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Bei Bauteilen wird vor Berechnung oftmals die statische Bestimmtheit untersucht Sie dient dazu zu wissen ob ein System beweglich ist oder ob sich Zwangsspannungen ergeben konnen und somit welche Berechnungsmethoden angewandt werden konnen Im Maschinenbau mussen Bauteile oft beweglich statisch unterbestimmt 1 2 3 sein also einen Laufgrad F 1 aufweisen Im Bauwesen hingegen durfen Tragwerke jedoch nicht instabil sein daher sind in der Baustatik die meisten Bauteile statisch unbestimmt statisch uberbestimmt 4 5 6 Man benotigt zur Berechnung zusatzlich materialspezifische Verformungsbedingungen In der Statik starrer Korper fokussiert man sich auf statisch bestimmte Systeme die sich im Allgemeinen besonders einfach losen lassen da man die Auflagerreaktionen ausschliesslich mit Gleichgewichtsbedingungen losen kann Da Systeme gleichzeitig statisch uberbestimmt und statisch unterbestimmt sein konnen reicht das notwendige aber nicht hinreichende Abzahlkriterium hier nicht aus da sich die beiden Effekte in der Gleichung aufheben Daher muss man es aus der Anschauung uberprufen und kann es mit dem Abzahlkriterium nur auf Plausibilitat uberprufen Inhaltsverzeichnis 1 Relationen zwischen Reaktionen und Bewegungsmoglichkeiten 2 Grad der statischen Unbestimmtheit 2 1 Aufbau Abbaukriterium 2 2 Allgemeines Abzahlkriterium 2 3 Abzahlkriterium fur ebene Fachwerke 3 Gleichgewichtsbedingungen 3 1 Ebenes System 3 2 Raumliches System 4 Schnittgrossen infolge Zwang 5 Innere und aussere statische Bestimmtheit 6 Vergleich mit der mathematischen Definition 7 Beispiele 8 Literatur 9 Anmerkungen 10 EinzelnachweiseRelationen zwischen Reaktionen und Bewegungsmoglichkeiten BearbeitenEin Tragwerk ist statisch bestimmt wenn jede Starrkorper Bewegungsmoglichkeit genau durch eine Lager oder Verbindungsreaktion unterbunden wird D h wenn ein System statisch bestimmt ist dann ist die Anzahl der Lager und Verbindungsreaktionen gleich der Anzahl der moglichen Starrkorper Bewegungsmoglichkeiten Allerdings folgt daraus umgekehrt nicht zwingend dass ein Tragwerk statisch bestimmt gelagert ist wenn die Anzahl der Lager und Verbindungsreaktionen gleich der Anzahl der moglichen Starrkorper Bewegungsmoglichkeiten ist es handelt sich also nur um eine notwendige Bedingung fur statische Bestimmtheit Zur Bestimmung der Auflagerreaktionen und der Schnittgrossen reichen fur statisch bestimmte Systeme in der Theorie I Ordnung die Gleichgewichtsbedingungen aus 7 Ein Tragwerk ist statisch unbestimmt bzw statisch uberbestimmt wenn die Anzahl der Lager und Verbindungsreaktionen die Anzahl der moglichen Starrkorper Bewegungsmoglichkeiten ubersteigt Mindestens einer Starrkorper Bewegungsmoglichkeit wirkt also mehr als eine Reaktion entgegen 7 Die Bestimmung der Reaktionswerte ist im Allgemeinen nur unter Berucksichtigung der Verformungseigenschaften von Elementen solcher Tragwerke moglich Ein Tragwerk ist statisch unterbestimmt wenn mindestens einer Starrkorper Bewegungsmoglichkeit keine Reaktion entgegenwirkt d h wenn der Korper sich im Sinne eines Starrkorpers infinitesimal A 1 bewegen kann frei verschieben oder drehen oder innere Verschiebungen einer kinematischen Kette 7 Wenn die Anzahl der Lager und Verbindungsreaktionen kleiner ist als die Anzahl der moglichen Starrkorper Bewegungsmoglichkeiten ist ein Tragwerk statisch unterbestimmt allerdings folgt aus einer statischen Unterbestimmtheit nicht zwangslaufig dass die Anzahl der Lager und Verbindungsreaktionen kleiner ist als die Anzahl der moglichen Starrkorper Bewegungsmoglichkeiten da in der Abzahlformel s u eine mehrfache statische Uberbestimmtheit eine statische Unterbestimmtheit aufheben kann Deshalb sind andere Methoden als die Abzahlformel wie das Aufbau Abbaukriterium oder aus der Anschauung zuverlassiger Grad der statischen Unbestimmtheit BearbeitenDer Grad der statischen Unbestimmtheit wird in der Baustatik mit der ganzzahligen Grosse n 0 displaystyle n neq 0 nbsp angegeben n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp n fach statisch unbestimmt statisch uberbestimmt 8 9 10 n 0 displaystyle n 0 nbsp i d R 11 statisch bestimmt n lt 0 displaystyle n lt 0 nbsp n fach verschieblich statisch unterbestimmt 12 13 14 Aufbau Abbaukriterium Bearbeiten Beim Aufbaukriterium ist es zielfuhrend von einem statisch bestimmten Grundsystem auszugehen und durch Erganzen Entfernen von Bindungswertigkeiten Lagerreaktionen das gewunschte System zu bekommen 15 Hierbei startet man ublicherweise bei einem Trager auf zwei Stutzen einem Kragarm Einem Dreigelenkrahmen einem dreieckigen Fachwerk aus drei gelenkig verbundenen Staben nbsp Statisch unbestimmtes System mit Freiheitsgrad n gt 0 nbsp Statisch bestimmtes Grundsystem nbsp Statisch bestimmtes Grundsystem mit Kragarmen nbsp Man fugt 7 Lagewertigkeiten hinzu Beispiel Bei einem System ist der Grad der statischen Unbestimmtheit gesucht Es wird ein ahnliches statisch bestimmtes Grundsystem gewahlt und anschliessend statisch bestimmte Kragarme hinzugefugt Man fugt Bindungen und Lagerreaktionen hinzu bzw bei kinematischen Systemen entfernt sie und zahlt ihre Wertigkeit zusammen Allgemeines Abzahlkriterium Bearbeiten Die Bestimmung von n kann mit der folgenden als Abzahlkriterium bekannten Formel erfolgen 16 17 18 ebene Tragwerke n a z 3 t displaystyle n a z 3t nbsp raumliche Tragwerke n a z 6 t displaystyle n a z 6t nbsp Hierbei sind a displaystyle a nbsp Anzahl der moglichen Auflagerkrafte Wertigkeiten der Auflager z displaystyle z nbsp Anzahl der moglichen Zwischenkrafte Wertigkeiten der Verbindungen t displaystyle t nbsp Anzahl der starren Bauteile Trager durch Umformen bekommt man auch folgende alternative Formel n a Reaktionen 3 t Felder k Knoten r Gelenke displaystyle n a text Reaktionen 3 cdot t text Felder k text Knoten r text Gelenke nbsp 19 mit a displaystyle a nbsp Anzahl der moglichen Auflagerkrafte Wertigkeiten der Auflager t displaystyle t nbsp Anzahl der Abschnitte des Durchlauftragers zwischen den fur k displaystyle k nbsp gezahlten Punkten k displaystyle k nbsp Anzahl der Knoten Stabenden r displaystyle r nbsp Anzahl der nicht unterbundenen Relativbewegungen zwischen den verbundenen Staben nbsp Gerbertrager a 5 z 4 t 3 n 0Rechenbeispiel ebener Starrkorper Gerbertrager n 5 4 3 3 0 displaystyle n 5 4 3 cdot 3 0 nbsp der Gerbertrager ist ein statisch bestimmtes Tragwerk nbsp a 5 z 4 t 3 n 0 ist aber statisch uberbestimmt als auch statisch unterbestimmt Das Abzahlkriterium ist zwar eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung Unter und Uberbestimmtheiten konnen sich bei diesem Verfahren gegenseitig aufheben Beispiel hierfur ist ein zweiteiliger Balken der auf drei Loslagern liegt Trotz ermitteltem n 0 ist er offensichtlich nicht statisch bestimmt 20 17 Daher ist zusatzlich z B mit der Kinematik durch einen Polplan eine Aussage uber die Verschieblichkeit des Tragwerks zu treffen Abzahlkriterium fur ebene Fachwerke Bearbeiten nbsp Ein ebenes Fachwerk k 5 a 4 s 6Fur ebene ideale Fachwerke kann ein vereinfachtes Abzahlkriterium verwendet werden da alle Stabe beidseitig gelenkig verbunden sind 21 17 n a s 2 k displaystyle n a s 2k nbsp Hierbei sind a displaystyle a nbsp Summe der in den Auflagerdrehgelenken unterbundenen Bewegungsmoglichkeiten Wertigkeiten der Auflager s displaystyle s nbsp Anzahl der Stabe k displaystyle k nbsp Anzahl der Drehgelenksknoten Auflager Verbindungen Dieses Abzahlkriterium ergibt sich daraus dass bei Fachwerken in den Auflagern und Verbindungen nur Drehgelenke vorkommen oder als solche bewertet werden Beispiel nebenstehend abgebildetes Fachwerk n 4 6 2 5 0 displaystyle n 4 6 2 cdot 5 0 nbsp das nebenstehend abgebildete Fachwerk ist statisch bestimmt Auch das Abzahlkriterium fur Fachwerke ist nur eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung fur den Nachweis statischer Bestimmtheit 22 Gleichgewichtsbedingungen BearbeitenAlle statisch bestimmten Systeme konnen mit den Gleichgewichtsbedingungen auch Aquivalenzbedingungen berechnet werden Ebenes System Bearbeiten nbsp Statisch bestimmtes System in der Ebene Balken mit Festlager links und Loslager rechts In einem starren ebenen System ist der Freiheitsgrad 3 Zwei translatorische Bewegungsmoglichkeiten und eine rotatorische Bewegungsmoglichkeit Um ein bestimmtes Gleichungssystem zu erhalten sind daher drei Gleichungen notig Jede dieser drei Gleichungen behandelt eine Bewegungsmoglichkeit Die Summen der Horizontalkrafte Vertikalkrafte und Momente fur einen festgelegten Bezugspunkt A mussen bei einem Gleichgewichtssystem 0 sein F H 0 F V 0 M A 0 displaystyle sum F H 0 sum F V 0 sum M A 0 nbsp Der Aquivalenzsatz fur allgemeine Kraftesysteme der auf die Reduktion auf Dynamen beruht besagt dass bei den Gleichgewichtsbedingungen Kraftegleichungen durch Momentengleichungen ersetzt werden durfen Mogliche Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene sind damit auch F H 0 M A 0 M B 0 displaystyle sum F H 0 sum M A 0 sum M B 0 nbsp F V 0 M A 0 M B 0 displaystyle sum F V 0 sum M A 0 sum M B 0 nbsp M A 0 M B 0 M C 0 displaystyle sum M A 0 sum M B 0 sum M C 0 nbsp Bei dieser Vorgehensweise muss jedoch auf moglicherweise auftretende lineare Abhangigkeiten geachtet werden Werden beispielsweise nur Momentengleichungen verwendet und liegen alle Bezugspunkte auf einer Geraden so liegt keine gultige Aquivalenzbedingung vor 17 In einem zentralen Kraftesystem also einem Kraftesystem in dem sich die Wirkungslinien aller Krafte in einem Punkt schneiden treten keine Momente auf sodass hier nur zwei Gleichungen notig sind F H 0 F V 0 displaystyle sum F H 0 sum F V 0 nbsp 17 Raumliches System Bearbeiten Im Raum gibt es drei translatorische und drei rotatorische Bewegungsmoglichkeiten somit besteht die Gleichgewichtsbedingung aus sechs Gleichungen Drei Gleichungen behandeln die Kraft in jeder der drei Koordinatenrichtungen drei weitere Gleichungen das Moment in jeder der drei Koordinatenrichtungen F X 0 F Y 0 F Z 0 M A X 0 M A Y 0 M A Z 0 displaystyle sum F X 0 sum F Y 0 sum F Z 0 sum M AX 0 sum M AY 0 sum M AZ 0 nbsp Auch im Raum ist es moglich eine oder mehrere Kraftegleichungen durch Momentengleichungen zu ersetzen Schnittgrossen infolge Zwang BearbeitenIn statisch bestimmten Systemen verursachen Verformungen durch Verschiebungen und Verdrehungen der Lager Temperaturdehnungen Kriechen und Schwinden von Beton i A keine Schnittgrossen jedoch konnen Eigenspannungen auftreten Durch Verformungen konnen z B Schiefstellung von Stutzen hervorgerufen werden was i d R zu einer Anderung der Schnittgrossen fuhrt Vor allem im Verbundbau durfen Eigenspannungen infolge Verformungen i A selbst bei statisch bestimmten Systemen nicht vernachlassigt werden man spricht dann von primaren Zwangsspannungen welche ohne aussere Belastung bei statisch uberbestimmten Systemen zu sekundaren Zwangsspannungen fuhren In statisch unbestimmten Systemen entstehen durch die o g Einwirkungen i A Schnittgrossen Bei der Berechnung statischer bzw dynamischer Systeme sind Zwangsspannungen i A zu berucksichtigen Innere und aussere statische Bestimmtheit BearbeitenBei einer Reihe von Stabtragwerken ist es zweckmassig und anschaulich zwischen innerer und ausserer statischer Bestimmtheit zu unterscheiden ein System heisst innerlich statisch bestimmt falls die Schnittgrossen an geschnittenen Teilsystemen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden konnen ein System oder Systemteil heisst ausserlich statisch bestimmt wenn die ausseren Lagerreaktionen allein mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden konnen Vergleich mit der mathematischen Definition BearbeitenDie Definition der Bestimmung leitet sich aus dem mathematischen Begriff uberbestimmt ab Da sich jedoch sowohl manche statisch unterbestimmten wie auch manche statisch uberbestimmten Systeme eindeutig losen lassen und dabei keine der beschreibenden Gleichungen wegstreichbar ist kann die Begrifflichkeit nicht 1 1 ubertragen werden Wenn ein System statisch uberbestimmt ist gibt es zu viele Verformungsgleichungen Rand und Ubergangsbedingungen aber gleichzeitig treten zu wenig Unbekannte in den Gleichgewichtsbedingungen auf Fur die Bestimmung eindeutiger Losungen konnen Beschreibungen des Verformungsverhaltens hinzugezogen werden Ist ein System statisch unterbestimmt gibt es zu wenige Lagegleichungen um die Unbekannten in den Gleichgewichtsbedingungen eindeutig zu bestimmen Zusatzliche Gleichungen die etwa die Tragheitskrafte bei Bewegung des Systems beschreiben konnen zu eindeutigen Losungen fuhren Beispiele Bearbeiten nbsp Der Einfeldtrager wird haufig als Grundbeispiel fur ein statisches System angefuhrt nbsp Ein DreigelenkbogenStatisch bestimmte Systeme sind zum Beispiel Einfeldtrager Trager auf zwei Stutzen Einfeldtrager mit Kragarm Kragtrager Dreigelenkrahmen Dreigelenkbogen GerbertragerStatisch unbestimmte Systeme sind zum Beispiel DurchlauftragerBeispiele fur ein ausserlich bestimmtes aber innerlich unbestimmtes System Rahmenfachwerktrager Literatur BearbeitenN Hinrichs Keine Panik vor Mechanik Springer 2009 ISBN 978 3 8348 0646 8 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche C Spura Technische Mechanik 1 Stereostatik Springer 2016 ISBN 978 3 658 14984 0 Karl Eugen Kurrer Geschichte der Baustatik Auf der Suche nach dem Gleichgewicht Ernst und Sohn Berlin 2016 ISBN 978 3 433 03134 6 S 32 ff Anmerkungen Bearbeiten z B ein Trager auf zwei Stutzen bei dem man ein Gelenk in der Mitte einfugtEinzelnachweise Bearbeiten Tobias Nef Gery Colombo Robert Riener ARMin Roboter fur die Bewegungstherapie der oberen Extremitaten ARMin Robot for Movement Therapy of the Upper Extremities Band 53 Nr 12 1 Dezember 2005 ISSN 2196 677X S 597 606 doi 10 1524 auto 2005 53 12 597 Karl Heinrich Grote Beate Bender Dietmar Gohlich Dubbel Taschenbuch fur den Maschinenbau Springer Verlag 2018 ISBN 978 3 662 54805 9 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Dieter Dinkler Grundlagen der Berechnungsverfahren In Grundlagen der Baustatik Modelle und Berechnungsmethoden fur ebene Stabtragwerke Vieweg Teubner Wiesbaden 2011 ISBN 978 3 8348 9862 3 S 31 64 doi 10 1007 978 3 8348 9862 3 3 Danny Raupach Toleranzgrenze an Kunststoffbauteilen 2005 fh zwickau de abgerufen am 21 Marz 2021 Frank Bruckner Dietger Weischede Dynamische Stabwerkmodelle In Bautechnik Band 92 Nr 4 2015 ISSN 1437 0999 S 275 282 doi 10 1002 bate 201400090 Starrachsfuhrungen In Radfuhrungen der Strassenfahrzeuge Kinematik Elasto Kinematik und Konstruktion Springer Berlin Heidelberg 2007 ISBN 978 3 540 71197 1 S 419 434 doi 10 1007 978 3 540 71197 1 14 a b c K Meskouris E Hake Statik der Stabtragwerke Einfuhrung in die Tragwerkslehre Springer 1999 ISBN 978 3 540 66136 8 S 44 f eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Oliver Romberg Nikolaus Hinrichs Keine Panik vor Mechanik Erfolg und Spass im klassischen Loser Fach des Ingenieurstudiums In Studieren ohne Panik 8 uberarbeitete Auflage Band 4 Vieweg Teubner Verlag 2011 ISBN 978 3 8348 1489 0 doi 10 1007 978 3 8348 8174 8 349 S Erstausgabe 1999 B Kauschinger St Ihlenfeldt 6 Kinematiken PDF Archiviert vom Original am 27 Dezember 2016 abgerufen am 27 Dezember 2016 Jurgen Froschl Florian Achatz Steffen Rodling Matthias Decker Innovatives Bauteilprufkonzept fur Kurbelwellen In MTZ Motortechnische Zeitschrift Band 71 Nr 9 Springer 2010 S 614 619 doi 10 1007 BF03225605 Es kann bei n 0 eine x fache statische Uberbestimmtheit und gleichzeitig eine x fache statische Unterbestimmtheit vorliegen die sich in der Formel aber nicht in den mechanischen Eigenschaften aufhebt Mit ℕ Tobias Nef Gery Colombo Robert Riener ARMin Roboter fur die Bewegungstherapie der oberen Extremitaten In Automatisierungstechnik Band 53 Nr 12 2005 Wilhelm Schroder Feinpositionierung mit Kugelgewindetrieben Nr 11907 Diss Techn Wiss ETH Zurich 1996 doi 10 3929 ethz a 001702546 ethz ch PDF Dieter Dinkler Grundlagen der Baustatik Modelle und Berechnungsmethoden fur ebene Stabtragwerke Springer 20 Marz 2012 Grundlagen der Berechnungsverfahren S 31 64 doi 10 1007 978 3 8348 2372 4 3 Bernhard Pichler Josef Eberhardsteiner Baustatik VO LVA Nr 202 065 Hrsg E202 Institut fur Mechanik der Werkstoffe und Strukturen Fakultat Bauingenieurwesen TU Wien SS 2016 Auflage TU Verlag Wien 2016 ISBN 978 3 903024 17 5 Drehwinkelverfahren Roman Harcke Statische Bestimmtheit Abzahlkriterium a b c d e Bernd Markert Mechanik 1 Stereostatik Statik starrer Korper Institut fur Allgemeine Mechanik Aachen 2014 Oliver Romberg Nikolaus Hinrichs Keine Panik vor Mechanik Vieweg amp Teubner Verlag Wiesbaden 2011 ISBN 978 3 8348 1489 0 S 35 Statik lernen PDF Grundlagen Nicht mehr online verfugbar Archiviert vom Original am 27 August 2016 abgerufen am 14 Oktober 2017 B Marussig Kraftgrossenverfahren S 6 Nachteile des Abzahlkriteriums statik lernen de Statische Un Bestimmtheit Abzahlkriterium Memento des Originals vom 22 April 2016 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www statik lernen de B Marussig Kraftgrossenverfahren S 5 Beispiel d Abzahlkriterium nicht hinreichend Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Statische Bestimmtheit amp oldid 235214534