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Vergleichsspannung Die ist ein Begriff aus der Festigkeitslehre Dieser bezeichnet eine fiktive einachsige Spannung die a

Vergleichsspannung

Die Vergleichsspannung ist ein Begriff aus der Festigkeitslehre. Dieser bezeichnet eine fiktive einachsige Spannung, die aufgrund eines bestimmten werkstoffmechanischen bzw. mathematischen Kriteriums eine hypothetisch gleichwertige Materialbeanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand.

Vergleichsspannung
Tresca- und Mises-Festigkeitskriterium im Spannungsraum

Anhand der Vergleichsspannung kann der wirkliche, im Allgemeinen dreidimensionale Spannungszustand im Bauteil in der Festigkeits- oder in der Fließbedingung mit den Kennwerten aus dem einachsigen Zugversuch (Material-Kennwerte, z. B. Streckgrenze oder Zugfestigkeit) verglichen werden.

Grundlagen Bearbeiten

Zur vollständigen Beschreibung des Spannungszustandes in einem Bauteil ist im Allgemeinen die Angabe des Spannungstensors (symmetrischer Tensor 2. Stufe) notwendig. Dieser enthält im allgemeinen Fall (Kräfte- und Momentengleichgewicht) sechs verschiedene Spannungswerte (da einander zugeordnete Schubspannungen gleich sind). Durch die Transformation des Spannungstensors in ein ausgezeichnetes Koordinatensystem (das Hauptachsensystem) werden die Schubspannungen zu Null und drei ausgezeichnete (Normal)Spannungen (die Hauptspannungen) beschreiben den Beanspruchungszustand des Systems äquivalent.

Die Elemente des Vektors der Hauptspannungen bzw. des Spannungstensors können nun in einen Skalar überführt werden, der zwei Bedingungen genügen soll:

  • zum einen soll er den Spannungszustand möglichst umfassend beschreiben (Äquivalenz kann hier nicht mehr erreicht werden: es treten immer Informationsverluste beim Übergang vom Vektor der Hauptspannungen zur Vergleichsspannung auf)
  • zum anderen soll er auf jeden Fall eine versagensrelevante Information darstellen.
Anwendungsbereiche von Festigkeitshypothesen. SH: Schubspannungshypothese, GEH: Gestaltänderungshypothese, NH: Normalspannungshypothese.

Die Rechenvorschrift zur Bildung dieser skalaren Vergleichsspannung bezeichnet man als Vergleichspannungshypothese bzw. als Versagensregel. Im Rahmen einer Tragfähigkeitsanalyse vergleicht man die Vergleichsspannung mit zulässigen Spannungen. Durch die Wahl der Hypothese enthält sie implizit den Versagensmechanismus und ist damit ein Wert, der die Gefährdung des Bauteils unter der gegebenen Beanspruchung ausdrückt. Die Wahl der jeweiligen Vergleichspannungshypothese hängt also immer vom Festigkeitsverhalten des nachzuweisenden Materials sowie vom Lastfall (statisch, schwingend, Stoß) ab.

Es gibt eine ganze Anzahl von Hypothesen zur Berechnung der Vergleichsspannung. Sie werden in der Technischen Mechanik häufig unter dem Begriff Festigkeitshypothesen zusammengefasst. Die Anwendung hängt vom Materialverhalten und teilweise auch vom Anwendungsgebiet (wenn etwa eine Norm die Anwendung einer bestimmten Hypothese fordert) ab.

Am häufigsten wird im Maschinenbau und im Bauwesen die Gestaltänderungsenergiehypothese nach von Mises angewendet. Außer den hier genannten gibt es noch weitere Hypothesen.

Gestaltänderungshypothese (von Mises) Bearbeiten

Mithilfe der Mohr’schen Spannungskreisen kann man grafisch die Mises-Vergleichspannung bestimmen

Nach der Gestaltänderungshypothese, auch Gestaltänderungsenergiehypothese (kurz: GEH) oder Mises-Vergleichsspannung nach Richard von Mises benannt, tritt Versagen des Bauteils dann auf, wenn die Gestaltänderungsenergie einen Grenzwert überschreitet (s. auch Verzerrungen bzw. Deformation). Verwendet wird diese Hypothese für zähe Werkstoffe (z. B. Stahl) unter ruhender und wechselnder Beanspruchung. Die Mises-Vergleichsspannung wird im Maschinenbau und im Bauwesen am häufigsten eingesetzt -- für die meisten gängigen Materialien (nicht allzu spröde) unter normaler Belastung (wechselnd, nicht stoßartig) ist die GEH einsetzbar. Wichtige Anwendungsgebiete sind die Berechnungen von Wellen, die sowohl auf Biegung als auch auf Torsion beansprucht werden, sowie der Stahlbau. Die GEH ist so konstruiert, dass sich bei hydrostatischen Spannungszuständen (gleich große Spannungen in allen drei Raumrichtungen) eine Vergleichsspannung von Null ergibt, da plastisches Fließen von Metallen isochor ist und selbst extreme hydrostatische Drücke keinen Einfluss auf den Fließbeginn haben (Experimente von Bridgman).

Beschreibung im allgemeinen Spannungszustand:

andere Schreibweise:

Beschreibung im Hauptspannungszustand:

, und sind die Hauptspannungen.

Beschreibung im ebenen Spannungszustand:

Beschreibung im ebenen Verzerrungszustand mit:

Beschreibung in Invariantendarstellung:

wobei die zweite Invariante des Spannungsdeviators ist:

Die Gestaltänderungshypothese stellt einen Spezialfall des Drucker-Prager-Fließkriteriums dar, bei dem die Grenzspannungen für Druck und Zug gleich groß sind.

Schubspannungshypothese (Tresca, Coulomb, Saint-Venant, Guest) Bearbeiten

Es wird davon ausgegangen, dass für das Versagen des Werkstoffes die größte Hauptspannungsdifferenz verantwortlich ist (Bezeichnung in einigen FE-Programmen: Intensität). Diese Hauptspannungsdifferenz entspricht dem doppelten Wert der maximalen Schubspannung – dadurch wird sie bei zähem Material unter statischer Belastung, welches durch Fließen (Gleitbruch) versagt, angewandt. Im Mohr’schen Spannungskreis ist die kritische Größe der Durchmesser des größten Kreises. Die Schubspannungshypothese findet aber auch im Maschinenbau ganz allgemein Anwendung, da der Formelapparat im Vergleich zur GEH einfacher zu handhaben ist und man mit ihr im Vergleich zu Von Mises (GEH) auf der sicheren Seite liegt (es kommen im Zweifelsfall etwas größere Werte für die Vergleichsspannung und damit auch etwas mehr Sicherheitsreserven heraus).

Räumlicher Spannungszustand:

, und sind die Hauptspannungen.

Ebener Spannungszustand (vorausgesetzt und haben unterschiedliche Vorzeichen):

Hauptnormalspannungshypothese (Rankine) Bearbeiten

Es wird davon ausgegangen, dass das Bauteil aufgrund der größten Normalspannung versagt. Im Mohr'schen Spannungskreis ist der kritische Punkt die maximale Hauptspannung. Die Hypothese wird angewendet für Werkstoffe, welche mit Trennbruch, ohne Fließen, versagen:

Räumlicher Spannungszustand:

für

ansonsten

für

Ebener Spannungszustand:

Quadratisches rotationssymmetrisches Kriterium (Burzyński-Yagn) Bearbeiten

Mit dem Ansatz

folgen die Kriterien:

- Konus von Drucker-Prager (Mirolyubov) mit ,

- Paraboloid von Balandin (Burzyński-Torre) mit ,

- Ellipsoid von Beltrami mit ,

- Ellipsoid von Schleicher mit ,

- Hyperboloid von Burzyński-Yagn mit ,

- einschaliges Hyperboloid.

Die quadratischen Kriterien lassen sich explizit nach auflösen, was ihren praktischen Einsatz förderte.

Die Querkontraktionszahl bei Zug lässt sich mit

berechnen. Die Anwendung von rotationssymmetrischen Kriterien für sprödes Versagen

wurde nicht genügend untersucht.

Kombiniertes rotationssymmetrisches Kriterium (Huber) Bearbeiten

Das Kriterium von Huber besteht aus dem Ellipsoid von Beltrami

und einem zu ihm im Schnitt gekoppelten Zylinder

mit dem Parameter .

Der Übergang im Schnitt ist stetig-differenzierbar. Die Querkontraktionszahlen bei Zug und Druck ergeben sich zu

Das Kriterium wurde 1904 entwickelt. Es setzte sich jedoch zunächst nicht durch, da es von mehreren Wissenschaftler als unstetiges Modell verstanden wurde.

Unified Strength Theory (Mao-Hong Yu) Bearbeiten

Die Unified Strength Theory (UST) besteht aus zwei sechseckigen Pyramiden von Sayir, die um 60° gegeneinander gedreht sind:

mit und .

Mit ergibt sich das Kriterium von Mohr-Coulomb (Single-Shear Theorie von Yu), mit das Pisarenko-Lebedev Kriterium und mit folgt die Twin-Shear Theorie von Yu (vgl. Pyramide von Haythornthwaite).

Die Querkontraktionszahlen beim Zug und beim Druck folgen als

Cosinus-Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev) Bearbeiten

Oft werden die Festigkeitshypothesen unter Verwendung des Spannungswinkels

formuliert. Mehrere Kriterien isotropen Materialverhaltens werden im Ansatz

zusammengefasst.

Die Parameter und beschreiben die Geometrie der Fläche in der -Ebene. Sie müssen die Bedingungen

erfüllen, welche sich aus der Konvexitätsanforderung ergeben. In wird eine Verbesserung der dritten Bedingung vorgeschlagen.

Die Parameter und beschreiben die Lage der Schnittpunkte der Fließfläche mit der hydrostatischen Achse (Raumdiagonale im Hauptspannungsraum). Diese Schnittpunkte werden hydrostatische Knoten genannt. Für die Materialien, die unter der gleichmäßigen 3D-Druckbelastung nicht versagen (Stahl, Messing usw.), ergibt sich . Für die Materialien, die unter dem gleichmäßigen 3D-Druck versagen (harte Schäume, Keramiken, gesinterte Materialien), gilt .

Die ganzzahligen Potenzen und , beschreiben die Krümmung des Meridians. Der Meridian ist mit eine Gerade und mit eine Parabel.

Literatur Bearbeiten

  • J. Sauter, N. Wingerter: Neue und alte Festigkeitshypothesen. (= VDI-Fortschrittsberichte. Reihe 1. Band 191). VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-149101-2.
  • S. Sähn, H. Göldner: Bruch- und Beurteilungskriterien in der Festigkeitslehre. 2. Auflage. Fachbuchverlag, Leipzig 1993, ISBN 3-343-00854-0.
  • H. Mertens: Zur Formulierung von Festigkeitshypothesen für mehrachsige phasenverschobene Schwingbeanspruchungen. In: Z. angew. Math. und Mech. Band 70, Nr. 4, 1990, S. T327–T329.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Christian Hellmich und weitere: Skriptum zur Übung aus Festigkeitslehre. In: Festigkeitslehreskriptum für Bauingenieure. Band 2017/18, Nr. 202.665. Institut der Mechanik für Werkstoffe und Strukturen, TU Wien; Wien, Januar 2018 (tuwien.ac.at).
  2. Frank Faulstich: Drucker-Prager-Vergleichsspannung. Abgerufen am 2. April 2020.
  3. (Nicht mehr online verfügbar.) Universität Siegen, archiviert vom Original am 26. Oktober 2020; abgerufen am 2. April 2020.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.bau.uni-siegen.de
  4. L. Issler, H. Ruoß, P. Häfele: Festigkeitslehre - Grundlagen. Springer, Berlin/ Heidelberg 2003, ISBN 3-540-40705-7, S. 178.
  5. W. Burzyński: Über die Anstrengungshypothesen. In: Schweizerische Bauzeitung. Band 94, Nr. 21, 1929, S. 259–262.
  6. N. M. Beljaev: Strength of materials. Mir Publ., Moscow 1979.
  7. M. T. Huber: Die spezifische Formänderungsarbeit als Maß der Anstrengung. Czasopismo Techniczne, Lwow 1904.
  8. H. Ismar, O. Mahrenholz: Technische Plastomechanik. Vieweg, Braunschweig 1979.
  9. M.-H. Yu: Unified Strength Theory and its Applications. Springer, Berlin 2004.
  10. M. Sayir: Zur Fließbedingung der Plastizitätstheorie. In: Ing. Arch. 39, 1970, S. 414–432.
  11. H. Altenbach, A. Bolchoun, V. A. Kolupaev: Phenomenological Yield and Failure Criteria. In: H. Altenbach, A. Öchsner (Hrsg.): Plasticity of Pressure-Sensitive Materials. (= Serie ASM). Springer, Heidelberg 2013, S. 49–152.

Weblinks Bearbeiten

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Die Vergleichsspannung ist ein Begriff aus der Festigkeitslehre Dieser bezeichnet eine fiktive einachsige Spannung die aufgrund eines bestimmten werkstoffmechanischen bzw mathematischen Kriteriums eine hypothetisch gleichwertige Materialbeanspruchung darstellt wie ein realer mehrachsiger Spannungszustand VergleichsspannungTresca und Mises Festigkeitskriterium im SpannungsraumAnhand der Vergleichsspannung kann der wirkliche im Allgemeinen dreidimensionale Spannungszustand im Bauteil in der Festigkeits oder in der Fliessbedingung mit den Kennwerten aus dem einachsigen Zugversuch Material Kennwerte z B Streckgrenze oder Zugfestigkeit verglichen werden Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 Gestaltanderungshypothese von Mises 3 Schubspannungshypothese Tresca Coulomb Saint Venant Guest 4 Hauptnormalspannungshypothese Rankine 5 Quadratisches rotationssymmetrisches Kriterium Burzynski Yagn 6 Kombiniertes rotationssymmetrisches Kriterium Huber 7 Unified Strength Theory Mao Hong Yu 8 Cosinus Ansatz Altenbach Bolchoun Kolupaev 9 Literatur 10 Einzelnachweise 11 WeblinksGrundlagen BearbeitenZur vollstandigen Beschreibung des Spannungszustandes in einem Bauteil ist im Allgemeinen die Angabe des Spannungstensors symmetrischer Tensor 2 Stufe notwendig Dieser enthalt im allgemeinen Fall Krafte und Momentengleichgewicht sechs verschiedene Spannungswerte da einander zugeordnete Schubspannungen gleich sind Durch die Transformation des Spannungstensors in ein ausgezeichnetes Koordinatensystem das Hauptachsensystem werden die Schubspannungen zu Null und drei ausgezeichnete Normal Spannungen die Hauptspannungen beschreiben den Beanspruchungszustand des Systems aquivalent Die Elemente des Vektors der Hauptspannungen bzw des Spannungstensors konnen nun in einen Skalar uberfuhrt werden der zwei Bedingungen genugen soll zum einen soll er den Spannungszustand moglichst umfassend beschreiben Aquivalenz kann hier nicht mehr erreicht werden es treten immer Informationsverluste beim Ubergang vom Vektor der Hauptspannungen zur Vergleichsspannung auf zum anderen soll er auf jeden Fall eine versagensrelevante Information darstellen nbsp Anwendungsbereiche von Festigkeitshypothesen SH Schubspannungshypothese GEH Gestaltanderungshypothese NH Normalspannungshypothese Die Rechenvorschrift zur Bildung dieser skalaren Vergleichsspannung bezeichnet man als Vergleichspannungshypothese bzw als Versagensregel Im Rahmen einer Tragfahigkeitsanalyse vergleicht man die Vergleichsspannung mit zulassigen Spannungen Durch die Wahl der Hypothese enthalt sie implizit den Versagensmechanismus und ist damit ein Wert der die Gefahrdung des Bauteils unter der gegebenen Beanspruchung ausdruckt Die Wahl der jeweiligen Vergleichspannungshypothese hangt also immer vom Festigkeitsverhalten des nachzuweisenden Materials sowie vom Lastfall statisch schwingend Stoss ab Es gibt eine ganze Anzahl von Hypothesen zur Berechnung der Vergleichsspannung Sie werden in der Technischen Mechanik haufig unter dem Begriff Festigkeitshypothesen zusammengefasst Die Anwendung hangt vom Materialverhalten und teilweise auch vom Anwendungsgebiet wenn etwa eine Norm die Anwendung einer bestimmten Hypothese fordert ab Am haufigsten wird im Maschinenbau und im Bauwesen die Gestaltanderungsenergiehypothese nach von Mises angewendet Ausser den hier genannten gibt es noch weitere Hypothesen Gestaltanderungshypothese von Mises Bearbeiten nbsp Mithilfe der Mohr schen Spannungskreisen kann man grafisch die Mises Vergleichspannung bestimmen 1 Nach der Gestaltanderungshypothese auch Gestaltanderungsenergiehypothese kurz GEH oder Mises Vergleichsspannung nach Richard von Mises benannt tritt Versagen des Bauteils dann auf wenn die Gestaltanderungsenergie einen Grenzwert uberschreitet s auch Verzerrungen bzw Deformation Verwendet wird diese Hypothese fur zahe Werkstoffe z B Stahl unter ruhender und wechselnder Beanspruchung Die Mises Vergleichsspannung wird im Maschinenbau und im Bauwesen am haufigsten eingesetzt fur die meisten gangigen Materialien nicht allzu sprode unter normaler Belastung wechselnd nicht stossartig ist die GEH einsetzbar Wichtige Anwendungsgebiete sind die Berechnungen von Wellen die sowohl auf Biegung als auch auf Torsion beansprucht werden sowie der Stahlbau Die GEH ist so konstruiert dass sich bei hydrostatischen Spannungszustanden gleich grosse Spannungen in allen drei Raumrichtungen eine Vergleichsspannung von Null ergibt da plastisches Fliessen von Metallen isochor ist und selbst extreme hydrostatische Drucke keinen Einfluss auf den Fliessbeginn haben Experimente von Bridgman Beschreibung im allgemeinen Spannungszustand s v M s x 2 s y 2 s z 2 s x s y s x s z s y s z 3 t x y 2 t x z 2 t y z 2 displaystyle sigma v M sqrt sigma x 2 sigma y 2 sigma z 2 sigma x sigma y sigma x sigma z sigma y sigma z 3 tau xy 2 tau xz 2 tau yz 2 nbsp andere Schreibweise s v M 1 2 s x s y 2 s y s z 2 s z s x 2 6 t x y 2 t y z 2 t x z 2 displaystyle sigma v M sqrt frac 1 2 big left sigma x sigma y right 2 left sigma y sigma z right 2 left sigma z sigma x right 2 6 left tau xy 2 tau yz 2 tau xz 2 right big nbsp Beschreibung im Hauptspannungszustand s v M 1 2 s I s I I 2 s I I s I I I 2 s I I I s I 2 displaystyle sigma v M sqrt frac 1 2 big sigma I sigma II 2 sigma II sigma III 2 sigma III sigma I 2 big nbsp s I displaystyle sigma I nbsp s I I displaystyle sigma II nbsp und s I I I displaystyle sigma III nbsp sind die Hauptspannungen Beschreibung im ebenen Spannungszustand s v M s x 2 s y 2 s x s y 3 t x y 2 displaystyle sigma v M sqrt sigma x 2 sigma y 2 sigma x sigma y 3 tau xy 2 nbsp Beschreibung im ebenen Verzerrungszustand mit s z n s x s y displaystyle sigma z nu sigma x sigma y nbsp s v M s x 2 s y 2 n 2 n 1 s x s y 2 n 2 2 n 1 3 t x y 2 displaystyle sigma v M sqrt sigma x 2 sigma y 2 nu 2 nu 1 sigma x sigma y 2 nu 2 2 nu 1 3 tau xy 2 nbsp Beschreibung in Invariantendarstellung s v M 3 I 2 displaystyle sigma v M sqrt 3I 2 nbsp wobei I 2 displaystyle I 2 nbsp die zweite Invariante des Spannungsdeviators s i j displaystyle s ij nbsp ist I 2 1 2 s i j s i j displaystyle I 2 frac 1 2 s ij s ij nbsp Die Gestaltanderungshypothese stellt einen Spezialfall des Drucker Prager Fliesskriteriums dar bei dem die Grenzspannungen fur Druck s c displaystyle sigma c nbsp und Zug s t displaystyle sigma t nbsp gleich gross sind 2 3 Schubspannungshypothese Tresca Coulomb Saint Venant Guest BearbeitenEs wird davon ausgegangen dass fur das Versagen des Werkstoffes die grosste Hauptspannungsdifferenz verantwortlich ist Bezeichnung in einigen FE Programmen s i n t displaystyle sigma mathrm int nbsp Intensitat Diese Hauptspannungsdifferenz entspricht dem doppelten Wert der maximalen Schubspannung t max displaystyle tau max nbsp dadurch wird sie bei zahem Material unter statischer Belastung welches durch Fliessen Gleitbruch versagt angewandt Im Mohr schen Spannungskreis ist die kritische Grosse der Durchmesser des grossten Kreises Die Schubspannungshypothese findet aber auch im Maschinenbau ganz allgemein Anwendung da der Formelapparat im Vergleich zur GEH einfacher zu handhaben ist und man mit ihr im Vergleich zu Von Mises GEH auf der sicheren Seite liegt es kommen im Zweifelsfall etwas grossere Werte fur die Vergleichsspannung und damit auch etwas mehr Sicherheitsreserven heraus s v T 2 t max displaystyle sigma v T 2 tau max nbsp Raumlicher Spannungszustand s v T max s I s I I s I I s I I I s I I I s I displaystyle sigma v T max vert sigma I sigma II vert vert sigma II sigma III vert vert sigma III sigma I vert nbsp s I displaystyle sigma I nbsp s I I displaystyle sigma II nbsp und s I I I displaystyle sigma III nbsp sind die Hauptspannungen Ebener Spannungszustand vorausgesetzt s x displaystyle sigma x nbsp und s y displaystyle sigma y nbsp haben unterschiedliche Vorzeichen 4 s v T s x s y 2 4 t x y 2 displaystyle sigma v T sqrt sigma x sigma y 2 4 tau xy 2 nbsp Hauptnormalspannungshypothese Rankine BearbeitenEs wird davon ausgegangen dass das Bauteil aufgrund der grossten Normalspannung versagt Im Mohr schen Spannungskreis ist der kritische Punkt die maximale Hauptspannung Die Hypothese wird angewendet fur Werkstoffe welche mit Trennbruch ohne Fliessen versagen sprode Werkstoffe z B Grauguss oder Schweissnahte bei vorwiegend ruhender Zugbeanspruchung sprode und zahe Materialien bei stossartiger Belastung Raumlicher Spannungszustand s v R s I displaystyle sigma v R sigma I nbsp fur s I 0 amp s I s I I I displaystyle sigma I geq 0 quad amp quad sigma I geq vert sigma III vert nbsp ansonsten s v R s I I I s I I I displaystyle sigma v R vert sigma III vert sigma III nbsp fur s I I I lt 0 displaystyle sigma III lt 0 nbsp Ebener Spannungszustand s v R s x s y s x s y 2 4 t x y 2 2 displaystyle sigma v R frac sigma x sigma y sqrt sigma x sigma y 2 4 tau xy 2 2 nbsp Quadratisches rotationssymmetrisches Kriterium Burzynski Yagn BearbeitenMit dem Ansatz 5 3 I 2 s e q g 1 I 1 1 g 1 s e q g 2 I 1 1 g 2 g 1 0 1 displaystyle 3I 2 frac sigma mathrm eq gamma 1 I 1 1 gamma 1 frac sigma mathrm eq gamma 2 I 1 1 gamma 2 qquad gamma 1 in 0 1 nbsp folgen die Kriterien Konus von Drucker Prager Mirolyubov mit g 1 g 2 0 1 displaystyle gamma 1 gamma 2 in 0 1 nbsp Paraboloid von Balandin Burzynski Torre mit g 1 0 1 g 2 0 displaystyle gamma 1 in 0 1 gamma 2 0 nbsp Ellipsoid von Beltrami mit g 1 g 2 0 1 displaystyle gamma 1 gamma 2 in 0 1 nbsp Ellipsoid von Schleicher mit g 1 0 1 g 2 lt 0 displaystyle gamma 1 in 0 1 gamma 2 lt 0 nbsp Hyperboloid von Burzynski Yagn mit g 1 0 1 g 2 0 g 1 displaystyle gamma 1 in 0 1 gamma 2 in 0 gamma 1 nbsp einschaliges Hyperboloid Die quadratischen Kriterien lassen sich explizit nach s e q displaystyle sigma mathrm eq nbsp auflosen was ihren praktischen Einsatz forderte Die Querkontraktionszahl bei Zug lasst sich mit n p l 1 2 g 1 g 2 3 g 1 g 2 2 g 1 g 2 displaystyle nu mathrm pl frac 1 2 gamma 1 gamma 2 3 gamma 1 gamma 2 2 gamma 1 gamma 2 nbsp berechnen Die Anwendung von rotationssymmetrischen Kriterien fur sprodes Versagen n p l 1 n e l displaystyle nu mathrm pl in 1 nu mathrm el nbsp wurde nicht genugend untersucht 6 Kombiniertes rotationssymmetrisches Kriterium Huber BearbeitenDas Kriterium von Huber 7 besteht aus dem Ellipsoid von Beltrami 3 I 2 s e q g 1 I 1 1 g 1 s e q g 1 I 1 1 g 1 displaystyle 3I 2 frac sigma eq gamma 1 I 1 1 gamma 1 frac sigma eq gamma 1 I 1 1 gamma 1 nbsp fur I 1 gt 0 displaystyle I 1 gt 0 nbsp und einem zu ihm im Schnitt I 1 0 displaystyle I 1 0 nbsp gekoppelten Zylinder 3 I 2 s e q 1 g 1 s e q 1 g 1 displaystyle 3I 2 frac sigma eq 1 gamma 1 frac sigma eq 1 gamma 1 nbsp fur I 1 0 displaystyle I 1 leq 0 nbsp mit dem Parameter g 1 0 1 displaystyle gamma 1 in 0 1 nbsp Der Ubergang im Schnitt I 1 0 displaystyle I 1 0 nbsp ist stetig differenzierbar Die Querkontraktionszahlen bei Zug und Druck ergeben sich zu n p l 1 2 1 3 g 1 2 displaystyle nu pl frac 1 2 1 3 gamma 1 2 nbsp n p l 1 2 displaystyle nu pl frac 1 2 nbsp Das Kriterium wurde 1904 entwickelt Es setzte sich jedoch zunachst nicht durch da es von mehreren Wissenschaftler 8 als unstetiges Modell verstanden wurde Unified Strength Theory Mao Hong Yu BearbeitenDie Unified Strength Theory UST 9 besteht aus zwei sechseckigen Pyramiden von Sayir 10 die um 60 gegeneinander gedreht sind s I a 1 b b s I I s I I I s e q 0 displaystyle sigma mathrm I frac alpha 1 b b sigma mathrm II sigma mathrm III sigma mathrm eq 0 nbsp a s I 1 1 b b s I I s I I I s e q 0 displaystyle alpha sigma mathrm I frac 1 1 b b sigma mathrm II sigma mathrm III sigma mathrm eq 0 nbsp mit a s s 0 1 displaystyle alpha frac sigma sigma in 0 1 nbsp und b t s s s s s s t 0 1 displaystyle b frac tau sigma sigma sigma sigma sigma sigma tau in 0 1 nbsp Mit b 0 displaystyle b 0 nbsp ergibt sich das Kriterium von Mohr Coulomb Single Shear Theorie von Yu mit b 3 1 2 0 366 displaystyle b sqrt 3 1 2 approx 0 366 nbsp das Pisarenko Lebedev Kriterium und mit b 1 displaystyle b 1 nbsp folgt die Twin Shear Theorie von Yu vgl Pyramide von Haythornthwaite Die Querkontraktionszahlen beim Zug und beim Druck folgen als n p l a 2 displaystyle nu mathrm pl frac alpha 2 nbsp n p l 1 2 a displaystyle nu mathrm pl frac 1 2 alpha nbsp Cosinus Ansatz Altenbach Bolchoun Kolupaev BearbeitenOft werden die Festigkeitshypothesen unter Verwendung des Spannungswinkels cos 3 8 3 3 2 I 3 I 2 3 2 displaystyle cos 3 theta frac 3 sqrt 3 2 frac I 3 I 2 frac 3 2 nbsp formuliert Mehrere Kriterien isotropen Materialverhaltens werden im Ansatz 3 I 2 3 1 c 3 cos 3 8 c 6 cos 2 3 8 1 c 3 c 6 s e q g 1 I 1 1 g 1 6 l m s e q g 2 I 1 1 g 2 l s e q m displaystyle 3I 2 3 frac 1 c 3 cos 3 theta c 6 cos 2 3 theta 1 c 3 c 6 displaystyle left frac sigma mathrm eq gamma 1 I 1 1 gamma 1 right 6 l m left frac sigma mathrm eq gamma 2 I 1 1 gamma 2 right l sigma mathrm eq m nbsp zusammengefasst Die Parameter c 3 displaystyle c 3 nbsp und c 6 displaystyle c 6 nbsp beschreiben die Geometrie der Flache in der p displaystyle pi nbsp Ebene Sie mussen die Bedingungen c 6 1 4 2 c 3 c 6 1 4 2 c 3 c 6 5 12 c 3 2 1 3 displaystyle c 6 frac 1 4 2 c 3 qquad c 6 frac 1 4 2 c 3 qquad c 6 geq frac 5 12 c 3 2 frac 1 3 nbsp erfullen welche sich aus der Konvexitatsanforderung ergeben In 11 wird eine Verbesserung der dritten Bedingung vorgeschlagen Die Parameter g 1 0 1 displaystyle gamma 1 in 0 1 nbsp und g 2 displaystyle gamma 2 nbsp beschreiben die Lage der Schnittpunkte der Fliessflache mit der hydrostatischen Achse Raumdiagonale im Hauptspannungsraum Diese Schnittpunkte werden hydrostatische Knoten genannt Fur die Materialien die unter der gleichmassigen 3D Druckbelastung nicht versagen Stahl Messing usw ergibt sich g 2 0 g 1 displaystyle gamma 2 in 0 gamma 1 nbsp Fur die Materialien die unter dem gleichmassigen 3D Druck versagen harte Schaume Keramiken gesinterte Materialien gilt g 2 lt 0 displaystyle gamma 2 lt 0 nbsp Die ganzzahligen Potenzen l 0 displaystyle l geq 0 nbsp und m 0 displaystyle m geq 0 nbsp l m lt 6 displaystyle l m lt 6 nbsp beschreiben die Krummung des Meridians Der Meridian ist mit l m 0 displaystyle l m 0 nbsp eine Gerade und mit l 0 displaystyle l 0 nbsp eine Parabel Literatur BearbeitenJ Sauter N Wingerter Neue und alte Festigkeitshypothesen VDI Fortschrittsberichte Reihe 1 Band 191 VDI Verlag Dusseldorf 1990 ISBN 3 18 149101 2 S Sahn H Goldner Bruch und Beurteilungskriterien in der Festigkeitslehre 2 Auflage Fachbuchverlag Leipzig 1993 ISBN 3 343 00854 0 H Mertens Zur Formulierung von Festigkeitshypothesen fur mehrachsige phasenverschobene Schwingbeanspruchungen In Z angew Math und Mech Band 70 Nr 4 1990 S T327 T329 Einzelnachweise Bearbeiten Christian Hellmich und weitere Skriptum zur Ubung aus Festigkeitslehre In Festigkeitslehreskriptum fur Bauingenieure Band 2017 18 Nr 202 665 Institut der Mechanik fur Werkstoffe und Strukturen TU Wien Wien Januar 2018 tuwien ac at Frank Faulstich Drucker Prager Vergleichsspannung Abgerufen am 2 April 2020 Vorlesung zu Plasizitat der Uni Siegen Nicht mehr online verfugbar Universitat Siegen archiviert vom Original am 26 Oktober 2020 abgerufen am 2 April 2020 nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www bau uni siegen de L Issler H Ruoss P Hafele Festigkeitslehre Grundlagen Springer Berlin Heidelberg 2003 ISBN 3 540 40705 7 S 178 W Burzynski Uber die Anstrengungshypothesen In Schweizerische Bauzeitung Band 94 Nr 21 1929 S 259 262 N M Beljaev Strength of materials Mir Publ Moscow 1979 M T Huber Die spezifische Formanderungsarbeit als Mass der Anstrengung Czasopismo Techniczne Lwow 1904 H Ismar O Mahrenholz Technische Plastomechanik Vieweg Braunschweig 1979 M H Yu Unified Strength Theory and its Applications Springer Berlin 2004 M Sayir Zur Fliessbedingung der Plastizitatstheorie In Ing Arch 39 1970 S 414 432 H Altenbach A Bolchoun V A Kolupaev Phenomenological Yield and Failure Criteria In H Altenbach A Ochsner Hrsg Plasticity of Pressure Sensitive Materials Serie ASM Springer Heidelberg 2013 S 49 152 Weblinks Bearbeitenvergleichsspannung de Formeln Hintergrunde und Berechnungstools Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vergleichsspannung amp oldid 232341909 Gestaltanderungshypothese