Der Mohr’sche Spannungskreis oder kurz Mohr’sche Kreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 2D-Spannungszustand in einem Punkt eines Körpers zu veranschaulichen oder zu untersuchen, siehe Abbildung 1. Am Kreis kann beispielsweise abgelesen werden, in welchem Winkel β zur x-Achse die Hauptschubspannung τI und in welchem Winkel γ die Hauptspannungen σI,II auftreten, siehe dazu den Abschnitt #Geometrische Zusammenhänge.
Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohr’schen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor und der Trägheitstensor. Neben dem Mohr’schen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Ellipsoide wie Lamés Spannungsellipsoid oder Superquadriken, je nachdem der Tensor positiv definit ist oder nicht.
Seine Gleichung lautet im Spannungsraum, wo auf der Abszisse die Normalspannungen und auf der Ordinate die Schubspannungen aufgetragen sind:
mit
Darin ist
- {σxx, σyy, σxy} ein gegebener Spannungszustand in der xy-Ebene, die zur Drehachse ê senkrecht ist, wie zum Beispiel im ebenen Spannungszustand mit Drehachse senkrecht zu seiner Ebene,
- {σuu, σvv, σuv} ist der Spannungszustand im uv-Koordinatensystem, dessen u- und v-Achsen wie in Abb. 2 um den Winkel α um ê gegenüber den x- bzw. y-Achsen verdreht sind, wobei der Drehsinn am Kreis dem in Abb. 2 entgegengesetzt ist,
- σm der Mittelpunkt des Kreises auf der Abszisse und
- R der Radius des Kreises.
Mohr führte den Spannungskreis 1882 ein, zu einer Zeit, als der Ingenieur noch mit dem Rechenschieber arbeitete und der Kreis somit ein nützliches Werkzeug darstellte.:391
Koordinatentransformation Bearbeiten
Eine Koordinatentransformation wird unter anderem bei einer Drehung wie im Bild notwendig, und wenn der Spannungszustand in der zur Drehachse senkrechten Ebene interessiert, kann er anschaulich mit dem Mohr’schen Spannungskreis untersucht werden. Allgemein geschieht eine Drehung mathematisch mit einer Drehmatrix Q und die Koordinatentransformation der Koordinatenmatrix σ des Spannungstensors gemäß
siehe #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung und vergleiche Euklidische Transformation.
Spannungen in der Ebene Bearbeiten
In der xy-Ebene bezüglich kartesischer Koordinaten der Abbildung 2 ergibt sich:
Die Komponenten in der uv-Ebene auf der linken Seite können mit den Doppelwinkelfunktionen dargestellt werden::35f
Hier zeigt sich mit σm=(σxx+σyy)/2:
und
Letzteres ist die Gleichung des Mohr’schen Kreises in einem Koordinatensystem, in dem die Normalkomponenten σuu,vv auf der Abszisse und die Schubkomponenten σuv auf der Ordinate aufgetragen werden. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Abszisse bei σm und sein Radius ist R.
Die folgenden Punkte sind von besonderem Interesse:
- Bei σuu=σvv=σm ist die Schubkomponente σuv extremal und gleich der Hauptschubspannung in der Ebene, wenn die Drehung um eine Hauptspannungsrichtung erfolgt. Der Winkel β im Bild errechnet sich aus seinem Tangens gemäß
- Bei σuv=0 sind die Normalkomponenten extremal und gleich den Hauptspannungen σI,II in der Ebene, wenn die Drehung um eine Hauptspannungsrichtung erfolgt. Die Hauptspannungen treten im Winkel γ oder γ±90° auf mit .
Der Kehrwert des Tangens von 2β gehört zum Ergänzungswinkel 90° − 2β = 2γ, worin sich zeigt, dass die Hauptschubspannung im 45°-Winkel zu den Hauptspannungen vorkommen. Die Tabelle stellt die interessierenden Zustände nochmal zusammen.
| Zielspannungszustand | Winkel in Abb. 3 | Argumente für α=½atan2(x,y) in Abb. 2 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| σuu | σvv | σuv | x | y | |
| σI | σII | 0 | γ | σxx − σyy | 2σxy |
| σII | σI | 0 | 90° − γ | σyy − σxx | −2σxy |
| σm | σm | τmax | β | 2σxy | σyy − σxx |
| σm | σm | τmin | 90° − β | −2σxy | σxx − σyy |
Der Radius ist eine Invariante im ebenen Spannungszustand, denn
Die ersten beiden Größen entsprechen den Hauptinvarianten Spur und Determinante, weswegen auch der Radius R eine Invariante ist.:44
Geometrische Zusammenhänge Bearbeiten
Der Mohr’sche Spannungskreis kann konstruiert werden, wenn die Spannungen σxx, σyy und σxy in der Ebene bekannt sind. Auf der Abszisse werden die Normalspannungen σxx und σyy unter Beachtung ihrer Vorzeichen markiert. Über diesen Punkten wird die Schubspannung σxy bei σxx vorzeichenrichtig und bei σyy mit umgekehrtem Vorzeichen aufgetragen, was die Endpunkte eines Durchmessers des Kreises liefert. Zwischen diesen beiden Punkten liegt auf der Abszisse der Mittelpunkt des Kreises, der nun gezeichnet werden kann.:51
Am Mohr’schen Spannungskreis können Winkel abgelesen werden, in denen interessierende Spannungen auftreten, siehe Abbildung 3. Dort sind in verschiedenen Schnittebenen (blau) die zugehörigen Traktionsvektoren (rot) und die Winkel, in denen sie auftreten (grün) eingezeichnet. Die Spannungen in einem uv-System, das wie in Abb. 2 um den Winkel α gedreht ist, finden sich auf dem Kreis auf dem Durchmesser, der gegenüber dem xy-Ausgangszustand mit dem doppelten Winkel in entgegengesetzter Richtung gedreht ist. Analytische Werte sind im Abschnitt #Spannungen in der Ebene gegeben.
Spannungen senkrecht zur Ebene Bearbeiten
Oft wird ein Ebener Spannungszustand angenommen, was für die obige Darstellung jedoch nicht notwendig ist; nicht verschwindende Spannungskomponenten senkrecht zur Ebene beeinträchtigen die Gesetzmäßigkeiten nicht, solange die Ebene nur senkrecht zur Drehachse ist.
Die Normalspannung in Richtung der Drehachse ê (in z-Richtung) bleibt bei Drehungen der Ebene um ê per Definition des Spannungstensors unverändert: σ’zz=σzz. Die Schubspannungen σxz, σyz transformieren sich gemäß
Im Schubspannungsraum, in dem die Schubspannungen σxz,uz auf der Abszisse und σyz,vz auf der Ordinate aufgetragen sind, liegen die Schubspannungen senkrecht zur Ebene demnach auf einem Kreis mit Radius r.
Mohr’scher Spannungskreis und Schnittspannungsvektoren Bearbeiten
Der Spannungs- oder Traktionsvektor t wird auf einem infinitesimalen Volumen durch einen Freischnitt sichtbar. Der Vektor wird zerlegt in seinen Anteil (hier auch bezeichnet) senkrecht zur Schnittfläche (den sogenannten Normalspannungsanteil) und seinen Anteil (hier auch bezeichnet) parallel zur Schnittfläche (den so genannten Schubspannungsanteil). Abhängig vom Winkel , unter dem geschnitten wird, lassen sich Paare berechnen und in ein Diagramm als Punkte einzeichnen. Die Menge aller Punkte ist der Mohr’sche Kreis. An ihm lassen sich z. B. die Hauptspannungen, die Hauptspannungsrichtungen oder die größte Schubspannung ablesen. Dadurch gewinnt man eine anschauliche Vorstellung von der Beanspruchung des Volumens. Bei Festigkeitskriterien, wie Versagenskriterien, Fließkriterien oder Elastizitätsgrenzen, von isotropen, homogenen Materialien sind ausschließlich die Hauptspannungen relevant. Bei einigen Festigkeitskriterien ist nur die Beanspruchung in der Ebene der größten und kleinsten Hauptspannung relevant. Zu ihrer Beurteilung wird auch im Computerzeitalter oft der Mohr’sche Spannungskreis verwendet, denn er liefert schnell eine anschauliche Lösung.
Der Mohr’sche Kreis kann auch zur Berechnung des Traktionsvektors auf eine beliebige Flächennormale verwendet werden und somit kann man die Komponenten des Spannungstensors rückbestimmen: Sind die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches -Koordinatensystem gegeben, dann lassen sich mit dem Mohr’schen Kreis die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches -Koordinatensystem grafisch bestimmen. Vorausgesetzt ist hierbei, dass das -Koordinatensystem durch eine Drehung um den Winkel aus dem -Koordinatensystem hervorgeht.
Schnittspannungsvektor Bearbeiten
(x, y)-Komponenten Bearbeiten
Der Spannungszustand an einem Teilchen ist festgelegt durch den symmetrischen Cauchy-Spannungstensor , der meist als (2,0)-Tensor definiert wird. An diesem Teilchen und durch seine unmittelbare Umgebung lässt sich ein Freischnitt führen in beliebiger Richtung. An der entstandenen Schnittfläche lässt sich der Schnittspannungsvektor t (traction vector) berechnen. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Schnittspannungsvektor t ist
wobei n ein Normalen-Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Schnittfläche steht und „nach außen“ zeigt. Die Komponenten des Spannungsvektors t bezogen auf das kartesische -Koordinatensystem werden aus den Komponenten des Spannungstensors und denen des Normalen-Einheitsvektors mittels Matrixmultiplikation bzw. nach der Summenkonvention berechnet als:
Wenn an einem Schnittufer n der Normalen-Einheitsvektor ist, ist am gegenüber liegenden Schnittufer −n der Normalen-Einheitsvektor. Damit ist das Reaktionsprinzip mit der Definition des Spannungstensors von vornherein erfüllt.
Die Komponenten von t bezogen auf das -Koordinatensystem lassen sich für jede beliebige Schnittrichtung berechnen:
mit den Abkürzungen:
Besonders einfach ist die Berechnung für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen. Bei ist wegen :
Bei ist wegen :
| Schnittwinkel | ||||
|---|---|---|---|---|
Die Komponenten des Spannungstensors sind also auch die Komponenten der Spannungen auf den Schnittflächen. Und der Mohr’sche Kreis beschreibt, wie diese Spannungen von der Schnittrichtung abhängen.
(x̅, y̅)-Komponenten Bearbeiten
Im Abschnitt (x, y)-Komponenten wurden die Komponenten von t bezogen auf das -Koordinatensystem angegeben. Die Komponenten von t bezogen auf das -Koordinatensystem sind:
Durch Einsetzen und mit Hilfe der Umformungen
erhält man:
Auf diesen beiden Gleichungen basiert die Konstruktion des Mohr’schen Kreises. Für das Beispiel:
sind diese Formeln im Bild „Zählrichtung für Schnittwinkel“ für 12 verschiedene Winkel ausgewertet.
Das Bild „Zählrichtung für Schnittwinkel“ zeigt nicht den Mohr’schen Kreis, sondern veranschaulicht die Formeln für und . Man sieht an jedem Schnitt den dort wirkenden Schnittspannungsvektor und seine -Komponenten. Den Mohr’schen Kreis erhält man, indem man über aufträgt – indem man also ein Diagramm zeichnet, worin die Paare als Punkte dargestellt sind. Dies wird im folgenden Abschnitt getan.
Für Schnitte parallel zu den -Koordinatenflächen ist:
| Schnittwinkel | ||||
|---|---|---|---|---|
Kreisgleichung und Hauptspannungen Bearbeiten
Kreisgleichung Bearbeiten
Aus den Gleichungen für und wird die Kreisgleichung des Mohr’schen Kreises abgeleitet. Quadrieren beider Gleichungen liefert zunächst:
Und durch Addieren dieser Gleichungen erhält man die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt bei (a,b), nämlich:
Der Mittelpunkt des Mohr’schen Kreises liegt bei:
Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild „Zählrichtung innen/außen“):
Und der Radius beträgt:
Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild „Zählrichtung innen/außen“):
Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen Bearbeiten
Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte (der Komponentenmatrix) des Spannungstensors. Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist:
Einfache Umformungen
| Umformungen |
|---|
führen auf:
sodass man die Hauptspannungen als Schnittpunkte des Kreises mit der -Achse abliest. Für das konkrete Beispiel ergeben sich die Hauptspannungen:
Es gibt verschiedene Methoden, um die Hauptspannungsrichtungen zu bestimmen.
Berechnung aus Kreisgleichung
Im Spezialfall ist t parallel zum Normalen-Einheitsvektor n.
Aus der Kreisgleichung folgt dann:
Und für das Beispiel ergeben sich die positiven Schnittwinkel:
Berechnung aus Eigenvektoren
Die Richtungen lassen sich alternativ mit den Eigenvektoren bestimmen. Der zu gehörende Eigenvektor ist Lösung von:
Die Hauptspannungsrichtung für ergibt sich entsprechend zu:
Nun liegen die (x,y)-Komponenten beider Eigenvektoren fest. Der Winkel zwischen x-Achse und erstem Eigenvektor ist damit:
Die zweite Eigenrichtung ist um 90 Grad gegenüber der ersten gedreht, sodass:
Die Einheitsvektoren der Eigenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, die den physikalischen Raum aufspannen, diese Eigenvektoren werden mit bezeichnet. Da der Spannungstensor mit den Einheitseigenvektoren multipliziert () jeweils eine der Hauptspannungen ergeben, werden sie in diesem Zusammenhang auch bezeichnet.
Mohr’sche Spannungskreise in 3D Bearbeiten
Die dreidimensionale Realität kann man mit 3 Mohr’schen Spannungskreisen darstellen. Wie in 2D können die Richtungskosinus des Normalenvektors im Bild abgelesen werden, siehe den nächsten Abschnitt. Der Traktionsvektor wird aufgeteilt in eine Normalkomponente mit Betrag σn und eine Tangentialkomponente τn. In der Ebene, in der die Normalkomponente σn auf der Abszisse und die Tangentialkomponente τn auf der Ordinate aufgetragen werden, liegen die möglichen Zustände in der grünlichen Fläche im Bild. Jeder Traktionsvektor muss innerhalb des äußeren Kreises (oder auf dem äußeren Kreis) liegen. Spannungskombinationen aus Normalspannung und Schubspannung, die innerhalb der inneren Kreise liegen, können nicht auftreten, woraus auch folgt, dass es ausschließlich 3 Normalspannungen gibt, bei denen die Schubspannung null ist.
In einem Spannungszustand, bei dem zwei Hauptspannungen gleich sind, degeneriert ein Kreis zu einem Punkt und der andere innere Kreis ist identisch mit dem äußeren Kreis. Bei einem hydrostatischen Spannungszustand degenerieren alle drei Kreise zu einem Punkt, da hier keine Schubspannungen vorhanden sind und in jeder Richtung dieselbe Normalspannung wirkt.
Bestimmung des Normalenvektors bzw. des Traktionsvektors Bearbeiten
Man zeichnet die drei Spannungskreise und jenen Spannungspunkt (den Punkt (σn,τn), mit Normal- und Schubkomponente des Traktionsvektors ) ein, der gesucht ist. Dieser Punkt muss sich zwischen den drei Kreisen befinden, liegt er exakt auf einem Kreis kann der Normalenvektor wie bei dem 2D-Spannungskreis ermittelt werden. Ein Spannungspunkt außerhalb des äußeren oder innerhalb eines der kleineren Kreise kann nicht angenommen werden. Durch Einstechen im Mittelpunkt eines der beiden kleinen Spannungskreise und Abtragen des Abstandes zu (σn,τn) auf einem der anderen Kreise, kann man wie in 2D den doppelten Winkel zu einer Hauptspannungsrichtung bestimmen. Damit kann man den Normalenvektor ermitteln:
Dabei reicht die Kenntnis zweier Winkel aus, um den dritten über n²=cos²(αI)+cos²(αII)+cos²(αIII) zu berechnen. Ebenso ist eine grafische Bestimmung des Traktionsvektors für einen bestimmten Normalenvektor möglich; hier muss man die zuvor erwähnten Schritte in umgekehrter Reihenfolge durchführen.
Durch die Hauptnormalspannungen σI und σIII wird eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks aufgespannt. Der Abstand zwischen dem Punkt des soeben aufgespannten Dreiecks, der nicht auf der Abszisse liegt, und σII entspricht der Von-Mises-Vergleichsspannung.
Analytische Beschreibung Bearbeiten
Die Beschreibung erfolgt im System der Hauptspannungsrichtungen, kurz Hauptachsensystem ê1,2,3 mit den zugehörigen Hauptspannungen σ1,2,3. Diese werden nach Größe sortiert σ1 > σ2 > σ3 und sollen hier der Einfachheit halber alle verschieden sein. Der Traktionsvektor mit Normalkomponente σn und Tangentialkomponente τn schreibt sich
mit , und . Im Hauptachsensystem gilt:
Aus diesen drei Gleichungen können die Normalenkomponenten n1,2,3 berechnet werden:
Darin sind
- die Mittelpunktskoordinaten auf der Abszisse und
- die (positiven) Radien der Mohr’schen Spannungskreise.
Weil in den letzten drei Gleichungen die Nenner positiv sind, müssen es die Zähler auch sein, woran zu erkennen ist, dass die Punkte (σn,τn) außerhalb der kleinen Spannungskreise und innerhalb des umschließenden Kreises liegen.
Der Punkt (x1,y1), der auf dem linken Kreis um (σm1,0) liegt und denselben Abstand zum Mittelpunkt des rechten Kreises um (σm3,0) hat wie (σn,τn), liegt bei (x1,y1) mit
und der entsprechende Punkt auf dem größten Kreis bei
Die 3-Komponente der Normale bestimmt sich damit aus
Für die Punkte (x3,y3) und (x4,y4), die auf dem rechten bzw. größten Kreis liegen und denselben Abstand zum Mittelpunkt des linken Kreises um (σm1,0) haben wie (σn,τn), liegen bei
Die 1-Komponente der Normale bestimmt sich damit aus
Die Komponente n2 in Richtung der 2-Achse ergibt sich aus .
Mohr’scher Kreis: Konstruktion und Auswertung Bearbeiten
Konstruktion Bearbeiten
Die Konstruktion des Mohr’schen Kreises geschieht wie in nebenstehenden Bild dargestellt nach folgendem Schema:
- Zeichnen eines kart. Koordinatensystems für Punkte .
- Eintragen der zwei Punkte:
- .
- Zeichnen des Kreises, der die Punkte und beinhaltet und dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der strichpunktierten Linie mit der -Achse ist.
- Eintragen/Ablesen der zwei Punkte:
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