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Hauptschubspannung Die τ displaystyle tau Dimension M L 1 T 2 SI Einheit Pascal N m 2 ist ein Begriff aus der Festigkeit

Hauptschubspannung

Die Hauptschubspannung (Dimension M L−1 T −2, SI-Einheit Pascal = N·m−2) ist ein Begriff aus der Festigkeitslehre. In einem gegebenen Spannungszustand ist die größte Hauptschubspannung gleichzeitig die maximale Schubspannung und damit nach der Schubspannungshypothese für das Versagen eines Werkstoffs verantwortlich.

Im allgemeinen dreidimensionalen Spannungszustand mit den Hauptspannungen σ1,2,3 haben die Hauptschubspannungen die Werte

Im ebenen Spannungszustand (σx, σy, τxy mit τxz = τyz = 0) in der xy-Ebene lautet die Hauptschubspannung

Die Hauptschubspannungen treten in Schnittebenen auf, deren Normalen eine Winkelhalbierende der entsprechenden Hauptspannungsrichtungen sind.

Mohr’scher Spannungskreis Bearbeiten

Mohr’scher Spannungskreis mit Skizzen verschiedener vom Pol aus gesehener Spannungszustände

Eine anschauliche Orientierung für die Richtungen der Normalen, in denen die Hauptschubspannungen auftreten, liefert der Mohr’sche Spannungskreis. Im Spannungsraum werden in einem kartesischen Koordinatensystem auf der Abszisse die Normalspannungen und auf der Ordinate die Schubspannungen aufgetragen.

Bei einem gegebenen Spannungszustand (σx, σy und τxy) definieren die Punkte A (σy, τxy) und B (σx, -τxy) die Endpunkte des Durchmessers des Mohr’schen Spannungskreises. Seine Schnittpunkte mit der Abszisse geben die Hauptspannungen σ1,2 an, und die Punkte T mit waagerechten Tangenten liefern die Hauptschubspannung. Der Pol ist der Punkt P (σx, τxy ).

Der Winkel zwischen der Abszisse und der Strecke (PT) zeigt an, um welchen Winkel die aktuelle Schnittebene mit den gegebenen Schnittspannungen gedreht werden muss, damit sich die Hauptschubspannung einstellt. Analoges gilt für die Richtungen vom Pol zu den Schnittpunkten des Kreises mit der Abszisse und die Hauptspannungen, siehe Bild.

Fließortfläche nach Tresca, Coulomb, Saint-Venant, Guest Bearbeiten

Fließortfläche nach Tresca entlang der Raumdiagonalen betrachtet. Spannungszustände können nur im blauen Sechseck liegen.

Im Hauptspannungsraum, in dem die Hauptspannungen auf den Koordinatenachsen aufgetragen werden, nimmt jeder Spannungszustand einen Punkt ein, der auch die Hauptschubspannungen festlegt.

Nach der Schubspannungshypothese ist es die maximale Hauptspannungsdifferenz, also das Doppelte der größten Hauptschubspannung τ, die die Plastizität eines Materials bestimmt. Die Spannungszustände, die eine maximale Hauptspannungsdifferenz kleiner als 2τ besitzen, bewirken eine elastische Verformung und liegen in einem prismatischen Körper mit regelmäßigem, sechseckigem Querschnitt, siehe Bild; das Sechseck hat die „Schlüsselweite“ . Zu- oder abnehmender Druck im Material beeinflusst die Hauptspannungsdifferenzen nicht, weil sich der Druck zu allen drei Hauptspannungen gleichermaßen addiert und sich mithin bei der Differenzenbildung heraushebt. Daher ist die Fließortfläche in Richtung der Raumdiagonalen unendlich ausgedehnt.

Nach der Gestaltänderungshypothese bildet die Fließortfläche den Zylinder, der das Prisma umschließt und im Bild grün angedeutet ist.

Herleitung Bearbeiten

Im ebenen Spannungszustand Bearbeiten

Spannungen an einem freigeschnittenen Dreieck im ebenen Spannungszustand

Betrachtet wird ein ebener Spannungszustand in der xy-Ebene, bei dem also die Schubspannungen τxz und τyz verschwinden. Die Normalspannung σz senkrecht zur Ebene muss hier nicht notwendigerweise null sein.

Gleichgewicht im Dreieck liefert, siehe Bild:

Darin ist A die Länge der Hypotenuse.

Mit den Doppelwinkelfunktionen berechnen sich daraus die Spannungen an der Hypotenuse zu

Die maximale Schubspannung bestimmt sich mit

Letzteres resultiert aus den Hauptspannungen

Der Winkel zu den Hauptspannungsrichtungen ergibt sich, wenn diese in x- bzw. y-Richtung liegen:

Demnach sind

  • entweder beide Hauptspannungen gleich, und die Schubspannung verschwindet bei allen Werten von φ (, Spannungskreis zu einem Punkt degeneriert)
  • oder der Winkel φ = 45° definiert eine Winkelhalbierende der Hauptspannungsrichtungen, die bei φ = 0° und φ = 90° liegen ().

Im dreiachsigen Spannungszustand Bearbeiten

Gegeben sei ein Spannungszustand mit den Hauptspannungen σ1,2,3 und ihren Hauptspannungsrichtungen, die ein kartesisches Koordinatensystem mit 1-, 2- und 3-Richtungen definieren. Die Schnittspannungen auf einer Schnittebene mit Normaleneinheitsvektor mit Komponenten n1,2,3 lautet dann:

Der Schubanteil dieses Vektors bleibt übrig, wenn die Normalspannung

in Normalenrichtung abgezogen wird:

Der Betrag hiervon ist die Schubspannung in der Ebene mit Normale :

Das Betragsquadrat des Schubanteils wird in den Hauptschubspannungen unter der Nebenbedingung stationär. Diese Nebenbedingung wird mit einem Lagrange’schen Multiplikator in der Zielfunktion berücksichtigt:

In einem stationären Punkt verschwindet die Ableitung der Zielfunktion nach jeder Variablen. Die Ableitung erfordert wie gewünscht die Erfüllung der Nebenbedingung. Die Ableitungen nach den Komponenten der Normalen liefern mit :

Die letzten beiden Gleichungen leiten sich analog ab. Einsetzen von σn führt auf

Die drei Komponenten n1,2,3 können wegen der Nebenbedingung nicht alle gleichzeitig verschwinden. Es sind also (1) eine, (2) zwei oder (3) keine der Komponenten n1,2,3 gleich null.

Wenn (1) nur eine Normalenkomponente null ist, beispielsweise n2=0, dann reduziert sich das Problem auf ein ebenes:

Demnach ist

Wenn (2) zwei Komponenten der Normale null sind, dann liegt die Normale in Richtung einer Hauptspannungsrichtung und der Schubanteil ist null, also im globalen betraglichen Minimum.

Wenn (3) alle drei Komponenten vorhanden sind, dann müssen wegen mindestens zwei Hauptspannungen gleich sein. Wenn alle drei Hauptspannungen gleich sind, dann liegt ein hydrostatischer Spannungszustand vor und es treten in keiner Ebene Schubspannungen auf, was nichtsdestotrotz im Einklang mit den eingangs angegebenen Formeln für die Hauptschubspannungen ist. Wenn nicht alle drei Hauptspannungen gleich sind, beispielsweise σ2=σ3≠σ1, dann ist und daher

Somit gilt in jedem der drei Fälle (1), (2) und (3), entweder eine der eingangs angegebenen Formeln für die Hauptschubspannung oder die Schubspannung verschwindet im betraglichen Minimum in Hauptspannungsrichtungen oder im hydrostatischen Spannungszustand.

Mit Hilfe der Tensorrechnung Bearbeiten

Eine Berechnung der Hauptschubspannungen mit Hilfe der Tensorrechnung findet sich beim Spannungstensor.

Beispiel Bearbeiten

Betrag der Schubspannung in den Tangentialebenen einer Kugel bei den Hauptspannungen σ1 = 4, σ2 = 0 und σ3 = -2

Betrachtet wird ein Spannungszustand mit den Hauptspannungen σ1 = 4, σ2 = 0 und σ3 = -2 (die Einheiten werden der Übersichtlichkeit halber unterdrückt). Dann berechnen sich die Hauptschubspannungen

Im Bild ist der Betrag der Schubspannung in der Tangentialebene in einem Punkt auf der Kugeloberfläche farbcodiert von blau (0) nach rot (3) gezeichnet. In den drei fett schwarz gezeichneten Punkten liegen die Hauptschubspannungen und ist die Schubspannung stationär. Der Punkt im roten Bereich markiert das globale Maximum, also die maximale Schubspannung, und die beiden anderen Punkte liegen in Sattelpunkten. In den Hauptspannungsrichtungen verschwinden die Schubspannungen (blaue Bereiche); hier ist die Schubspannung betraglich im globalen Minimum.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 5. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0177-7, S. 390 (google.de).
  2. D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik. Elastostatik. Band 2. Springer-Verlag, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40965-3, S. 42, doi:10.1007/978-3-642-40966-0_6.

Literatur Bearbeiten

  • Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.
  • Hans Albert Richard, Manuela Sander: Ermüdungsrisse. Erkennen - sicher beurteilen - vermeiden, 2. Auflage, Springer Fachmedien, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1594-1.
  • Hans Albert Richard, Manuela Sander: Technische Mechanik. Festigkeitslehre, Lehrbuch mit Praxisbeispielen, 2. Auflage, Vieweg + Teubner Fachverlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0454-9.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Hauptschubspannung t displaystyle tau Dimension M L 1 T 2 SI Einheit Pascal N m 2 ist ein Begriff aus der Festigkeitslehre In einem gegebenen Spannungszustand ist die grosste Hauptschubspannung gleichzeitig die maximale Schubspannung und damit nach der Schubspannungshypothese fur das Versagen eines Werkstoffs verantwortlich Im allgemeinen dreidimensionalen Spannungszustand mit den Hauptspannungen s1 2 3 haben die Hauptschubspannungen die Werte t 1 s 2 s 3 2 t 2 s 3 s 1 2 t 3 s 1 s 2 2 displaystyle tau 1 frac sigma 2 sigma 3 2 quad tau 2 frac sigma 3 sigma 1 2 quad tau 3 frac sigma 1 sigma 2 2 Im ebenen Spannungszustand sx sy txy mit txz tyz 0 in der xy Ebene lautet die Hauptschubspannung t max s x s y 2 2 t x y 2 displaystyle tau max sqrt left frac sigma x sigma y 2 right 2 tau xy 2 Die Hauptschubspannungen treten in Schnittebenen auf deren Normalen eine Winkelhalbierende der entsprechenden Hauptspannungsrichtungen sind Inhaltsverzeichnis 1 Mohr scher Spannungskreis 2 Fliessortflache nach Tresca Coulomb Saint Venant Guest 3 Herleitung 3 1 Im ebenen Spannungszustand 3 2 Im dreiachsigen Spannungszustand 3 3 Mit Hilfe der Tensorrechnung 4 Beispiel 5 Weblinks 6 Einzelnachweise 7 LiteraturMohr scher Spannungskreis Bearbeiten nbsp Mohr scher Spannungskreis mit Skizzen verschiedener vom Pol aus gesehener SpannungszustandeEine anschauliche Orientierung fur die Richtungen der Normalen in denen die Hauptschubspannungen auftreten liefert der Mohr sche Spannungskreis Im Spannungsraum werden in einem kartesischen Koordinatensystem auf der Abszisse die Normalspannungen und auf der Ordinate die Schubspannungen aufgetragen Bei einem gegebenen Spannungszustand sx sy und txy definieren die Punkte A sy txy und B sx txy die Endpunkte des Durchmessers des Mohr schen Spannungskreises Seine Schnittpunkte mit der Abszisse geben die Hauptspannungen s1 2 an und die Punkte T mit waagerechten Tangenten liefern die Hauptschubspannung Der Pol ist der Punkt P sx txy Der Winkel zwischen der Abszisse und der Strecke PT zeigt an um welchen Winkel die aktuelle Schnittebene mit den gegebenen Schnittspannungen gedreht werden muss damit sich die Hauptschubspannung einstellt Analoges gilt fur die Richtungen vom Pol zu den Schnittpunkten des Kreises mit der Abszisse und die Hauptspannungen siehe Bild Fliessortflache nach Tresca Coulomb Saint Venant Guest Bearbeiten nbsp Fliessortflache nach Tresca entlang der Raumdiagonalen betrachtet Spannungszustande konnen nur im blauen Sechseck liegen Im Hauptspannungsraum in dem die Hauptspannungen auf den Koordinatenachsen aufgetragen werden nimmt jeder Spannungszustand einen Punkt ein der auch die Hauptschubspannungen festlegt Nach der Schubspannungshypothese ist es die maximale Hauptspannungsdifferenz also das Doppelte der grossten Hauptschubspannung t die die Plastizitat eines Materials bestimmt Die Spannungszustande die eine maximale Hauptspannungsdifferenz kleiner als 2t besitzen bewirken eine elastische Verformung und liegen in einem prismatischen Korper mit regelmassigem sechseckigem Querschnitt siehe Bild das Sechseck hat die Schlusselweite 2 2 t displaystyle 2 cdot 2 tau nbsp Zu oder abnehmender Druck im Material beeinflusst die Hauptspannungsdifferenzen nicht weil sich der Druck zu allen drei Hauptspannungen gleichermassen addiert und sich mithin bei der Differenzenbildung heraushebt Daher ist die Fliessortflache in Richtung der Raumdiagonalen unendlich ausgedehnt Nach der Gestaltanderungshypothese bildet die Fliessortflache den Zylinder der das Prisma umschliesst und im Bild grun angedeutet ist Herleitung BearbeitenIm ebenen Spannungszustand Bearbeiten nbsp Spannungen an einem freigeschnittenen Dreieck im ebenen SpannungszustandBetrachtet wird ein ebener Spannungszustand in der xy Ebene bei dem also die Schubspannungen txz und tyz verschwinden Die Normalspannung sz senkrecht zur Ebene muss hier nicht notwendigerweise null sein Gleichgewicht im Dreieck liefert siehe Bild F i x 0 A s 3 cos f A t 3 h sin f A s x cos f A t x y sin f F i y 0 A s 3 sin f A t 3 h cos f A t x y cos f A s y sin f displaystyle begin aligned sum F ix amp 0 A sigma xi cos varphi A tau xi eta sin varphi A sigma x cos varphi A tau xy sin varphi sum F iy amp 0 A sigma xi sin varphi A tau xi eta cos varphi A tau xy cos varphi A sigma y sin varphi end aligned nbsp Darin ist A die Lange der Hypotenuse Mit den Doppelwinkelfunktionen berechnen sich daraus die Spannungen an der Hypotenuse zu 1 2 s 3 s x s y 2 s x s y 2 cos 2 f t x y sin 2 f t 3 h s x s y 2 sin 2 f t x y cos 2 f displaystyle begin alignedat 2 sigma xi amp frac sigma x sigma y 2 amp amp frac sigma x sigma y 2 cos 2 varphi tau xy sin 2 varphi tau xi eta amp amp amp frac sigma x sigma y 2 sin 2 varphi tau xy cos 2 varphi end alignedat nbsp Die maximale Schubspannung bestimmt sich mit t 3 h f s x s y 2 2 cos 2 f t x y 2 sin 2 f 0 sin 2 f cos 2 f tan 2 f s x s y 2 t x y t 3 h s x s y 2 tan 2 f 1 tan 2 2 f t x y 1 1 tan 2 2 f s x s y 2 2 t x y 2 t max s x s y 2 2 t x y 2 s 1 s 2 2 displaystyle begin aligned frac partial tau xi eta partial varphi amp frac sigma x sigma y 2 2 cos 2 varphi tau xy 2 sin 2 varphi 0 rightarrow frac sin 2 varphi cos 2 varphi amp tan 2 varphi frac sigma x sigma y 2 tau xy rightarrow tau xi eta amp frac sigma x sigma y 2 frac tan 2 varphi sqrt 1 tan 2 2 varphi tau xy frac 1 sqrt 1 tan 2 2 varphi sqrt left frac sigma x sigma y 2 right 2 tau xy 2 rightarrow tau max amp sqrt left frac sigma x sigma y 2 right 2 tau xy 2 frac sigma 1 sigma 2 2 end aligned nbsp Letzteres resultiert aus den Hauptspannungen s 1 2 s x s y 2 s x s y 2 2 t x y 2 displaystyle sigma 1 2 frac sigma x sigma y 2 pm sqrt left frac sigma x sigma y 2 right 2 tau xy 2 nbsp Der Winkel zu den Hauptspannungsrichtungen ergibt sich wenn diese in x bzw y Richtung liegen t 3 h f s 1 s 2 2 2 cos 2 f t 12 2 sin 2 f s 1 s 2 cos 2 f 0 displaystyle begin aligned frac partial tau xi eta partial varphi amp frac sigma 1 sigma 2 2 2 cos 2 varphi tau 12 2 sin 2 varphi amp sigma 1 sigma 2 cos 2 varphi amp 0 end aligned nbsp Demnach sind entweder beide Hauptspannungen gleich und die Schubspannung verschwindet bei allen Werten von f s 1 s 2 0 t max 0 displaystyle sigma 1 sigma 2 0 Rightarrow tau max 0 nbsp Spannungskreis zu einem Punkt degeneriert oder der Winkel f 45 definiert eine Winkelhalbierende der Hauptspannungsrichtungen die bei f 0 und f 90 liegen cos 2 45 cos 90 0 displaystyle cos 2 cdot 45 circ cos 90 circ 0 nbsp Im dreiachsigen Spannungszustand Bearbeiten Gegeben sei ein Spannungszustand mit den Hauptspannungen s1 2 3 und ihren Hauptspannungsrichtungen die ein kartesisches Koordinatensystem mit 1 2 und 3 Richtungen definieren Die Schnittspannungen auf einer Schnittebene mit Normaleneinheitsvektor mit Komponenten n1 2 3 lautet dann T n s 1 s 2 s 3 n 1 n 2 n 3 s 1 n 1 s 2 n 2 s 3 n 3 displaystyle vec T hat n begin pmatrix sigma 1 amp amp amp sigma 2 amp amp amp sigma 3 end pmatrix begin pmatrix n 1 n 2 n 3 end pmatrix begin pmatrix sigma 1 n 1 sigma 2 n 2 sigma 3 n 3 end pmatrix nbsp Der Schubanteil s displaystyle vec s nbsp dieses Vektors bleibt ubrig wenn die Normalspannung s n T n n s 1 n 1 2 s 2 n 2 2 s 3 n 3 2 displaystyle sigma n vec T hat n cdot hat n sigma 1 n 1 2 sigma 2 n 2 2 sigma 3 n 3 2 nbsp in Normalenrichtung abgezogen wird s T n T n n n s 1 n 1 s n n 1 s 2 n 2 s n n 2 s 3 n 3 s n n 3 s 1 s n n 1 s 2 s n n 2 s 3 s n n 3 displaystyle vec s vec T hat n vec T hat n cdot hat n hat n begin pmatrix sigma 1 n 1 sigma n n 1 sigma 2 n 2 sigma n n 2 sigma 3 n 3 sigma n n 3 end pmatrix begin pmatrix sigma 1 sigma n n 1 sigma 2 sigma n n 2 sigma 3 sigma n n 3 end pmatrix nbsp Der Betrag hiervon ist die Schubspannung in der Ebene mit Normale n displaystyle hat n nbsp t s s 1 s n 2 n 1 2 s 2 s n 2 n 2 2 s 3 s n 2 n 3 2 displaystyle tau vec s sqrt sigma 1 sigma n 2 n 1 2 sigma 2 sigma n 2 n 2 2 sigma 3 sigma n 2 n 3 2 nbsp Das Betragsquadrat des Schubanteils wird in den Hauptschubspannungen unter der Nebenbedingung n 2 n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 displaystyle hat n 2 n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 nbsp stationar Diese Nebenbedingung wird mit einem Lagrange schen Multiplikator in der Zielfunktion berucksichtigt P n 1 n 2 n 3 l s s l n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 s 1 s n 2 n 1 2 s 2 s n 2 n 2 2 s 3 s n 2 n 3 2 l n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 stat displaystyle begin aligned Pi n 1 n 2 n 3 lambda amp vec s cdot vec s lambda n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 amp sigma 1 sigma n 2 n 1 2 sigma 2 sigma n 2 n 2 2 sigma 3 sigma n 2 n 3 2 lambda n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 to text stat end aligned nbsp In einem stationaren Punkt verschwindet die Ableitung der Zielfunktion nach jeder Variablen Die Ableitung P l n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 0 displaystyle tfrac partial Pi partial lambda n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 stackrel displaystyle 0 nbsp erfordert wie gewunscht die Erfullung der Nebenbedingung Die Ableitungen nach den Komponenten der Normalen liefern mit s n n 1 2 s 1 n 1 displaystyle tfrac partial sigma n partial n 1 2 sigma 1 n 1 nbsp P n 1 2 s 1 s n s n n 1 n 1 2 2 s 1 s n 2 n 1 2 s 2 s n s n n 1 n 2 2 2 s 3 s n s n n 1 n 3 2 2 l n 1 2 s 1 s n 2 l n 1 0 P n 2 2 s 2 s n 2 l n 2 0 P n 3 2 s 3 s n 2 l n 3 0 displaystyle begin aligned frac partial Pi partial n 1 amp 2 sigma 1 sigma n frac partial sigma n partial n 1 n 1 2 2 sigma 1 sigma n 2 n 1 2 sigma 2 sigma n frac partial sigma n partial n 1 n 2 2 amp 2 sigma 3 sigma n frac partial sigma n partial n 1 n 3 2 2 lambda n 1 amp 2 sigma 1 sigma n 2 lambda n 1 stackrel displaystyle 0 frac partial Pi partial n 2 amp 2 sigma 2 sigma n 2 lambda n 2 stackrel displaystyle 0 frac partial Pi partial n 3 amp 2 sigma 3 sigma n 2 lambda n 3 stackrel displaystyle 0 end aligned nbsp Die letzten beiden Gleichungen leiten sich analog ab Einsetzen von sn fuhrt auf n 3 2 s 1 s 3 n 2 2 s 1 s 2 2 l n 1 0 n 1 2 s 2 s 1 n 3 2 s 2 s 3 2 l n 2 0 n 2 2 s 3 s 2 n 1 2 s 3 s 1 2 l n 3 0 displaystyle begin aligned n 3 2 sigma 1 sigma 3 n 2 2 sigma 1 sigma 2 2 lambda n 1 amp 0 n 1 2 sigma 2 sigma 1 n 3 2 sigma 2 sigma 3 2 lambda n 2 amp 0 n 2 2 sigma 3 sigma 2 n 1 2 sigma 3 sigma 1 2 lambda n 3 amp 0 end aligned nbsp Die drei Komponenten n1 2 3 konnen wegen der Nebenbedingung nicht alle gleichzeitig verschwinden Es sind also 1 eine 2 zwei oder 3 keine der Komponenten n1 2 3 gleich null Wenn 1 nur eine Normalenkomponente null ist beispielsweise n2 0 dann reduziert sich das Problem auf ein ebenes 1 n 1 2 n 3 2 l n 3 4 s 1 s 3 2 n 1 4 s 1 s 3 2 t n 1 2 n 3 2 s 1 s 3 2 displaystyle begin aligned 1 amp n 1 2 n 3 2 lambda amp n 3 4 sigma 1 sigma 3 2 n 1 4 sigma 1 sigma 3 2 tau amp sqrt n 1 2 n 3 2 sigma 1 sigma 3 2 end aligned nbsp Demnach ist n 1 2 n 3 2 1 2 t s 1 s 3 2 displaystyle n 1 2 n 3 2 frac 1 2 rightarrow tau frac sigma 1 sigma 3 2 nbsp Wenn 2 zwei Komponenten der Normale null sind dann liegt die Normale in Richtung einer Hauptspannungsrichtung und der Schubanteil ist null also im globalen betraglichen Minimum Wenn 3 alle drei Komponenten vorhanden sind dann mussen wegen l s 1 s n 2 s 2 s n 2 s 3 s n 2 displaystyle lambda sigma 1 sigma n 2 sigma 2 sigma n 2 sigma 3 sigma n 2 nbsp mindestens zwei Hauptspannungen gleich sein Wenn alle drei Hauptspannungen gleich sind dann liegt ein hydrostatischer Spannungszustand vor und es treten in keiner Ebene Schubspannungen auf was nichtsdestotrotz im Einklang mit den eingangs angegebenen Formeln fur die Hauptschubspannungen ist Wenn nicht alle drei Hauptspannungen gleich sind beispielsweise s2 s3 s1 dann ist s n s 1 n 1 2 s 2 1 n 1 2 displaystyle sigma n sigma 1 n 1 2 sigma 2 1 n 1 2 nbsp und daher l 1 n 1 2 2 s 1 s 2 2 n 1 4 s 1 s 2 2 n 1 2 1 n 1 2 1 2 t s 1 s 2 2 displaystyle lambda 1 n 1 2 2 sigma 1 sigma 2 2 n 1 4 sigma 1 sigma 2 2 rightarrow n 1 2 1 n 1 2 frac 1 2 rightarrow tau frac sigma 1 sigma 2 2 nbsp Somit gilt in jedem der drei Falle 1 2 und 3 entweder eine der eingangs angegebenen Formeln fur die Hauptschubspannung oder die Schubspannung verschwindet im betraglichen Minimum in Hauptspannungsrichtungen oder im hydrostatischen Spannungszustand Mit Hilfe der Tensorrechnung Bearbeiten Eine Berechnung der Hauptschubspannungen mit Hilfe der Tensorrechnung findet sich beim Spannungstensor Beispiel Bearbeiten nbsp Betrag der Schubspannung in den Tangentialebenen einer Kugel bei den Hauptspannungen s1 4 s2 0 und s3 2Betrachtet wird ein Spannungszustand mit den Hauptspannungen s1 4 s2 0 und s3 2 die Einheiten werden der Ubersichtlichkeit halber unterdruckt Dann berechnen sich die Hauptschubspannungen t 1 s 2 s 3 2 0 2 2 1 t 2 s 3 s 1 2 2 4 2 3 t 3 s 1 s 2 2 4 0 2 2 displaystyle begin aligned tau 1 amp frac sigma 2 sigma 3 2 frac 0 2 2 1 tau 2 amp frac sigma 3 sigma 1 2 frac 2 4 2 3 tau 3 amp frac sigma 1 sigma 2 2 frac 4 0 2 2 end aligned nbsp Im Bild ist der Betrag der Schubspannung in der Tangentialebene in einem Punkt auf der Kugeloberflache farbcodiert von blau 0 nach rot 3 gezeichnet In den drei fett schwarz gezeichneten Punkten liegen die Hauptschubspannungen und ist die Schubspannung stationar Der Punkt im roten Bereich markiert das globale Maximum also die maximale Schubspannung und die beiden anderen Punkte liegen in Sattelpunkten In den Hauptspannungsrichtungen verschwinden die Schubspannungen blaue Bereiche hier ist die Schubspannung betraglich im globalen Minimum Weblinks BearbeitenUberlagerung von Spannungen Hauptnormalspannungen Fliesshypothese abgerufen am 20 September 2018 Beanspruchungen und Ubertragungsfahigkeit der geschwachten Welle Nabe Pressverbindungen abgerufen am 20 September 2018 Analyse der Fertigungs und Prozesseinflusse auf die Spannungsrissbildung beim Fugen amorpher Thermoplaste mittels Heizelement abgerufen am 20 September 2018 Korrosionsbestandige Walzlager in wasserhaltigen Hydraulikflussigkeiten abgerufen am 20 September 2018 Bedeutung der errechneten Spannung und Verformungswerte abgerufen am 20 September 2018 Einzelnachweise Bearbeiten Jurgen Dankert Helga Dankert Technische Mechanik Statik Festigkeitslehre Kinematik Kinetik 5 Auflage Vieweg Teubner 2009 ISBN 978 3 8351 0177 7 S 390 google de D Gross W Hauger J Schroder W A Wall Technische Mechanik Elastostatik Band 2 Springer Verlag Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 40965 3 S 42 doi 10 1007 978 3 642 40966 0 6 Literatur BearbeitenRalf Greve Kontinuumsmechanik Ein Grundkurs fur Ingenieure und Physiker Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 00760 1 Hans Albert Richard Manuela Sander Ermudungsrisse Erkennen sicher beurteilen vermeiden 2 Auflage Springer Fachmedien Wiesbaden 2012 ISBN 978 3 8348 1594 1 Hans Albert Richard Manuela Sander Technische Mechanik Festigkeitslehre Lehrbuch mit Praxisbeispielen 2 Auflage Vieweg Teubner Fachverlag Wiesbaden 2006 ISBN 978 3 8348 0454 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hauptschubspannung amp oldid 232878938