Verzerrungstensoren sind dimensionslose Tensoren zweiter Stufe die das Verhaltnis von Momentankonfiguration zur Ausgangskonfiguration bei der Deformation von kontinuierlichen Korpern und damit Veranderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente beschreiben Diese Anderung Deformation der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Anderung der ausseren Gestalt des Festkorpers und wird damit beispielsweise als Dehnung Stauchung Scherung usw sichtbar Die Verzerrungstensoren sind eine wesentliche Grosse in der Beschreibung der Kinematik der Deformation In der Kontinuumsmechanik werden eine Reihe von verschiedenen Verzerrungstensoren definiert deren Benennung nicht einheitlich ist Die Verzerrungstensoren werden vor allem fur die Formulierung von Materialmodellen z B der Hyperelastizitat verwendet die eine Relation zwischen den Spannungen im Material und seinen Deformationen herstellen Solche Materialmodelle werden dazu benutzt Verformungen von Korpern zu berechnen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Linearisierter Verzerrungstensor 3 Allgemeine Definition 3 1 Seth Hill Familie von Verzerrungstensoren 4 Beschreibung einiger Verzerrungstensoren 4 1 Der Green Lagrange Verzerrungstensor 4 2 Der Euler Almansi Verzerrungstensor 4 3 Der Hencky Verzerrungstensor 4 4 Der Piola und Finger Verzerrungstensor 5 Verzerrungsgeschwindigkeiten 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseEinleitung BearbeitenIn der Literatur ist eine Vielzahl von Verzerrungstensoren bekannt die aus dem Deformationsgradienten gebildet werden Fur deren Definition werden die Verschiebungen u X t x X t X i 1 3 u i e i u X t v X t w X t displaystyle vec u vec X t vec chi vec X t vec X sum i 1 3 u i vec e i begin pmatrix u vec X t v vec X t w vec X t end pmatrix nbsp als Differenzvektor zwischen der momentanen Lage x x X t displaystyle vec x vec chi vec X t nbsp eines Partikels und seiner Ausgangslage X i 1 3 X i e i displaystyle vec X sum i 1 3 X i vec e i nbsp eingefuhrt mit X i displaystyle X i nbsp als den materiellen Koordinaten des Partikels bezuglich der Standardbasis Der Verschiebungsgradient 1 H GRAD u i j 1 3 d u i d X j e i e j d u d X displaystyle mathbf H operatorname GRAD vec u sum i j 1 3 frac mathrm d u i mathrm d X j vec e i otimes vec e j frac mathrm d vec u mathrm d vec X nbsp ist dann die Ableitung des Verschiebungsvektors u displaystyle vec u nbsp nach den materiellen Koordinaten X displaystyle vec X nbsp und enthalt die Ableitungen der Verschiebungen ui nach den Koordinaten Xj Damit bekommt der Deformationsgradient die Form F d x d X d d X u X H 1 displaystyle mathbf F frac mathrm d vec chi mathrm d vec X frac mathrm d mathrm d vec X vec u vec X mathbf H mathbf 1 nbsp worin 1 der Einheitstensor ist Zunachst lassen sich damit der rechte Cauchy Green Tensor C F F displaystyle mathbf C mathbf F top cdot F nbsp bzgl der Ausgangskonfiguration und der linke Cauchy Green Tensor b F F displaystyle mathbf b mathbf F cdot F top nbsp bzgl der Momentankonfiguration bilden Diese beiden Strecktensoren sind symmetrisch und im Fall einer Nicht Deformation gleich dem Einheitstensor Fur ingenieurtechnische Anwendungen werden gewohnlich allerdings Grossen gewunscht die bei Nicht Deformation eine Null darstellen Dies fuhrt auf Definitionen des Green Lagrange Verzerrungstensors E 1 2 F F 1 displaystyle mathbf E frac 1 2 mathbf F top cdot F 1 nbsp oder des Euler Almansi Verzerrungstensors e 1 2 1 F F 1 displaystyle mathbf e frac 1 2 mathbf 1 F cdot F top 1 nbsp Daneben existiert aber noch eine Vielzahl weiterer ahnlicher Definitionen die jeweils ihre Berechtigung und Vorteile in verschiedenen Theorien besitzen siehe unten Dort erklart sich auch der oben auftretende Faktor Linearisierter Verzerrungstensor BearbeitenZur Beschreibung kleiner Verzerrungen wird in der technischen Mechanik ublicherweise der linearisierte Verzerrungstensor e displaystyle boldsymbol varepsilon nbsp verwendet Dieser Verzerrungstensor wird auch Ingenieursdehnung genannt denn bei vielen Anwendungen im technischen Bereich liegen kleine Dehnungen vor oder sie mussen aus sicherheitstechnischen Grunden klein gehalten werden Der linearisierte Verzerrungstensor entsteht durch Linearisierung der Grossen E displaystyle mathbf E nbsp oder e displaystyle mathbf e nbsp Hierzu wird die Definition des Deformationsgradienten in den Verzerrungstensor eingesetzt E 1 2 F F 1 1 2 H 1 H 1 1 1 2 H H H H displaystyle mathbf E frac 1 2 Bigl mathbf F top cdot F mathbf 1 Bigr frac 1 2 Bigl Bigl mathbf H 1 Bigr top cdot Bigl mathbf H mathbf 1 Bigr mathbf 1 Bigr frac 1 2 Bigl mathbf H H top mathbf H top cdot H Bigr nbsp Bei kleinen Verzerrungen kann der letzte Term vernachlassigt werden und so entsteht der linearisierte Verzerrungstensor e 1 2 H H e x x e x y e x z e y x e y y e y z e z x e z y e z z displaystyle boldsymbol varepsilon frac 1 2 Bigl mathbf H H top Bigr begin pmatrix varepsilon xx amp varepsilon xy amp varepsilon xz varepsilon yx amp varepsilon yy amp varepsilon yz varepsilon zx amp varepsilon zy amp varepsilon zz end pmatrix nbsp mit den Komponenten e x x u x X x e y y u y X y e z z u z X z e x y e y x 1 2 u x X y u y X x e y z e z y 1 2 u y X z u z X y e z x e x z 1 2 u z X x u x X z displaystyle begin matrix amp varepsilon xx frac partial u x partial X x varepsilon yy frac partial u y partial X y varepsilon zz frac partial u z partial X z varepsilon xy varepsilon yx frac 1 2 left frac partial u x partial X y frac partial u y partial X x right amp varepsilon yz varepsilon zy frac 1 2 left frac partial u y partial X z frac partial u z partial X y right varepsilon zx varepsilon xz frac 1 2 left frac partial u z partial X x frac partial u x partial X z right end matrix nbsp Allgemeine Definition BearbeitenEin Tensor E ist ein geeignetes Verzerrungsmass wenn er drei Forderungen genugt 2 E verschwindet bei Starrkorperbewegungen Verschiebung und oder Drehung ohne Formanderung E ist eine monotone stetige und stetig differenzierbare Funktion des Verschiebungsgradienten H und E geht bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor e uber Die Polarzerlegung des Deformationsgradienten F R U v R spaltet die Verformung lokal in eine reine Drehung vermittelt durch den orthogonalen Rotationstensor R mit R RT und der Determinante det R 1 und eine reine Streckung vermittelt durch die symmetrischen positiv definiten rechten bzw linken Strecktensoren U bzw v Letztere dienen der Definition einer Vielzahl von Verzerrungstensoren In seiner naturlichen Darstellung in konvektiven Koordinaten ist der rechte Strecktensor U kovariant und der linke Strecktensor v kontravariant Diese Eigenschaft ubertragt sich auf die mit ihnen gebildeten Verzerrungstensoren Durch Invertierung werden kovariante Tensoren kontravariant und umgekehrt Seth Hill Familie von Verzerrungstensoren Bearbeiten Die Verzerrungstensoren E m 1 2 m U 2 m 1 1 2 m C m 1 displaystyle mathbf E m frac 1 2m mathbf U 2m mathbf 1 frac 1 2m mathbf C m mathbf 1 nbsp und e m 1 2 m v 2 m 1 1 2 m b m 1 displaystyle mathbf e m frac 1 2m mathbf v 2m mathbf 1 frac 1 2m mathbf b m mathbf 1 nbsp die sich fur verschiedene Werte des Parameters m displaystyle m nbsp ergeben genugen den Bedingungen der allgemeinen Definition 3 Die einigen gebrauchlichen Werten von m displaystyle m nbsp entsprechenden Tensoren fuhrt die folgende Tabelle auf m Verzerrungstensor D displaystyle nabla Delta nbsp Namen 4 5 6 1 E 1 1 2 U 2 1 1 2 C 1 displaystyle mathbf E 1 frac 1 2 mathbf U 2 mathbf 1 frac 1 2 mathbf C 1 nbsp D displaystyle Delta nbsp Green Lagrange Verzerrungstensor Green oder St Venant Dehnungen E 1 2 U 1 C 1 displaystyle mathbf E 1 2 mathbf U mathbf 1 sqrt mathbf C mathbf 1 nbsp D displaystyle Delta nbsp Biot Verzerrungstensor Materieller Biot Cauchy oder Swainger Verzerrungstensor0 E 0 ln U 1 2 ln C displaystyle mathbf E 0 ln mathbf U frac 1 2 ln mathbf C nbsp D displaystyle Delta nbsp Hencky Dehnungen materielle logarithmische Dehnungen 1 E 1 1 2 1 U 2 1 2 1 C 1 displaystyle mathbf E 1 frac 1 2 mathbf 1 mathbf U 2 frac 1 2 mathbf 1 mathbf C 1 nbsp displaystyle nabla nbsp negativer Piola Verzerrungstensor Lagrange Karni Reiner VerzerrungstensorDie hier benutzten Namen stehen jeweils kursiv hervorgehoben an erster Stelle In der raumlichen Beschreibung ergeben sich die Entsprechungen m Verzerrungstensor D displaystyle nabla Delta nbsp Namen 4 5 6 1 e 1 1 2 v 2 1 1 2 b 1 displaystyle mathbf e 1 frac 1 2 mathbf v 2 mathbf 1 frac 1 2 mathbf b mathbf 1 nbsp displaystyle nabla nbsp negativer Finger Tensor Euler Karni Reiner Verzerrungstensor0 e 0 ln v 1 2 ln b displaystyle mathbf e 0 ln mathbf v frac 1 2 ln mathbf b nbsp displaystyle nabla nbsp Raumliche Hencky Dehnungen raumliche logarithmische Dehnungen e 1 2 1 v 1 1 b 1 displaystyle mathbf e 1 2 mathbf 1 v 1 mathbf 1 sqrt mathbf b 1 nbsp D displaystyle Delta nbsp Swainger Verzerrungstensor raumlicher Biot Verzerrungstensor 1 e 1 1 2 1 v 2 1 2 1 b 1 displaystyle mathbf e 1 frac 1 2 mathbf 1 v 2 frac 1 2 mathbf 1 b 1 nbsp D displaystyle Delta nbsp Euler Almansi Verzerrungstensor Almansis oder Hamels VerzerrungstensorIn den Tabellen bedeutet D displaystyle Delta nbsp Kovarianz und displaystyle nabla nbsp Kontravarianz Der Funktionswert eines Tensors z B C ln C displaystyle sqrt mathbf C ln mathbf C nbsp berechnet sich durch Hauptachsentransformation Bildung der Funktionswerte der Diagonalelemente und Rucktransformation Beschreibung einiger Verzerrungstensoren BearbeitenWeil die Verzerrungstensoren der Seth Hill Familie bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor ubergehen trifft das hier gesagte bei kleinen Verzerrungen auch auf den linearisierten Verzerrungstensor zu Der Green Lagrange Verzerrungstensor Bearbeiten nbsp Streckung und Scherung der Tangenten rot und blau an materielle Linien schwarz im Zuge einer DeformationDer Green Lagrange Verzerrungstensor ist aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente d X displaystyle mathrm d vec X nbsp und d Y displaystyle mathrm d vec Y nbsp im Punkt X displaystyle vec X nbsp motiviert siehe Abbildung rechts d x d y d X d Y F d X F d Y d X d Y 2 d X E d Y displaystyle mathrm d vec x cdot mathrm d vec y mathrm d vec X cdot mathrm d vec Y mathbf F cdot mathrm d vec X cdot mathbf F cdot mathrm d vec Y mathrm d vec X cdot mathrm d vec Y 2 mathrm d vec X cdot mathbf E cdot mathrm d vec Y nbsp In einer Richtung e 1 d X d X displaystyle vec e 1 tfrac mathrm d vec X mathrm d vec X nbsp ergibt sich uber d x d x 2 d X E d X d X d X 2 e 1 E e 1 1 d X d X d x 2 e 1 E e 1 1 d X displaystyle begin aligned mathrm d vec x cdot mathrm d vec x amp 2 mathrm d vec X cdot mathbf E cdot mathrm d vec X mathrm d vec X cdot mathrm d vec X 2 vec e 1 cdot mathbf E cdot vec e 1 1 mathrm d vec X cdot mathrm d vec X rightarrow quad mathrm d vec x amp sqrt 2 vec e 1 cdot mathbf E cdot vec e 1 1 mathrm d vec X end aligned nbsp die Dehnung e d x d X d X 1 2 e 1 E e 1 1 displaystyle varepsilon frac mathrm d vec x mathrm d vec X mathrm d vec X sqrt 1 2 vec e 1 cdot mathbf E cdot vec e 1 1 nbsp Wenn in der Ausgangskonfiguration d X d Y 0 displaystyle mathrm d vec X cdot mathrm d vec Y 0 nbsp ist berechnet sich d x d y 2 d X E d Y d x d y d x d y 2 d X E d Y d x d y 2 d X E d Y 2 e 1 E e 1 1 d X 2 e 2 E e 2 1 d Y displaystyle begin aligned mathrm d vec x cdot mathrm d vec y amp 2 mathrm d vec X cdot mathbf E cdot mathrm d vec Y frac mathrm d vec x cdot mathrm d vec y mathrm d vec x mathrm d vec y amp frac 2 mathrm d vec X cdot mathbf E cdot mathrm d vec Y mathrm d vec x mathrm d vec y frac 2 mathrm d vec X cdot mathbf E cdot mathrm d vec Y sqrt 2 vec e 1 cdot mathbf E cdot vec e 1 1 mathrm d vec X sqrt 2 vec e 2 cdot mathbf E cdot vec e 2 1 mathrm d vec Y end aligned nbsp Mit e 2 d Y d Y displaystyle vec e 2 tfrac mathrm d vec Y mathrm d vec Y nbsp resultiert fur die Scherung g dann sin g d x d y d x d y 2 e 1 E e 2 1 2 e 1 E e 1 1 2 e 2 E e 2 displaystyle sin gamma frac mathrm d vec x cdot mathrm d vec y mathrm d vec x mathrm d vec y frac 2 vec e 1 cdot mathbf E cdot vec e 2 sqrt 1 2 vec e 1 cdot mathbf E cdot vec e 1 sqrt 1 2 vec e 2 cdot mathbf E cdot vec e 2 nbsp Der Euler Almansi Verzerrungstensor Bearbeiten Der Euler Almansi Verzerrungstensor e 1 2 1 F 1 F 1 displaystyle mathbf e frac 1 2 mathbf 1 mathbf F top 1 cdot mathbf F 1 nbsp kann analog zum Green Lagrange Verzerrungstensor aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente d x displaystyle mathrm d vec x nbsp und d y displaystyle mathrm d vec y nbsp im Punkt x displaystyle vec x nbsp motiviert werden d x d y d X d Y d x d y F 1 d x F 1 d y 2 d x e d y displaystyle mathrm d vec x cdot mathrm d vec y mathrm d vec X cdot mathrm d vec Y mathrm d vec x cdot mathrm d vec y mathbf F 1 cdot mathrm d vec x cdot mathbf F 1 cdot mathrm d vec y 2 mathrm d vec x cdot mathbf e cdot mathrm d vec y nbsp Fur die Dehnung e displaystyle varepsilon nbsp in eine Richtung e 1 displaystyle vec e 1 nbsp ergibt sich dann e 1 1 2 e 1 e e 1 1 displaystyle varepsilon frac 1 sqrt 1 2 vec e 1 cdot mathbf e cdot vec e 1 1 nbsp mit e 1 d x d x displaystyle vec e 1 tfrac mathrm d vec x mathrm d vec x nbsp Der Hencky Verzerrungstensor Bearbeiten Der Hencky Verzerrungstensor wird uber die Hauptachsentransformation des rechten Strecktensors U displaystyle mathbf U nbsp berechnet Weil dieser symmetrisch und positiv definit ist lautet seine spektrale Zerlegung U i 1 3 l i v i v i displaystyle mathbf U sum i 1 3 lambda i hat v i otimes hat v i nbsp wobei li die samtlich positiven Eigenwerte und v i displaystyle hat v i nbsp die auf eins normierten und paarweise orthogonalen Eigenvektoren von U displaystyle mathbf U nbsp sind Dann berechnet sich der Hencky Verzerrungstensor aus E H ln U i 1 3 ln l i v i v i displaystyle mathbf E H ln mathbf U sum i 1 3 ln lambda i hat v i otimes hat v i nbsp Seine Spur ist wegen Sp E H i 1 3 ln l i v i v i ln l 1 l 2 l 3 ln det U ln det F displaystyle operatorname Sp mathbf E H sum i 1 3 ln lambda i hat v i cdot hat v i ln lambda 1 lambda 2 lambda 3 ln operatorname det mathbf U ln operatorname det mathbf F nbsp ein Mass fur die Kompression am Ort Bei kleinen Verzerrungen ist ln det F Sp H Sp e displaystyle ln operatorname det mathbf F approx operatorname Sp mathbf H operatorname Sp boldsymbol varepsilon nbsp weswegen dann die Spur des Verschiebungsgradienten oder des linearisierten Verzerrungstensors diese Rolle ubernimmt Der Piola und Finger Verzerrungstensor Bearbeiten nbsp Streckung und Scherung der Normalen rot und blau an materielle Flachen grau im Zuge einer DeformationDer Piola Verzerrungstensor E P E 1 displaystyle mathbf E P mathbf E 1 nbsp ist aus dem Vergleich der Normalenvektoren N displaystyle vec N nbsp an materielle Flachen motiviert Eine Familie von Flachen kann durch eine skalare Funktion F X t C displaystyle Phi vec X t C nbsp und einen Flachenparameter C displaystyle C nbsp definiert werden Die Normalenvektoren an diese Flachen sind die Gradienten N GRAD F i 1 3 d F d X i e i displaystyle vec N operatorname GRAD Phi sum i 1 3 frac mathrm d Phi mathrm d X i vec e i nbsp Im Zuge einer Deformation wird daraus n grad F i 1 3 d F d x i e i i j 1 3 d F d X j d X j d x i e i i j 1 3 d X j d x i e i e j d F d X k e k F 1 N displaystyle begin aligned vec n amp operatorname grad Phi sum i 1 3 frac mathrm d Phi mathrm d x i vec e i sum i j 1 3 frac mathrm d Phi mathrm d X j frac mathrm d X j mathrm d x i vec e i amp sum i j 1 3 frac mathrm d X j mathrm d x i vec e i otimes vec e j cdot frac mathrm d Phi mathrm d X k vec e k mathbf F top 1 cdot vec N end aligned nbsp Mit einer anderen skalaren Funktion PS X t displaystyle Psi vec X t nbsp kann eine andere Familie von Flachen definiert werden deren Normalenvektoren M displaystyle vec M nbsp bzw m displaystyle vec m nbsp uber m F 1 M displaystyle vec m mathbf F top 1 cdot vec M nbsp in Beziehung stehen Der Vergleich der Skalarprodukte der Normalenvektoren in der deformierten und undeformierten Lage in einem materiellen Punkt X displaystyle vec X nbsp fuhrt auf den Piola Verzerrungstensor m n M N F 1 M F 1 N M N 2 M 1 2 F 1 F 1 1 N 2 M E P N displaystyle begin aligned vec m cdot vec n vec M cdot vec N amp mathbf F top 1 cdot vec M cdot mathbf F top 1 cdot vec N vec M cdot vec N amp 2 vec M cdot frac 1 2 mathbf F 1 cdot mathbf F top 1 mathbf 1 cdot vec N 2 vec M cdot mathbf E P cdot vec N end aligned nbsp der also ein Mass fur die Deformationen der materiellen Flachen ist Der Piola Verzerrungstensor operiert in der Ausgangskonfiguration Sein Gegenstuck in der Momentankonfiguration ist der Finger Tensor 5 e F 1 2 1 F F 1 2 1 b displaystyle mathbf e F frac 1 2 mathbf 1 mathbf F cdot F top frac 1 2 mathbf 1 mathbf b nbsp fur den m n M N m n F m F n 2 m 1 2 1 F F n 2 m e F n displaystyle begin aligned vec m cdot vec n vec M cdot vec N amp vec m cdot vec n mathbf F top cdot vec m cdot mathbf F top cdot vec n amp 2 vec m cdot frac 1 2 mathbf 1 F cdot F top cdot vec n 2 vec m cdot mathbf e F cdot vec n end aligned nbsp abgeleitet werden kann Verzerrungsgeschwindigkeiten Bearbeiten Hauptartikel Geschwindigkeitsgradient Alle realen Materialien sind mehr oder weniger ratenabhangig das heisst ihr Widerstand gegen eine Deformation hangt davon ab mit welcher Geschwindigkeit diese Deformation herbeigefuhrt wird Fur die Beschreibung eines solchen Zusammenhangs werden Verzerrungsgeschwindigkeiten benutzt Das Materialverhalten ist beobachterinvariant die meisten Zeitableitungen der Verzerrungen jedoch nicht Es wurden aber eine Reihe von Verzerrungsgeschwindigkeiten definiert die beobachterinvariant sind Der rechte Strecktensor U displaystyle mathbf U nbsp ist korperbezogen objektiv was bedeutet dass er von einem Wechsel des Bezugssystems unbeeinflusst ist Gleiches gilt auch fur seine materielle Zeitableitung U displaystyle dot mathbf U nbsp Dementsprechend sind auch alle aus dieser Zeitableitung gebildeten Verzerrungsgeschwindigkeiten z B E 1 2 U U U U displaystyle dot mathbf E frac 1 2 dot mathbf U cdot mathbf U mathbf U cdot dot mathbf U nbsp korperbezogen objektiv In der raumlichen Beschreibung kann nachgewiesen werden dass der linke Strecktensor v displaystyle mathbf v nbsp objektiv ist seine Rate v displaystyle dot mathbf v nbsp jedoch nicht Fur die Formulierung objektiver Raten der raumlichen Verzerrungstensoren wird der raumliche Geschwindigkeitsgradient l F F 1 d w displaystyle mathbf l dot mathbf F cdot mathbf F 1 mathbf d w nbsp definiert dessen symmetrischer Anteil d 1 2 l l displaystyle mathbf d frac 1 2 mathbf l l top nbsp raumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und dessen unsymmetrischer Anteil w 1 2 l l displaystyle mathbf w frac 1 2 mathbf l l top nbsp Spin oder Wirbeltensor heisst Dann lautet die objektive kovariante Oldroyd Ableitung eines Tensors a displaystyle mathbf a nbsp a D a a l l a displaystyle stackrel Delta mathbf a dot mathbf a mathbf a cdot l l top cdot a nbsp Fur den Euler Almansi Tensor e gilt insbesondere e D d F 1 E F 1 displaystyle stackrel Delta mathbf e mathbf d mathbf F top 1 cdot dot mathbf E cdot mathbf F 1 nbsp Die kontravariante Oldroyd Ableitung eines Tensors a displaystyle mathbf a nbsp ist definiert als a a l a a l displaystyle stackrel nabla mathbf a dot mathbf a mathbf l cdot a a cdot l top nbsp Die Raten der kovarianten Tensoren werden ublicherweise mit der kovarianten Oldroyd Ableitung gebildet und die der kontravarianten Tensoren mit der kontravarianten Oldroyd Ableitung Die Zaremba Jaumann Rate eines Tensors a displaystyle mathbf a nbsp ist ebenfalls objektiv und definiert als a a a w w a displaystyle stackrel circ mathbf a dot mathbf a mathbf a cdot w w cdot a nbsp Siehe auch BearbeitenMohrscher Spannungskreis Dyadisches Produkt Formelsammlung Tensoralgebra Formelsammlung TensoranalysisLiteratur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 G Holzapfel Nonlinear Solid Mechanics A Continuum Approach for Engineering Wiley 2000 ISBN 978 0 471 82319 3 P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer 2000 ISBN 3 540 66114 X A Bertram Elasticity and Plasticity of Large Deformations An Introduction Springer 2012 ISBN 978 3 642 24614 2 Einzelnachweise Bearbeiten Die Frechet Ableitung einer Funktion f displaystyle f nbsp nach x displaystyle x nbsp ist der beschrankte lineare Operator A displaystyle mathcal A nbsp der sofern er existiert in alle Richtungen h displaystyle h nbsp dem Gateaux Differential entspricht also A h d d s f x s h s 0 lim s 0 f x s h f x s h displaystyle mathcal A h left frac mathrm d mathrm d s f x sh right s 0 lim s rightarrow 0 frac f x sh f x s quad forall h nbsp gilt Darin ist s R f x und h displaystyle s in mathbb R f x textsf und h nbsp skalar vektor oder tensorwertig aber x displaystyle x nbsp und h displaystyle h nbsp gleichartig Dann wird auch A f x displaystyle mathcal A frac partial f partial x nbsp geschrieben Z P Bazant L Cedolin Stability of Structures Elastic Inelastic Fracture and Damage Theories Oxford Univ Press 2003 ISBN 0 486 42568 1 B R Seth vom Indian Institute of Technology in Kharagpur war der erste der gezeigt hat dass der Green Lagrange und der Euler Almansi Verzerrungstensor Spezialfalle dieses allgemeineren Verzerrungsmasses sind a b Die Idee wurde von Rodney Hill in c weiterentwickelt a B R Seth Generalized strain measure with applications to physical problems MRC Technical Summary Report 248 des Mathematics Research Center United States Army University of Wisconsin 1961 S 1 18 AD0266913 pdf b B R Seth Generalized strain measure with applications to physical problems IUTAM Symposium on Second Order Effects in Elasticity Plasticity and Fluid Mechanics Haifa 1962 c R Hill On constitutive inequalities for simple materials I In Journal of the Mechanics and Physics of Solids 16 Nr 4 1968 S 229 242 a b Bertram 2012 a b c Haupt 2000 a b Altenbach 2012 Normdaten Sachbegriff GND 4316421 3 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verzerrungstensor amp oldid 227716676
