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Satz von Cantor Bernstein Schröder Der oder kurz Äquivalenzsatz ist ein Satz der Mengenlehre über die Mächtigkeiten zwei

Satz von Cantor-Bernstein-Schröder

Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder oder kurz Äquivalenzsatz ist ein Satz der Mengenlehre über die Mächtigkeiten zweier Mengen. Er ist nach den Mathematikern Georg Cantor (der ihn als erster formuliert hat), Felix Bernstein sowie Ernst Schröder (die Beweise veröffentlichten) benannt und wird in der Literatur auch als Cantor-Bernstein-Schröderscher [Äquivalenz-]Satz, Satz von Cantor-Bernstein, Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein, Satz von Schröder-Bernstein oder ähnlich bezeichnet. Allerdings wurde er unabhängig auch von Richard Dedekind bewiesen.

Der Satz besagt: Ist eine Menge A gleichmächtig zu einer Teilmenge einer zweiten Menge B und ist diese zweite Menge B gleichmächtig zu einer Teilmenge der ersten Menge A, so sind A und B gleichmächtig.

Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder ist ein wichtiges Hilfsmittel beim Nachweis der Gleichmächtigkeit zweier Mengen.

Geschichte Bearbeiten

Der Äquivalenzsatz wurde 1887 von Georg Cantor formuliert, aber erst 1897 vom 19-jährigen Felix Bernstein in einem von Georg Cantor geleiteten Seminar und etwa gleichzeitig unabhängig von Ernst Schröder bewiesen. Cantor teilte Bernsteins Beweis noch im gleichen Jahr Émile Borel auf dem ersten internationalen Mathematiker-Kongress in Zürich mit.

Cantors erste Erwähnung des Äquivalenzsatzes, 1887

Cantor hatte diesen Äquivalenzsatz erstmals in seiner philosophischen Abhandlung Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten aus dem Jahre 1887 (ohne Beweis) mitgeteilt. In seiner großen Arbeit Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre von 1895 hat Cantor diesen Satz erneut aufgestellt und aus dem Vergleichbarkeitssatz für Kardinalzahlen gefolgert. Den Vergleichbarkeitssatz konnte Cantor jedoch nicht beweisen. Er ist nach Friedrich Moritz Hartogs (Über das Problem der Wohlordnung, 1915) mit dem Auswahlaxiom (bzw. Auswahlprinzip oder Wohlordnungssatz) äquivalent.

Dedekind selbst fand den Beweis des Äquivalenzsatzes (welcher sich in seinem Nachlass fand) bereits am 11. Juli 1887, jedoch publizierte er ihn nicht und teilte ihn auch nicht Cantor mit.
Ernst Zermelo entdeckte Dedekinds Beweis wieder und gab 1908 in seiner Abhandlung Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I einen Beweis, wobei er auf die Dedekindsche Kettentheorie aus Dedekinds Schrift Was sind und was sollen die Zahlen? (1888) zurückgriff. Giuseppe Peano gab einen ähnlichen Beweis, wobei es zu einem Prioritätsstreit mit Zermelo kam. Beide Beweise waren die Folge einer Herausforderung von Henri Poincaré, der um 1905 nach Beweisen verlangte, die ohne vollständige Induktion auskommen. Aufgrund von Poincarés Herausforderung wurde auch der Beweis von Julius König publiziert und weitere Forschung angeregt.

Ernst Schröder hatte 1896 (Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor’sche Sätze) eine Beweisskizze publiziert, die sich allerdings als falsch herausstellte, wie Alwin Reinhold Korselt 1911 (Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes) bemerkt hatte; Schröder hat dort den Fehler in seinem Beweis bestätigt.

Dass der Satz auch ohne Auswahlaxiom beweisbar ist, haben Richard Dedekind 1887 und Bernstein 1898 in seiner Dissertation gezeigt (Bernsteins Beweis erschien zuerst in Borels Leçons sur la théorie des fonctions und dann nochmals in Bernsteins Abhandlung Untersuchungen aus der Mengenlehre).

Es gibt noch zahlreiche weitere Beweise des Satzes.

Eine passende Bezeichnung für den Äquivalenzsatz wäre Cantor-Dedekindscher Äquivalenzsatz oder Cantor-Dedekind-Bernsteinscher Äquivalenzsatz. Zudem hat Bernstein darauf hingewiesen, dass Cantor selbst die Bezeichnung „Äquivalenzsatz“ vorgeschlagen habe.

Satz Bearbeiten

Das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem lautet:

Dabei heißen zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Ausgedrückt durch die Mächtigkeiten von und lautet das Theorem:

Dabei gilt genau dann, wenn und gleichmächtig sind, und gilt genau dann, wenn gleichmächtig zu einer Teilmenge von ist, das heißt, wenn es eine injektive Abbildung von in gibt. Ausgedrückt durch die Eigenschaften von Funktionen lautet das Theorem:

Beweisidee Bearbeiten

Im Folgenden ist hier eine Beweisidee gegeben.

Definiere die Mengen:

Für jedes aus setze dann:

Da im Falle, dass nicht in ist, in liegen muss, gibt es ein eindeutig bestimmtes Element und ist eine wohldefinierte Abbildung von nach .

Man kann nun zeigen, dass diese Funktion die gewünschte Bijektion ist.

Beachte, dass diese Definition von nicht konstruktiv ist, d. h., es gibt kein Verfahren, um für beliebige Mengen , und Injektionen , in endlich vielen Schritten zu entscheiden, ob ein aus in liegt oder nicht. Für spezielle Mengen und Abbildungen kann das natürlich möglich sein.

Ein kurzer und leicht verständlicher Beweis findet sich auch in dem Göschen-Bändchen Mengenlehre Erich Kamkes.

Veranschaulichung Bearbeiten

Beispiel der Definition von h

Veranschaulichen kann man sich die Definition von anhand der nebenstehenden Darstellung.

Dargestellt sind Teile der (disjunkten) Mengen und sowie die Abbildungen und . Betrachtet man vereinigt als Graphen, dann zerfällt der Graph in verschiedene Zusammenhangskomponenten. Diese lassen sich in vier Typen einteilen:

  1. beidseitig unendliche Pfade;
  2. endliche Zyklen;
  3. unendliche Pfade, die in beginnen;
  4. unendliche Pfade, die in beginnen

(von jedem Typ ist hier einer vertreten, da der Pfad durch das Element beidseitig unendlich sein soll). Es ist aber allgemein nicht in endlich vielen Schritten entscheidbar, welchen Typ der durch ein vorgegebenes Element gehende Pfad hat.

Die im Abschnitt Beweisidee definierte Menge enthält nun genau die Elemente von , die Teil eines in beginnenden Pfades sind. Die Abbildung wird so definiert, dass sie innerhalb einer jeden Zusammenhangskomponente eine Bijektion der -Elemente auf „im Pfad benachbarte“ -Elemente herstellt (dabei hat man bei den beidseitig unendlichen Pfaden und den endlichen Zyklen eine Richtungswahl und man legt sich auf „rückwärts“ fest).

Verallgemeinerung Bearbeiten

Das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem erweist sich als direkte Folge des banachschen Abbildungssatzes.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Felix Bernstein: Untersuchungen aus der Mengenlehre. Buchdruckerei des Waisenhauses, Halle a. S. 1901 (Internet Archive – Inaugural-Dissertation bei David Hilbert).
  • Émile Borel: Leçons sur la théorie des fonctions. Gauthier-Villars et fils, Paris 1898, S. 103 ff. (Textarchiv – Internet Archive).
  • Günter Bruns, Jürgen Schmidt: Eine Verschärfung des Bernsteinschen Äquivalenzsatzes. In: Heinrich Behnke, Richard Courant, Heinz Hopf, Gottfried Köthe, Kurt Reidemeister, Bartel L. van der Waerden (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 135, Nr. 3. Springer-Verlag, 1958, ISSN 0025-5831, S. 257–262, doi:10.1007/BF01351802 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] eingegangen am 3. Januar 1958).
  • Georg Cantor: Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen. Commissions-Verlag von B. G. Teubner, Leipzig 1883 (digital.slub-dresden.de [PDF]).
    • Georg Cantor: Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. In: Felix Klein, Adolph Mayer (Hrsg.): Math. Ann. Band 21, Nr. 4. B. G. Teubner, 1883, ISSN 0025-5831, S. 545–591, doi:10.1007/BF01446819 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] Nachdruck; Halle, Oktober 1882).
  • Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor–Dedekind. Hrsg.: Adolf Fraenkel (Lebenslauf); Ernst Zermelo. Verlag von Julius Springer, Berlin 1932 (gdz.sub.uni-goettingen.de).
  • Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? 2., unveränderte Auflage. Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig 1893 (echo.mpiwg-berlin.mpg.de – Erstausgabe: 1888).
  • Richard Dedekind: Gesammelte mathematische Werke. Hrsg.: Robert Fricke, Emmy Noether, Øystein Ore. Band 3. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1932 (gdz.sub.uni-goettingen.de).
  • Friedrich Moritz Hartogs: Über das Problem der Wohlordnung. In: Felix Klein, Walther von Dyck, David Hilbert, Otto Blumenthal (Hrsg.): Math. Ann. Band 76, Nr. 4. B. G. Teubner, 1915, ISSN 0025-5831, S. 438–443, doi:10.1007/BF01458215 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] Juli 1914).
  • Alwin Reinhold Korselt: Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes. In: Felix Klein, Walther von Dyck, David Hilbert, Otto Blumenthal (Hrsg.): Math. Ann. Band 70, Nr. 2. B. G. Teubner, 1911, ISSN 0025-5831, S. 294–296, doi:10.1007/BF01461161 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] Ende April 1910).
  • Ernst Schröder: Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor’sche Sätze. In: Kaiserliche Leopoldino-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher (Hrsg.): Nova Acta, Abhandlungen der Kaiserl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher. Band 71, Nr. 6. Johann Ambrosius Barth Verlag, Halle a. S. 1898, S. 303–376 (biodiversitylibrary.org – Februar 1896, eingegangen am 21. Mai 1896).
  • Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. In: Felix Klein, Walther von Dyck, David Hilbert, Otto Blumenthal (Hrsg.): Math. Ann. Band 65, Nr. 2. B. G. Teubner, 1908, ISSN 0025-5831, S. 261–281, doi:10.1007/BF01449999 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] 30. Juli 1907).
  • Arie Hinkis: Proofs of the Cantor-Bernstein theorem, a mathematical excursion. Birkhäuser 2013.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 3-540-20401-6, S. 71, 501, doi:10.1007/978-3-642-01445-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Patrick Suppes: Axiomatic Set Theory. 1. Auflage. Dover Publications, New York 1972, ISBN 0-486-61630-4, S. 95 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. ↑ Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor–Dedekind. Hrsg.: Adolf Fraenkel [Lebenslauf], Ernst Zermelo. Verlag von Julius Springer, Berlin 1932, S. 378–439, dort S. 413 (gdz.sub.uni-goettingen.de).
  4. Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor–Dedekind. Hrsg.: Adolf Fraenkel [Lebenslauf], Ernst Zermelo. Verlag von Julius Springer, Berlin 1932, Satz B, S. 285 (gdz.sub.uni-goettingen.de).
  5. Friedrich M. Hartogs: Über das Problem der Wohlordnung. In: Felix Klein, Walther von Dyck, David Hilbert, Otto Blumenthal (Hrsg.): Math. Ann. Band 76, Nr. 4. B. G. Teubner, 1915, ISSN 0025-5831, S. 438–443, doi:10.1007/BF01458215 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] Juli 1914).
  6. Richard Dedekind: Gesammelte mathematische Werke. Hrsg.: Robert Fricke, Emmy Noether, Øystein Ore. Band 3. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1932, Kap. 62, S. 447–449 (GDZ – 11.07.1887).
  7. Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. In: Felix Klein, Walther von Dyck, David Hilbert, Otto Blumenthal (Hrsg.): Math. Ann. Band 65, Nr. 2. B. G. Teubner, 1908, ISSN 0025-5831, S. 261–281, doi:10.1007/BF01449999 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] 30. Juli 1907).
  8. Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? 2., unveränderte Auflage. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1893 (echo.mpiwg-berlin.mpg.de – Erstausgabe: 1888).
  9. Ernst Schröder: Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor’sche Sätze. In: Kaiserliche Leopoldino-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher (Hrsg.): Nova Acta. Band 71, Nr. 6. Johann Ambrosius Barth Verlag, Halle a. S. 1898, S. 303–376 (biodiversitylibrary.org – Februar 1896, eingegangen am 21. Mai 1896).
  10. Alwin R. Korselt: Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes. In: Felix Klein, Walther von Dyck, David Hilbert, Otto Blumenthal (Hrsg.): Math. Ann. Band 70, Nr. 2. B. G. Teubner, 1911, ISSN 0025-5831, S. 294–296, doi:10.1007/BF01461161 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] Ende April 1910).
  11. Émile Borel: Leçons sur la théorie des fonctions. Gauthier-Villars et fils, Paris 1898, S. 103 ff. (Textarchiv – Internet Archive).
  12. Felix Bernstein: Untersuchungen aus der Mengenlehre. Buchdruckerei des Waisenhauses, Halle a. S. 1901 (archive.org – Inaugural-Dissertation bei David Hilbert).
    Felix Bernstein: Untersuchungen aus der Mengenlehre. In: Felix Klein, Walther von Dyck, David Hilbert (Hrsg.): Math. Ann. Band 61, Nr. 1. B. G. Teubner, 1905, ISSN 0025-5831, S. 117–155, doi:10.1007/BF01457734 (gdz.sub.uni-goettingen.de [PDF] unveränderte Auflage bis auf einige Verbesserungen sowie Bemerkungen).
  13. Das Buch von Hinkis (2013) untersucht etwa 30 Beweise, alle vor 1973
  14. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. In: Egbert Brieskorn, Srishti D. Chatterji u. a. (Hrsg.): Gesammelte Werke. 1. Auflage. Band 2. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2002, ISBN 3-540-42224-2, S. 587 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). Original von 1914
  15. Rudolf Lipschitz: Grundlagen der Analysis. In: Grundlagen der Analysis. 1. Auflage. Band 1. Max Cohen & Sohn (Friedrich Cohen) Verlag, Bonn 1877.
  16. Arthur Schoenflies: Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. In: Guido Hauck, August Gutzmer (Hrsg.): Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 8, Nr. 2. B. G. Teubner, 1900, ISSN 0012-0456 (DigiZeitschriften).
  17. Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. Band 999 [a]). 7. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin/New York 1971, ISBN 3-11-003911-7, § 10, S. 34–36.
  18. Heinz Lüneburg: Kombinatorik. In: Elemente der Mathematik vom höheren Standpunkt aus. 1. Auflage. Band 6. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7, S. 66.
  19. Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. 1. Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8, S. 349.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Cantor Bernstein Schroder oder kurz Aquivalenzsatz ist ein Satz der Mengenlehre uber die Machtigkeiten zweier Mengen Er ist nach den Mathematikern Georg Cantor der ihn als erster formuliert hat Felix Bernstein sowie Ernst Schroder die Beweise veroffentlichten benannt und wird in der Literatur auch als Cantor Bernstein Schroderscher Aquivalenz Satz Satz von Cantor Bernstein Aquivalenzsatz von Cantor Bernstein Satz von Schroder Bernstein oder ahnlich bezeichnet Allerdings wurde er unabhangig auch von Richard Dedekind bewiesen Der Satz besagt Ist eine Menge A gleichmachtig zu einer Teilmenge einer zweiten Menge B und ist diese zweite Menge B gleichmachtig zu einer Teilmenge der ersten Menge A so sind A und B gleichmachtig Der Satz von Cantor Bernstein Schroder ist ein wichtiges Hilfsmittel beim Nachweis der Gleichmachtigkeit zweier Mengen Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Satz 3 Beweisidee 4 Veranschaulichung 5 Verallgemeinerung 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDer Aquivalenzsatz wurde 1887 von Georg Cantor formuliert aber erst 1897 vom 19 jahrigen Felix Bernstein in einem von Georg Cantor geleiteten Seminar und etwa gleichzeitig unabhangig von Ernst Schroder bewiesen Cantor teilte Bernsteins Beweis noch im gleichen Jahr Emile Borel auf dem ersten internationalen Mathematiker Kongress in Zurich mit 1 2 nbsp Cantors erste Erwahnung des Aquivalenzsatzes 1887 3 Cantor hatte diesen Aquivalenzsatz erstmals in seiner philosophischen Abhandlung Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten 3 aus dem Jahre 1887 ohne Beweis mitgeteilt In seiner grossen Arbeit Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre 4 von 1895 hat Cantor diesen Satz erneut aufgestellt und aus dem Vergleichbarkeitssatz fur Kardinalzahlen gefolgert Den Vergleichbarkeitssatz konnte Cantor jedoch nicht beweisen Er ist nach Friedrich Moritz Hartogs Uber das Problem der Wohlordnung 1915 5 mit dem Auswahlaxiom bzw Auswahlprinzip oder Wohlordnungssatz aquivalent Dedekind selbst fand den Beweis des Aquivalenzsatzes welcher sich in seinem Nachlass fand bereits am 11 Juli 1887 jedoch publizierte er ihn nicht und teilte ihn auch nicht Cantor mit 6 Ernst Zermelo entdeckte Dedekinds Beweis wieder und gab 1908 in seiner Abhandlung Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I 7 einen Beweis wobei er auf die Dedekindsche Kettentheorie aus Dedekinds Schrift Was sind und was sollen die Zahlen 1888 8 zuruckgriff Giuseppe Peano gab einen ahnlichen Beweis wobei es zu einem Prioritatsstreit mit Zermelo kam Beide Beweise waren die Folge einer Herausforderung von Henri Poincare der um 1905 nach Beweisen verlangte die ohne vollstandige Induktion auskommen Aufgrund von Poincares Herausforderung wurde auch der Beweis von Julius Konig publiziert und weitere Forschung angeregt Ernst Schroder hatte 1896 Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G Cantor sche Satze 9 eine Beweisskizze publiziert die sich allerdings als falsch herausstellte wie Alwin Reinhold Korselt 1911 Uber einen Beweis des Aquivalenzsatzes 10 bemerkt hatte Schroder hat dort den Fehler in seinem Beweis bestatigt Dass der Satz auch ohne Auswahlaxiom beweisbar ist haben Richard Dedekind 1887 und Bernstein 1898 in seiner Dissertation gezeigt Bernsteins Beweis erschien zuerst in Borels Lecons sur la theorie des fonctions 11 und dann nochmals in Bernsteins Abhandlung Untersuchungen aus der Mengenlehre 12 Es gibt noch zahlreiche weitere Beweise des Satzes 13 Eine passende Bezeichnung fur den Aquivalenzsatz ware Cantor Dedekindscher Aquivalenzsatz oder Cantor Dedekind Bernsteinscher Aquivalenzsatz Zudem hat Bernstein darauf hingewiesen dass Cantor selbst die Bezeichnung Aquivalenzsatz vorgeschlagen habe 14 Satz BearbeitenDas Cantor Bernstein Schroder Theorem lautet Sei eine Menge A displaystyle A nbsp gleichmachtig zu einer Teilmenge einer Menge B displaystyle B nbsp und sei B displaystyle B nbsp gleichmachtig zu einer Teilmenge von A displaystyle A nbsp Dann sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp gleichmachtig 15 16 Dabei heissen zwei Mengen gleichmachtig wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt Ausgedruckt durch die Machtigkeiten von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp lautet das Theorem Aus A B displaystyle A leqq B nbsp und B A displaystyle B leqq A nbsp folgt A B displaystyle A B nbsp Dabei gilt A B displaystyle A B nbsp genau dann wenn A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp gleichmachtig sind und A B displaystyle A leqq B nbsp gilt genau dann wenn A displaystyle A nbsp gleichmachtig zu einer Teilmenge von B displaystyle B nbsp ist das heisst wenn es eine injektive Abbildung von A displaystyle A nbsp in B displaystyle B nbsp gibt Ausgedruckt durch die Eigenschaften von Funktionen lautet das Theorem Seien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Mengen mit einer Injektion f A B displaystyle f colon A to B nbsp und einer Injektion g B A displaystyle g colon B to A nbsp Dann existiert eine Bijektion h A B displaystyle h colon A to B nbsp Beweisidee BearbeitenIm Folgenden ist hier eine Beweisidee gegeben Definiere die Mengen C 0 A g B displaystyle C 0 A setminus g B nbsp C n 1 g f C n fur n 0 displaystyle C n 1 g f C n quad mbox fur n geqq 0 nbsp C n 0 C n displaystyle C bigcup n 0 infty C n nbsp Fur jedes x displaystyle x nbsp aus A displaystyle A nbsp setze dann h x f x f a l l s x C g 1 x f a l l s x C displaystyle h x begin cases f x amp mathrm falls x in C g 1 x amp mathrm falls x notin C end cases nbsp Da im Falle dass x displaystyle x nbsp nicht in C displaystyle C nbsp ist x displaystyle x nbsp in g B displaystyle g B nbsp liegen muss gibt es ein eindeutig bestimmtes Element g 1 x displaystyle g 1 x nbsp und h displaystyle h nbsp ist eine wohldefinierte Abbildung von A displaystyle A nbsp nach B displaystyle B nbsp Man kann nun zeigen dass diese Funktion h A B displaystyle h colon A to B nbsp die gewunschte Bijektion ist Beachte dass diese Definition von h displaystyle h nbsp nicht konstruktiv ist d h es gibt kein Verfahren um fur beliebige Mengen A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp und Injektionen f displaystyle f nbsp g displaystyle g nbsp in endlich vielen Schritten zu entscheiden ob ein x displaystyle x nbsp aus A displaystyle A nbsp in C displaystyle C nbsp liegt oder nicht Fur spezielle Mengen und Abbildungen kann das naturlich moglich sein Ein kurzer und leicht verstandlicher Beweis findet sich auch in dem Goschen Bandchen Mengenlehre Erich Kamkes 17 Veranschaulichung Bearbeiten nbsp Beispiel der Definition von hVeranschaulichen kann man sich die Definition von h displaystyle h nbsp anhand der nebenstehenden Darstellung Dargestellt sind Teile der disjunkten Mengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp sowie die Abbildungen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Betrachtet man A displaystyle A nbsp vereinigt B displaystyle B nbsp als Graphen dann zerfallt der Graph in verschiedene Zusammenhangskomponenten Diese lassen sich in vier Typen einteilen beidseitig unendliche Pfade endliche Zyklen unendliche Pfade die in A displaystyle A nbsp beginnen unendliche Pfade die in B displaystyle B nbsp beginnen von jedem Typ ist hier einer vertreten da der Pfad durch das Element a displaystyle a nbsp beidseitig unendlich sein soll Es ist aber allgemein nicht in endlich vielen Schritten entscheidbar welchen Typ der durch ein vorgegebenes Element gehende Pfad hat Die im Abschnitt Beweisidee definierte Menge C displaystyle C nbsp enthalt nun genau die Elemente von A displaystyle A nbsp die Teil eines in A displaystyle A nbsp beginnenden Pfades sind Die Abbildung h displaystyle h nbsp wird so definiert dass sie innerhalb einer jeden Zusammenhangskomponente eine Bijektion der A displaystyle A nbsp Elemente auf im Pfad benachbarte B displaystyle B nbsp Elemente herstellt dabei hat man bei den beidseitig unendlichen Pfaden und den endlichen Zyklen eine Richtungswahl und man legt sich auf ruckwarts fest Verallgemeinerung BearbeitenDas Cantor Bernstein Schroder Theorem erweist sich als direkte Folge des banachschen Abbildungssatzes 18 19 Siehe auch BearbeitenVergleichbarkeitssatzLiteratur BearbeitenFelix Bernstein Untersuchungen aus der Mengenlehre Buchdruckerei des Waisenhauses Halle a S 1901 Internet Archive Inaugural Dissertation bei David Hilbert Felix Bernstein Untersuchungen aus der Mengenlehre In Felix Klein Walther von Dyck David Hilbert Hrsg Mathematische Annalen Band 61 Nr 1 B G Teubner 1905 ISSN 0025 5831 S 117 155 doi 10 1007 BF01457734 gdz sub uni goettingen de PDF unveranderte Auflage bis auf einige Verbesserungen sowie Bemerkungen Emile Borel Lecons sur la theorie des fonctions Gauthier Villars et fils Paris 1898 S 103 ff Textarchiv Internet Archive Gunter Bruns Jurgen Schmidt Eine Verscharfung des Bernsteinschen Aquivalenzsatzes In Heinrich Behnke Richard Courant Heinz Hopf Gottfried Kothe Kurt Reidemeister Bartel L van der Waerden Hrsg Mathematische Annalen Band 135 Nr 3 Springer Verlag 1958 ISSN 0025 5831 S 257 262 doi 10 1007 BF01351802 gdz sub uni goettingen de PDF eingegangen am 3 Januar 1958 Georg Cantor Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre Ein mathematisch philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen Commissions Verlag von B G Teubner Leipzig 1883 digital slub dresden de PDF Georg Cantor Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten 5 In Felix Klein Adolph Mayer Hrsg Math Ann Band 21 Nr 4 B G Teubner 1883 ISSN 0025 5831 S 545 591 doi 10 1007 BF01446819 gdz sub uni goettingen de PDF Nachdruck Halle Oktober 1882 Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts Mit erlauternden Anmerkungen sowie mit Erganzungen aus dem Briefwechsel Cantor Dedekind Hrsg Adolf Fraenkel Lebenslauf Ernst Zermelo Verlag von Julius Springer Berlin 1932 gdz sub uni goettingen de Richard Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen 2 unveranderte Auflage Friedrich Vieweg amp Sohn Braunschweig 1893 echo mpiwg berlin 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1898 S 303 376 biodiversitylibrary org Februar 1896 eingegangen am 21 Mai 1896 Ernst Zermelo Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I In Felix Klein Walther von Dyck David Hilbert Otto Blumenthal Hrsg Math Ann Band 65 Nr 2 B G Teubner 1908 ISSN 0025 5831 S 261 281 doi 10 1007 BF01449999 gdz sub uni goettingen de PDF 30 Juli 1907 Arie Hinkis Proofs of the Cantor Bernstein theorem a mathematical excursion Birkhauser 2013 Weblinks BearbeitenMartin Infinite Der Satz von Schroder Bernstein Explizit Matroids Matheplanet 19 November 2005 abgerufen am 13 September 2021 Einzelnachweise Bearbeiten Oliver Deiser Einfuhrung in die Mengenlehre Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo 3 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2010 ISBN 3 540 20401 6 S 71 501 doi 10 1007 978 3 642 01445 1 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Patrick Suppes Axiomatic Set Theory 1 Auflage Dover Publications New York 1972 ISBN 0 486 61630 4 S 95 f eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche a b Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts Mit erlauternden Anmerkungen sowie mit Erganzungen aus dem Briefwechsel Cantor Dedekind Hrsg Adolf Fraenkel Lebenslauf Ernst Zermelo Verlag von Julius Springer Berlin 1932 S 378 439 dort S 413 gdz sub uni goettingen de Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts Mit erlauternden Anmerkungen sowie mit Erganzungen aus dem Briefwechsel Cantor Dedekind Hrsg Adolf Fraenkel Lebenslauf Ernst Zermelo Verlag von Julius Springer Berlin 1932 Satz B S 285 gdz sub uni goettingen de Friedrich M Hartogs Uber das Problem der Wohlordnung In Felix Klein Walther von Dyck David Hilbert Otto Blumenthal Hrsg Math Ann Band 76 Nr 4 B G Teubner 1915 ISSN 0025 5831 S 438 443 doi 10 1007 BF01458215 gdz sub uni goettingen de PDF Juli 1914 Richard Dedekind Gesammelte mathematische Werke Hrsg Robert Fricke Emmy Noether Oystein Ore Band 3 Friedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1932 Kap 62 S 447 449 GDZ 11 07 1887 Ernst Zermelo Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I In Felix Klein Walther von Dyck David Hilbert Otto Blumenthal Hrsg Math Ann Band 65 Nr 2 B G Teubner 1908 ISSN 0025 5831 S 261 281 doi 10 1007 BF01449999 gdz sub uni goettingen de PDF 30 Juli 1907 Richard Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen 2 unveranderte Auflage Friedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1893 echo mpiwg berlin mpg de Erstausgabe 1888 Ernst Schroder Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G Cantor sche Satze In Kaiserliche Leopoldino Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher Hrsg Nova Acta Band 71 Nr 6 Johann Ambrosius Barth Verlag Halle a S 1898 S 303 376 biodiversitylibrary org Februar 1896 eingegangen am 21 Mai 1896 Alwin R Korselt Uber einen Beweis des Aquivalenzsatzes In Felix Klein Walther von Dyck David Hilbert Otto Blumenthal Hrsg Math Ann Band 70 Nr 2 B G Teubner 1911 ISSN 0025 5831 S 294 296 doi 10 1007 BF01461161 gdz sub uni goettingen de PDF Ende April 1910 Emile Borel Lecons sur la theorie des fonctions Gauthier Villars et fils Paris 1898 S 103 ff Textarchiv Internet Archive Felix Bernstein Untersuchungen aus der Mengenlehre Buchdruckerei des Waisenhauses Halle a S 1901 archive org Inaugural Dissertation bei David Hilbert Felix Bernstein Untersuchungen aus der Mengenlehre In Felix Klein Walther von Dyck David Hilbert Hrsg Math Ann Band 61 Nr 1 B G Teubner 1905 ISSN 0025 5831 S 117 155 doi 10 1007 BF01457734 gdz sub uni goettingen de PDF unveranderte Auflage bis auf einige Verbesserungen sowie Bemerkungen Das Buch von Hinkis 2013 untersucht etwa 30 Beweise alle vor 1973 Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre In Egbert Brieskorn Srishti D Chatterji u a Hrsg Gesammelte Werke 1 Auflage Band 2 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2002 ISBN 3 540 42224 2 S 587 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Original von 1914 Rudolf Lipschitz Grundlagen der Analysis In Grundlagen der Analysis 1 Auflage Band 1 Max Cohen amp Sohn Friedrich Cohen Verlag Bonn 1877 Arthur Schoenflies Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten In Guido Hauck August Gutzmer Hrsg Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Band 8 Nr 2 B G Teubner 1900 ISSN 0012 0456 DigiZeitschriften Erich Kamke Mengenlehre Sammlung Goschen Band 999 a 7 Auflage Walter de Gruyter amp Co Berlin New York 1971 ISBN 3 11 003911 7 10 S 34 36 Heinz Luneburg Kombinatorik In Elemente der Mathematik vom hoheren Standpunkt aus 1 Auflage Band 6 Birkhauser Verlag Basel u a 1971 ISBN 3 7643 0548 7 S 66 Heinz Luneburg Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics 1 Auflage BI Wissenschaftsverlag Mannheim u a 1989 ISBN 3 411 03194 8 S 349 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cantor Bernstein Schroder amp oldid 235419208