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Banachscher Abbildungssatz Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannte

Banachscher Abbildungssatz

Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem verknüpft.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Dabei sei     injektiv.
Dann existieren Mengen     mit
sowie
derart, dass gilt:

Verschärfung Bearbeiten

Es lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen, dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung     fallen gelassen wird.

Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen:

Dann existieren Mengen     mit
sowie
derart, dass gilt:

Beweis (Verschärfung) Bearbeiten

Betrachte die Abbildung mit .

Da monoton ist, besitzt nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt . Es gilt also beziehungsweise äquivalent hierzu

Wir setzen nun , und .

Hiermit erhalten wir wie gewünscht und .

Folgerung Bearbeiten

Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.

Literatur Bearbeiten

Artikel und Originalarbeiten Bearbeiten

  • Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. 6. Jahrgang, 1924, S. 236–239.
  • Alfred Tarski: A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications. In: Pacific Journal of Mathematics. 5. Jahrgang, 1955, S. 285–309.
  • Bronislaw Knaster: Un théorème sur les fonctions d’ensembles. In: Ann. Soc. Polon. Math. 6. Jahrgang, 1928, S. 133–134.

Monographien Bearbeiten

  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1979.
  • Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7.
  • Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, S. 236–239.
  2. Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7, S. 65.
  3. Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8, S. 348–349.
  4. Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, Einleitung, S. 236.
  5. Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7, S. 66.
  6. Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8, S. 349.
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Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre 1 Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen Er ist eng mit dem Cantor Bernstein Schroder Theorem verknupft Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Verscharfung 3 Beweis Verscharfung 4 Folgerung 5 Literatur 5 1 Artikel und Originalarbeiten 5 2 Monographien 6 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich wie folgt formulieren 2 Gegeben seien Mengen M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp und dazu Abbildungen ϕ M N displaystyle phi colon M to N nbsp und ps N M displaystyle psi colon N to M nbsp dd Dabei sei ϕ displaystyle phi nbsp injektiv Dann existieren Mengen M 1 M 2 N 1 N 2 displaystyle M 1 M 2 N 1 N 2 nbsp mit M M 1 M 2 displaystyle M M 1 cup M 2 nbsp und M 1 M 2 displaystyle M 1 cap M 2 emptyset nbsp dd sowie N N 1 N 2 displaystyle N N 1 cup N 2 nbsp und N 1 N 2 displaystyle N 1 cap N 2 emptyset nbsp dd derart dass gilt ϕ M 1 N 1 displaystyle phi M 1 N 1 nbsp und ps N 2 M 2 displaystyle psi N 2 M 2 nbsp dd Verscharfung BearbeitenEs lasst sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen 3 dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt wenn die Injektivitatsbedingung fur die Abbildung ϕ M N displaystyle phi colon M to N nbsp fallen gelassen wird Der Banachsche Abbildungssatz verscharfte Version lautet demnach folgendermassen Gegeben seien Mengen M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp und dazu Abbildungenϕ M N displaystyle phi colon M to N nbsp und ps N M displaystyle psi colon N to M nbsp dd Dann existieren Mengen M 1 M 2 N 1 N 2 displaystyle M 1 M 2 N 1 N 2 nbsp mit M M 1 M 2 displaystyle M M 1 cup M 2 nbsp und M 1 M 2 displaystyle M 1 cap M 2 emptyset nbsp dd sowie N N 1 N 2 displaystyle N N 1 cup N 2 nbsp und N 1 N 2 displaystyle N 1 cap N 2 emptyset nbsp dd derart dass gilt ϕ M 1 N 1 displaystyle phi M 1 N 1 nbsp und ps N 2 M 2 displaystyle psi N 2 M 2 nbsp dd Beweis Verscharfung BearbeitenBetrachte die Abbildung F P M P M displaystyle F mathcal P M rightarrow mathcal P M nbsp mit F A M ps N ϕ A displaystyle F A M setminus psi N setminus phi A nbsp Da F displaystyle F nbsp monoton ist besitzt F displaystyle F nbsp nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt M 1 displaystyle M 1 nbsp Es gilt also M 1 M ps N ϕ M 1 displaystyle M 1 M setminus psi N setminus phi M 1 nbsp beziehungsweise aquivalent hierzu M M 1 ps N ϕ M 1 displaystyle M setminus M 1 psi N setminus phi M 1 nbsp Wir setzen nun M 2 M M 1 displaystyle M 2 M setminus M 1 nbsp N 1 ϕ M 1 displaystyle N 1 phi M 1 nbsp und N 2 N N 1 displaystyle N 2 N setminus N 1 nbsp Hiermit erhalten wir wie gewunscht ϕ M 1 N 1 displaystyle phi M 1 N 1 nbsp und ps N 2 ps N ϕ M 1 M M 1 M 2 displaystyle psi N 2 psi N setminus phi M 1 M setminus M 1 M 2 nbsp Folgerung BearbeitenAus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor Bernstein Schroder Theorem 4 5 6 Literatur BearbeitenArtikel und Originalarbeiten Bearbeiten Stefan Banach Un theoreme sur les transformations biunivoques In Fundamenta Mathematicae 6 Jahrgang 1924 S 236 239 Alfred Tarski A lattice theoretical fixpoint theorem and its applications In Pacific Journal of Mathematics 5 Jahrgang 1955 S 285 309 Bronislaw Knaster Un theoreme sur les fonctions d ensembles In Ann Soc Polon Math 6 Jahrgang 1928 S 133 134 Monographien Bearbeiten Garrett Birkhoff Lattice Theory 3 Auflage American Mathematical Society Providence Rhode Island 1979 Heinz Luneburg Kombinatorik Birkhauser Verlag Basel u a 1971 ISBN 3 7643 0548 7 Heinz Luneburg Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics BI Wissenschaftsverlag Mannheim u a 1989 ISBN 3 411 03194 8 Einzelnachweise Bearbeiten Stefan Banach Un theoreme sur les transformations biunivoques In Fundamenta Mathematicae Band 6 1924 S 236 239 Heinz Luneburg Kombinatorik Birkhauser Verlag Basel u a 1971 ISBN 3 7643 0548 7 S 65 Heinz Luneburg Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics BI Wissenschaftsverlag Mannheim u a 1989 ISBN 3 411 03194 8 S 348 349 Stefan Banach Un theoreme sur les transformations biunivoques In Fundamenta Mathematicae Band 6 1924 Einleitung S 236 Heinz Luneburg Kombinatorik Birkhauser Verlag Basel u a 1971 ISBN 3 7643 0548 7 S 66 Heinz Luneburg Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics BI Wissenschaftsverlag Mannheim u a 1989 ISBN 3 411 03194 8 S 349 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Banachscher Abbildungssatz amp oldid 223243506