Einfeldträger Der oder auch Träger auf zwei Stützen ist das einfachste statische Element Er ist das Grundelement vieler

Einfeldträger

Der Einfeldträger oder auch Träger auf zwei Stützen ist das einfachste statische Element. Er ist das Grundelement vieler Brücken und Gebäude und wird in der Technischen Mechanik häufig als Übungsbeispiel verwendet.

Beispiel für Einfeldträger mit Auflagerreaktionen

Der Träger ist statisch bestimmt. Unter Belastung entstehen in den beiden Lagern drei Auflagerreaktionen. Die Auflagerkräfte können ohne aufwändige Rechenverfahren ermittelt werden.

Äußere Kräfte Bearbeiten

Auflagereaktionen Bearbeiten

	vertikale Auflagerreaktion in Auflager A (Festlager; Gelenklager)
	horizontale Auflagereaktion in Auflager A
	vertikale Auflagerreaktion in Auflager B (Loslager; Rollenlager)
	horizontale Auflagerreaktion in Auflager B (verschwindet, da reibungsfrei beweglich gelagert)

Lasten Bearbeiten

	äußere Kräfte , usw.
	äußere Momente , usw.
	Streckenlast

Innere Kräfte (Schnittgrößen) Bearbeiten

	Normalkraft im Balken
	Querkraft im Balken
	Moment im Balken

Gleichgewichtsbedingungen Bearbeiten

Alle äußeren Lasten und alle Auflagerkräfte sind im Gleichgewicht.

Summe aller Vertikalkräfte: z. B.
Summe aller Horizontalkräfte: z. B.
Summe aller Momente: z. B.

In den drei Formeln sind drei Unbekannte enthalten , , , die nach mathematischen Regeln lösbar sind. Es sind die Vorzeichen allerdings strikt zu beachten. Hier und in der oberen Skizze sind positiv: Vertikale Kräfte von oben nach unten, Horizontale Kräfte von links nach rechts, rechtsdrehende Momente.

Maximales Biegemoment bei Gleichlast Bearbeiten

Gleichlast, System und Momentenlinie

Als maximales Biegemoment eines Einfeldträgers mit Gleichlast ergibt sich:

Formelsymbole
	maximales Biegemoment in Feldmitte [kNm]
	Streckenlast [kN/m]
	Stützweite des Trägers [m]

Mit dieser Formel lassen sich auch viele andere statische Systeme in guter Näherung (auf der sicheren Seite) berechnen. Sie wird daher gerne für Überschlagsrechnungen ohne EDV-Unterstützung verwendet. Für den gelenkig gelagerten Einfeldträger mit Gleichlast ist die Formel allerdings eine exakte Lösung. Die Momentenlinie bildet dabei immer eine Parabel.

Herleitung:

Aus den Summenformeln für horizontale und vertikale Kräfte ergibt sich folgendes:

Die x-Achse wird in diesem Fall von links und in A beginnend angenommen:

Das Maximalmoment ist immer an der Stelle, wo die erste Ableitung der Momentenlinie null ist. Die erste Ableitung von M(x) nach x ergibt folgende Formel:

Nullsetzen der Formel ergibt einen x-Wert für die Stelle des lokalen Maximums:

Durch Einsetzen dieses Wertes in M(x) erhält man:

Parabelstich Bearbeiten

Belastung, System und Momentenlinie

Die obige Formel kann ebenfalls dazu verwendet werden, den Parabelstich zu ermitteln, wenn neben einer Gleichlast auch einzelne Lasten auftreten (Knick in der Momentenlinie).

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

A. Goris (Hrsg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure. 20. Auflage. Werner Verlag, Köln 2012, ISBN 978-3-8041-5251-9, S. 4.2 ff.

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Veröffentlichungsdatum: November 26, 2023, 00:09 am

Der Einfeldtrager oder auch Trager auf zwei Stutzen ist das einfachste statische Element Er ist das Grundelement vieler Brucken und Gebaude und wird in der Technischen Mechanik haufig als Ubungsbeispiel verwendet Beispiel fur Einfeldtrager mit AuflagerreaktionenDer Trager ist statisch bestimmt Unter Belastung entstehen in den beiden Lagern drei Auflagerreaktionen Die Auflagerkrafte konnen ohne aufwandige Rechenverfahren ermittelt werden Inhaltsverzeichnis 1 Aussere Krafte 1 1 Auflagereaktionen 1 2 Lasten 2 Innere Krafte Schnittgrossen 3 Gleichgewichtsbedingungen 4 Maximales Biegemoment bei Gleichlast 5 Parabelstich 6 Siehe auch 7 LiteraturAussere Krafte BearbeitenAuflagereaktionen Bearbeiten A v displaystyle A v nbsp vertikale Auflagerreaktion in Auflager A Festlager Gelenklager A h displaystyle A h nbsp horizontale Auflagereaktion in Auflager AB v displaystyle B v nbsp vertikale Auflagerreaktion in Auflager B Loslager Rollenlager B h 0 displaystyle B h 0 nbsp horizontale Auflagerreaktion in Auflager B verschwindet da reibungsfrei beweglich gelagert Lasten Bearbeiten F n displaystyle F n nbsp aussere Krafte F 1 displaystyle F 1 nbsp F 2 displaystyle F 2 nbsp usw M n displaystyle M n nbsp aussere Momente M 1 displaystyle M 1 nbsp M 2 displaystyle M 2 nbsp usw q displaystyle q nbsp StreckenlastInnere Krafte Schnittgrossen BearbeitenN x displaystyle N x nbsp Normalkraft im BalkenQ z displaystyle Q z nbsp Querkraft im BalkenM y displaystyle M y nbsp Moment im BalkenGleichgewichtsbedingungen BearbeitenAlle ausseren Lasten und alle Auflagerkrafte sind im Gleichgewicht Summe aller Vertikalkrafte z B F v 0 F 1 z F 2 z A v B v displaystyle sum F v 0 F 1 z F 2 z A v B v nbsp Summe aller Horizontalkrafte z B F h 0 F 1 x F 2 x A h displaystyle sum F h 0 F 1 x F 2 x A h nbsp Summe aller Momente z B M A 0 F 1 z x 1 F 2 z x 2 B v L displaystyle sum M A 0 F 1 z cdot x 1 F 2 z cdot x 2 B v cdot L nbsp In den drei Formeln sind drei Unbekannte enthalten A v displaystyle A v nbsp A h displaystyle A h nbsp B v displaystyle B v nbsp die nach mathematischen Regeln losbar sind Es sind die Vorzeichen allerdings strikt zu beachten Hier und in der oberen Skizze sind positiv Vertikale Krafte von oben nach unten Horizontale Krafte von links nach rechts rechtsdrehende Momente Maximales Biegemoment bei Gleichlast Bearbeiten nbsp Gleichlast System und MomentenlinieAls maximales Biegemoment eines Einfeldtragers mit Gleichlast ergibt sich M m a x q l 2 8 displaystyle M mathrm max frac q cdot l 2 8 nbsp Formelsymbole M m a x displaystyle M mathrm max nbsp maximales Biegemoment in Feldmitte kNm q displaystyle q nbsp Streckenlast kN m l displaystyle l nbsp Stutzweite des Tragers m Mit dieser Formel lassen sich auch viele andere statische Systeme in guter Naherung auf der sicheren Seite berechnen Sie wird daher gerne fur Uberschlagsrechnungen ohne EDV Unterstutzung verwendet Fur den gelenkig gelagerten Einfeldtrager mit Gleichlast ist die Formel allerdings eine exakte Losung Die Momentenlinie bildet dabei immer eine Parabel Herleitung Aus den Summenformeln fur horizontale und vertikale Krafte ergibt sich folgendes A h 0 displaystyle A h 0 nbsp A v B v q l 2 displaystyle A v B v frac q cdot l 2 nbsp Die x Achse wird in diesem Fall von links und in A beginnend angenommen M x A v x q x x 2 displaystyle M x A v cdot x q cdot x cdot frac x 2 nbsp M x q l x 2 q x 2 2 displaystyle M x q cdot l cdot frac x 2 q cdot frac x 2 2 nbsp Das Maximalmoment ist immer an der Stelle wo die erste Ableitung der Momentenlinie null ist Die erste Ableitung von M x nach x ergibt folgende Formel M x q l 2 q x displaystyle M x q cdot frac l 2 q cdot x nbsp Nullsetzen der Formel ergibt einen x Wert fur die Stelle des lokalen Maximums 0 q l 2 q x displaystyle 0 q cdot frac l 2 q cdot x nbsp x l 2 displaystyle x frac l 2 nbsp Durch Einsetzen dieses Wertes in M x erhalt man M x M m a x q l 2 8 displaystyle M x M mathrm max frac q cdot l 2 8 nbsp Parabelstich Bearbeiten nbsp Belastung System und MomentenlinieDie obige Formel kann ebenfalls dazu verwendet werden den Parabelstich zu ermitteln wenn neben einer Gleichlast auch einzelne Lasten auftreten Knick in der Momentenlinie Siehe auch BearbeitenTrager Architektur Balkentheorie Statische BerechnungLiteratur BearbeitenA Goris Hrsg Schneider Bautabellen fur Ingenieure 20 Auflage Werner Verlag Koln 2012 ISBN 978 3 8041 5251 9 S 4 2 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einfeldtrager amp oldid 236613645