die raumlichen x displaystyle vec x nbsp nicht mehr auseinandergehalten zu werden und die Verzerrungen des Korpers werden mit dem linearisierten Verzerrungstensor gemessen der die Darstellung e 1 2 g r a d u g r a d u 1 2 u u e i j e i e j 1 2 u i j u j i e i e j displaystyle begin aligned boldsymbol varepsilon amp frac 1 2 left mathrm grad vec u mathrm grad vec u top right frac 1 2 nabla otimes vec u top nabla otimes vec u amp varepsilon ij hat e i otimes hat e j frac 1 2 u i j u j i hat e i otimes hat e j end aligned nbsp besitzt Darin ist grad der Gradienten und der Nabla Operator das hochgestellte Zeichen steht fur die Transposition das Rechenzeichen bildet das dyadische Produkt und in den letzten beiden Gleichungen wurde die Einsteinsche Summenkonvention angewendet Hier wie im Folgenden ist uber in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes oben i und j von eins bis drei zu summieren Des Weiteren ist ein Index nach einem Komma eine abkurzende Schreibweise fur die Ableitung nach der genannten Koordinate u i j u i x j displaystyle u i j frac partial u i partial x j nbsp Berechnung der Rotation des Verzerrungstensors liefert e e k x k e e k 1 2 u i j k u j i k e i e j 1 2 u i j k e k e i e j 1 2 u j i k e k e i e j 0 e e l x l 1 2 u i j k e j e k e i 1 2 u i j k l e l e j e k e i 0 displaystyle begin aligned nabla times boldsymbol varepsilon amp hat e k times frac partial partial x k boldsymbol varepsilon hat e k times frac 1 2 u i jk u j ik hat e i otimes hat e j amp frac 1 2 u i jk hat e k times hat e i otimes hat e j frac 1 2 underbrace u j ik hat e k times hat e i otimes hat e j mathbf 0 rightarrow nabla times left nabla times boldsymbol varepsilon top right amp hat e l times frac partial partial x l left frac 1 2 u i jk hat e j otimes hat e k times hat e i right amp frac 1 2 u i jkl hat e l times hat e j otimes hat e k times hat e i mathbf 0 end aligned nbsp Der obere rechte Term verschwindet weil Komponenten mit vertauschten Indizes i und k gleich gross aber umgekehrtes Vorzeichen haben so dass sie sich in der Summe aufheben oder bei i k verschwinden was in der letzten Gleichung auch fur die Indizes j und l in analoger Weise zutrifft Die aus dem Verschiebungsfeld abgeleiteten Verzerrungen erfullen also F 1 e e i j k l ϵ j l m ϵ i k n e m e n 0 2 e 12 12 e 22 11 e 11 22 0 2 e 13 13 e 33 11 e 11 33 0 2 e 23 23 e 33 22 e 22 33 0 e 11 23 e 23 11 e 12 13 e 13 12 0 e 22 13 e 13 22 e 12 23 e 23 12 0 e 12 33 e 33 12 e 13 23 e 23 13 0 displaystyle begin aligned nabla times left nabla times boldsymbol varepsilon top right varepsilon ij kl epsilon jlm epsilon ikn hat e m otimes hat e n amp mathbf 0 downarrow amp 2 varepsilon 12 12 varepsilon 22 11 varepsilon 11 22 amp 0 2 varepsilon 13 13 varepsilon 33 11 varepsilon 11 33 amp 0 2 varepsilon 23 23 varepsilon 33 22 varepsilon 22 33 amp 0 varepsilon 11 23 varepsilon 23 11 varepsilon 12 13 varepsilon 13 12 amp 0 varepsilon 22 13 varepsilon 13 22 varepsilon 12 23 varepsilon 23 12 amp 0 varepsilon 12 33 varepsilon 33 12 varepsilon 13 23 varepsilon 23 13 amp 0 end aligned nbsp ϵijk ei ej ek ist das Permutationssymbol Die Gleichungen sind die Kompatibilitatsbedingungen der Verzerrungen denn werden diese Gleichungen von einem Verzerrungsfeld eingehalten dann gibt es ein Verschiebungsfeld das die gegebenen Verzerrungen hervorruft L 1 Beweis 1Der Schluss von der Kompatibilitatsbedingung e 0 displaystyle nabla times left nabla times boldsymbol varepsilon top right mathbf 0 nbsp auf die Existenz des Verschiebungsfeldes gelingt mit dem Tensorfeld e e i j k e k e i e j displaystyle nabla times boldsymbol varepsilon varepsilon ij k hat e k times hat e i otimes hat e j nbsp das spurfrei ist S p e e i j k e k e i e j e i j k e i e j e k 0 displaystyle mathrm Sp nabla times boldsymbol varepsilon varepsilon ij k hat e k times hat e i cdot hat e j varepsilon ij k hat e i times hat e j cdot hat e k 0 nbsp denn Terme mit vertauschten Indizes i und j sind gleich gross haben aber entgegengesetztes Vorzeichen so dass sie sich in der Summe aufheben oder verschwinden bei i j siehe Spatprodukt Nach dem Poincare Lemma in der Auspragung T 0 und S p T 0 W T W mit W W displaystyle nabla times mathbf T top mathbf 0 text und mathrm Sp mathbf T 0 rightarrow exists mathbf W colon mathbf T nabla times mathbf W text mit mathbf W top mathbf W nbsp existiert ein schiefsymmetrisches Tensorfeld W dessen Rotation e ist e W 0 e W e W displaystyle nabla times boldsymbol varepsilon nabla times mathbf W quad rightarrow quad mathbf 0 nabla times boldsymbol varepsilon mathbf W nabla times boldsymbol varepsilon mathbf W top nbsp Gemass dem Poincare Lemma in der Auspragung T 0 u T u displaystyle nabla times mathbf T top mathbf 0 quad rightarrow quad exists vec u colon mathbf T nabla otimes vec u top nbsp gibt es nun ein Vektorfeld u displaystyle vec u nbsp fur das gilt e W u displaystyle boldsymbol varepsilon mathbf W nabla otimes vec u top nbsp und dessen symmetrischer Anteil der Verzerrungstensor ist 1 2 u u 1 2 e W e W e displaystyle frac 1 2 nabla otimes vec u top nabla otimes vec u frac 1 2 boldsymbol varepsilon mathbf W boldsymbol varepsilon top mathbf W top boldsymbol varepsilon nbsp In ebenen Problemen wie bei der Airy schen Spannungsfunktion wo nur zwei Koordinaten involviert sind reduzieren sich diese Kompatibilitatsbedingungen weiter auf nur eine von den drei ersten skalaren Gleichungen Die Kompatibilitatsbedingung kann auch ohne die Rotation geschrieben werden D e S p e 2 s y m e 0 e i j k k e k k i j e i k j k e j k i k 0 i j 1 2 3 displaystyle begin aligned Delta boldsymbol varepsilon nabla otimes nabla mathrm Sp boldsymbol varepsilon 2 mathrm sym big nabla otimes nabla cdot boldsymbol varepsilon big amp mathbf 0 leftrightarrow quad varepsilon ij kk varepsilon kk ij varepsilon ik jk varepsilon jk ik amp 0 quad i j 1 2 3 end aligned nbsp Der Operator Sp gibt die Spur eines Tensors und sym liefert den symmetrischen Anteil s y m T 1 2 T T displaystyle mathrm sym mathbf T tfrac 1 2 mathbf T mathbf T top nbsp Beweis 2Fur die Herleitung wird das wie folgt definierte aussere Tensorprodukt benutzt a g b h a b g h A B S p A B S p B A A B B A S p A S p B S p A B 1 displaystyle begin aligned vec a otimes vec g vec b otimes vec h amp vec a times vec b otimes vec g times vec h mathbf A mathbf B amp mathrm Sp mathbf A mathbf B top mathrm Sp mathbf B mathbf A top mathbf A top cdot mathbf B top mathbf B top cdot mathbf A top amp mathrm Sp mathbf A mathrm Sp mathbf B mathrm Sp mathbf A cdot mathbf B mathbf 1 end aligned nbsp Der Tensor 1 ist der Einheitstensor Damit berechnet sich R e e e i j k l e l e j e k e i e i j k l e l e k A e j e i B e i j k l d l k e j e i d j i e l e k e l e k e j e i e j e i e l e k d l k d j i d k j d l i 1 e i j k k e i e j e k k i j e i e j e j k i k e i e j e i k j k e i e j e i i k k e i j i j 1 D e S p e 2 s y m e L e D S p e e s 1 R e L e s 1 displaystyle begin aligned mathfrak R boldsymbol varepsilon amp nabla times nabla times boldsymbol varepsilon top varepsilon ij kl hat e l times hat e j otimes hat e k times hat e i amp varepsilon ij kl overbrace hat e l otimes hat e k mathbf A overbrace hat e j otimes hat e i mathbf B amp varepsilon ij kl big delta lk hat e j otimes hat e i top delta ji hat e l otimes hat e k top hat e l otimes hat e k top cdot hat e j otimes hat e i top amp qquad hat e j otimes hat e i top cdot hat e l otimes hat e k top delta lk delta ji delta kj delta li mathbf 1 big amp varepsilon ij kk hat e i otimes hat e j varepsilon kk ij hat e i otimes hat e j varepsilon jk ik hat e i otimes hat e j amp varepsilon ik jk hat e i otimes hat e j varepsilon ii kk varepsilon ij ij mathbf 1 amp underbrace Delta boldsymbol varepsilon nabla otimes big nabla rm Sp boldsymbol varepsilon big 2 mathrm sym big nabla otimes nabla cdot boldsymbol varepsilon big mathfrak L boldsymbol varepsilon amp underbrace Delta mathrm Sp boldsymbol varepsilon nabla cdot nabla cdot boldsymbol varepsilon s mathbf 1 rightarrow mathfrak R boldsymbol varepsilon amp mathfrak L boldsymbol varepsilon s mathbf 1 end aligned nbsp Der Operator D ist der Laplace Operator Die Spur von L e displaystyle mathfrak L boldsymbol varepsilon nbsp berechnet sich zu S p L e S p e i j k k e i e j e k k i j e i e j e j k i k e i e j e i k j k e i e j e i i k k e k k i i e i k i k e i k i k 2 D S p e 2 e 2 s displaystyle begin aligned mathrm Sp mathfrak L boldsymbol varepsilon amp mathrm Sp varepsilon ij kk hat e i otimes hat e j varepsilon kk ij hat e i otimes hat e j varepsilon jk ik hat e i otimes hat e j varepsilon ik jk hat e i otimes hat e j amp varepsilon ii kk varepsilon kk ii varepsilon ik ik varepsilon ik ik 2 Delta mathrm Sp boldsymbol varepsilon 2 nabla cdot nabla cdot boldsymbol varepsilon 2s end aligned nbsp mit der Konsequenz S p R e 2 s 3 s s displaystyle mathrm Sp mathfrak R boldsymbol varepsilon 2s 3s s nbsp Deshalb verschwindet R e displaystyle mathfrak R boldsymbol varepsilon nbsp genau dann wenn auch L e displaystyle mathfrak L boldsymbol varepsilon nbsp verschwindet Denn wenn R e 0 displaystyle mathfrak R boldsymbol varepsilon mathbf 0 nbsp ist dann ist auch s 0 und es folgt L e 0 displaystyle mathfrak L boldsymbol varepsilon mathbf 0 nbsp Umgekehrt folgt auch aus L e 0 displaystyle mathfrak L boldsymbol varepsilon mathbf 0 nbsp dass s 0 ist und dementsprechend R e 0 displaystyle mathfrak R boldsymbol varepsilon mathbf 0 nbsp gilt Also kann die Kompatibilitat der Verzerrungen mit einem Verschiebungsfeld auch mit L e D e S p e 2 s y m e 0 e i j k k e k k i j e i k j k e j k i k 0 i j 1 2 3 displaystyle begin aligned mathfrak L boldsymbol varepsilon Delta boldsymbol varepsilon nabla otimes big nabla rm Sp boldsymbol varepsilon big 2 mathrm sym big nabla otimes nabla cdot boldsymbol varepsilon big amp mathbf 0 leftrightarrow quad varepsilon ij kk varepsilon kk ij varepsilon ik jk varepsilon jk ik amp 0 quad i j 1 2 3 end aligned nbsp sichergestellt werden Spannungen Bearbeiten Beim Losungsansatz fur die Bewegungsgleichungen uber Spannungsfunktionen sind die Spannungen die primaren Unbekannten Sind diese fur gegebene Randbedingungen gefunden dann gilt es aus ihnen das Bewegungsfeld zu rekonstruieren Das gelingt bei linearer isotroper Elastizitat wenn die Spannungen s in einem Schwerefeld b displaystyle vec b nbsp wie es die Schwerkraft eines ist die folgenden fur sie formulierten Kompatibilitatsbedingungen erfullen D s 1 1 n S p s n 1 n b 1 2 s y m b 0 s i j k k 1 1 n s k k i j n 1 n b k k d i j b i j b j i 0 i j 1 2 3 displaystyle begin aligned amp Delta boldsymbol sigma frac 1 1 nu nabla otimes big nabla mathrm Sp boldsymbol sigma big frac nu 1 nu nabla cdot vec b mathbf 1 2 mathrm sym nabla otimes vec b mathbf 0 leftrightarrow amp sigma ij kk frac 1 1 nu sigma kk ij frac nu 1 nu b k k delta ij b i j b j i 0 quad i j 1 2 3 end aligned nbsp oder in Abwesenheit einer Schwerkraft D s 1 1 n S p s 0 s i j k k 1 1 n s k k i j 0 i j 1 2 3 displaystyle begin aligned amp Delta boldsymbol sigma frac 1 1 nu nabla otimes big nabla mathrm Sp boldsymbol sigma big mathbf 0 leftrightarrow amp sigma ij kk frac 1 1 nu sigma kk ij 0 quad i j 1 2 3 end aligned nbsp Das Symbol d i j displaystyle delta ij nbsp ist das Kronecker Delta und n displaystyle nu nbsp ist die Querkontraktionszahl Beweis 3Die Herleitung basiert auf Beweis 2 der zeigte dass wenn L e D e S p e 2 s y m e displaystyle mathfrak L boldsymbol varepsilon Delta boldsymbol varepsilon nabla otimes big nabla rm Sp boldsymbol varepsilon big 2 mathrm sym big nabla otimes nabla cdot boldsymbol varepsilon big nbsp verschwindet das Verzerrungsfeld e kompatibel ist In der Statik ist die Divergenz der Spannungen im Gleichgewicht mit der spezifischen Schwerkraft b displaystyle vec b nbsp s b 0 s i j i b j 0 j 1 2 3 displaystyle nabla cdot boldsymbol sigma vec b vec 0 quad leftrightarrow quad sigma ij i b j 0 quad j 1 2 3 nbsp Mit der Abkurzung p S p s displaystyle p mathrm Sp boldsymbol sigma nbsp folgt wegen f Df f 1 f und Sp f f L s D s p 2 s y m b L p 1 D p 1 p displaystyle begin aligned mathfrak L boldsymbol sigma amp Delta boldsymbol sigma nabla otimes nabla p 2 mathrm sym nabla otimes vec b mathfrak L p mathbf 1 amp Delta p mathbf 1 nabla otimes nabla p end aligned nbsp Bei linearer isotroper Elastizitat ist die Spannungs Dehnungs Beziehung linear e 1 2 G s n 1 n S p s 1 e i j 1 2 G s i j n 1 n s k k d i j displaystyle boldsymbol varepsilon frac 1 2G left boldsymbol sigma frac nu 1 nu mathrm Sp boldsymbol sigma mathbf 1 right quad leftrightarrow quad varepsilon ij frac 1 2G left sigma ij frac nu 1 nu sigma kk delta ij right nbsp Der Materialparameter G ist der Schubmodul Jetzt kann die Kompatibilitatsbedingung mit den Spannungen ausgedruckt werden L 2 G e L s n 1 n L p 1 D s 1 1 n p n 1 n D p 1 2 s y m b 0 displaystyle begin aligned mathfrak L 2G boldsymbol varepsilon amp mathfrak L boldsymbol sigma frac nu 1 nu mathfrak L p mathbf 1 amp Delta boldsymbol sigma frac 1 1 nu nabla otimes nabla p frac nu 1 nu Delta p mathbf 1 2 mathrm sym nabla otimes vec b mathbf 0 end aligned nbsp Anwendung der Spur auf diese Gleichung ergibt D p 1 n 1 n d i v b displaystyle Delta p frac 1 nu 1 nu mathrm div vec b nbsp und fuhrt schliesslich auf die im Text aufgefuhrten Kompatibilitatsbedingungen Diese Kompatibilitatsbedingungen werden als Beltrami Michell Gleichungen bezeichnet F 2 Es existieren auch Kompatibilitatsbedingungen bei kubisch anisotroper Albrecht 1951 und transversal isotroper von Moisil 1952 linearer Elastizitat L 2 Deformationsgradient Bearbeiten Die Komponenten des Deformationsgradienten werden aus den Ableitungen der Bewegungskomponenten x 1 2 3 displaystyle chi 1 2 3 nbsp nach den materiellen Koordinaten X 1 2 3 displaystyle X 1 2 3 nbsp berechnet F i j X t x i X t X j i j 1 2 3 displaystyle F ij vec X t frac partial chi i vec X t partial X j quad i j 1 2 3 nbsp Nun liegen also 3 3 9 displaystyle 3 cdot 3 9 nbsp Komponenten F i j displaystyle F ij nbsp des Deformationsgradienten vor die aus den drei Bewegungsfunktionen x 1 2 3 displaystyle chi 1 2 3 nbsp abgeleitet wurden Sollen umgekehrt aus neun Komponenten F i j X t displaystyle F ij vec X t nbsp des Deformationsgradienten die drei Bewegungsfunktionen x 1 2 3 X t displaystyle chi 1 2 3 vec X t nbsp bezogen werden konnen mussen die Komponenten des Deformationsgradienten die folgenden fur sie formulieren Kompatibilitatsbedingungen einhalten F e k F i j X k e j e i F i j X k ϵ k j l e l e i 0 displaystyle nabla times mathbf F top hat e k times frac partial F ij partial X k hat e j otimes hat e i frac partial F ij partial X k epsilon kjl hat e l otimes hat e i mathbf 0 nbsp wo ϵijk ei ej ek ist das Permutationssymbol ist oder L 3 F i j X k F i k X j i j k 1 2 3 displaystyle frac partial F ij partial X k frac partial F ik partial X j quad i j k 1 2 3 nbsp Falls das zutrifft stellt das Poincare Lemma in der Form F 0 x F g r a d x displaystyle nabla times mathbf F top mathbf 0 quad rightarrow quad exists vec chi colon mathbf F mathrm grad vec chi nbsp sicher dass es ein Vektorfeld x X displaystyle vec chi vec X nbsp gibt dessen Gradient das Tensorfeld F displaystyle mathbf F nbsp ist Strecktensor Bearbeiten Der Deformationsgradient kann wegen F x i X j e i e j x i e i X j e j g j e j displaystyle mathbf F frac partial chi i partial X j hat e i otimes hat e j frac partial chi i hat e i partial X j otimes hat e j vec g j otimes hat e j nbsp mit den Tangentenvektoren g j x X t X j displaystyle vec g j frac partial vec chi vec X t partial X j nbsp dargestellt werden Die Komponenten g i k displaystyle g ik nbsp des rechten Cauchy Green Tensors C F F displaystyle mathbf C mathbf F top cdot mathbf F nbsp berechnen sich wegen C g i k e i e k F F e i g i g k e k g i g k e i e k displaystyle mathbf C g ik hat e i otimes hat e k mathbf F top cdot mathbf F left hat e i otimes vec g i right cdot left vec g k otimes hat e k right vec g i cdot vec g k hat e i otimes hat e k nbsp aus den Skalarprodukten dieser Tangentenvektoren g i k g i g k displaystyle g ik vec g i cdot vec g k nbsp Mit den Christoffelsymbolen der ersten Art G m k l g m g k X l 1 2 g k m X l g m l X k g l k X m G m l k displaystyle Gamma mkl vec g m cdot frac partial vec g k partial X l frac 1 2 left frac partial g km partial X l frac partial g ml partial X k frac partial g lk partial X m right Gamma mlk nbsp kann gezeigt werden dass bei gegebenen Komponenten g i j displaystyle g ij nbsp des rechten Cauchy Green Tensors die Bewegung genau dann rekonstruierbar ist wenn R i j k l G i j k X l G i j l X k g p q G p i k G q j l G p i l G q j k 0 fur i j k l 1 2 3 displaystyle R ijkl frac partial Gamma ijk partial X l frac partial Gamma ijl partial X k g pq Gamma pik Gamma qjl Gamma pil Gamma qjk 0 text fur quad i j k l 1 2 3 nbsp gilt Die Komponenten g p q displaystyle g pq nbsp gehoren zum Inversen des rechten Cauchy Green Tensors C 1 g p q e p e q displaystyle mathbf C 1 g pq hat e p otimes hat e q nbsp und R i j k l displaystyle R ijkl nbsp sind die Komponenten des Riemann Christoffel Krummungstensors Von den obigen Gleichungen fur die 81 Komponenten des Riemann Christoffel Tensors sind nur sechs unabhangig L 4 Wegen des linearen Zusammenhangs E 1 2 C 1 displaystyle mathbf E frac 1 2 mathbf C mathbf 1 nbsp zwischen dem rechten Cauchy Green Tensor C displaystyle mathbf C nbsp und dem Green Lagrange schen Verzerrungstensor E displaystyle mathbf E nbsp konnen daraus auch Kompatibilitatsbedingungen fur die Komponenten E i j 1 2 g i j d i j g i j 2 E i j d i j displaystyle E ij frac 1 2 g ij delta ij rightarrow g ij 2E ij delta ij nbsp des Green Lagrange schen Verzerrungstensors abgeleitet werden die aber weitaus schwieriger zu losen sind als im geometrisch linearen Fall wo E displaystyle mathbf E nbsp in den linearisierten Verzerrungstensor e ubergeht siehe oben und folgendes Beispiel Beispiel Bearbeiten nbsp Randbedingungen und Verformung beige bei der Biegung des geraden Balkens gestrichelt Auf einen in x Richtung ausgerichteten linear elastischen Balken wirke ausschliesslich eine zur z Koordinate proportionale Spannung s x x t e x m E z displaystyle sigma xx vec t cdot hat e x mEz nbsp mit Proportionalitatsfaktor m displaystyle m nbsp und Elastizitatsmodul E displaystyle E nbsp des Materials des Balkens siehe Abbildung rechts Gemass dem Hooke schen Gesetz entsprechen die Spannungen den Dehnungen e x x e y y e z z 1 E 1 n n n 1 n n n 1 s x x s y y s z z 1 n n n 1 n n n 1 m z 0 0 m z n m z n m z displaystyle begin aligned begin pmatrix varepsilon xx varepsilon yy varepsilon zz end pmatrix amp frac 1 E begin pmatrix 1 amp nu amp nu nu amp 1 amp nu nu amp nu amp 1 end pmatrix begin pmatrix sigma xx sigma yy sigma zz end pmatrix amp begin pmatrix 1 amp nu amp nu nu amp 1 amp nu nu amp nu amp 1 end pmatrix begin pmatrix mz 0 0 end pmatrix begin pmatrix mz nu mz nu mz end pmatrix end aligned nbsp denn Schubspannungen sind nicht vorgegeben weswegen auch keine Scherungen auftreten Die Grosse n displaystyle nu nbsp ist die Querdehnzahl des Materials des Balkens Weil samtliche zweiten Ableitungen der Dehnungen verschwinden sind die Kompatibilitatsbedingungen erfullt es gibt also ein Verschiebungsfeld das die vorgegebenen Dehnungen hervorruft Mit den im Bild skizzierten Randbedingungen lauten diese Verschiebungen u m x z v n m y z w m 2 x 2 n y 2 n z 2 displaystyle begin aligned u amp mxz v amp nu myz w amp frac m 2 x 2 nu y 2 nu z 2 end aligned nbsp denn e x x u x m z 2 e x y u y v x 0 0 0 e y y v y n m z 2 e y z v z w y n m y n m y 0 e z z w z n m z 2 e x z u z w x m x m x 0 displaystyle begin aligned varepsilon xx amp frac partial u partial x mz amp 2 varepsilon xy amp frac partial u partial y frac partial v partial x 0 0 amp amp 0 2ex varepsilon yy amp frac partial v partial y nu mz amp 2 varepsilon yz amp frac partial v partial z frac partial w partial y nu my nu my amp amp 0 2ex varepsilon zz amp frac partial w partial z nu mz amp 2 varepsilon xz amp frac partial u partial z frac partial w partial x mx mx amp amp 0 end aligned nbsp und u x 0 0 v x 0 y 0 0 w x 0 y 0 z 0 0 displaystyle u x 0 0 quad v x 0 y 0 0 quad w x 0 y 0 z 0 0 nbsp Im Beispiel bei den Spannungsfunktionen zeigt sich dass dieses Bewegungsfeld auch im Gleichgewicht ist Siehe auch BearbeitenIntegrabilitatsbedingung Formelsammlung Tensoralgebra Formelsammlung TensoranalysisFussnoten Bearbeiten In der Literatur findet sich auch die Bedingung r o t r o t e 0 displaystyle mathrm rot rot boldsymbol varepsilon mathbf 0 nbsp was angesichts der Definition der Rotation r o t T T e k T k displaystyle mathrm rot mathbf T nabla times mathbf T top hat e k times left mathbf T k top right nbsp kein Widerspruch ist Die Kompatibilitatsbedingungen fur die Spannungen bei isotroper Elastizitat in Abwesenheit einer Schwerebeschleunigung fand Beltrami 1892 und Donati und Michell formulierten den allgemeineren Fall inklusive Schwerebeschleunigung 1894 bzw 1900 siehe M E Gurtin 1972 S 92 Trotzdem also Donatis Arbeit sechs Jahre fruher erschien als Michells wird diese allgemeinere Gleichung als Beltrami Michell Gleichung bezeichnet Einzelnachweise Bearbeiten M E Gurtin 1972 S 40 M E Gurtin 1972 S 92 Haupt 2002 S 65 E Klingbeil Tensorrechnung fur Ingenieure B I Wissenschaftsverlag 1989 ISBN 3 411 05197 3 S 122 Literatur BearbeitenM E Gurtin The Linear Theory of Elasticity In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VI2 a Bandherausgeber C Truesdell Springer 1972 ISBN 3 540 05535 5 P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer 2010 ISBN 978 3 642 07718 0 E Klingbeil Tensorrechnung fur Ingenieure B I Wissenschaftsverlag 1989 ISBN 3 411 05197 3 Martin H Sadd Elasticity Theory applications and numerics Elsevier Butterworth Heinemann 2005 ISBN 0 12 605811 3 P K Raschewski Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis VEB Deutscher Verlag der Wissenschaft 1959 T Y Thomas Systems of Total Differential Equations Defined over Simply Connected Domains In Annals of Mathematics Band 35 1934 S 730 734 JSTOR 10 2307 1968488 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kompatibilitatsbedingung amp oldid 212819347
