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Fixpunktsatz von Tarski und Knaster Der benannt nach Bronisław Knaster und Alfred Tarski ist ein mathematischer Satz aus

Fixpunktsatz von Tarski und Knaster

Der Fixpunktsatz von Tarski und Knaster, benannt nach Bronisław Knaster und Alfred Tarski, ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Verbandstheorie.

Aussage Bearbeiten

Seien ein vollständiger Verband und eine bzgl. ordnungserhaltende Abbildung und sei weiter die Menge der Fixpunkte von in .

Dann ist nicht leer und ebenfalls ein vollständiger Verband.

Beweisidee Bearbeiten

sei die Supremum-Operation von , und die Infimum-Operation von .

Die folgenden Schritte zeigen, dass für beliebige Teilmengen von ein Infimum und ein Supremum in liefert.

  1. ist Fixpunkt von , und zwar der größte in . Somit ist dies das -Supremum von .
  2. Dual zu Schritt 1: ist Fixpunkt von , und zwar der kleinste in .
  3. Für beliebige Teilmengen soll es ein -Supremum geben. Die Fälle und sind bereits in den Schritten 1 und 2 gezeigt. Betrachtet werden nun die anderen Fälle. Dazu wird ausgenutzt, dass mit wieder ein vollständiger Verband ist, und eine monotone Funktion ist, die nach Schritt 2 einen kleinsten Fixpunkt in hat. Dieser ist das -Supremum von . In Formeln: .
  4. Dual zu Schritt 3 wird gezeigt, dass beliebige Teilmengen von ein -Infimum haben.

Konsequenzen Bearbeiten

Eine oft verwendete Konsequenz ist die der Existenz von kleinsten und größten Fixpunkten von bezüglich monotonen Funktionen.

Umkehrung Bearbeiten

Der Fixpunktsatz besitzt eine gewisse Umkehrung in einem Satz, den Anne C. Davis im Jahre 1955 vorgelegt hat:

Besitzt in einem Verband jede monotone Abbildung einen Fixpunkt, so ist ein vollständiger Verband.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. George Grätzer: General Lattice Theory. 1998, S. 73
  2. L. A. Skornjakow: Elemente der Verbandstheorie. 1973, S. 73
  3. Anne C. Davis: A characterization of complete lattices. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 5, 1955, S. 311–319 (MR0074377).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Fixpunktsatz von Tarski und Knaster benannt nach Bronislaw Knaster und Alfred Tarski ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Verbandstheorie Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweisidee 3 Konsequenzen 4 Umkehrung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSeien A A displaystyle mathcal A langle A leq rangle nbsp ein vollstandiger Verband und f A A displaystyle f colon A to A nbsp eine bzgl displaystyle leq nbsp ordnungserhaltende Abbildung und sei weiter P x A f x x displaystyle P x in A mid f x x nbsp die Menge der Fixpunkte von f displaystyle f nbsp in A displaystyle mathcal A nbsp Dann ist P displaystyle P nbsp nicht leer und P P P displaystyle mathcal P langle P leq P rangle nbsp ebenfalls ein vollstandiger Verband Beweisidee Bearbeiten A displaystyle textstyle bigcup mathcal A nbsp sei die Supremum Operation von A displaystyle mathcal A nbsp und A displaystyle textstyle bigcap mathcal A nbsp die Infimum Operation von A displaystyle mathcal A nbsp Die folgenden Schritte zeigen dass P displaystyle mathcal P nbsp fur beliebige Teilmengen von P displaystyle P nbsp ein Infimum und ein Supremum in P displaystyle P nbsp liefert A x A x f x displaystyle textstyle bigcup mathcal A x in A mid x leq f x nbsp ist Fixpunkt von f displaystyle f nbsp und zwar der grosste in A displaystyle A nbsp Somit ist dies das P displaystyle mathcal P nbsp Supremum von P displaystyle P nbsp Dual zu Schritt 1 A x A f x x displaystyle textstyle bigcap mathcal A x in A mid f x leq x nbsp ist Fixpunkt von f displaystyle f nbsp und zwar der kleinste in A displaystyle A nbsp Fur beliebige Teilmengen Y P displaystyle Y subseteq P nbsp soll es ein P displaystyle mathcal P nbsp Supremum geben Die Falle Y P displaystyle Y P nbsp und Y displaystyle Y emptyset nbsp sind bereits in den Schritten 1 und 2 gezeigt Betrachtet werden nun die anderen Falle Dazu wird ausgenutzt dass U displaystyle langle U leq rangle nbsp mit U x A A Y x displaystyle textstyle U x in A mid bigcup mathcal A Y leq x nbsp wieder ein vollstandiger Verband ist und f U displaystyle f U nbsp eine monotone Funktion U U displaystyle U to U nbsp ist die nach Schritt 2 einen kleinsten Fixpunkt in U displaystyle U nbsp hat Dieser ist das P displaystyle mathcal P nbsp Supremum von Y displaystyle Y nbsp In Formeln P Y A x A A Y f x x displaystyle textstyle bigcup mathcal P Y bigcap mathcal A x in A mid bigcup mathcal A Y cup f x leq x nbsp Dual zu Schritt 3 wird gezeigt dass beliebige Teilmengen von P displaystyle P nbsp ein P displaystyle mathcal P nbsp Infimum haben Konsequenzen BearbeitenEine oft verwendete Konsequenz ist die der Existenz von kleinsten und grossten Fixpunkten von bezuglich displaystyle subseteq nbsp monotonen Funktionen Umkehrung BearbeitenDer Fixpunktsatz besitzt eine gewisse Umkehrung in einem Satz den Anne C Davis im Jahre 1955 vorgelegt hat 1 2 3 Besitzt in einem Verband A displaystyle mathcal A nbsp jede monotone Abbildung f A A displaystyle f colon mathcal A to mathcal A nbsp einen Fixpunkt so ist A displaystyle mathcal A nbsp ein vollstandiger Verband Literatur BearbeitenGarrett Birkhoff Lattice Theory 3 Auflage American Mathematical Society Providence Rhode Island 1979 George Gratzer General Lattice Theory 2 Auflage Birkhauser Verlag Basel Boston Berlin 1998 ISBN 3 7643 5239 6 MR1670580 L A Skornjakow Elemente der Verbandstheorie Wissenschaftliche Taschenbucher Reihe Mathematik Physik Band 130 Akademie Verlag Berlin 1973 ISBN 3 7643 5239 6 Alfred Tarski A lattice theoretical fixpoint theorem and its applications In Pacific Journal of Mathematics Vol 5 2 1955 S 285 309 englisch projecteuclid org Einzelnachweise Bearbeiten George Gratzer General Lattice Theory 1998 S 73 L A Skornjakow Elemente der Verbandstheorie 1973 S 73 Anne C Davis A characterization of complete lattices In Pacific Journal of Mathematics Band 5 1955 S 311 319 MR0074377 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fixpunktsatz von Tarski und Knaster amp oldid 232848411