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Torsion Mechanik Die Torsion beschreibt die Verdrehung eines Körpers die durch die Wirkung eines Torsionsmoments entsteh

Torsion (Mechanik)

Die Torsion beschreibt die Verdrehung eines Körpers, die durch die Wirkung eines Torsionsmoments entsteht. Versucht man einen Stab mit einem Hebel senkrecht zur Längsachse zu verdrehen, so wirkt auf diesen (neben einer etwaigen Querkraft) ein Torsionsmoment.

Veranschaulichung der Torsion
Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt
Torsion eines Winkeleisens (L-Profil)
Versuchsaufbau zur Bestimmung der Torsionsgesetze (Holzstich 1897)

Das Torsionsmoment ergibt sich aus der Kraft am Hebel multipliziert mit der Länge des dazu verwendeten Hebels:

Die entstehende Verdrehung (Verdrehwinkel ) des Stabs ergibt sich als:

mit

Torsionsträgheitsmoment Bearbeiten

Ausschließlich für Kreis- und für geschlossene Kreisringquerschnitte ist das Torsionsträgheitsmoment gleich dem polaren Flächenträgheitsmoment :

Für andere Querschnitte ist die Berechnung des Torsionsträgheitsmoments nur in besonderen Fällen in geschlossener Form möglich.

Zudem ist bei der Bestimmung des Torsionsträgheitsmoments oft von Bedeutung, ob es sich um verwölbungsfreie Querschnitte handelt oder nicht, und ob die Verwölbung behindert wird oder nicht.

Torsion ohne Verwölbung Bearbeiten

Bei geschlossenen Profilen, deren Produkte aus Wanddicke und Abstand zur Drehachse seitenweise konstant sind (), entstehen im Falle der Torsion zwar Schubspannungen, aber keine Normalspannungen in Längsrichtung und damit auch keine Verwölbung des Querschnitts. Diese Bedingungen erfüllt beispielsweise ein zylinderförmiges Rohr konstanter Wandstärke. Dieser Fall der Torsion wird als Neubersche Schale bezeichnet.

Zu beachten ist allerdings, dass die lineare Elastizitätstheorie gilt, d. h. nur kleine Verzerrungen und Verformungen, aber keine plastischen Verformungen zugelassen sind. Außerdem soll die Belastung in Form des Torsionsmomentes an der Längsachse anliegen.

Die Schubspannung im Stab ergibt sich aus dem Torsionsmoment geteilt durch das polare Widerstandsmoment :

Die maximale Schubspannung tritt dabei am Rand bzw. am maximalen Radius des betrachteten Querschnitts auf. Bei der Dimensionierung muss darauf geachtet werden, dass diese Schubspannung nicht größer wird als die maximal zulässige Schubspannung des zu verwendenden Materials:

Andernfalls geht die Verformung beispielsweise einer Welle aus dem elastischen Bereich in den plastischen Bereich über und führt schließlich zum Bruch.

Torsion mit unbehinderter Verwölbung (Saint-Venant) Bearbeiten

Die reine Torsion, auch Saint-Venantsche Torsion genannt, erlaubt eine unbehinderte Verschiebung von Querschnittspunkten in Längsrichtung (Z-Richtung) des Profiles. Man spricht auch von einer unbehinderten Verwölbung des Querschnitts. Die Querschnittsform senkrecht zur Z-Richtung bleibt dabei erhalten (kleine Verformungen). Es wird angenommen, dass die Querschnittsverwölbung unabhängig von der Lage des Querschnitts ist und sich frei einstellen kann. Man bedient sich quasi eines Tricks, um Profile tordieren zu lassen, die keinen kreisförmigen Querschnitt haben. Diese können nicht als Neubersche Schale aufgefasst werden. Allerdings darf ein solches Profil nicht fest eingespannt werden, es muss frei im Raum stehen, und das Moment wird auf beiden Seiten aufgebracht. So ist gewährleistet, dass keine Normalspannungen längs des Profils auftreten, obwohl sich einzelne Punkte am Profil in Längsrichtung verschieben dürfen.

Das innere Torsionsmoment ist über die Länge des Stabes konstant und hat die Größe des äußeren Torsionsmomentes. Man spricht auch vom primären Torsionsmoment.

Die größte Torsionsschubspannung findet sich im Bereich der kleinsten Wanddicke (Theorie über dünnwandige geschlossene Hohlprofile und dünnwandige offene Profile).

Wölbkrafttorsion Bearbeiten

Wölbkrafttorsion tritt in folgenden Fällen auf:

  • wenn die Verwölbung des verdrillten Stabquerschnittes an Auflagerpunkten behindert wird, beispielsweise durch Endplatten.
  • durch Querschnittsänderungen und damit veränderliche Torsionssteifigkeit und sich ändernde Einheitsverwölbung des Stabes.
  • durch veränderliche Torsionsbelastung, wenn das daraus resultierende Torsionsmoment im Stab nicht konstant ist (z. B. durch ein Streckentorsionsmoment).
  • wenn kein wölbfreier Querschnitt vorliegt
  • wenn ein wölbfreier Querschnitt durch Erzwingung einer anderen Drehachse als seines Schubmittelpunkts Verwölbungen aufgezwungen bekommt.
  • wenn das Torsionsmoment innerhalb der Stablänge angreift.

Wölbkrafttorsion entspricht einem die Verdrillung des Stabes behindernden örtlichen Spannungszustand durch eine Auflagerbedingung. Mathematisch kann man sich die Wölbkrafttorsion vorstellen wie eine St. Venantsche Torsion mit zusätzlichen statisch unbestimmten Längsspannungen im Auflagerpunkt, die so groß sein müssen, dass die Auflagerbedingung, z. B. Längsverschiebung gleich null, erfüllt sind.

Das innere Moment des Stabes spaltet sich dann in zwei Anteile: einer stammt aus der reinen Torsion, der zweite aus der behinderten Verwölbung.

  • Bei Vollquerschnitten ist der Anteil des Wölbmomentes aufgrund der relativ geringen Verwölbung meist klein, es kann daher in der Regel unberücksichtigt bleiben.
  • Bei dünnwandigen Profilen muss die Wölbkrafttorsion jedoch berücksichtigt werden. Hier treten neben den St.Venantschen Schubspannungen (primären Torsionsschubspannungen) zusätzlich sekundäre Schub- (auch Wölbschubspannungen genannt) und Wölbnormalspannungen auf.
    • Bei geschlossenen dünnwandigen Profilen wie kaltgeformten Hohlprofilen bleiben die Wölbspannungen und die daraus entstehenden Verformungen jedoch meist klein gegenüber den Spannungen aus der reinen Torsion, daher ist hier im Allgemeinen keine Betrachtung der Wölbkrafttorsion notwendig. Allerdings müssen Grenzfälle betrachtet werden, die die Querschnittsverformungen bei sehr dünnwandigen Querschnitten berücksichtigen.

Die Verdrillung ist über die Länge des Stabes nicht konstant, da der Einfluss der Wölbkrafttorsion mit zunehmendem Abstand von dem Auflagerpunkt, an dem die Verwölbung des Querschnitts behindert ist, geringer wird. Daher sind auch die Wölbnormalspannungen über die Länge des Stabes nicht konstant, über den Querschnitt jedoch sehr wohl.

Torsion an dünnwandigen Profilen Bearbeiten

Das Rundrohr als Beispiel eines dünnwandigen Profils

Da die durch Torsion verursachten Schubspannungen in der Mitte eines Querschnitts geringer sind als zum Rand hin, ist es nach den Prinzipien des Leichtbaus sinnvoll, mehr Material an den Rand eines Querschnitts zu legen. Dieses Prinzip wird bei der Drehmomentübertragung durch Wellen in Form der Hohlwelle angewandt.

Bei dünnwandigen Querschnitten tritt Schubfluss tangential zur Wand des betrachteten Rohrs oder der Welle auf. Der Schubfluss wird bestimmt durch:

Dabei ist

  • die Schubspannung an der Profilmittellinie des Querschnitts
  • die Wanddicke des Querschnitts, die über den Ort veränderlich sein kann.

Über die 1. Bredtsche Formel ist mit dem Torsionsmoment verknüpft:

Dabei ist die Fläche, die von der Profilmittellinie eingeschlossen wird.

Setzt man die 1. Bredtsche Formel in die Gleichung für den Schubfluss ein, so ergibt sich

Beschreibt man die Profilmittellinie mit einer Laufkoordinate , so kann der Verdrehwinkel des Profils bestimmt werden:

Dabei ist

Die maximale Schubspannung wird bestimmt durch

mit dem Torsionsträgheitsmoment .

Fasst man Torsionsträgheitsmoment und Wandstärke zum Torsionswiderstandsmoment zusammen, so gilt

Bei dünnwandigen Querschnitten spielt es eine große Rolle, ob der Querschnitt geschlossen oder offen ist. Geschlossene Querschnitte sind deutlich widerstandsfähiger gegenüber Torsion als offene Querschnitte. Betrachtet man beispielsweise den geschlossenen Querschnitt eines Rundrohrs, dessen Wandstärke 10 % seines Radius beträgt, und vergleicht ihn mit einem geschlitzten Querschnitt mit ansonsten gleichen Eigenschaften, so sind Torsionsträgheitsmoment und folglich das für einen bestimmten Verdrehwinkel aufzubringende Moment beim geschlossenen Querschnitt um den Faktor 300 größer.

Anwendungen Bearbeiten

Der Effekt der Torsion wird in vielen Bereichen angewendet:

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Francke und Harald Friemann: Schub und Torsion in geraden Stäben: Grundlagen und Berechnungsbeispiele. Vieweg, Konstanz 2005, ISBN 3-528-03990-6.
  • Edmund Spitzenberger: Wölbkrafttorsion gemischt offen-geschlossener Querschnitte. VDM, Saarbrücken 2008, ISBN 978-3-639-02493-7.
  • Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 542–557, S. 573f und S. 585–588, ISBN 978-3-433-03134-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre, 8. Auflage, Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5.
  2. Bernd Markert: Mechanik 2 Elastostatik – Statik deformierbarer Körper, 2. Auflage, Institut für Allgemeine Mechanik Aachen, Aachen 2015.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Torsion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Veröffentlichungsdatum:
Die Torsion beschreibt die Verdrehung eines Korpers die durch die Wirkung eines Torsionsmoments entsteht Versucht man einen Stab mit einem Hebel senkrecht zur Langsachse zu verdrehen so wirkt auf diesen neben einer etwaigen Querkraft ein Torsionsmoment Veranschaulichung der TorsionTorsion eines Stabes mit quadratischem QuerschnittTorsion eines Winkeleisens L Profil Versuchsaufbau zur Bestimmung der Torsionsgesetze Holzstich 1897 Das Torsionsmoment T displaystyle T ergibt sich aus der Kraft F displaystyle F am Hebel multipliziert mit der Lange r displaystyle r des dazu verwendeten Hebels T F r displaystyle T F cdot r Die entstehende Verdrehung Verdrehwinkel 8 t displaystyle theta t des Stabs ergibt sich als 8 t T D T L G I T displaystyle begin aligned theta t amp frac T D amp frac T cdot L G cdot I T end aligned mit dem Torsionsmoment T displaystyle T dem Direktionsmoment D displaystyle D der Stablange L displaystyle L dem Schubmodul G displaystyle G dem Torsionstragheitsmoment I T displaystyle I T welches die Grosse und Form des Stabquerschnitts beschreibt Inhaltsverzeichnis 1 Torsionstragheitsmoment 2 Torsion ohne Verwolbung 3 Torsion mit unbehinderter Verwolbung Saint Venant 4 Wolbkrafttorsion 5 Torsion an dunnwandigen Profilen 6 Anwendungen 7 Literatur 8 Einzelnachweise 9 WeblinksTorsionstragheitsmoment BearbeitenAusschliesslich fur Kreis und fur geschlossene Kreisringquerschnitte ist das Torsionstragheitsmoment gleich dem polaren Flachentragheitsmoment I p displaystyle I p nbsp I T I p r 4 p 2 displaystyle I T I p frac r 4 cdot pi 2 nbsp Fur andere Querschnitte ist die Berechnung des Torsionstragheitsmoments nur in besonderen Fallen in geschlossener Form moglich Zudem ist bei der Bestimmung des Torsionstragheitsmoments oft von Bedeutung ob es sich um verwolbungsfreie Querschnitte handelt oder nicht und ob die Verwolbung behindert wird oder nicht Torsion ohne Verwolbung BearbeitenBei geschlossenen Profilen deren Produkte aus Wanddicke t displaystyle t nbsp 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betrachteten Querschnitts auf Bei der Dimensionierung muss darauf geachtet werden dass diese Schubspannung nicht grosser wird als die maximal zulassige Schubspannung t z u l displaystyle tau mathrm zul nbsp des zu verwendenden Materials t t z u l displaystyle tau leq tau mathrm zul nbsp Andernfalls geht die Verformung beispielsweise einer Welle aus dem elastischen Bereich in den plastischen Bereich uber und fuhrt schliesslich zum Bruch Torsion mit unbehinderter Verwolbung Saint Venant BearbeitenDie reine Torsion auch Saint Venantsche Torsion genannt erlaubt eine unbehinderte Verschiebung von Querschnittspunkten in Langsrichtung Z Richtung des Profiles Man spricht auch von einer unbehinderten Verwolbung des Querschnitts Die Querschnittsform senkrecht zur Z Richtung bleibt dabei erhalten kleine Verformungen Es wird angenommen dass die Querschnittsverwolbung unabhangig von der Lage des Querschnitts ist und sich frei einstellen kann Man bedient sich quasi eines Tricks um Profile tordieren zu lassen die keinen kreisformigen Querschnitt haben Diese konnen nicht als Neubersche Schale aufgefasst werden Allerdings darf ein solches Profil nicht fest eingespannt werden es muss frei im Raum stehen und das Moment wird auf beiden Seiten aufgebracht So ist gewahrleistet dass keine Normalspannungen langs des Profils auftreten obwohl sich einzelne Punkte am Profil in Langsrichtung verschieben durfen Das innere Torsionsmoment ist uber die Lange des Stabes konstant und hat die Grosse des ausseren Torsionsmomentes Man spricht auch vom primaren Torsionsmoment Die grosste Torsionsschubspannung findet sich im Bereich der kleinsten Wanddicke Theorie uber dunnwandige geschlossene Hohlprofile und dunnwandige offene Profile Wolbkrafttorsion BearbeitenWolbkrafttorsion tritt in folgenden Fallen auf wenn die Verwolbung des verdrillten Stabquerschnittes an Auflagerpunkten behindert wird beispielsweise durch Endplatten durch Querschnittsanderungen und damit veranderliche Torsionssteifigkeit und sich andernde Einheitsverwolbung des Stabes durch veranderliche Torsionsbelastung wenn das daraus resultierende Torsionsmoment im Stab nicht konstant ist z B durch ein Streckentorsionsmoment wenn kein wolbfreier Querschnitt vorliegt wenn ein wolbfreier Querschnitt durch Erzwingung einer anderen Drehachse als seines Schubmittelpunkts Verwolbungen aufgezwungen bekommt wenn das Torsionsmoment innerhalb der Stablange angreift Wolbkrafttorsion entspricht einem die Verdrillung des Stabes behindernden ortlichen Spannungszustand durch eine Auflagerbedingung Mathematisch kann man sich die Wolbkrafttorsion vorstellen wie eine St Venantsche Torsion mit zusatzlichen statisch unbestimmten Langsspannungen im Auflagerpunkt die so gross sein mussen dass die Auflagerbedingung z B Langsverschiebung gleich null erfullt sind Das innere Moment des Stabes spaltet sich dann in zwei Anteile einer stammt aus der reinen Torsion der zweite aus der behinderten Verwolbung Bei Vollquerschnitten ist der Anteil des Wolbmomentes aufgrund der relativ geringen Verwolbung meist klein es kann daher in der Regel unberucksichtigt bleiben Bei dunnwandigen Profilen muss die Wolbkrafttorsion jedoch berucksichtigt werden Hier treten neben den St Venantschen Schubspannungen primaren Torsionsschubspannungen zusatzlich sekundare Schub auch Wolbschubspannungen genannt und Wolbnormalspannungen auf Bei geschlossenen dunnwandigen Profilen wie kaltgeformten Hohlprofilen bleiben die Wolbspannungen und die daraus entstehenden Verformungen jedoch meist klein gegenuber den Spannungen aus der reinen Torsion daher ist hier im Allgemeinen keine Betrachtung der Wolbkrafttorsion notwendig Allerdings mussen Grenzfalle betrachtet werden die die Querschnittsverformungen bei sehr dunnwandigen Querschnitten berucksichtigen Die Verdrillung ist uber die Lange des Stabes nicht konstant da der Einfluss der Wolbkrafttorsion mit zunehmendem Abstand von dem Auflagerpunkt an dem die Verwolbung des Querschnitts behindert ist geringer wird Daher sind auch die Wolbnormalspannungen uber die Lange des Stabes nicht konstant uber den Querschnitt jedoch sehr wohl Torsion an dunnwandigen Profilen Bearbeiten nbsp Das Rundrohr als Beispiel eines dunnwandigen ProfilsDa die durch Torsion verursachten Schubspannungen in der Mitte eines Querschnitts geringer sind als zum Rand hin ist es nach den Prinzipien des Leichtbaus sinnvoll mehr Material an den Rand eines Querschnitts zu legen Dieses Prinzip wird bei der Drehmomentubertragung durch Wellen in Form der Hohlwelle angewandt Bei dunnwandigen Querschnitten tritt Schubfluss q T displaystyle q T nbsp tangential zur Wand des betrachteten Rohrs oder der Welle auf Der Schubfluss wird bestimmt durch q T t 0 t displaystyle q T tau 0 cdot t nbsp Dabei ist t 0 displaystyle tau 0 nbsp die Schubspannung an der Profilmittellinie des Querschnitts t displaystyle t nbsp die Wanddicke des Querschnitts die uber den Ort veranderlich sein kann Uber die 1 Bredtsche Formel ist t 0 displaystyle tau 0 nbsp mit dem Torsionsmoment T displaystyle T nbsp verknupft t 0 T 2 t A 0 displaystyle tau 0 frac T 2 cdot t cdot A 0 nbsp dd Dabei ist A 0 displaystyle A 0 nbsp die Flache die von der Profilmittellinie eingeschlossen wird Setzt man die 1 Bredtsche Formel in die Gleichung fur den Schubfluss ein so ergibt sich q T T 2 A 0 displaystyle Rightarrow q T frac T 2 cdot A 0 nbsp Beschreibt man die Profilmittellinie mit einer Laufkoordinate s displaystyle s nbsp so kann der Verdrehwinkel F displaystyle Phi nbsp des Profils bestimmt werden F T l 4 A 0 2 G 1 t d s displaystyle Phi frac T cdot l 4 cdot A 0 2 cdot G oint frac 1 t ds nbsp Dabei ist l displaystyle l nbsp die Lange des tordierten Stabes G displaystyle G nbsp der Schubmodul 1 Die maximale Schubspannung t m a x displaystyle tau mathrm max nbsp wird bestimmt durch t m a x T t I T displaystyle tau mathrm max frac T cdot t I T nbsp mit dem Torsionstragheitsmoment I T displaystyle I T nbsp Fasst man Torsionstragheitsmoment und Wandstarke zum Torsionswiderstandsmoment W p I T t displaystyle W p frac I T t nbsp zusammen so gilt t m a x T W p displaystyle tau mathrm max frac T W p nbsp Bei dunnwandigen Querschnitten spielt es eine grosse Rolle ob der Querschnitt geschlossen oder offen ist Geschlossene Querschnitte sind deutlich widerstandsfahiger gegenuber Torsion als offene Querschnitte Betrachtet man beispielsweise den geschlossenen Querschnitt eines Rundrohrs dessen Wandstarke 10 seines Radius betragt und vergleicht ihn mit einem geschlitzten Querschnitt mit ansonsten gleichen Eigenschaften so sind Torsionstragheitsmoment und folglich das fur einen bestimmten Verdrehwinkel aufzubringende Moment beim geschlossenen Querschnitt um den Faktor 300 grosser 2 Anwendungen BearbeitenDer Effekt der Torsion wird in vielen Bereichen angewendet Torsionspendel als Zeitnormal in Uhren Henry Cavendish benutzte 1798 eine Gravitationswaage um die Gravitationskonstante zu messen Dabei stellte sich ein Gleichgewicht zwischen Torsionskraft des Aufhangungsdrahtes und Gravitationskraft ein Schraubenfeder Drehstabfeder im Fahrzeugbau Torsionsgeschutz antike Artilleriewaffe Torsionsversuch zur Werkstoffprufung Spanische Winsch zum Spannen Auswringen vortrocknen von beispielsweise Wasche Wischmopp oder auch HaarenLiteratur BearbeitenWolfgang Francke und Harald Friemann Schub und Torsion in geraden Staben Grundlagen und Berechnungsbeispiele Vieweg Konstanz 2005 ISBN 3 528 03990 6 Edmund Spitzenberger Wolbkrafttorsion gemischt offen geschlossener Querschnitte VDM Saarbrucken 2008 ISBN 978 3 639 02493 7 Karl Eugen Kurrer Geschichte der Baustatik Auf der Suche nach dem Gleichgewicht Ernst und Sohn Berlin 2016 S 542 557 S 573f und S 585 588 ISBN 978 3 433 03134 6 Einzelnachweise Bearbeiten Russel C Hibbeler Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre 8 Auflage Pearson Deutschland Munchen 2013 ISBN 978 3 86894 126 5 Bernd Markert Mechanik 2 Elastostatik Statik deformierbarer Korper 2 Auflage Institut fur Allgemeine Mechanik Aachen Aachen 2015 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Torsion Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Torsion Mechanik Rechner Englische Video Torsionsverformung von Metallen Institut fur den Wissenschaftlichen Film IWF 1974 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 3203 IWF E 1899 Video Torsionsbeanspruchung Inhomogenitaten bei der Verformung von Stahl Kupfer und Aluminiumlegierungen Institut fur den Wissenschaftlichen Film IWF 1978 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 3203 IWF E 2440 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Torsion Mechanik amp oldid 216367801